專題07三角形的角的模型九種考法

目錄

解題知識必備.....................................................................1

壓軸題型講練....................................................................4

類型一、雙垂直模型..............................................................4

類型二、A字模型.................................................................5

類型三、雙內(nèi)角平分線模型........................................................6

類型四、內(nèi)外角平分線模型........................................................8

類型五、雙外角平分線模型.......................................................10

類型六、8字模型................................................................12

類型七、燕尾模型...............................................................14

類型八、折角模型...............................................................16

類型九、“高分”模型（角平分線和高相結(jié)合模型）.................................18

壓軸能力測評...................................................................19

X解題知識必備2

模型1雙垂直模型

【條件】NB=ND=NACE=90。.

【結(jié)論】zBAC=zDCE,zACB=zCED.

模型2A字模型

【結(jié)論】zBDE+zCED=180°+zA

模型3雙內(nèi)角平分線模型

【條件】BP、CP分另（］為/ABC、NACB的角平分線.

【結(jié)論】zP=90°+|zA.

模型4內(nèi)外角平分線模型

【條件】BP、CP分另（］為/ABC、ZACD的角平分線.

【結(jié)論】zA=izP.

模型5雙外角平分線模型

【條件】BP、CP分別為NEBC、ZBCD的角平分線.

【結(jié)論】zP=90°-1zA.

模型68字模型

【結(jié)論】NA+NB=ND+NE.

模型7燕尾模型

【結(jié)論】zBPC=zA+zB+zC.

模型8折角模型

'折角模型（角在內(nèi)部）

識別標志：將一個角對折:

模型結(jié)論：Z1+Z2=2ZA；

證明方法：外角的性質(zhì)

'折角模型（角在外部）

識別標志：將一個角對折:

模型結(jié)論：Z1-Z2=2ZA；

證明方法：外角的性質(zhì)

模型9"高分”模型（角平分線和高相結(jié)合模型）

:ZDAE=-(ZC-ZB}

【結(jié)論】2

x壓軸題型講練2

類型一、雙垂直模型

數(shù)為（）

C

【變式訓練1】.如圖，Rt^ABC的直角頂點A在直線。上，斜邊BC在直線6上，若。〃3Zl=55°,則

/2的度數(shù)是（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【變式訓練2].如圖，AB//CD,4CL3C于點C,Z2=25°,則N1的度數(shù)為（）

CD

A.60°B.65°C.55°D.45°

【變式訓練3】.如圖，在VABC中，ABJ.AC,過點A作ADI于點。，若NB=36。，則NZMC的度

數(shù)為（）

A.180°B.215°C.2350D.245°

【變式訓練11如圖，在VABC中，4=46。，三角形的外角/D4c和/ACF的平分線交于點E,則—AEC

【變式訓練2].如圖，在VABC中，NA=9（T,EF〃BC,NAEE=55。，則的度數(shù)為（）

C.50°D.55°

2

【變式訓練3].如圖，在VABC中，。與NAC5的角平分線交于點。，且NMC=《NABC、

2

ZECB=-ZACB,則ZO與一石的數(shù)量關系可表示為（）

B.5?Z)4?E180?

C.5?石4?D90?D.5?D4?E90?

B

⑴如果A2=4cm,AC=3cm,8C是能被3整除的的偶數(shù)，求這個三角形的周長.

(2)如果2P、CP分別是0ABe和0ACB的角平分線.

a、當她=45。時，求EIBPC的度數(shù).

b、當0A=x。時，求BBPC的度數(shù).

【變式訓練1].如圖，在MBC中，0ABe和0ACB的平分線相交于點P.

(1)若a4BC+0AC3=13O。，求回BPC的度數(shù).

(2)當0A為多少度時，EIBPC=3E1A?

【變式訓練2]，已知NABC、NACB的平分線相交于點。，取過點。且EF//3C.

(1)若/ABC=50。，ZACB=60°,求-30。的度數(shù)；

(2)若ZBOC=130。，Z1:Z2=2:3,求—ABC、NACB的度數(shù).

【變式訓練3].如圖，44BC的角平分線瓦＞、CE相交于點尸.

(1)若ZA8C=50°,ZACB=70°,則ZA=°；

(2)試探究/DPC與-A之間的數(shù)量關系并說明理由.

類型四、內(nèi)外角平分線模型

【變式訓練11（1）問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,在VABC中，ZA=40°,和NACB的平分線交于尸，則，BPC的度數(shù)是

（2）類比探究：

如圖2,在VABC中，/ABC的平分線和N7LCB的外角/ACE的角平分線交于P,則NBPC與NA的關系

是，并說明理由.

（3）類比延伸：

如圖3,在VABC中，/ABC外角NEBC的角平分線和—AC3的外角/BCE的角平分線交于P,請直接寫

出，BPC與ZA的關系是

【變式訓練2].（1）如圖（1）所示，已知在AABC中，。為0ABe和0AC2的平分線3。，C。的交點.試猜

想SBOC和0A的關系，并說明理由.

