2024-2025學年高二數(shù)學上學期第三次月考卷

(新高考地區(qū)專用)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：立體幾何21.3%+直線與圓24%+圓錐曲線34%+等差數(shù)歹IJ20.7%

5.難度系數(shù):0.65o

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.過點(2刀，且法向量為玩=(2,3)的直線方程為()

A.2x+3y-7=0B.2x+3y+l=0

C.3x—2y—8=0D.3x—2y—4=0

【答案】A

【詳解】由題意得，因為直線過點(21)，

所以將(2,1)代入各選項可得，

B,C選項直線不過(2,1),故排除B,C,

77

對于選項A,取直線上兩點磯0,§),F(-,0),

—77

可得直線2x+3y-7=0的一個方向向量為E尸=弓,,

由于EF-m=2x—+3x(—y)=0,所以EFJ_in，

故應是直線2x+3y-7=0的法向量，故正確

4

對于選項D,取直線上兩點〃(0,-2),N(§,0),

——?4

可得直線3x-2y-4=0的一個法向量為MN=(1,2),

----------?a.zo__

由于A/7V?玩=2x—+3x2=—wO,MV與而不垂直，

33

所以玩不是直線3x-2y-4=0的法向量，故錯誤.

故選：A.

2.在△NBC中，點2（-2,0）,點C（2,0）,點/滿足里=行，則ZU3C面積的最大值為（）

MC|

A.472B.872C.4#)D.876

【答案】B

【詳解】設/（"）,則恒同=+2『+/,|/c|=-25+',

由ufl:行得J(x+2y+y2

II

化簡得（X-6p+y2=32,

故點A的軌跡為以（6,0）為圓心，4a為半徑的圓（除去與x軸的兩個交點）,

C(6,0)

故點A到直線BC的距離最大值為4及，

故AABC面積的最大值為||SC|-4V2=1X4X4V2=8V2.

故選：B

3.如圖，在直三棱柱/8C-中，4c=2,BC=3,CC1=4,N4c8=90。，則與4c所成的角

的余弦值為（）

3拒V82「V305、84

Db.C.U.

10----------------------10-----------------------------25---------------------------25

【答案】D

【詳解】以C為坐標原點，C4c3,CG所在直線分別為x/,z軸，建立空間直角坐標系,

則C（0,0,0）,4（2,0,4）,3（0,3,0）,G（0,0,4）,

則南=（0,-3,4）,京=（2,0,4）,

則BCX與4c所成的角的余弦值為

故選：D

4.現(xiàn)有12個螺母，它們的質量從大到小依次構成等差數(shù)列，質量之和最大的3個螺母的質量是質量之和

最小的3個螺母的質量的4倍，且這12個螺母的總質量為45克，要從這12個螺母中隨機挑選〃個螺母組

成一套螺母，且這套螺母的質量和不低于25克，貝卜的最小值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【詳解】設12個螺母的質量從大到小構成的等差數(shù)列為{%},公差為d,d<0,10W12,〃GN*,

由題意可得為+出+。3=4（%o+%i+%2），%+電+。3+…+。10+。11+%2=45,

1Q1

即3%+3d=4x（3%+30d）,12%+66d=45,解得%=三,"=一；

」13〃（〃一1）

貝2=叫+-^—

,d——nH--------【一5廠-4

22

2?。7

n

^Sn=~4>25,又lV〃V12/wN*,解得5W〃412,〃eN*.

故選；C.

5.已知點工。,5）,8（-2,10）,直線/:y=x+l,在直線/上找一點P使得|尸目+|心|最小，則這個最小值為

（）

A.V34B.8C.9D.10

【答案】D

n-5,

-------=—1

m-\—m=4

【詳解】令A關于直線/對稱點為4(機,〃)，則U1,可得

n+5m+1?n=2

----=----+1

[22

由|PA|=|PA'\,則忸/|+\PB\=1PHi+\PB\>\A'B\=7(4+2)2+(2-10)2=10,

當且僅當瓦尸，/共線時取等號，故|川+|尸目最小值為10.

