第20講奇數(shù)和偶數(shù)一、第20講奇數(shù)和偶數(shù)（練習(xí)題部分）1.有一個(gè)班的學(xué)生，每人都參加了數(shù)學(xué)、語文或外語三個(gè)興趣小組中的一個(gè).參加數(shù)學(xué)興趣小組的學(xué)生比參加語文興趣小組的學(xué)生多3人.參加語文興趣小組的學(xué)生又比參加外語興趣小組的學(xué)生多5人.參加外語興趣小組的人數(shù)是偶數(shù).這個(gè)班的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?

2.求正整數(shù)中前10個(gè)奇數(shù)的和.一般地，求正整數(shù)中前n個(gè)奇數(shù)的和.

3.如圖是一條淺水河的平面圖.圖中曲線為河岸.人在河中走，下水時(shí)脫鞋，上岸時(shí)穿鞋.某人從水中的A點(diǎn)走到某個(gè)點(diǎn)B時(shí)，他脫鞋與穿鞋的次數(shù)相同.問B點(diǎn)是在水中還是岸上?4.七個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是399.求這七個(gè)數(shù).

5.三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的乘積是一個(gè)六位數(shù)8****2，求這三個(gè)偶數(shù).

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6.兩人通一次電話，就認(rèn)為這兩個(gè)人都打了一次電話.問全世界打電話的次數(shù)是奇數(shù)的人，人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?

7.A、B、C、D、E五盞燈，開始時(shí)都是關(guān)的.小明順次拉動(dòng)這五盞燈的開關(guān)，即從A到E拉動(dòng)開關(guān)，再從A到E拉動(dòng)開關(guān)……問小明拉動(dòng)189次開關(guān)后，有哪幾盞燈是開的?

8.桌上放著四個(gè)杯子，杯口都朝上.每次翻動(dòng)三個(gè)杯子.能否翻動(dòng)若干次后，將杯口全部朝下?9.能否在下式的每個(gè)方框中，填入加號(hào)或減號(hào)，使等式成立?10.能否找到自然數(shù)a和b，使a2=2002+b2.11.有9只杯子，杯口全朝上.每次翻動(dòng)其中的四只杯子.能否經(jīng)過若干次這樣的翻動(dòng)，使杯口全部朝下?12.如圖是一所房子的示意圖.數(shù)字表示房間號(hào)碼.每個(gè)房間與隔壁的房間有門相通.小胖要從一號(hào)房間開始不重復(fù)地走遍這九間房間，最后回到一號(hào)房間.他能做到嗎?12345678913.平面上有9個(gè)點(diǎn)，每三點(diǎn)都不在同一條直線上.想從每一點(diǎn)都正好引出三條直線和其余點(diǎn)中的任意三個(gè)相連：這種想法能實(shí)現(xiàn)嗎?

14.中國象棋盤上有一只馬，跳了若干步后正好回到原來的位置.問這只馬所跳的步數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?為什么?

15.已知a、b、c中有一個(gè)是2001，一個(gè)是2002，一個(gè)是2003.試證明：(a+1)(b+2)和(c+3)的乘積一定是偶數(shù).

答案解析部分一、第20講奇數(shù)和偶數(shù)（練習(xí)題部分）1.【答案】解：∵參加外語興趣小組的人數(shù)是偶數(shù)，

則設(shè)參加外語興趣小組的人數(shù)是2n，

∵參加語文興趣小組的學(xué)生又比參加外語興趣小組的學(xué)生多5人，

∴參加語文興趣小組的學(xué)生人數(shù)為2n+5，

∵參加數(shù)學(xué)興趣小組的學(xué)生比參加語文興趣小組的學(xué)生多3人，

∴參加數(shù)學(xué)興趣小組的學(xué)生人數(shù)為2n+5+3，

∴全班總?cè)藬?shù)為：2n+2n+5+2n+5+3=6n+13，

∵6n偶數(shù)，13是奇數(shù)，

∴6n+13是奇數(shù)，

即這個(gè)班的人數(shù)是奇數(shù).

