微培優(yōu)5三角形中的特殊線段問題2025三角形中的特殊線段主要是三角形中一邊的中線、角的平分線以及高線,在考查過程中主要涉及長度的計算、范圍的計算等.角度一三角形中的中線問題例1(2024·江蘇蘇州二模)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知(1)求角A;(2)若a=6,點M為△ABC的重心,且AM=2,求△ABC的面積.角度二三角形中的角平分線問題例2(1)(2023·全國甲,理16)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分線交BC于D,則AD=

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2角度三三角形中的高線問題例3(2023·新高考Ⅰ,17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.解

(1)(方法一)由題意知A+B=3C,∵A+B+C=π,∴2(sin

A-cos

A)=sin

A+cos

A.∴sin

A=3cos

A.(2)過點C作AB的垂線,垂足為點D,則CD為AB邊上的高.角度四三角形中其他線段的長度問題解

(1)∵(a+b+c)(a+b-c)=3,∴3=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab.針對訓練

在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

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(1)求角C的大小;(2)已知c=7,D是邊AB的中點,且CD⊥CB,求CD的長.解

(1)選條件①.由正弦定理,得b(a+b)=(c+a)(c-a),即a2+b2-c2=-ab.(2)(方法一)因為D是邊AB的中點,所以S△ADC=S△BCD.(方法二)因為D是邊AB的中點,所以S△ADC=S△BCD.因為∠ADC+∠BDC=π,所以cos∠ADC+cos∠BDC=0.由余弦定理得a2=BD2+CD2-2BD·CDcos∠BDC,b2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC.因為D是邊AB的中點,所以AD=BD,(方法四)以C為坐標原點,CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則C(0,0),B(a,0).設(shè)D(0,d),因為D是邊AB的中點,所以A(-a,2d).(2)在△ABC中,由點D在邊AB上,CD為∠ACB的平分線,得S△ABC=S△ACD+S△BCD,3.(2024·陜西西安三模)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知b(1+cosA)=c(1-cos2B).(1)證明:b=c;(2)若BC邊上的高AD為2,AC邊上的中線BE為2,求△ABC的面積.(1)證明

因為b(1+cos

A)=c(1-cos

2B),則b(1+cos

A)=c·2sin2B.由正弦定理得,sin

B(1+cos

A)=sin

C·2sin2B.因為B∈(0,π),sin

B≠0,所以1+cos

A=2sin

Csin

B.又因為B+C+A=π,所以1-cos(B+C)=2sin

Csin

B,所以1-cos

Bcos

C+sin

Csin

B=2sin

Csin

B,所以cos(B-C)=1.因為B-C∈(-π,π),所以B-C=0,所以B=C,即b=c.4.(2024·天津濱海新區(qū)二模)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,且2b=c+2acosC.(1)求A;解

(1)由正弦定理,得2sin

B=sin

C+2sin

Acos

C.因為sin

B=sin(A+C)=si