福建省福州市部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．已知，向量，，，且，，則的值為（

）A． B． C． D．3．已知向量是空間的一個(gè)基底，向量是空間的另一個(gè)基底，向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．已知圓：，圓：，其中，若兩圓外切，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．是等邊三角形C．點(diǎn)與平面的距離為 D．與所成的角為8．已知點(diǎn)，，點(diǎn)為直線上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大值，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知圓M：和圓N：相交于A，B兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．直線AB的方程為B．若點(diǎn)P為圓N上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為C．線段AB的長(zhǎng)為D．直線是圓M與圓N的一條公切線10．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則（

）A．的周長(zhǎng)為B．存在點(diǎn)，使得C．若，則的面積為D．使得為等腰三角形的點(diǎn)共有4個(gè)11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論中正確的為（

）

A．在中點(diǎn)時(shí)，平面平面B．異面直線所成角的余弦值為C．在同一個(gè)球面上D．，則點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，那么三角形外接圓的方程是.13．橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，直線過(guò)左焦點(diǎn)，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，若直線的傾斜角為，則的面積等于.14．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，的面積的最大值為，若已知點(diǎn)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知的頂點(diǎn)，邊AC上的高BH所在直線的方程為，邊AB上的中線CM所在直線的方程為.(1)求直線AC的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求的面積.16．如圖，平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，設(shè)，，

(1)試用，，表示向量、；(2)若，求向量與所成的角的余弦值.17．如圖，已知某市穿城公路自西向東到達(dá)市中心O后轉(zhuǎn)向正北方向，，在公路段上距離市中心O點(diǎn)處有一古建筑C（視為點(diǎn)），現(xiàn)設(shè)立一個(gè)以C為圓心，為半徑的圓形保護(hù)區(qū)E，并準(zhǔn)備修建一條直線型高架公路L，在上設(shè)出入口A，在上設(shè)出入口B，滿足且直線與圓E相切.

(1)若將出入口A設(shè)計(jì)在距離中心O點(diǎn)處，求R；(2)若點(diǎn)B到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于，則如何設(shè)置出入口B，才能使該圓形保護(hù)區(qū)的半徑R最小.18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若，.（ⅰ）求平面與平面夾角的余弦值；（ⅱ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.19．已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為B，左右頂點(diǎn)分別為A1、A2，左焦點(diǎn)為F1，離心率為．過(guò)F1作垂直于x軸的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，且．(1)求C的方程；(2)若M，N是C上任意兩點(diǎn)①若點(diǎn)，點(diǎn)N位于x軸下方，直線MN交x軸于點(diǎn)G，設(shè)和的面積分別為，，若，求線段MN的長(zhǎng)度；②若直線MN與坐標(biāo)軸不垂直，H為線段MN的中點(diǎn)，直線OH與C交于P，Q兩點(diǎn)，已知P，Q，M，N四點(diǎn)共圓，求證：線段的長(zhǎng)度不大于．

參考答案1．【答案】A【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是，,故選：A.2．【答案】A【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，由，則，解得，由，則，解得，則．故選：A．3．【答案】A【詳解】由已知可得，設(shè)，，解得，即向量在基底下的坐標(biāo)為.故選：A.4．【答案】A【詳解】若，則，解得或，所以由可以得到，反之則不然，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5．【答案】C【詳解】設(shè)點(diǎn)，有，解得，，，，結(jié)合圖可知，.故選：C．6．【答案】C【詳解】圓，則，半徑r1=1，圓，則，半徑，因?yàn)閮蓤A外切，所以，即，即，則點(diǎn)在以1,0為圓心，半徑為3的圓上，即在圓上，令，則k表示過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)的直線的斜率，則該直線一定過(guò)點(diǎn)，且與圓有公共點(diǎn)，由題意作圖，由圖可知該直線斜率一定存在(若斜率不存在，則直線與圓相離)，設(shè)該直線方程為，即為，圓心1,0到直線的距離為d，則，解得，即的取值范圍是.故選：C.7．【答案】C【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)的中點(diǎn)為，則，且，平面，可得平面，又因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由A的分析知即為二面角的平面角，故，即，可知，則，所以是等邊三角形，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)CD：以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，所以點(diǎn)與平面的距離，故C錯(cuò)誤；又因?yàn)椋遗c所成的角取值范圍為，可知與所成的角的余弦值為，所以與所成的角為，故D正確.故選：C.利用空間向量求點(diǎn)到平面距離的方法如圖，設(shè)A為平面內(nèi)的一點(diǎn)，B為平面外的一點(diǎn)，為平面α的法向量，則B到平面α的距離.8．【答案】A【詳解】以為直徑作圓，方程為，半徑，則圓心到直線的距離，則直線與圓相離，即，由點(diǎn)在直線上，設(shè)，則，，所以直線與的夾角滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；綜上所述，當(dāng)時(shí)，取最大值，即取最大值，故選：A.9．【答案】BCD【詳解】A選項(xiàng)，兩圓方程作差得，即，所以兩圓公共弦所在直線方程為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，圓的圓心為，半徑，圓，即的圓心為，半徑；圓心到直線的距離，半徑，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，B正確；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，所以直線是圓與圓的一條公切線，D正確.故選：BCD.10．【答案】AB【詳解】對(duì)于，由題意，，，故周長(zhǎng)為，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)位于上下頂點(diǎn)時(shí)，為直角，所以B正確.對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，如圖：設(shè)，，則.所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，點(diǎn)位于上下頂點(diǎn)；若是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，則，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)；同理，若是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)；故使得為等腰三角形的點(diǎn)共六個(gè)，所以D錯(cuò)誤.故選：AB11．【答案】ACD【分析】根據(jù)正方體圖象特征證明面，結(jié)合面面垂直的判定定理判斷A；根據(jù)異面直線所成的角判斷B錯(cuò)誤；根據(jù)五點(diǎn)共圓得到C；分析可知點(diǎn)軌跡是過(guò)點(diǎn)與平行的線段，根據(jù)軌跡求出長(zhǎng)度得到D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：取的中點(diǎn)，連接，