6.已知動點p在橢圓(+春=1上，若點4(3,0),點/滿足=且兩.而=,則1PMi的最小值為

()

A.3百B.3C.242D.汨

【答案】C

【詳解】橢圓土+二=1中，a=6,b=3A/3,C=V36-27=3.

如圖，由麗.而=0得PM1AM,

\PM\=^\PA^-\AMI2=7lPA|2-1,

二當|尸/|取最小值時，|尸最小.

由題意得，點/為橢圓右焦點，當點尸為橢圓的右頂點時，1尸/ms=6-3=3,

\PM\="-1=20.

IImin

故選：C.

22

7.雙曲線C：訝-與=1(。＞0)＞0)的左、右焦點為片，F(xiàn)2,直線/過點月且平行于C的一條漸近線，/

交C于點P,若西?西=0,則C的離心率為()

A.V3B.2C.V5D.3

【答案】C

【詳解】設P(x,y),由對稱性可知P點在x軸上方或者下方不影響結果，不妨令尸點在x軸下方，如圖：

設％(―c,0)、F(C,0),2+b2=c2,雙曲線其中一條漸近線為y=

2aa

直線學的方程為了=：(x-c),①

由尸片?尸巴=0,得尸耳，尸與，即直線尸片的斜率為一石，直線尸片方程為了=-g(x+c),②

22

由點P(x,y)在雙曲線上，得三_斗=1,③

ab

聯(lián)立①③，得聯(lián)立①②，得彳=與二4、。=匕＜

2ca+bc

A2_2

貝=^a2+a2+b2=2b2_2a29因止匕〃=4/,

2cc

所以離心率e=￡

a

故選：c

8.已知拋物線C:/=4y的焦點為R該拋物線C與直線/：產履+1相交于“，N兩點，則|〃F|+3]NF|

的最小值為()

A.2+2石B.2+473

C.4+2行D.4+473

【答案】C

【詳解】根據(jù)題意判斷可得直線/過該拋物線的焦點廠，

1121111

所以麗^兩=%=1,(聯(lián)立直線與拋物線,應用韋達定理及時+網(wǎng)即可證明)，

,?,?I?1113pVF\MF\

所以叱+3NF=Z（l"F+3NF）,一,+.~=4+J—>4+27r3,

n1?1?U11|A^Fr|J\MF\[明

當且僅當|MF|=61NF|=g+1時取

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知等差數(shù)列｛對｝的前〃項和為S“，無論首項4和公差d如何變化，又始終是一個定值，則下列各數(shù)也

為定值的是（）

A.。9B.%0

C.〃7+。11+〃12D.%+〃]4+。15

【答案】BCD

【詳解】因為數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，則九=19（。；頷）=19%。,

若&始終是一個定值，所以的。是定值，故B正確；

又因為%+%2=40+。8+。12=3%0，%+%5=%0+%+。15=340，

所以。7+%1+%2與/+。14+45也為定值，所以C,D正確;

沒有足夠條件判斷A,故A錯誤;

故選：BCD.

10.在邊長為2的正方體/BCD-/'B'C'。'中，M為8c邊的中點，下列結論正確的有（）

A.4攸與DF所成角的余弦值為巫

10

B.過A,M,。三點的正方體/5CD-48'C'D'的截面面積為3

C.當P在線段HC上運動時，|尸叫+|尸河|的最小值為3

D.若。為正方體表面8CCR上的一個動點，E,尸分別為/C'的三等分點，則|。回+|。尸|的最小值為

2^/2

【答案】AC

【詳解】以H為坐標原點，A'D',AB',//所在直線分別為x,乃z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則4(0,0,2),M[1,2,2),。'(2,0,0),夕(0,2,0),C'(2,2,0),

