大同市2024—2025學年度第一學期期中高一年級教學質量監(jiān)測數學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上相應的位置.2.全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案用0.5mm黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上.4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.5.本試卷共4頁，滿分100分，考試時間90分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據交集定義計算即可.【詳解】由題設得，故選:A.2.下列關于，的關系中，是的函數的是（）A.B.C.D.123400-61【答案】D【解析】【分析】利用函數的定義逐項分析判斷.【詳解】對于A，不等式的解集為，不是的函數，A不是；對于B，當時，有兩個與對應，不是的函數，B不是；對于C，當時，有兩個與對應，不是的函數，C不是；對于D，對于的每一個值，都有唯一值與之對應，是的函數，D是.故選：D3.設，，則下列不等式中不正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】運用函數單調性判定A，B，運用作差法判定D，運用特殊值判定C.【詳解】解析：因為在0,+∞上是增函數，所以，故A正確；因為在0,+∞上是減函數，所以，故B正確；當時，，所以C錯誤；因為；所以.故D正確.故選：C.4.如圖是某高一學生晨練時離家距離與行走時間之間的函數關系的圖像.若用黑點表示該學生家的位置，則該同學散步行走的路線可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據給定的圖象，結合選項判斷得解.【詳解】觀察函數圖象知，有一段時間該同學離家距離保持不變，選項ABC中，路線上的點離家距離是變化的，選項D中的路線符合要求.故選：D5.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可解題.【詳解】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以該命題的否定為“，”.故選：C6.，若是的最小值，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式，先求出當時的函數最值，然后結合一元二次函數的性質進行討論即可．【詳解】解：當時，，當且僅當：，即時，等號成立，此時函數的最小值為，若，則函數的最小值為，此時不是的最小值，此時不滿足條件，若，則要使是的最小值，則滿足，即解得，，，故選：D．7.荀子曰：“故不積跬步，無以至千里：不積小流，無以成江海.”這句來自先秦時期的名言闡述了做事情不一點一點積累，就永遠無法達成目標的哲理.由此可得，“積跬步”是“至千里”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據充分條件和必要條件定義判斷即可.【詳解】荀子的名言表明積跬步未必能至千里，但要至千里必須積跬步，故“積跬步”是“至千里”的必要不充分條件.故選：B.8.已知正實數，滿足，則的最小值是（）A.25 B.16 C.18 D.8【答案】B【解析】【分析】利用代換1法，結合均值不等式來求最小值.【詳解】由展開變形得，則，因為，，所以原式，當且僅當，即，時等號成立.故選：B.二、選擇題：本題共2小題，每小題6分，共12分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分9.若集合A具有以下性質：①集合中至少有兩個元素；②若，則xy，，且當時，，則稱集合A是“緊密集合”以下說法正確的是（）A.整數集是“緊密集合”B.實數集是“緊密集合”C.“緊密集合”可以是有限集D.若集合A是“緊密集合”，且x，，則【答案】BC【解析】【分析】根據“緊密集合”具有的性質逐一排除即可.【詳解】A選項：若，，而，故整數集不是“緊密集合”，A錯誤；B選項：根據“緊密集合”的性質，實數集是“緊密集合”，B正確；C選項：集合是“緊密集合”，故“緊密集合”可以是有限集，C正確；D選項：集合是“緊密集合”，當，時，，D錯誤．故選：BC.【點睛】新定義題目的關鍵在于正確理解定義，從題意入手.10.一般地，若函數的定義域為，值域為，則稱為的“倍跟隨區(qū)間”；若函數的定義域為，值域也為，則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結論正確的是（）A.若為的跟隨區(qū)間，則B.函數存在跟隨區(qū)間C.若函數存在跟隨區(qū)間，則D.二次函數存在“3倍跟隨區(qū)間”【答案】ACD【解析】【分析】A，由已知可得函數在區(qū)間上單調遞增，進而可以求解的值；B，假設存在跟隨區(qū)間，則根據跟隨區(qū)間條件求解，的值，結合函數圖象進行判斷；C，先設跟隨區(qū)間為，則根據跟隨區(qū)間滿足的條件建立方程組，找出，的關系，然后統(tǒng)一變量表示出，列出關于的關系式，利用方程思想求解的取值范圍，D，若存在3倍跟隨區(qū)間，則設定義域為，值域為，由此建立方程組，再等價轉化為一個方程有兩個不相等的實數根，進而可以求解．