§1.8最小二乘法一、教學(xué)目標：經(jīng)受用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程。知道最小二乘法的思想，能依據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。二、教學(xué)重難點：重點：了解最小二乘法的思想并利用此思想借助電子表格求出回歸方程。教學(xué)內(nèi)容的難點：對最小二乘法的數(shù)學(xué)思想和回歸方程的理解教學(xué)實施過程中的難點：依據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程。三、教學(xué)方法：動手操作，合作溝通。四、教學(xué)過程：(一)、利用最小二乘法推導(dǎo)回歸系數(shù)公式。回顧上節(jié)課：師：我們現(xiàn)在來求距離和。怎么求？生：利用點到直線的距離公式師生共同：只要求出訪距離和最小的、b即可。但是，我們知道點到直線的距離公式計算簡單。怎么辦呢？以樣本數(shù)據(jù)點A為例，可以看出：在△ABC中，（老師動畫演示）依據(jù)一對一的關(guān)系，直角邊AC越小，斜邊AB越小，當(dāng)AC無限小時，AB跟AC可近似看作相等。求麻煩，不妨求生： 師：它表示自變量x取值肯定時，縱坐標的偏差。假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：……。當(dāng)自變量取（=1，2，……，n）時，可以得到（=1，2，……，n），它與實際收集到的之間的偏差是（=1，2，……，n）這樣用n個偏差的和來刻畫“各點與此直線的整體偏差”是比較合適的。總的偏差為，偏差有正有負，易抵消，所以接受確定值，由于帶確定值計算不便利所以換成平方，現(xiàn)在的問題就歸結(jié)為：當(dāng)，b取什么值時Q最小。將上式開放、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值時（其中，）推導(dǎo)過程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以這種使“偏差的和”最小的方法叫“最小二乘法”。設(shè)計意圖：培育同學(xué)的動手操作力量，最小二乘法的思想是本節(jié)課的教學(xué)難點，先讓同學(xué)動手操作畫回歸直線，老師動畫演示，進一步演繹推理來分解難點、突破難點（二）、直線回歸方程的應(yīng)用（1）描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數(shù)量關(guān)系（2）利用回歸方程進行猜測；把預(yù)報因子（即自變量x）代入回歸方程對預(yù)報量（即因變量Y）進行估量，即可得到個體Y值的容許區(qū)間。（3）利用回歸方程進行統(tǒng)計把握規(guī)定Y值的變化，通過把握x的范圍來實現(xiàn)統(tǒng)計把握的目標。如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過把握汽車流量來把握空氣中NO2的濃度。應(yīng)用直線回歸的留意事項：（1）做回歸分析要有實際意義；（2）回歸分析前,最好先作出散點圖；（3）回歸直線不要外延。（四）、實例分析：某調(diào)查者從調(diào)查中獲知某公司近年來科研費用支出（）與公司所獲得利潤（）的統(tǒng)計資料如下表：科研費用支出（）與利潤（）統(tǒng)計表單位：萬元年份科研費用支出利潤1998199920002001200220035114532314030342520合計30180要求估量利潤（）對科研費用支出（）的線性回歸模型。解：設(shè)線性回歸模型直線方程為：由于：依據(jù)資料列表計算如下表：年份199819992000200120022003511453231403034252015544012017075402512116259406-10-2-311004-5-100361049060001030合計3018010002000050100現(xiàn)利用公式（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）求解參數(shù)的估量值：

所以：利潤（）對科研費用支出（）的線性回歸模型直線方程為：求直線回歸方程，相關(guān)系數(shù)和作圖,這些EXCEL可以便利地做到。仍以上題的數(shù)據(jù)為例。于EXCEL表中的空白區(qū)，選用"插入"菜單命令中的"圖表"，選中XY散點圖類型，在彈出的圖表向?qū)е邪聪驅(qū)У囊笠徊揭徊降夭僮?，如有錯誤可以返回去重來或在以后修改。適當(dāng)修飾圖的大小、縱橫比例、字體大小、和圖符的大小等，使圖美觀，最終得到圖1，圖中有直線稱為趨勢線，還有直線方程和相關(guān)系數(shù)。圖中的每一個部份如坐標、標題、圖例等都可以分別修飾，這里主要介紹趨勢線和直線方程。圖1散點圖鼠標右鍵點擊圖中的數(shù)據(jù)點，消滅一個對話框，選"添加趨勢線"，圖中自動畫上一條直線，再以鼠標右擊此線，消滅趨勢線格式對話框，選擇線條的粗細和顏色，在選項中選取顯示公式和顯示R平方值，確定后即在圖中顯示回歸