（2）如圖（2）所示，若。為0ABe的平分線80和0ACE的平分線C。的交點，貝的B0C與財?shù)年P系又該

怎樣？為什么？

圖(2)

【變式訓練3].如圖所示，已知8D為VABC的角平分線，C。為VABC外角NACE的平分線，且與比）交

于點D；

（2）若/ABC=70°,/A=80。，貝。；

⑶當/ABC和N7LCB在變化，而NA始終保持不變，則/。是否發(fā)生變化？為什么？由此你能得出什么結(jié)

論？（用含ZA的式子表示/￡））

類型五、雙外角平分線模型

例.(1)如圖所示，在VABC中，80,CO分別是—ABC和—ACB的平分線，證明：ZBOC=90°+1ZA.

(1)

(2)如圖所示，VABC的外角平分線8。和CD相交于點。，證明：ZBDC=9O°-1ZA.

D

(2)

(3)如圖所示，VABC的內(nèi)角平分線8。和外角平分線CO相交于點Q,證明：ZD=|zA.

(3)

【變式訓練1].如圖，0CBF,E1ACG是13ABe的外角，MCG的平分線所在的直線分別與E1ABC,EICBF的平分

(1)若I3A=7O。，求E1D的度數(shù)；

(2)若EIA=a,求既；

(3)連接AD,若回ACB=/?,貝靦ADB=_.

【變式訓練2].(1)如圖(a),3D平分/ABC,CO平分NACB.

①當NA=60時，求一。的度數(shù).

②猜想ZA與-D有什么數(shù)量關系？并證明你的結(jié)論.

(2)如圖(b),8。平分外角NCBP,C￡＞平分外角NBCQ,(1)中②的猜想還正確嗎？如果不正確，請

你直接寫出正確的結(jié)論(不用寫出證明過程).

ffl(a)圖(b)

【變式訓練3].如圖1,AB0CD,P為AB、C。之間一點

M

(1)若AP平分EICAB,CP平分EACD求證：AP0CP；

2。

(2)如圖(2),^S\BAP=-SBAC,0DCP=-0AC￡),且AE平分I3BAP,CF平分EIOCP,猜想ELE+回廠的結(jié)果

并且證明你的結(jié)論；

(3)在(1)的條件下，當回54。=；138AP,SDCQ=^DCP,H為AB上一動點,連“。并延長至K,使回。必

=SQAK,再過點。作回CQH的平分線交直線AK于M,問當點”在射線A8上移動時，國QMK的大小是否

變化？若不變，求其值；若變化，求其取值范圍.

類型六、8字模型

例.如圖1,線段AB、CD相交于點。，連接AD、CB,我們把形如圖1的圖形稱之為"8字形如圖2,

在圖1的條件下，和23CD的平分線AP和CP相交于點尸，并且與CD、A3分別相交于A/、N.試

解答下列問題：

D

⑵仔細觀察，在圖2中"8字形"的個數(shù)：個；

⑶圖2中，當ZD=50度，乙8=40度時，求一尸的度數(shù).

⑷圖2中/D和N3為任意角時，其他條件不變，試問Z尸與—D、之間存在著怎樣的數(shù)量關系.(直

接寫出結(jié)果，不必證明).

【變式訓練。.(1)已知：如圖①的圖形我們把它稱為"8字形"，試說明：NA+/B=NC+NO.

(2)如圖②，4尸,。尸分別平分/區(qū)位),/28,若NABC=36。,/ADC=16。，求/尸的度數(shù).

(3)如圖③，直線AP平分/BAD的外角NEW,CP平分/BCD的外角/BCE,ZABC=a,ZADC=p,則

ZP=用內(nèi)〃的代數(shù)式表示)

【變式訓練2】.平面內(nèi),四條線段AB,BC,CD,DA首尾順次連接，13ABe=24。，0ADC=42°.

(1)I3BAD和EIBCD的角平分線交于點M(如圖1),求EIAMC的大小.

(2)點E在BA的延長線上，0DAE的平分線和回BCD平分線交于點N(如圖2),求回ANC.

【變式訓練3】.【問題背景】

(1)如圖1的圖形我們把它稱為"8字形"，請說明I3A+EIB/C+EID；

【簡單應用】

(2)如圖2,AP、CP分另lj平分I3BAD.0BCD,若0ABC=46°,0ADC=26°,求EIP的度數(shù)；

【問題探究】

(3)如圖3,直線AP平分I3BAD的外角EIFAD,CP平分回BCD的外角EIBCE,若13ABe=36。，0ADC=16°,請猜想HP

的度數(shù)，并說明理由.

