第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年四川省德陽(yáng)市綿竹市高三（上）第一次診斷數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈N|?1≤x<4}，B={x|y=x}，則A∩B=A.{1,2,3} B.{?1,1,2,3} C.{0,1,2,3} D.{?1,0,1,2,3}2.若i2025z=1+i，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第(????)象限．A.一 B.二 C.三 D.四3.已知平面向量a，b滿足|a|=|b|=1，?aA.1 B.3 C.2 D.4.若方向向量為(1,?2)的直線l與圓(x?1)2+y2=5A.x+2y+7=0 B.2x+y+3=0 C.x+2y?6=0 D.2x+y?6=05.若sin(α+β)=12,sin(α?β)=A.5 B.?1 C.6 D.16.已知函數(shù)f(x)=ex,x>0x3?3x+a,x≤0的值域?yàn)镽A.[?1,+∞) B.[3,+∞) C.(?∞,?1] D.(?∞,3]7.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n?1，在其相鄰兩項(xiàng)ak，ak+1之間插入2k個(gè)3(k∈N?)，得到新的數(shù)列{A.28 B.29 C.30 D.318.飛行棋是一種家喻戶曉的競(jìng)技游戲，玩家根據(jù)骰子(骰子為均勻的正六面體)正面朝上的點(diǎn)數(shù)確定飛機(jī)往前走的步數(shù)，剛好走到終點(diǎn)處算“到達(dá)”，如果玩家投擲的骰子點(diǎn)數(shù)超出到達(dá)終點(diǎn)所需的步數(shù)，則飛機(jī)須往回走超出點(diǎn)數(shù)對(duì)應(yīng)的步數(shù).在一次游戲中，飛機(jī)距終點(diǎn)只剩3步(如圖所示)，設(shè)該玩家到達(dá)終點(diǎn)時(shí)投擲骰子的次數(shù)為X，則E(X)=(

)A.3

B.4

C.5

D.6二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.觀察下列散點(diǎn)圖的分布規(guī)律和特點(diǎn)，其中兩個(gè)變量存在相關(guān)關(guān)系的有(

)A. B.

C. D.10.已知A(?a,0)，B(a,0)，l1：ax?y=0，l2：ax+y=0，其中a>1，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，記點(diǎn)P到l1，l2的距離分別為d1，d2A.|PA|+|PB|=4a B.|PA|2+|PB|2=411.已知函數(shù)f(x)=sin2x?2sinx，則(

)A.f(2)+f(4)<0 B.當(dāng)0<x<6時(shí)，f(x)≤52

C.當(dāng)3<x<4時(shí)，f(x)>f(x3+2) 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知橢圓x216+y2m2=1(m>0)13.如圖所示的五面體ABCDEF為《九章算術(shù)》中記載的羨除，它指的是墓道或隧道.其中EF//AD//BC，四邊形ADEF，ADCB，EFBC均為等腰梯形，平面ADEF⊥平面ADCB，EF=2，BC=3，AD=4，BC和AD間的距離為2，EF和AD間的距離為4，則該羨除的體積為_(kāi)_____．14.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足1a1a2+四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2bcosC=ac?2ccosB．

(1)求c；

(2)若D為AB中點(diǎn)，CD=2，∠ACB=60°，求△ABC的周長(zhǎng)．16.(本小題15分)

點(diǎn)A(m,2)在拋物線y2=2px(0<p<2)上，且到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為52．

(1)求拋物線C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于B，C兩點(diǎn)，且∠BAC=90°，求直線17.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC1⊥平面ABC，AC1⊥平面BCC1B1．

(1)18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=(4x+a)ln(x+1)，g(x)=x2+bx．

(1)當(dāng)a=4時(shí)，求f(x)的最小值；

(2)若y=f(x)與y=g(x)在原點(diǎn)處的切線重合，且函數(shù)19.(本小題17分)

已知集合A={1,2,3,?,2n,2n+1}(n∈N?).

(1)集合B?A，且B中的任意三個(gè)不同的元素x，y，z都有x+y≠z．

(i)當(dāng)n=3時(shí)，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的恰有四個(gè)元素的集合B；

