福建省南平市建甌東游鎮(zhèn)第一中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.

數(shù)列中，，則必有

A．

B.

C.

D.參考答案：答案:D2.設(shè)e1，e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且，則在上的投影為()A.

B.

C.

D.參考答案：B3.一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示，其中正視圖是正三角形，則幾何體的外接球的表面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.對(duì)于非空實(shí)數(shù)集，記.設(shè)非空實(shí)數(shù)集合、滿足：，且若，則.現(xiàn)給出以下命題：①對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合、，必有；②對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合、，必有；③對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合、，必有；④對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合、，必存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，恒有，其中正確的命題是A.①③

B.③④

C.①④

D.②③

參考答案：C對(duì)于②，假設(shè)，則，則，因此②錯(cuò)誤；對(duì)于③，假設(shè)，則，又，則，因此③也錯(cuò)誤，而①和④都是正確的，故選C.5.設(shè)集合，集合.若中恰含有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．

B．

C．

D．

參考答案：B，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，，根據(jù)對(duì)稱性可知要使中恰含有一個(gè)整數(shù)，則這個(gè)整數(shù)解為2，所以有且，即，所以。即，選B.6.已知d為常數(shù)，p：對(duì)于任意n∈N*，an+2﹣an+1=d；q：數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則￢p是￢q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】先根據(jù)命題的否定，得到￢p和￢q，再根據(jù)充分條件和必要的條件的定義判斷即可．【解答】解：p：對(duì)于任意n∈N*，an+2﹣an+1=d；q：數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則￢p：?n∈N*，an+2﹣an+1≠d；￢q：數(shù)列{an}不是公差為d的等差數(shù)列，由￢p?￢q，即an+2﹣an+1不是常數(shù)，則數(shù)列{an}就不是等差數(shù)列，若數(shù)列{an}不是公差為d的等差數(shù)列，則不存在n∈N*，使得an+2﹣an+1≠d，即前者可以推出后者，前者是后者的充分條件，即后者可以推不出前者，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的定義，是以條件問題為載體的，這種問題注意要從兩個(gè)方面入手，看是不是都能夠成立．7.設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為的內(nèi)心，若，則該橢圓的離心率是

(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：A8.函數(shù)的圖象可能是（

）

參考答案：D當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，，故A不正確；因?yàn)楹悴贿^點(diǎn)，所以B不正確；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，，故C不正確；D正確.9.如果執(zhí)行右圖的程序框圖，輸入n=6，m=4．那么輸出的p等于

A．720

B．360

C．240

D．120參考答案：B因此選B。10.已知函數(shù)，若，則（

）A．0

B．1

C．

D．

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是雙曲線-的左焦點(diǎn)，是雙曲線的虛軸，是的中點(diǎn)，過的直線交雙曲線于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率是

．參考答案：12.設(shè)O是△ABC的重心，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知b=2，c=，則=．參考答案：-1考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：利用重心的性質(zhì)和向量的運(yùn)算法則可得可得=（+），再利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．解答：解：設(shè)D為邊BC的中點(diǎn)，如圖所示，則=（），根據(jù)重心的性質(zhì)可得==×（+）=（+）．則=（）?（+）=（﹣）=[22﹣（）2]=﹣1．故答案為：﹣1．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握重心的性質(zhì)和向量的運(yùn)算法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵13.已知f（x）=log3（x﹣3），若實(shí)數(shù)m，n滿足f（m）+f（3n）=2，則m+n的最小值為．參考答案：略14.已知，，，則的最小值為

.參考答案：2

略15.宋元時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家朱世杰在其數(shù)學(xué)巨著《四元玉鑒》卷中“茭草形段”第一個(gè)問題“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．問底子在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，M是BC的中點(diǎn)，BM=2，AM=c﹣b，△ABC面積的最大值為．參考答案：2【考點(diǎn)】余弦定理．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；解三角形．【分析】在△ABM和△ABC中分別使用余弦定理得出bc的關(guān)系，求出cosA，sinA，代入面積公式求出最大值．【解答】解：在△ABM中，由余弦定理得：cosB==．在△ABC中，由余弦定理得：cosB==．∴=．即b2+c2=4bc﹣8．∵cosA==，∴sinA==．∴S=sinA=bc=．∴當(dāng)bc=8時(shí)，S取得最大值2．故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理得應(yīng)用，根據(jù)余弦定理得出bc的關(guān)系是解題關(guān)鍵．16.已知是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則