【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)參加外語興趣小組的人數(shù)是2n，從而得出參加語文、數(shù)學(xué)興趣小組的學(xué)生人數(shù)為2n+5，2n+5+3，列式，計(jì)算即可得出全班人數(shù).2.【答案】解：∵正整數(shù)中前10個(gè)奇數(shù)為1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，

∴正整數(shù)中前10個(gè)奇數(shù)和為：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19，

=（1+19）+（3+17）+（5+15）+（7+13）+（9+11），

=20×5，

=100；

又∵正整數(shù)中前10個(gè)奇數(shù)為1、3、5、7、9……2n-1，

∴正整數(shù)中前n個(gè)奇數(shù)的和為：1+3+5+……+2n-1，

=（1+2n-1）+（3+2n-3）+……+（n-1+n+1）,

=2n×

=n2.

【解析】【分析】根據(jù)條件列式，找出規(guī)律，計(jì)算即可得出答案.3.【答案】解：∵人在河中走，下水時(shí)脫鞋，上岸時(shí)穿鞋，

∴從水中到岸上再到水中，穿鞋與脫鞋次數(shù)和為2的倍數(shù)，

即穿鞋與脫鞋次數(shù)相加為偶數(shù)時(shí)，某人一定在水中；穿鞋與脫鞋次數(shù)相加為奇數(shù)時(shí)，某人一定在岸上；

∵某人從水中的A點(diǎn)走到某個(gè)點(diǎn)B時(shí)，他脫鞋與穿鞋的次數(shù)相同，

即在B點(diǎn)時(shí)他脫鞋與穿鞋次數(shù)和為偶數(shù)，

∴B點(diǎn)在水中.

【解析】【分析】根據(jù)題意可知從水中到岸上再到水中，穿鞋與脫鞋次數(shù)和為2的倍數(shù)，即穿鞋與脫鞋次數(shù)相加為偶數(shù)時(shí)，某人一定在水中；穿鞋與脫鞋次數(shù)相加為奇數(shù)時(shí)，某人一定在岸上；由于脫鞋與穿鞋的次數(shù)相同，可知在B點(diǎn)時(shí)他脫鞋與穿鞋次數(shù)和為偶數(shù)，故在水中.4.【答案】解：∵七個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是399，

∴399÷7=57，

∴中間那個(gè)奇數(shù)為57，

∴七個(gè)連續(xù)奇數(shù)依次為：51，53，55，57，59，61，63.

答：七個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別為：51，53，55，57，59，61，63.

【解析】【分析】根據(jù)題意總和除以7可求得中間那個(gè)奇數(shù)，根據(jù)奇數(shù)的性質(zhì)可求得其余奇數(shù).5.【答案】解：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)相乘，個(gè)位是2的只有4×6×8，

∵積大于800000，

90×90×90＝729000＜800000，

100×100×100＝1000000＞800000

∴這三個(gè)數(shù)大于90，小于100，

∴滿足條件的三個(gè)連續(xù)偶數(shù)是：94，96，98.

【解析】【分析】根據(jù)偶數(shù)性質(zhì)可得個(gè)位是2的只有4×6×8，又由于積大于800000，可得這三個(gè)數(shù)大于90，小于100，從而得出答案.6.【答案】解：依題可得：通1次電話的人數(shù)是2人，

∴通n（n自然數(shù)）次電話的次數(shù)是2n人，n是自然數(shù)時(shí)，2n是偶數(shù)，

即通話總數(shù)為偶數(shù)，

∴全世界打過奇數(shù)次電話的人數(shù)是偶數(shù)．

【解析】【分析】依題可得：通1次電話的人數(shù)是2人，由此可得通話總數(shù)為偶數(shù)，根據(jù)奇偶數(shù)性質(zhì)：奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)；奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；由此即可得出答案.7.【答案】解：一盞燈的開關(guān)被拉動(dòng)奇數(shù)次后，改變狀態(tài)，即開的變成關(guān)的，關(guān)的變成開的；一盞燈的開關(guān)被拉動(dòng)偶數(shù)次后，不改變狀態(tài)，即開的仍為開的，關(guān)的仍為關(guān)的.因此本題的關(guān)鍵是計(jì)算各盞燈被拉次數(shù)的奇偶性.

∵189=5×37+4，

∴A、B、C、D四盞燈的開關(guān)各被拉動(dòng)了38次，而E一盞燈的開關(guān)被拉動(dòng)了37次；

∴A、B、C、D四盞燈不改變狀態(tài)，E一盞燈改變狀態(tài)；

∵開始時(shí)A、B、C、D、E五盞燈是關(guān)著的，

∴最后E燈是開著的.

