考點(diǎn)24導(dǎo)數(shù)與不等式、零點(diǎn)知識梳理一.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題的策略(1)首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，求出參數(shù)的取值范圍．(2)也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．二．證明f(x)>g(x)的一般方法是證明h(x)＝f(x)－g(x)>0(利用單調(diào)性)，特殊情況是證明f(x)min>g(x)max(最值方法)，但后一種方法不具備普遍性．三．證明二元不等式的基本思想是化為一元不等式，一種方法為變換不等式使兩個(gè)變元成為一個(gè)整體，另一種方法為轉(zhuǎn)化后利用函數(shù)的單調(diào)性，如不等式f(x1)＋g(x1)<f(x2)＋g(x2)對x1<x2恒成立，即等價(jià)于函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)為增函數(shù)．四．可以通過構(gòu)造函數(shù)，將兩曲線的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題．五．研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，并借助函數(shù)的大致圖象判斷方程根的情況．精講精練題型一導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)【例1】函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【解析】(1)由題意，函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)增函數(shù)，此時(shí)無極值；當(dāng)時(shí)，令，解得，所以在上為單調(diào)增函數(shù)，令，解得，在上為單調(diào)減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，無極大值.綜上所述：當(dāng)時(shí)，無極值，當(dāng)時(shí)，，無極大值.(2)由(1)知當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù)，在上為單調(diào)減函數(shù)，且，又由，若時(shí)，；若時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).綜上：當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).【舉一反三】1．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)令，當(dāng)時(shí)，證明∶函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)(2)當(dāng)時(shí)，，∴是的一個(gè)零點(diǎn)，由，設(shè)，則.因?yàn)?，①?dāng)時(shí)，，∴，∴在單調(diào)遞增，∴，∴在單調(diào)遞增，∴，此時(shí)在無零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)在無零點(diǎn).③當(dāng)時(shí)，，，∴在單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一，使得.當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；又，，所以在上有1個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)．2．已知函數(shù)f(x)=ax-ax(a>0且a≠1).(1)當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)f(x)的最值；(2)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，1)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)最小值為，無最大值；(2)答案見解析.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，令得顯然在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則的最小值為無最大值.(2)(i)若在(0，1)恒成立，此時(shí)在(0，1)沒有零點(diǎn).(ii)若所以在(0，1)單調(diào)遞增.，令因?yàn)樗栽趩握{(diào)遞減，故所以；①當(dāng)時(shí)在(0，1)沒有零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，在(0，1)有且只有1個(gè)零點(diǎn).綜上所述：若或在(0，1)沒有零點(diǎn)；若在(0，1)有且只有1個(gè)零點(diǎn)3．已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．【答案】(1)；(2)答案不唯一，具體見解析．【解析】(1)，所以在點(diǎn)處的切線方程為，所以，即；(2)因?yàn)?，所以，所以可轉(zhuǎn)化為，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，設(shè)，此時(shí)，所以在時(shí)單調(diào)遞增，又，，所以存在使得且時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增．綜上，對于連續(xù)函數(shù)，在時(shí)，單調(diào)遞減，在時(shí)，單調(diào)遞增．又因?yàn)椋援?dāng)，即時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)在區(qū)間上，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上沒有零點(diǎn)．題型二導(dǎo)數(shù)與不等式【例2】已知函數(shù).(1)若在時(shí)取得極值，求實(shí)數(shù)m的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)證明：.【答案】(1)；(2)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(3)證明見解析.【解析】(1)由題意得，因?yàn)樵跁r(shí)取得極值，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋裕援?dāng)時(shí)，，則在遞減；當(dāng)時(shí)，，則在遞增，所以在時(shí)取得極小值，綜上；(2)因?yàn)?，由，解得舍去，，所以在時(shí)，，故在單調(diào)遞減；在時(shí)，，故在單調(diào)遞增，所以的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為.(3)法一：由，則，由(2)知，存在唯一的，使得，即，設(shè)，所以所以(3)法二：因?yàn)橛?，所以?又由(2)，所以.【舉一反三】1．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求證：.【答案】(1)，；(2)證明見解析.【解析】(1)解析：由題意知，，，所以當(dāng)時(shí)，解得，即在的單調(diào)遞增區(qū)間是，(2)令，，只需證即可令，則，當(dāng)時(shí)，，遞減，即在單調(diào)遞減，即，所以，從而在上單調(diào)遞減，即恒成立；當(dāng)時(shí)，由(1)知，的極大值點(diǎn)滿足，這些極大值點(diǎn)使得的分子值不變，但分母隨的增大而增大(當(dāng)然)，∴當(dāng)時(shí)，，恒成立．綜上，得證.2．已知函數(shù)f(x)=2ex+aln(x+1)-2.(1)當(dāng)a=-2時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f(x)≥sinx恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)在(-1，0)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；(2).【解析】(1)當(dāng)時(shí).在單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí).所以函數(shù)在(-1，0)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.(2)令當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于恒成立.由于，所以(i)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間