~AM-lyB'Vio

.?.孤=(1,2,0),W=(-2,2,0),cosAM,D'B'=?-?AM與D'B'所成角的余弦值為

|2w|.|W|IO，

叵,故A正確；

10

取CC的中點N,連接MV,D'N,AD',則A/N〃8C，〃4T,

故梯形MV。/為過點A,M,的該正方體的截面，???MN=&，AD'=2A/2，AM=D'N=75,

二.梯形施VDN的高為,乎=孚，.?.梯形MA?，/的面積為gx（近+20卜竽=|,故B錯誤；

由對稱性可知，陷卜|尸。'|,故附［+|尸網(wǎng)=|尸必+|尸網(wǎng),

又由于H,B,C,2/四點共面，故|尸閉+「叫=|尸。|+|府以。閭=3,當尸為WC與DM的交點時等

號成立，故C正確，

設點尸關于平面3CC%'的對稱點為尸‘，連接所‘，當即,與平面BCC,g的交點為。時，

|0同+|0同=|。司+|少［最小，過點E作的平行線，過點尸作忿的平行線，兩者交于點G,此時

EG=-AD'=G尸=2,EF'=Jf—+2^=>故D錯誤.

33f3）3

故選:AC.

11.已知點尸（%,%）,直線/：與x+%y=l及圓Ud+jZ=1,則下列結論正確的是（）

A.若點P在C上，貝。/與C相切

B.若點P在圓一+/=4上，貝V被圓C截得的弦長為心

2

C.若點尸在圓。外，過點尸作圓。的切線，則/為過兩切點的直線

D.若點P在圓C內，過點P的直線與圓C交于點M,N,則圓C在處的切線的交點在/上

【答案】ACD

^==1

【詳解】對于A,點P在C上，則x：+y：=l,圓C的圓心（0,0）到/的距離"=

故/與C相切，A正確;

對于B,點P在圓，+產=4上，則x；+y；=4,圓C的圓心（0,0）到/的距離:

1

5,所以/被圓C截得的弦長為2=6，B錯誤;

對于C,設兩切點分別為工（西,必）,8（%，外），由A選項分析可知:

圓C在點43處的切線方程分別為國》+外了=l,x2x+y2y=1,

因為點尸在兩切線上，所以國吃=1,%/+%為=1,

所以點42都在直線X（）X+JV=1上，C正確；

對于D,由選項C知，設圓C在處的切線的交點為（X。',％）,

則MV的方程為x（）'x+為A=l,由點尸在該直線上，所以=1,

所以點（%’,為’）在直線xOx+%y=l上，D正確.

故選：ACD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.數(shù)列｛/｝的前"項和記為S,,若即，〃eN+,則數(shù)列｛?！埃耐椆綖?=,若

數(shù)列也｝.滿足”=-^―,則數(shù)列上｝的前〃項和為.

anan+\

n

【答案】〃+1而包

【詳解】⑴由S"丁得2—7〃，當〃時，20*,所以S~,則%=2,

當〃22時，2S〃=/+3〃①，2S〃_i=(〃-1)2+3(〃一1)②，由①-②得2%=2〃+2,得%=〃+1,

當〃=1時，％=2適合上式，故?！?"+1.

71111

(2)b—-----=-----------=----------

〃anan+\(〃+1)(〃+2)〃+1〃+2

1

所以北=4+4+4+…+4

〃+2

11nnn

=T-——=所以數(shù)列｛%｝的前〃項和為彳E.故答案為：?+1：T—

13.如圖，已知正三棱錐尸-48。的側棱長為2024,過其底面中心O作動平面a,交線段PC于點S,交

PA,尸8的延長線于N兩點.則上+』j+3=____________.

PSPMPN

3

【答案】

2024

【詳解】依題意，設I尸閭=X,|尸N|=y,ps|=z,則秒=倒.萬d麗=畫.而，卮=四屈,

Xyz

3x3y3z3x3y3z

悶=回卜困=2024,所以竿+竽+竽=1,即L3L募,

1111113x3y3zxyz2024

即表+++盛=嘉.故答案為：募

14.已知橢圓C的左、右焦點分別為片，F(xiàn)”上頂點為2,直線與C相交于另一點A.當cos/片/3最小

時，C的離心率為.

