微專題2數(shù)列的綜合問題大題考法1

PART01第一部分大題考法1等差(比)數(shù)列的判定與證明已知在數(shù)列{an}中，a2＝3，其前n項(xiàng)和Sn滿足n

an＋n＝2Sn(n∈N*).(1)求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；【解】證明：因?yàn)閚an＋n＝2Sn(n∈N*)，所以2Sn＋1＝(n＋1)an＋1＋n＋1，兩式相減可得2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋1，即nan－1＝(n－1)an＋1，由nan－1＝(n－1)an＋1，可得(n＋1)an＋1－1＝nan＋2，兩式相減可得(n＋1)an＋1－nan＝nan＋2－(n－1)an＋1，化簡可得2nan＋1＝n(an＋2＋an)，所以2an＋1＝an＋2＋an(n∈N*),所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(2)若bn＝2ancos(n2π)，求數(shù)列{bn}的前20項(xiàng)和T20.【解】

由nan＋n＝2Sn(n∈N*)，可得a1＋1＝2S1＝2a1，解得a1＝1，由(1)知，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，因?yàn)閍2＝3，所以d＝a2－a1＝2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以bn＝22n－1cos(n2π)，(2)設(shè)bn＝(－1)nlog4(an＋1)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.大題考法2PART02第二部分大題考法2數(shù)列求和

(2023·全國甲卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝1，2Sn＝nan.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；【解】當(dāng)n＝1時，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0.當(dāng)n≥2時，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1，兩式相減得2an＝nan－(n－1)an－1，即(n－1)an－1＝(n－2)an，當(dāng)n＝2時，可得a1＝0，(1)運(yùn)用錯位相減法求和的關(guān)鍵(2)裂項(xiàng)相消法求和需過的“三關(guān)”(3)分組(并項(xiàng))法求和的要求有些數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的奇偶性、周期性、三角函數(shù)值有關(guān)，可以將原數(shù)列的通項(xiàng)公式分組(并項(xiàng))轉(zhuǎn)化為若干個簡單數(shù)列公式的和差，整體轉(zhuǎn)化后求和．(2)若bn＝log3(an－1)，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.解：因?yàn)閎n＝log33n＝n，所以anbn＝n(3n＋1).令數(shù)列{n·3n}的前n項(xiàng)和為Pn，則Pn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Pn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1，②①－②得大題考法3PART03第三部分(2)記bn＝nan，若在數(shù)列{bn}中，bn≤b4(n∈N*)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．求解有關(guān)數(shù)列綜合問題的策略(1)以數(shù)列為背景的不等式恒成立問題，多與數(shù)列求和相聯(lián)系，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解．(2)以數(shù)列為背景的不等式證明問題，多與數(shù)列求和有關(guān)，常利用放縮法或單調(diào)性法證明．(3)判斷數(shù)列問題的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比