(ii)對(duì)于任意給定的n(n∈N?,n≥2)，求集合B中的元素個(gè)數(shù)的最大值．

(2)已知集合P={C|C?A}，Q={C1,C2,?,Ck}?P，且同時(shí)滿足以下條件：

①?Ci，Cj∈Q，都有Ci∩Cj參考答案1.C

2.D

3.D

4.B

5.A

6.A

7.B

8.D

9.ABC

10.AD

11.ACD

12.713.12

14.6069

15.解：(1)由2bcosC=ac?2ccosB及余弦定理，

可得2b?a2+b2?c22ab=ac?2c?a2+c2?b22ac，

整理得a2+b2?c2=a2c?a2?c2+b2，

即2a2=ac，又a>0，

所以c=216.解：(1)根據(jù)焦半徑公式可得m+p2=52，所以m=52?p2，

又22=2pm，所以22=2p(52?p2)，

解得p=1或p=4(舍去)，

故所求拋物線C方程為y2=2x．

(2)F(12,0)，A(2,2)，

設(shè)lBC：x=ty+12，B(x1,y1)，C(x217.(1)證明：過(guò)C1作C1E⊥AB于點(diǎn)E，

因?yàn)槠矫鍭BC1⊥平面ABC，平面ABC1∩平面ABC=AB，

C1E?平面ABC1，所以C1E⊥面ABC，

因?yàn)锽C?面ABC，所以C1E⊥BC，

又因?yàn)锳C1⊥平面BCC1B1，所以AC1⊥BC，

而AC1∩C1E=C1，AC1，C1E?面ABC1，

所以BC⊥面ABC1，又BC1?面ABC1，

所以BC1⊥BC；

18.解：(1)當(dāng)a=4時(shí)，f(x)=4(x+1)ln(x+1)，f′(x)=4[ln(x+1)+1]，

令f′(x)=0得：x=?1+1e，

當(dāng)x∈(?1,?1+1e)時(shí)，f′(x)<0，

x∈(?1+1e,+∞)時(shí)，f′(x)>0，

∴f(x)在(?1,?1+1e)單調(diào)遞減，(?1+1e,+∞)單調(diào)遞增，

∴x=?1+1e時(shí)，f(x)min=?4e．

(2)∵函數(shù)f(x)=(4x+a)ln(x+1)，g(x)=x2+bx．

∴f′(x)=4ln(x+1)+4x+ax+1，g′(x)=2x+b，

由f′(0)=g′(0)得：b=a，

∴?(x)=f(x)?g(x)=(4x+a)ln(x+1)?(x2+ax)，

問(wèn)題即：F(x)=?′(x)=4ln(x+1)+4x+ax+1?2x?a有且僅有三個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

F′(x)=F′(x)=4ln′(x+1)+(4x+ax+1)′?(2x+a)′=4x+1+4?a(x+1)2?2=?2x2+a?6(x+1)2，

當(dāng)a≥6時(shí)，F(xiàn)′(x)≤0，∴F(x)在(?1,+∞)單調(diào)遞減，又F(0)=0，

∴此時(shí)F(x)在(?1,+∞)有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)0，不合題意；

當(dāng)a≤4時(shí)，∴F′(x)在(?1,+∞)有唯一零點(diǎn)x0>0.F(x)在(?1,x0)遞增，(x0,+∞)遞減，

∴此時(shí)F(x)在(?1,+∞)至多有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)4<a<6時(shí)，?[2×(?1)2+a?6]<0，F(xiàn)′(0)>0，F(xiàn)′(1)<0，

∴F′(x)在(?1,+∞)有兩個(gè)零點(diǎn)：?1<x1<0<x2，

且x∈(?1,x1)時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，x∈(x1,x2)時(shí)，F(xiàn)′(x)>0，x∈(x2,+∞)時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，

∴F(x)在(?1,x1)19.解：(1)(i)當(dāng)n=3時(shí)，A={1,2,3,4,5,6,7}，

又∵B?A，且B中的任意三個(gè)不同的元素x，y，z都有x+y≠z，

∴滿足條件的恰有四個(gè)元素的集合B可以是：

{1,2,4,7}或{1,3,5,7}或{2,3,6,7}或{3,4,5,6}或{3,5,6,7}或{4,5,6,7}．

(ii)對(duì)于任意給定的n(n∈N?,n≥2)，集合B中的元素個(gè)數(shù)的最大值為n+1，證明如下：

記集合M={1,3,5,?,2n+1}，N={2,4,?,2n}，

設(shè)滿足條件的集合B={m1,m2,?,ms,n1,n2,?,nt}，

其中m1，m2，?，ms∈M，n1，n2，?，nt∈N，且m1<m2<?<ms，n1<n2<?<nt，

則集合B中的元素個(gè)數(shù)等于s+t，

根據(jù)條件對(duì)任意的1≤i≤s?1，1≤j≤t，都有ms?mt≠nj(否則，就有mt+nj=ms，不合題意)，

又∵ms?mi∈N，nj∈N，其中1≤i≤s?1，1≤j≤t，

即ms?m1，ms?m2，?，ms?ms?1，n1，n2，?，nt是N中的不同的元素，

∴(s?1)+t≤n，即集合B中的元素個(gè)數(shù)s+t≤n+1，

取B={n+1,n+2,?,2n+1}滿足條件，且元素個(gè)數(shù)等于n+1，∴集合B中的元素的最大值等于n+1．

(2)以A={1,2,3}為例(多取不符條件①，少取不符條件②)：

這時(shí)P={?,{1},{2},{3},{1,2}，{1,3}