【答案】^/|>/3

22

【詳解】設橢圓方程為4+看=1（。>6>0）,其焦距為2c,由題意可知忸刃=忸￡|=。；

設卜工|=x,則Xm=2"x,\AB\=

|皿「+座「-阿「

故cosN片45=

2MM2(2q-X)(X+Q)

x*2-ax+2a2

—x+cix+2a2

當無時，■-0-2/取最小值一苫/，此時cosNG/B取最小值

2I2）449

則此時在與中，耳卜費,|閭=]7

4/4M4貝UcosN片/凡=cosN片Z8=J-J—_L^J-

2|淚|典|9,

作「+⑶〔叱廠「

即⑴⑴-----=工，整理得力=3°2,故橢圓離心率e=￡=電，故答案為：蟲

2x型x@9。33

22

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

如圖所示：多面體48CDE尸中，四邊形4S。為菱形，四邊形都斯為直角梯形，且.AFUBE,4F_L平面

ABCD,AB=BE=2AF=2.

(1)證明：3。/平面/CF；

(2)若直線DA與平面ACF所成的角為60。,求平面ACF與平面CEF所成角的正弦值.

【詳解】(1)因為/尸，平面48。，BOu平面48。，所以尸；

底面為菱形，所以4C1AD；

又因為/Cc4F=/,4。,4尸＜=平面/3,所以507,平面/C77.......................................................5分

(2)如圖：設/CnAD=O,取CF的中點連接0M,則。朋7//尸

,所以0M_L平面4BCD.

故可以以。為原點，建立如圖空間直角坐標系.

因為/D/C為直線與平面4CF所成的角，所以/D/C=60。.

又AB=BE=2AF=2,

所以。（0,0,0）,/（O,-l,O）,C（0,1,0）,￡（-V3,0,2）,F（0,-l,l）,

則同=（0,2,-1）,屋=卜6,1,1）.

設平面CEF的法向量為元=(x,y,z),

JHIFCJ(x,y,z)-(O,2,-l)=O(2y-z=0

n_LFE(x,y,z)1,1)=0\/3x+y+z=0

取y=l,貝°x=g,z=2,貝q力=(6,1,2),.......................................................9分

又歷=(收0,0)為平面NCR的法向量，設平面NCF與平面CE尸所成的角為8,

心(礪吹扁二Sr當則儂。邛，

sin。=巫，即平面ACF與平面CEF所成角的正弦值為叵........................................................13分

44

16.(15分)

已知圓C:x2+y1-6x-+16=0.

(1)求過點尸(1,0)且與圓心距離為2的直線方程；

⑵設直線x->-2=0與圓的兩個交點分別為1,B,M為劣弧上一動點，求面積的最大值;

⑶判斷直線x7+7〃=0(機e[-4,-2])與圓的位置關系.

【詳解】(1)先將圓。：一+/一6%—8>+16=0化為標準方程(x-3)2+(y-4)2=9,

則圓心C(3,4),半徑，=3.

設直線方程為V=依尤7),即筋-，-左=。.

|Ax+By+C|

根據(jù)點(%,%)到直線Ax+By+C=0的距離公式d=00

G2+B二

13左一4—左］

這里圓心C(3,4)到直線區(qū)-y-k=。的距離1==2

荷+1

12^-410I----

化簡/2'=2,|2』-4|=2"2+1.

7k+1

2

兩邊平方得(2左-4)=4(左2+1),4后2—16k+16=4左2+4.

33

解得人“所以直線方程為、手1),即3--3=。............................4分

當直線斜率不存在時，直線方程為x=l,此時圓心到直線距離為3-1=2也滿足條

件5分

13-4-213-J2

(2)圓心C(3,4)到直線x_y_2=0的距離匕￥

JF+F2

根據(jù)弦長公式1=2而一小,弦48的長/=2-|=3JL

當Af到直線48距離最大時，面積最大,

此時〃到直線48的最大距離為r+d=3+逑.