【詳解】選項：由已知可得函數在區(qū)間,上單調遞增，則有，解得或1（舍，所以，正確；選項：若存在跟隨區(qū)間，又因為函數在單調區(qū)間上遞減，圖象如圖示，則區(qū)間一定是函數的單調區(qū)間，即或,則有，解得，此時異號，故函數不存在跟隨區(qū)間，不正確；選項：由已知函數可得：函數在定義域上單調遞減，若存在跟隨區(qū)間，則有，即，兩式作差得：，即，又，所以，得，所以，設，則，即在區(qū)間上有一個實數根，只需：，解得，正確；選項：若函數存在3倍跟隨區(qū)間，設定義域為，值域為，當時，函數在定義域上單調遞增，則，是方程的兩個不相等的實數根，解得或，故存在定義域為使得值域為，正確，故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：根據新的定義求解參數或者是判斷函數是否符合新定義，考查學生的理解新知識運用新知識的能力，解答時要能根據新定義，靈活求解，綜合性較強.三、填空題：本題共2小題，每小題4分，共8分.11.若二次函數的圖像過原點，且，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由圖象過原點知二次函數解析式中不含常數項，即可設，寫出，用表示出后可得出其范圍．【詳解】設，∵圖象過原點，∴，即，∴，，，∴，又，∴，故答案為．【點睛】本題考查不等式的性質，解題時需把作為一個整體，用它們表示出，然后再求取范圍，如果由，得出，，然后再求的范圍，就是錯誤的．12.已知為上的奇函數，，若對，，當時，都有，則不等式的解集為_________.【答案】【解析】【分析】由題設易得，令并判斷其單調性、奇偶性，進而求不等式的解集.詳解】由，得，因為，，所以，即，設，則在上單調遞減，而，則，解得；因為為上的奇函數，所以，則為上的偶函數，故在上單調遞增，而，則，解得；綜上，原不等式的解集為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共48分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.13.（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據指數冪運算法則將原式轉化為即可求值；（2）利用立方和公式化簡因式分解再求值.【詳解】（1）原式；（2）原式.【點睛】此題考查根據指數冪的運算法則求代數式的值，利用整體代換，涉及因式分解.14.已知函數，且.（1）求的值；（2）若，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用可得答案；（2）利用在上是增函數可得答案.小問1詳解】因為，所以，即，所以；【小問2詳解】由于，所以其定義域為，又在上是增函數，由可得，解得，所以實數的取值范圍為.15.設函數，．（1）當時，求的最大值和最小值；（2）若函數的最小值為，求．【答案】（1）最大值，最小值；（2）．【解析】【分析】（1）利用二次函數的基本性質可求得函數的最大值和最小值；（2）對實數的取值進行分類討論，分析函數在區(qū)間上的單調性，由此可得出的表達式.【詳解】（1）當時，，其中，所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，因為，，，因此，，；（2）二次函數圖象的對稱軸為直線.①當時，即時，函數在上單調遞增，故；②當時，即時，函數在單調遞減，故；③當，即時，.綜上，．16.函數f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結論；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數，求x的取值范圍．【答案】（1）0；（2）見解析；（3）【解析】【詳解】試題分析：（1）抽象函數求具體指，用賦值法；（2）根據定義求證函數的奇偶性找f(－x)和f(x)的關系；（3）先利用f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2得到f(x－1)<2?f(|x－1|)<f(16).再根據單調性列出不等式求解即可.(1)∵對于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數．(3)依題設有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)偶函數，∴f(x－1)<2?f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函數．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.∴x的取值范圍是{x|－15<x<17且x≠1}．17.某公司為調動員工工作積極性擬制定以下獎勵方案，要求獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，獎金不超過90萬元，同時獎金不超過投資收益的20%.即假定獎勵方案模擬函數為時，該公司對函數模型的基本要求是：當時，①是增函數；②恒成立；③恒成立.(1)現有兩個獎勵函數模型：①；②.試分析這兩個函數模型是否符合公司要求？(2)已知函數符合公司獎勵方案函數模型要求，求實數a的取值范圍.【答案】(1)函數模型：②符合公司要求；(2)．【解析】【分析】(1)由判斷函數模型：①不符合條件③，故不符合公司要求；一一驗證函數模型：②滿足題目給出的三個條件，說明函數模型：②符合公司要求；(2)由說明符合條件①，再求解基本不等式及基本不等式取最值時滿足的條件求出a滿足②③的范圍，取交集即可．【詳解】(1)對于函數模型：①，驗證條件③：當時而即不成立，故不符合公司要求；對于函數模型：②，當時，條件①是增函數滿足；∴，滿足條件②；對于條件③：記則∵∴當時，∴恒成立，即條件③也成立.故函數模型：②符合公司