【拓展延伸】

(4)①在圖4中，若設I3C=a,0B=P，0CAP=10CAB,0CDP=|HCDB,試問團P與回C、回B之間的數(shù)量關系為:

(用a、0表示EIP)；

②在圖5中，AP平分I3BAD,CP平分EIBCD的外角IBBCE,猜想I3P與I3B、I3D的關系，直接寫出結(jié)論.

圖4圖5

類型七、燕尾模型

【結(jié)論】zBPC=zA+zB+zC.

例.如圖，在VABC中，。是A3上一點，E是AC上一點，BE、CO相交于點凡ZA=62°,ZACD=35°,

ZABE=20°.求N3FD的度數(shù).

【變式訓練1】如圖，AA5c中,

Q）若/ABC、NACB的三等分線交于點。1、。2,請用-A表示；

⑵若/ABC、NACB的力等分線交于點。|、02……O’一（口、02……。,1依次從下到上），請用-A表示

/BO\C,ZBOnlC.

【變式訓練2].如圖所示，已知四邊形AB￡>C,ZBDC=ZA+ZB+ZC.

【變式訓練3】.如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品一一圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做"規(guī)形圖",

請發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題:

A

AAA

⑴觀察"規(guī)形圖"，試探究ZBDC與NA、NB、NC之間的關系，并說明理由；

(2)請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：

①如圖2,把一塊三角尺放置在VABC上，使三角尺的兩條直角邊XKXZ恰好經(jīng)過點2、C,若

ZA=50°,直接寫出a3X+NACX的結(jié)果；

②如圖3,0c平分/AD3,EC平分NAEB,ZDAE=50°,ZDBE=130°,求—DCE的度數(shù)；

③如圖4,NAB2NA8的10等分線相交于點Gl、G?、G9,若NBDC=140。,NBQC=77°,求-A的

度數(shù).

例.如圖，將0ABe紙片沿。E折疊，使點A落在點A'處，且48平分HABC,4c平分0ACS若回84c=120。,

則回1+回2的度數(shù)為()

B

A.90°B.100°C.110°D.120°

【變式訓練11如圖，在VABC中，ZC=46°,將VA3C沿直線/折疊，點C落在點。的位置，貝U/1-N2

A.23°B.92°C.46°D.無法確定

【變式訓練2】.如圖，將回ABC沿著DE翻折，使B點與B，點重合，若回1+回2=80。,則回B的度數(shù)為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【變式訓練3】.如圖，把0ABe沿對折，疊合后的圖形如圖所示.若她=55。，01=95°,則回2的度數(shù)為

4-------------'C

A.14°B.15°C.28°D.30°

類型九、“高分”模型（角平分線和高相結(jié)合模型）

⑴求的度數(shù)；

⑵若點M為線段BC上任意一點，當AWFC為直角三角形時，直接寫出N3W的度數(shù).

【變式訓練11（1）如圖①，在VA3C中，AD,AE分別是VABC的高和角平分線，若/3=30。，NC=50。.求

/DAE的度數(shù)；

（2）如圖②，已知AF平分NAIC,交邊BC于點E,延長AE至點F,過點F作FD_LBC于點。.若N3=x。,

NC=（尤+30）。

①NC4E=（含x的代數(shù)式表示）；

②求NF的度數(shù).

2

【變式訓練2】.在VABC中，ZA=40°,ZC=60°,3D是VABC的角平分線.

(1)如圖1,若BE是VABC的高，則ND8E的度數(shù)為.

(2)如圖2,若所是的角平分線，G是所延長線上一點，過點G作GH_LAC于點X,則/G的度

數(shù)為.

【變式訓練3].如圖，在VABC中，AD是NA4c的平分線，AE是邊8C上的高.

⑴若48=50,ZDAE=10°^./C的度數(shù).

(2)求證:Z￡>AE=1(ZC-ZB).

X壓軸能力測評”

1.如圖，在VABC中，ZB=58°,三角形兩外角的角平分線交于點E,則NAEC=

2.如圖，^0A+0B+0C+0Z)+0E+0F+0G+0/7+[3Z=

B

H

3.如圖，若NEOC=115。，則ZA+4+NC+/O+/E+//=

4.如圖，在VABC中，已知NA=70。，ZABC,NACB的平分線08、OC相交于點。，則/BOC的度數(shù)

為.

5.如圖，把VABC紙片沿OE折疊，使點A落在圖中的4處，若NA=29。，ZBDA=90°,則//VEC的大

小為?

6.如圖，在VABC中，AO為邊BC上的高，點E為邊BC上的一點，連接AE.

⑴當AE為邊BC上的中線時，若AD=6,VABC的面積為24,求CE的長;

(2)當AE為NA4c的平分線時，若/C=66。，ZB=36°,求S4E的度數(shù).

7.小明在學習中遇到這樣一個問題：

如圖1,在VABC中，NC>NB,AE平分NBAC,于點D.猜想4,ZC,NEAD的數(shù)量關

系.

⑴小明閱讀題目后，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)