2

所以面積的最大值S=』x3應x（3+逑）=皿2

10分

222

7I3-4+77?II1TI_1I

（3）圓心C（3,4）到直線x-y+加=0的距禺"=飛丁不L=

當加e[-4,-2]時，d=*的最大值為號=孚，最小值為|-2-1|_372

2

人,Im-11,「

令1=-k=3，貝1加=1_3正?

當1-30〈根W-2時，d<3,直線與圓相交.

當加=1-3a時，d=3,直線與圓相切.

當也時，〃>3直線與圓相離15

17.（15分）

已知｛4｝的前"項和是S,,且S"=%,%=2.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式;

nan+1,〃為奇數(shù)

（2）設“=<1,“為偶數(shù)求數(shù)列也｝的前2〃項和七.

【詳解】（1）由S.二〃4①得，當〃22時，—1）〃?、?

聯(lián)立①②得l）qn-\，所以有?！??！币?，因為％=2,所以%=2................................7分

（2）設數(shù)列抄〃｝的前2〃項中的奇數(shù)項之和為A,偶數(shù)項之和為8,

2〃+1,〃為奇數(shù),

由（）知“=<1

1，〃為偶數(shù).

+2）

貝U4=4+4+&+…+^2n-\=3+7+11+…+（4〃-1）=2二+〃，10分

1111

B=b+b+b-\--卜b2n=-------1--------1F???H；----------

2462x44x66x8-------2〃（2〃+2）

11n

1.1+1.1+1.1+…+

22446682n2〃+24（〃+1），

綜上：T2n=A+B=2幾2+〃H---------15分

4〃+4

18.（17分）

已知點N(6,0),點尸是圓M:(x+6)2+J?=16上任意一點，線段7W的垂直平分線4與半徑尸〃的交點

為0,記點。的軌跡是曲線少，設經(jīng)過點。。,0)的直線/與曲線少的交點為42.

⑴求曲線用的方程；

(2)求4mBi的取值范圍;

(3)己知點C(4,0),若直線/C與直線3c的斜率分別為左，質，求發(fā)+心的值.

【詳解】⑴連接。N,則|QV|=|0P|.設點。("),?.?圓/的圓心刈-后0),半徑為4,

:.\QM\+\QN\=\QM\+\QP\=4,\MN\=2AV4>，

.??點。的軌跡是以為焦點的橢圓，長軸長2a=4,焦距2c=2g,

________2

a=2,c=y/3,b=yja2-c2=1,.\曲線%的方程為1+歹之=1........................................................4分

(2)(法一)分以下兩種情況討論：

①若直線/與％軸重合，則口4口目二(。-=1=3；

6)若直線/不與％軸重合，設直線/的方程為％=加,+1,設點4(%1)1),8(%222)，

x=my+1

聯(lián)立Y消去工,得(加2+4)/+2但_3=0,

—+y=1、/

[4/

則A=4加之+12(加之+4)=16(加之+3)>0,

由韋達定理得M+%=-一2m^，%%=—-二3，

m+4m+4

由弦長公式可得

04\DB\=Vl+rn21J1|Vl+rn2|j|=(l+m2)|jj|==3——，

2'712Mm+4m+4

9939

?"+4"貝”°〈訴4“丁產-

3

綜上所述，?口目的取值范圍是-,3...........................................................io分

(2)(法二)分以下兩種情況討論：

①當直線/的斜率不存在時，?■-D(l,o),不妨設/-g.?.04口目=：；

②當直線/的斜率存在時，設直線/的方程為y=fc（x-l）,設點4（小,月）,8（久2，乃），

y=k^x-\）

聯(lián)立，消去V,得（4左2+1）%2—8左2%+4左2—4=o,則A>0,

—+y=1

I4/

8人24人04

由韋達定理得X]+x2=

由弦長公式可得

2

\DA\-\DB\=y/l+k|x]-1|V1+F|x2_1|=（1+左2）1_1）（%-1）|

4k2-48k23（"）39

+1

4左2+1-4左2+14左2+144（4〃+1）

1

4A:2+l>l,.-.0<對…九乙/9產

4（4廿+1）4444（4左2+1）

3

綜上所述，口葉口目的取值范圍是-,3.10分

（2）（法三）分以下兩種情況討論:

