北辰區(qū)2025屆高三第一次聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共6頁，20小題.試卷滿分150分，考試用時120分鐘.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.第Ⅰ卷（選擇題共45分）一、選擇題：共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B.C. D.2.設(shè)，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.在下列各圖中，兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系的圖是（）A. B.C. D.4.在某測量中，設(shè)點在點的南偏東，則點在點的（）A.北偏西 B.北偏東C.北偏西 D.南偏西5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.6.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.7.已知三棱錐外接球的球心在線段上，若與均為面積是的等邊三角形，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.8.函數(shù)，則下列結(jié)論正確有（）①函數(shù)的最大值為；②函數(shù)的一個對稱中心為；③函數(shù)在上單調(diào)遞減；④，將圖象向右平移單位，再向下平移個單位可得到的圖象.A.①③ B.①④ C.②③ D.③④9.已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程恰有三個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是（）A B.C. D.第Ⅱ卷（非選擇題共105分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.10.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則______.11.展開式中的系數(shù)為______.12.已知圓心在軸上的圓與傾斜角為的直線相切于點則圓的方程為______.13.，，若是與的等比中項，則的最小值是______.14.天津是一個歷史悠久的文化古都，盤山，石家大院，古文化街，鼓樓這四個景點又是天津十分有名的旅游勝地.已知某游客游覽盤山的概率為，游覽石家大院，古文化街，鼓樓的概率都是，且該游客是否游覽這四個景點相互獨(dú)立，則該游客只游覽一個景點的概率為______；該游客至少游覽三個景點的概率為______15.如圖，平行四邊形中，，為中點，為線段上一點，且滿足，則______；若的面積為，則的最小值為______.三、解答題：本大題共5個小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16.已知的內(nèi)角，，，的對邊分別為，，，滿足（1）求角的大?。唬?）若，，求邊的值；（3）若，求值.17.如圖，垂直于梯形所在平面，，為的中點，，，四邊形為矩形.（1）求證：平面；（2）求點到直線的距離；（3）求平面與平面夾角的余弦值18.已知等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和；（3）令，數(shù)列的前n項和，求證：．19.已知橢圓：（）的一個焦點為，其短軸長是焦距的倍，點為橢圓上任意一點，且的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動直線：與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點.問：軸上是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.20.已知函數(shù)，（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)函數(shù)有兩個極值點且.證明：.

北辰區(qū)2025屆高三第一次聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共6頁，20小題.試卷滿分150分，考試用時120分鐘.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.第Ⅰ卷（選擇題共45分）一、選擇題：共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用集合的運(yùn)算，即可求解.【詳解】因為，，所以，又，所以.故選：A.2.設(shè)，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解不等式、，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】解不等式可得或，由可得，因為或x>1，所以，是的必要不充分條件，故選：B.3.在下列各圖中，兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系的圖是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合線性相關(guān)關(guān)系的概念逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：兩個變量為函數(shù)關(guān)系，不是線性相關(guān)關(guān)系，所以A錯誤；對于選項B：所有點不是在一條直線附近波動，不是線性相關(guān)關(guān)系，故B錯誤；對于選項C：對于兩個變量x，y，y隨著x的增加而減少，且所有點都在一條直線附近波動，所以具有線性相關(guān)關(guān)系，故C正確；對于選項D：兩個變量不具有相關(guān)性，故D錯誤．故選：C.4.在某測量中，設(shè)點在點的南偏東，則點在點的（）A.北偏西 B.北偏東C.北偏西 D.南偏西【答案】A【解析】【分析】根據(jù)方向角的概念判斷即可【詳解】如下圖所示：因為點在點的南偏東，點在點的北偏西，故選：A.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)時函數(shù)值的特征判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故排除A、C；當(dāng)時，故排除B.故選：D6.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因為，即，又，，所以，所以.故選：A7.已知三棱錐外接球的球心在線段上，若與均為面積是的等邊三角形，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，設(shè)，根據(jù)三角形的面積公式求出的值，分析可知，求出的長，可得出球的半徑，再利用球體表面積公式可求得球的表面積.【詳解】如下圖所示：設(shè)，因為與均為面積是的等邊三角形，則，可得，因為三棱錐外接球的球心在線段上，則，則，所以，球的半徑為，因此，三棱錐外接球的表面積為.故選：D.8.函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）①函數(shù)的最大值為；②函數(shù)的一個對稱中心為；③函數(shù)上單調(diào)遞減；④，將圖象向右平移單位，再向下平移個單位可得到的圖象.A.①③ B.①④ C.②③ D.③④【答案】B【解析】【分析】先化簡函數(shù)為，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷.【詳解】，①函數(shù)的最大值為，故正確；②易知函數(shù)的對稱中心的縱坐標(biāo)為，故錯誤；③由，得，因為在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故錯誤；④由，將圖象向右平移單位得到的圖象，再向下平移個單位可得到的圖象，故正確；故選：B9.