在棱長(zhǎng)為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，易知，因?yàn)?，所以平面，在平面?nèi)，所以，平面，平面，，所以平面，平面，所以，連接，是正方形，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，綜上，平面，平面，又，所以平面，平面，故平面平面，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：取的中點(diǎn)，連接，則，所以是異面直線所成的角，又，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：記正方體的中心為點(diǎn)，則，所以在以為球心，以為半徑的球面上，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn)，所以，故，所以點(diǎn)軌跡是過(guò)點(diǎn)與平行的線段，且，所以，故D正確；故選ACD.12．【答案】【詳解】因?yàn)榈娜齻€(gè)頂點(diǎn)，，，所以為直角三角形，故三角形外接圓圓心為斜邊的中點(diǎn)，半徑,所以圓的方程為.故答案為：13．【答案】【詳解】已知點(diǎn)在橢圓上，可得，所以，又因?yàn)橹本€的斜率，所以的方程為.設(shè)，聯(lián)立方程組消去得，可得，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以.故答案為:.14．【答案】/2.25【詳解】由已知條件可得、，直線的斜率為，則直線的方程為，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相切且與直線平行，故設(shè)該直線的方程為，聯(lián)立，整理，得，由，得，解得，分析可知當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，，此時(shí)切線方程為，則點(diǎn)到直線的距離.又，所以，所以，所以、，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，的最小值為.故答案為：.15．【答案】(1)；(2)24【詳解】（1）因?yàn)檫匒C上的高BH所在直線的方程為，所以邊AC的斜率為-1，又頂點(diǎn)，所以邊AC的的直線方程為，所以，解得，所以直線AC的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，由點(diǎn)在直線上可得，又在直線BH上，所以，聯(lián)立兩方程可得，又到直線AC的距離為，所以.16．【答案】(1),(2)【詳解】（1），.（2）因?yàn)椋?/p>

，，，所以，即向量與所成的角的余弦值為.17．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的半徑R最小【詳解】（1）

如圖，設(shè)切點(diǎn)為F，連接,則，且在直角三角形中，，即（2）

以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則直線方程：，即，圓心，設(shè)P為圓C上任意一點(diǎn)，由條件需使恒成立，即，即，化簡(jiǎn)得，①，又直線與圓C相切，得，由①知，，則有將代入①式，整理得，解得或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，即當(dāng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的半徑R最小.18．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)（i）；（ii）存在，【分析】（1）取中點(diǎn)，可證四邊形是平行四邊形，可得，從而得證；（2）（i）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解；（ii）假設(shè)存在點(diǎn)到平面的距離為，利用點(diǎn)到面的距離公式法求解即可.【詳解】（1）取PD的中點(diǎn)N，連接AN，MN，如圖所示：∵M(jìn)為棱PC的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴四邊形ABMN是平行四邊形，∴，又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．（2）∵，∴，∴，∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，∴平面ABCD，又AD，平面ABCD，∴，，又，∴以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，∵M(jìn)為棱PC的中點(diǎn)，∴.（i），設(shè)平面BDM的一個(gè)法向量為，則，令，則，∴，易得平面PDM的一個(gè)法向量為，∴，∴平面面夾角的余弦值為.（ii）假設(shè)在線段PA上存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面BDM的距離是，設(shè)，則，由（2）知平面BDM的一個(gè)法向量為，，∴點(diǎn)Q到平面BDM的距離是，∴，∴．19．【答案】(1)(2)①3；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率及弦長(zhǎng)計(jì)算求出即可得出橢圓方程；（2）①應(yīng)用圖形特征結(jié)合已知，再聯(lián)立