人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二十七章相似27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性質(zhì)1.理解相似三角形對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角的平分線的比也等于相似比。2.理解相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。3.能應(yīng)用相似三角形的有關(guān)性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題。復(fù)習(xí)引入相似三角形的——————————,各對(duì)應(yīng)邊——————。對(duì)應(yīng)角相等成比例1.三角形相似的判定方法有那些？?jī)蓚€(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。2.相似三角形有哪些性質(zhì)?預(yù)備定理平行線構(gòu)成的三角形與原三角形相似。定義：三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，三條對(duì)應(yīng)邊的比相等。（不常用）常用直角三角形：兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例。探究新知相似三角形還有哪些性質(zhì)?思考：三角形除了三個(gè)角，三條邊外，還有哪些要素?如果兩個(gè)三角形相似，那么，對(duì)應(yīng)的這些要素有什么關(guān)系呢？高中線角平分線周長(zhǎng)面積探究新知如圖，△ABC△A′B′C′,,相似比為k，它們對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比各是多少？

ABDCA′B′D′C′解：如圖，分別作△ABC和△A′B′C′的對(duì)應(yīng)高AD和A′D′。∵△ABC△A′B′C′∴∠B=∠B′又△ABC和△A′B′C′都是直角三角形∴△ABD△A′B′D′結(jié)論1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比?！摺鰽BC∽△A1B1C1∴∠B=∠B1，∠BAC=∠B1A1C1∵AD，A1D1分別是∠BAC和∠B1A1C1的角平分線∴∠BAD=∠B1A1D1∴△ADB∽△A1D1B1（角角）A1B1C1ABCDD1證明：∴角平分線探究新知探究新知A1B1C1ABCDD1中線結(jié)論2：相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比。結(jié)論3：相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比。歸納總結(jié)

類(lèi)似地，可以證明相似三角形對(duì)應(yīng)中線、角平分線的比也等于相似比.由此我們可以得到：

相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.一般地，我們有：

相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.解：∵

△ABC∽△DEF，

DEFH例1

已知

△ABC∽△DEF，BG、EH分別是

△ABC和

△DEF的角平分線，BC=6cm，EF=4cm，BG=4.8cm.

求

EH的長(zhǎng).∴(相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比)，∴，解得

EH=3.2.AGBC∴故

EH的長(zhǎng)為3.2cm.例題解析練一練1.如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比為2:3，那么對(duì)

應(yīng)角平分線的比是

，對(duì)應(yīng)邊上的中線的比是

______.2.

△ABC與

△A'B'C'的相似比為3:4，若

BC邊上的

高

AD＝12cm，則

B'C'邊上的高

A'D'＝_______.2:32:316cm探究新知

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為

k，它們的周長(zhǎng)比是多少？ABCA'B'C'如果

△ABC∽△A'B'C'，相似比為

k，那么因此AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，從而相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比探究新知

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為

k，它們的面積比是多少？ABCA'B'C'DD'由前面的結(jié)論，我們有相似三角形面積的比等于相似比的平方歸納總結(jié)相似三角形面積的比等于相似比的平方．相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．結(jié)論：推廣：相似多邊形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比。相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比．相似多邊形面積的比等于相似比的平方．例題解析解：在

△ABC和

△DEF中，∵

AB=2DE，AC=2DF，又

∵∠D=∠A，∴

△DEF

∽△ABC

，相似比為1:2.例2

如圖，在

△ABC和

△DEF中，AB=2DE

，AC=2DF，∠A=∠D.

若

△ABC的邊

BC上的高為6，面積為

，求

△DEF的邊

EF上的高和面積.ABCDEF面積為

∴△DEF的邊

EF上的高為

×6=3，∵△ABC的邊

BC上的高為6，面積為

，練一練1.把一個(gè)三角形變成和它相似的三角形，(1)如果邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的5倍，那么面積擴(kuò)大為

原來(lái)的______倍；(2)如果面積擴(kuò)大為原來(lái)的100倍，那么邊長(zhǎng)擴(kuò)大

為原來(lái)的______倍.25102.兩個(gè)相似三角形的一對(duì)對(duì)應(yīng)邊分別是35cm、14cm，(1)它們的周長(zhǎng)差60cm，這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別

是________________；(2)它們的面積之和是58cm2，這兩個(gè)三角形的面

積分別是______________.100cm、40cm50cm2、8cm2AEBDC∴△ADE∽△ABC.∵

它們的相似比為

3:5，∴面積比為

9:25.解：∵

∠BAC=∠DAE，且

例3

如圖，D，E分別是

AC，AB上的點(diǎn)，已知△ABC的面積為100cm2，且

，求四邊形

BCDE的面積.

例題解析又∵

△ABC的面積為

100

cm2，∴

△ADE

的面積為

36cm2.∴

四邊形

BCDE的面積為100－36

=

64(cm2).課堂練習(xí)1.判斷：(1)一個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的5倍，這個(gè)

三角形的周長(zhǎng)也擴(kuò)大為原來(lái)的5倍()(2)一個(gè)四邊形的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的9倍，這個(gè)

四邊形的面積也擴(kuò)大為原來(lái)的9倍()√×2.

在

△ABC和

△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，

∠A＝∠D，AP，DQ是中線，若

AP＝2，則

DQ

的值為()A．2B．4C．1D.C課堂練習(xí)3.

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段把三角形截成的一個(gè)小三角形與原三角形的周長(zhǎng)比等于______，面積

比等于_____.1:21:44.

兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)的中線長(zhǎng)分別是6cm和18cm，

若較大三角形的周長(zhǎng)是42cm，面積是12cm2，則

較小三角形的周長(zhǎng)____cm，面積為_(kāi)___cm2.145.

△ABC

中，DE∥BC，EF∥AB，已知

△ADE

和

△EFC

的面積分別為

4

和

9，求

△ABC

的面積.ABCDFE解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，∠ADE=∠EFC，∠A=∠CEF，∴△ADE∽△EFC.又∵S△ADE:S△EFC=4:9，∴AE:EC=2:3，則

AE:AC=2:5，∴S△ADE:S△ABC=4:25，∴S△ABC=25.課堂練習(xí)課堂練習(xí)6.如圖，△ABC中，DE∥BC，DE分別交

AB、AC于

點(diǎn)

D、E，S△ADE＝2S△DCE，求

S△ADE∶S△ABC.解：過(guò)點(diǎn)

D

作