【解析】【分析】一盞燈的開關(guān)被拉動(dòng)奇數(shù)次后，改變狀態(tài)，即開的變成關(guān)的，關(guān)的變成開的.一盞燈的開關(guān)被拉動(dòng)偶數(shù)次后，不改變狀態(tài)，即開的仍為開的，關(guān)的仍為關(guān)的；因此本題的關(guān)鍵是計(jì)算各盞燈被拉次數(shù)的奇偶性.8.【答案】解：將杯口向上的杯子記為0，杯口向下的杯子記為1；∵由于四個(gè)杯子全朝上，

∴這四個(gè)數(shù)的和為0，是個(gè)偶數(shù)；又∵一個(gè)杯子每翻動(dòng)一次，所記的數(shù)由0變?yōu)?或由1變?yōu)?，改變了奇偶性；每一次翻轉(zhuǎn)三個(gè)杯子，因此這四個(gè)數(shù)的和的奇偶性改變了三次，從而和的奇偶性仍與原來相同；

∴不論翻動(dòng)多少次，這四個(gè)數(shù)的和與原來一樣，仍為偶數(shù)；當(dāng)杯子全部朝下時(shí)，這四個(gè)數(shù)的和為4，是偶數(shù).

∴經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，能使所有的杯子口都朝下.

【解析】【分析】將杯口向上的杯子記為0，杯口向下的杯子記為1；根據(jù)題意一個(gè)杯子每翻動(dòng)一次，所記的數(shù)由0變?yōu)?或由1變?yōu)?，改變了奇偶性；每一次翻轉(zhuǎn)四個(gè)杯子，因此這四個(gè)數(shù)的和的奇偶性改變了三次，從而和的奇偶性仍與原來相同；起初四個(gè)杯子全朝上，和為0，是個(gè)偶數(shù)；當(dāng)杯子全部朝下時(shí)，和為4，是奇數(shù)；故能.9.【答案】解：不能，理由如下：

首先由奇偶數(shù)性質(zhì)，在這個(gè)式子當(dāng)中，我們可以知道，左邊有5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，

∴5個(gè)奇數(shù)的和(差）是奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)的和(差)是偶數(shù)，

∴奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)(奇數(shù)－偶數(shù)=奇數(shù)），

又∵右邊10是偶數(shù)，

∴不管左邊怎么相加減，都不能等于(10）偶數(shù).【解析】【分析】在這個(gè)式子當(dāng)中，我們可以知道，左邊有5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，由奇偶數(shù)性質(zhì)可知5個(gè)奇數(shù)的和(差）是奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)的和(差)是偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)(奇數(shù)－偶數(shù)=奇數(shù)），而右邊又是偶數(shù)，個(gè)不能.10.【答案】解：不能，理由如下：

∵a2=2002+b2，

∴a2-b2=2002，

即（a+b）（a-b）=2×1001．

①如果a、b同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，那么（a+b）×（a-b）必定是偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；

②如果a、b為一奇一偶，那么（a+b）×（a-b）必定是奇數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)．

∴上述兩種情況均與等式右邊的偶數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)相矛盾．

答：找不到自然數(shù)a和b，使a2=2002+b2．【解析】【分析】根據(jù)題意將原式變形為：（a+b）（a-b）=2×1001，再分情況討論：

①如果a、b同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，則左邊必定是偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；

②如果a、b為一奇一偶，則左邊必定是奇數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)；而右邊是偶數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，所以奇數(shù)不可能等于偶數(shù)，故不可能.11.【答案】解：將杯口向上的杯子記為0，杯口向下的杯子記為1；∵由于9個(gè)杯子全朝上，

∴這九個(gè)數(shù)的和為0，是個(gè)偶數(shù)；又∵一個(gè)杯子每翻動(dòng)一次，所記的數(shù)由0變?yōu)?或由1變?yōu)?，改變了奇偶性；每一次翻轉(zhuǎn)四個(gè)杯子，因此這九個(gè)數(shù)的和的奇偶性改變了四次，從而和的奇偶性仍與原來相同；

∴不論翻動(dòng)多少次，這四個(gè)數(shù)的和與原來一樣，仍為偶數(shù)；當(dāng)杯子全部朝下時(shí)，這九個(gè)數(shù)的和為9，是奇數(shù).