①若直線/與x軸重合，則口4口目=（"）（。+1）/一1=3

②若直線/不與x軸重合，設直線/的方程為x=%y+l,

設點/（國,必）,BN，%）,；。0,0）,:.DA=（xl-\,yx）,DB=（x2-\,y2）,

x=my+1

22

聯(lián)立x2，消去工,得（加2+4）/+2加y_3=o,貝I]A=4機2+]2（機2+4）=16（m+3）>0,

彳+）'=1

2m3

由韋達定理得M+%=-m2+4，^1^2m2+4

：.\D^\-\DB\=-DADB=一[（再一1）（%-1）+乂%]=一（陽1,〃沙2+必了2）=一（〃，+1）%%

3（m2+1）9.9939

—--------L=3----------.?/m29+4>4,貝nUi0n<—z—7?T-3?—-<3.

m2+4m2+4加+444m+4

3

綜上所述，|。4因同

的取值范圍是?3.10分

（3）（法一）分以下兩種情況討論:

①若直線/與x軸重合，點C都在％軸上，左+匕=0

②若直線/不與X軸重合，由（2）知，直線/的方程為X，犯+1,點4（%141）鳳％2,乃），

k+kr'?%_/%一4%+占%-4%

1

2再一4x2-4（再-4）（12-4）

-6m?6m

（7盯2+1）M-4“+（沖]+1）%-4%=2町％-3（乂+%）=刈2+4+加2+4=0

22

（俏“一3）（根%—3）myly2-3m（yl+y2）+93m

m2+4

綜上所述：kl+k2=Q.17分

(3)(法二)分以下兩種情況討論:

①若直線/與x軸垂直，直線/C與直線BC關于x軸對稱，kl+k2=0；

②若直線/不與x軸垂直，由(2)知，直線/的方程為y=k(x—1),

(%—4)%+(』一4)土

設點4（打,%）,8（>：2）2），^i+^2=777+7^7

Jy/fy(2—4)(工2-4)

上（國-1）02—4）+左（馬—1）（菁-4）2kxlx2-5k（xj+x2）+8A-

xtx2-4（%[+X2）+16xrx2-4（%j+X2）+16

4k2-458左②

2k-——5----------5K5——+8k

4人2+14K+18左3-84一4043+32左2+8%

=0綜上所述:

4k2-432k2，/36〃+12

—、--------——+16

4/+14K+1

左1+左2=°.17分

19.(17分)

如圖，以原點。為圓心，為半徑分別作兩個同心圓，設A為大圓上任一點，連接CM,與小圓

交于點3.過點42分別作x軸、'軸的垂線，兩垂線交于點設以Qx為始邊，0/為終邊的角為6,

點/的坐標是(xj),那么點A的橫坐標為x,點8的縱坐標為V.由于點45均在角6的終邊上，由三角

函數(shù)的定義有：x=\OA\cosQ-acos6,y=\0B\sin0sin6.當半徑0/繞點。旋轉一周時，就得到了橢圓

2222

Yv的軌跡，因此我們把[x=]尸aCO石S0。S參數(shù))(同。,2兀))叫做橢r圓/v*的參數(shù)方程.

22

⑴已知橢圓?上有不同的兩點仄F,試寫出橢圓的參數(shù)方程，并利用橢圓的參數(shù)方程求AOM

面積的最大值；(參考公式：若E(xq])、F(x2,y2),則%跖=.)

⑵如圖，已知在三棱錐P-48。中，PCVAB,AB=242>PC=1,S.PA+PB=4,CA-CB=2,試利

用橢圓的參數(shù)方程求銳二