.參考答案：117.定義運(yùn)算，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，BC=PC，E是PA的中點(diǎn)．（1）求證：平面PBM⊥平面CDE；（2）已知點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AC上一點(diǎn)，且平面PDN∥平面BEM．若BC=2AB=4，求點(diǎn)N到平面CDE的距離．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）取PB的中點(diǎn)為F，連接CF和EF，證明DC⊥PB，CF⊥PB，即可證明平面PBM⊥平面CDE；（2）利用VN﹣DCE=VE﹣DCN，能求出點(diǎn)N到平面CDE的距離．【解答】證明：（1）取PB的中點(diǎn)為F，連接CF和EF，∵E是PA的中點(diǎn)，∴EF∥AB∥DC，∴平面CDE與平面CDEF為同一平面，∵PC⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，∴DCPC，DC⊥BC，即DC⊥平面PBC，∴DC⊥PB．∵BC=PC，∴CF⊥PB，∵CD∩CF=C，∴PB⊥平面CDE．∵PB?平面PBM，∴平面PBM⊥平面CDE．（2）解：過D作DG∥BM交BC于G，連接PG，∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴EM∥PD，∵PD∩DG=D，∴平面PDG∥平面BEM，∴當(dāng)N是AC與DG的交點(diǎn)時(shí)，平面PDN∥平面BEM，在矩形ABCD中，由已知得==，∵BC=2AB=4，∴S△DCN=，S△DCN=2，E到平面ABCD的距離為2，設(shè)點(diǎn)N到平面CDE的距離為d，由VN﹣DCE=VE﹣DCN得×=，解得d=．19.空氣質(zhì)量問題，全民關(guān)注，有需求就有研究，某科研團(tuán)隊(duì)根據(jù)工地常用高壓水槍除塵原理，制造了霧霾神器﹣﹣﹣霧炮，雖然霧炮不能徹底解決問題，但是能在一定程度上起到防霾、降塵的作用，經(jīng)過測(cè)試得到霧炮降塵率的頻率分布直方圖：若降塵率達(dá)到18%以上，則認(rèn)定霧炮除塵有效．（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)霧炮除塵有效的概率；（2）現(xiàn)把A市規(guī)劃成三個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域投放3臺(tái)霧炮進(jìn)行除塵（霧炮之間工作互不影響），若在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的3臺(tái)霧炮降塵率都低于18%，則需對(duì)該區(qū)域后期追加投入20萬元繼續(xù)進(jìn)行治理，求后期投入費(fèi)用的分布列和期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）估計(jì)霧炮除塵有效的概率P=5×0.05+5×0.04+5×0.03+5×0.01．（2）由（1）可得：在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的3臺(tái)霧炮降塵率都低于18%，則需對(duì)該區(qū)域后期追加投入20萬元繼續(xù)進(jìn)行治理，因此在一個(gè)區(qū)域內(nèi)需對(duì)該區(qū)域后期追加投入20萬元繼續(xù)進(jìn)行治理的概率P==．后期投入?yún)^(qū)域X～B．后期投入費(fèi)用ξ=20X（萬元）．利用P（ξ=20k）=P（X=k）=即可得出．【解答】解：（1）估計(jì)霧炮除塵有效的概率P=5×0.05+5×0.04+5×0.03+5×0.01=．（2）由（1）可得：在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的3臺(tái)霧炮降塵率都低于18%，則需對(duì)該區(qū)域后期追加投入20萬元繼續(xù)進(jìn)行治理，因此在一個(gè)區(qū)域內(nèi)需對(duì)該區(qū)域后期追加投入20萬元繼續(xù)進(jìn)行治理的概率P==．∴后期投入?yún)^(qū)域X～B．后期投入費(fèi)用ξ=20X（萬元）．P（ξ=20k）=P（X=k）=．ξ的分布列為：ξ0204060PEξ=0++40×+60×=7.5（萬元）．20.已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：．參考答案：（1）見解析；（2）①，②證明見解析．（1），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，①若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減．（2）①由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，沒有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，所以，得，所以的取值范圍為．②由，得，得，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，要證，只需證，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以只需證，因?yàn)椋灾恍枳C，即證，令，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以，即，所以得證．21.已知,其中.(Ⅰ)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(Ⅱ)若在上的最大值是,求的取值范圍.

參考答案：(Ⅰ)當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增減區(qū)間是,；當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增減區(qū)間是,；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增減區(qū)間是.

(Ⅱ)解析：(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?，令得，①?dāng)時(shí),,與的變化情況如下表000減增減所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,；

…………2分②當(dāng)時(shí),，，故的單調(diào)遞減區(qū)間是；

………4分③當(dāng)時(shí),，與的變化情況如下表000減增減所以的單調(diào)遞增減區(qū)間是,.

綜上,當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增減區(qū)間是,；當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增減區(qū)間是,；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增減區(qū)間是.

…6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知①當(dāng)時(shí),在的最大值是但,所以不合題意；

…9分②當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減，，可得在上的最大值為,符合題意.在上的最大值為0時(shí)