∴不論經(jīng)過多少次翻轉(zhuǎn)，都不可能使所有的杯子口都朝下.

【解析】【分析】將杯口向上的杯子記為0，杯口向下的杯子記為1；根據(jù)題意一個(gè)杯子每翻動(dòng)一次，所記的數(shù)由0變?yōu)?或由1變?yōu)?，改變了奇偶性；每一次翻轉(zhuǎn)四個(gè)杯子，因此這九個(gè)數(shù)的和的奇偶性改變了四次，從而和的奇偶性仍與原來相同；起初九個(gè)杯子全朝上，和為0，是個(gè)偶數(shù)；當(dāng)杯子全部朝下時(shí)，和為9，是奇數(shù)；故不可能.12.【答案】解：他不能做到；

∵小胖從一號(hào)房間出發(fā)，走法必為：奇→偶→奇→偶→……

∴奇數(shù)數(shù)字房間的數(shù)目與偶數(shù)數(shù)字房間的數(shù)目相等或者相差一才可以走遍每個(gè)房間；

又∵圖中奇數(shù)數(shù)字房間5間，偶數(shù)數(shù)字房間4間，相差1間，

∴能走遍每個(gè)房間，但是不能走遍每一個(gè)房間而不重復(fù)的回到一號(hào)房間.

【解析】【分析】說明與整數(shù)可以分為奇數(shù)與偶數(shù)兩類一樣，分成兩類.幾個(gè)連續(xù)的整數(shù)，必然是奇偶相間，而且奇數(shù)個(gè)數(shù)與偶數(shù)個(gè)數(shù)相差至多為一個(gè).因此，從本質(zhì)上說，我們還是利用奇偶性來解決問題的。13.【答案】解：這種想法不能實(shí)現(xiàn)，理由如下：

假設(shè)這種想法能實(shí)現(xiàn)，

∵每個(gè)點(diǎn)都能引出三條線，

∴9個(gè)點(diǎn)能引出的直線為：9×3=27（條）；

又∵每條線其實(shí)連接兩個(gè)點(diǎn)，即重復(fù)計(jì)算了一次，

∴如果能實(shí)現(xiàn)就會(huì)有=13.5（條），

∴這是不可能的.

【解析】【分析】假設(shè)這種想法能實(shí)現(xiàn)，根據(jù)題意可得出9個(gè)點(diǎn)能引出的直線有27條；但是每條線其實(shí)連接兩個(gè)點(diǎn)，即重復(fù)計(jì)算了一次，故有條直線，但是這是不可能的.14.【答案】解：半張中國象棋盤，共有5×9=45個(gè)交匯點(diǎn)，將棋盤上的各點(diǎn)按黑白相間的方式染上黑白二色，

假如四個(gè)角的點(diǎn)都是黑色，共有23個(gè)黑色，22個(gè)白色，

由“馬步”的行走規(guī)則，當(dāng)“馬”從黑點(diǎn)出發(fā)，下一步只能跳到白點(diǎn)，以后依次是黑、白、黑、白……，要回到原出發(fā)點(diǎn)（黑點(diǎn)），經(jīng)過黑白點(diǎn)是承兌出現(xiàn)的，也就是說跳的步數(shù)是2的倍數(shù)，

∴這只馬所跳的步數(shù)是偶數(shù).

【解析】【分析】根據(jù)中國象棋的特征可知：半張中國象棋盤，共有5×9=45個(gè)交匯點(diǎn)，將棋盤上的各點(diǎn)按黑白相間的方式染上黑白二色，假如四個(gè)角的點(diǎn)都是黑色，則共有23個(gè)黑色，22個(gè)白色，根據(jù)“馬步”的行走規(guī)則，當(dāng)“馬”從黑點(diǎn)出發(fā)，下一步只能跳到白點(diǎn)，以后依次是黑、白、黑、白……，可知跳的步數(shù)是2的倍數(shù)，即為偶數(shù).15.【答案】證明：①當(dāng)a=2001時(shí)，

∴a+1=2001+1=2002，是偶數(shù)；

∴(a+1)(b+2)(c+3)的乘積是偶數(shù)；

②當(dāng)a=2002時(shí)，

∴a+1=2002+1=2003，是奇數(shù)；

但是b、c分別為2001，2003，為奇數(shù)，

∴奇數(shù)+3一定為偶數(shù)，

∴(a+