已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程恰有三個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，則?x的圖象可由的圖象上下平移得到，作出函數(shù)?x與的圖象，由題意，原問題等價于?x與的圖象有三個不同的交點，結(jié)合圖象列出不等式組求解即可得答案．【詳解】解：設(shè)，作出函數(shù)和的圖象如圖，則?x的圖象可由的圖象上下平移得到，要使方程恰有三個不相等的實數(shù)解，等價于?x與的圖象有三個不同的交點，由圖象可知，只須滿足，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D．【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．第Ⅱ卷（非選擇題共105分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.10.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再計算其模.【詳解】因為，所以.故答案為：11.的展開式中的系數(shù)為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項式定理確定的系數(shù).【詳解】因此展開式中的系數(shù)為【點睛】本題考查二項式定理，考查基本分析求解能力.12.已知圓心在軸上的圓與傾斜角為的直線相切于點則圓的方程為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓心為，半徑為，根據(jù)兩點間距離公式，可的半徑，根據(jù)點斜式方程，可得直線的方程，根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，代入公式，化簡計算，即可得答案.【詳解】設(shè)圓心為，半徑為，依題意可得，直線的方程為：，整理得，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，所以，解得，所以圓的方程為.故答案為：13.，，若是與的等比中項，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件得到，從而有，再利用“1”的妙用，即可求解.【詳解】因為是與的等比中項，得到，得到，又，，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故答案為：.14.天津是一個歷史悠久的文化古都，盤山，石家大院，古文化街，鼓樓這四個景點又是天津十分有名的旅游勝地.已知某游客游覽盤山的概率為，游覽石家大院，古文化街，鼓樓的概率都是，且該游客是否游覽這四個景點相互獨(dú)立，則該游客只游覽一個景點的概率為______；該游客至少游覽三個景點的概率為______【答案】①.②.【解析】【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率公式，即可求出該游客只游覽一個景點的概率；至少游覽三個景點分為游覽了三個景點或四個景點，分別求出這兩種情況的概率，相加即可.【詳解】只瀏覽一個景點的概率為：.游覽三個景點的概率為：，游覽四個景點的概率為：，故至少游覽三個景點的概率為：.故答案為：；.15.如圖，平行四邊形中，，為的中點，為線段上一點，且滿足，則______；若的面積為，則的最小值為______.【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)，由平面向量線性運(yùn)算表示即可求出，由結(jié)合基本不等式可得的最小值.【詳解】設(shè)，則，∴，故，∴，即.由的面積為得，，故，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,∴的最小值為.故答案為：；.三、解答題：本大題共5個小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16.已知的內(nèi)角，，，的對邊分別為，，，滿足（1）求角的大??；（2）若，，求邊的值；（3）若，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理求解；（2）利用余弦定理求解；（2）利用二倍角公式和兩角差的余弦公式求解.【小問1詳解】解：因為，由正弦定理得：，即，因為，所以，則；【小問2詳解】由（1）知，又，，由余弦定理得：，即，解得，則；【小問3詳解】由得：，則，所以，.17.如圖，垂直于梯形所在平面，，為的中點，，，四邊形為矩形.（1）求證：平面；（2）求點到直線的距離；（3）求平面與平面夾角的余弦值【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】分析】（1）設(shè)，由三角形中位線性質(zhì)可得，由線面平行判定推理即可；（2）以為坐標(biāo)原點，直線、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點到直線的距離；（3）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：設(shè)，連接，由四邊形為矩形，得為中點，又為中點，則，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】解：由垂直于梯形所在平面，，得直線、、兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，直線、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，所以，點到直線的距離為.【小問3詳解】解：由（2）可知，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，易知平面的一個法向量，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和；（3）令，數(shù)列的前n項和，求證：．【答案】（1），；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件列方程組可求出公差和公比，從而可求出數(shù)列和的通項公式；（2）由（1）可得，再利用錯位相減法可求出，（3）由（1）可得，再利用裂項相消法可證得結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為．因為，所以，解得，所以數(shù)列的通項公式為．，由，得，所以數(shù)列通項公式為．【小問2詳解】，①，②①②，所以【小問3詳解】證明：因為，所以所以因為所以．19.已知橢圓：（）的一個焦點為，其短軸長是焦距的倍，點為橢圓上任意一點，且的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動直線：與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點.問：軸上是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，定點【解析】【分析】（1）設(shè)焦距，一個焦點為F?c,0，從而得到，解得、、，即可求出橢圓方程；（2）聯(lián)立，消元，根據(jù)題意可得且，從而可求得的關(guān)系式及點的坐標(biāo)，在求出點的坐標(biāo)，假設(shè)在軸上存在定點滿足條件，設(shè)，則，從而可得出結(jié)論.【小問1詳解】依題意設(shè)焦距為，一個焦點為F?c,0，因為點為橢圓上任意一點，且的最大值為，則，則，解得（負(fù)值已舍去），所以橢圓的方程；【小問2詳解】由，消元可得，∵動直線與橢圓有且只有一個公共點，設(shè)Px0,y且，即，化簡得，，此時，，即，由，得，假設(shè)在軸上存在定點滿足條件，設(shè)，則對滿足式的，恒成立，，，由，得，整理得由于式對滿足式的恒成立，所以，解得，故存在定點，使得以為直徑的圓恒過點.【點睛】方法點睛：處理定點問題的三個常用策略：（1）引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，通過等量關(guān)系代入化簡變形，