節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件【知識(shí)梳理】1.命題的定義用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的,可以_________的陳述句叫做命題.其中_________的語句叫做真命題,_________的語句叫做假命題.判斷真假判斷為真判斷為假2.四種命題(1)四種命題及其相互關(guān)系:(2)互為逆否命題的真假判斷:互為逆否的兩個(gè)命題同___或同___.真假3.充分條件與必要條件的判斷若p?q,則p是q的_____條件,q是p的_____條件p是q的___________條件p?q且qpp是q的___________條件pq且q?pp是q的_____條件p?qp是q的_________________條件pq且qp充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要【特別提醒】1.充分條件、必要條件與集合的關(guān)系p成立的對象構(gòu)成的集合為A,q成立的對象構(gòu)成的集合為Bp是q的充分條件A?Bp是q的必要條件B?Ap是q的充分不必要條件ABp是q的必要不充分條件BAp是q的充要條件A=B2.互為逆否命題關(guān)系的運(yùn)用p是q的充分不必要條件,等價(jià)于?q是?p的充分不必要條件.【小題快練】鏈接教材練一練1.(選修2-1P10練習(xí)T3(2)改編)“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選B.若x=1,則(x-1)(x+2)=0顯然成立,但反之不成立,即若(x-1)(x+2)=0,則x的值也可能為-2.2.(選修2-1P8習(xí)題1.1A組T2(1)改編)命題“若a,b都是奇數(shù),則a+b是偶數(shù)”的逆否命題為

.【解析】“a,b都是奇數(shù)”的否定為“a,b不都是奇數(shù)”,“a+b是偶數(shù)”的否定為“a+b不是偶數(shù)”,故其逆否命題為“若a+b不是偶數(shù),則a,b不都是奇數(shù)”.答案:若a+b不是偶數(shù),則a,b不都是奇數(shù)感悟考題試一試3.(2015·湖南高考)設(shè)A,B是兩個(gè)集合,則“A∩B=A”是“A?B”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.由題意得,A∩B=A?A?B,反之,A?B?A∩B=A,故為充要條件.4.(2015·浙江高考)設(shè)a,b是實(shí)數(shù),則“a+b>0”是“ab>0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選D.當(dāng)a=3,b=-1時(shí),a+b>0,但ab<0,故不是充分條件;當(dāng)a=-3,b=-1時(shí),ab>0,但a+b<0,故不是必要條件.所以“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要條件.5.(2016·焦作模擬)已知命題α:如果x<3,那么x<5;命題β:如果x≥3,那么x≥5;命題γ:如果x≥5,那么x≥3.關(guān)于這三個(gè)命題之間的關(guān)系.下列三種說法正確的是()①命題α是命題β的否命題,且命題γ是命題β的逆命題;②命題α是命題β的逆命題,且命題γ是命題β的否命題;③命題β是命題α的否命題,且命題γ是命題α的逆否命題.A.①③ B.②C.②③ D.①②③【解析】選A.本題考查命題的四種形式,逆命題是把原命題中的條件和結(jié)論互換,否命題是把原命題的條件和結(jié)論都加以否定,逆否命題是把原命題中的條件與結(jié)論先都否定然后互換所得,故①正確,②錯(cuò)誤,③正確.考向一四種命題及其關(guān)系【典例1】(1)(2015·山東高考)設(shè)m∈R,命題“若m>0,則方程x2+x-m=0有實(shí)根”的逆否命題是()A.若方程x2+x-m=0有實(shí)根,則m>0B.若方程x2+x-m=0有實(shí)根,則m≤0C.若方程x2+x-m=0沒有實(shí)根,則m>0D.若方程x2+x-m=0沒有實(shí)根,則m≤0(2)原命題為“若z1,z2互為共軛復(fù)數(shù),則|z1|=|z2|”,關(guān)于逆命題,否命題,逆否命題真假性的判斷依次如下,正確的是()A.真,假,真 B.假,假,真C.真,真,假 D.假,假,假【解題導(dǎo)引】(1)原命題的逆否命題書寫格式是否定結(jié)論當(dāng)條件,否定條件當(dāng)結(jié)論.(2)寫出逆命題,利用原命題與逆否命題,逆命題與否命題等價(jià)來判斷.【規(guī)范解答】(1)選D.“方程x2+x-m=0有實(shí)根”的否定是“方程x2+x-m=0沒有實(shí)根”;“m>0”的否定是“m≤0”,故命題“若m>0,則方程x2+x-m=0有實(shí)根”的逆否命題是“若方程x2+x-m=0沒有實(shí)根,則m≤0”.(2)選B.由已知條件可以判斷原命題為真,所以它的逆否命題也是真;而它的逆命題為假,如:z1=1+2i,z2=2+i,顯然|z1|=|z2|,但z1與z2顯然不共軛,所以它的否命題亦為假.【母題變式】1.寫出本例題(1)的否命題.【解析】原命題的否命題是“若m≤0,則方程x2+x-m=0沒有實(shí)根”.2.若本例題(1)的條件變?yōu)?“若m≤0”,其他條件不變,試判斷其逆命題的真假.【解析】條件改變后,其逆命題為:“若方程x2+x-m=0有實(shí)根,則m≤0”.因?yàn)槿舴匠蘹2+x-m=0有實(shí)根,則Δ=1+4m≥0,所以m≥-.即當(dāng)方程有實(shí)根時(shí),m也可能大于0,故其逆命題為假.【規(guī)律方法】1.一些常見詞語及其否定詞語是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一個(gè)是不等于不大于2.命題真假的判斷方法(1)聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)公式、定理、結(jié)論進(jìn)行正面直接判斷.(2)利用原命題與逆否命題,逆命題與否命題的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行判斷.【變式訓(xùn)練】給定下列命題:①反比例函數(shù)y=(k<0)的圖象是雙曲線且位于第二、四象限;②若x+y≠8,則x≠2或y≠6;③“矩形的對角線相等”的逆命題;④“若xy=0,則x,y中至少有一個(gè)為0”的否命題.其中真命題的序號(hào)是

.【解析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知命題①正確;命題②的逆否命題是“若x=2且y=6,則x+y=8”,其顯然正確,所以命題②正確;“對角線相等的四邊形是矩形”顯然是假命題,即命題③不正確;因?yàn)椤叭魓y=0,則x,y中至少有一個(gè)為0”的逆命題顯然正確,由互為逆否命題的等價(jià)性知④正確.答案:①②④【加固訓(xùn)練】1.命題“若α=,則tanα=1”的逆否命題是()

A.若α≠,則tanα≠1B.若α=,則tanα≠1C.若tanα≠1,則α≠D.若tanα≠1,則α=

【解析】選C.原命題的逆否命題是“若tanα≠1,則α≠”.

2.(2016·宜賓模擬)下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題:

p1:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;

p2:數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列;

p3:數(shù)列是遞增數(shù)列;p4:數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列.

其中的真命題為()

A.p1,p2B.p3,p4

C.p2,p3D.p1,p4【解析】選D.由題意知p1顯然正確;p2是假命題,例如,當(dāng)an=n-4時(shí),數(shù)列{nan}中第一、二、三項(xiàng)分別為-3,-4,-3,顯然它不是遞增數(shù)列;p3是假命題,例如,當(dāng)an=n時(shí),=1,即是常數(shù)列;對于p4:因?yàn)閍n+1+3(n+1)d-(an+3nd)=d+3d=4d>0,所以p4是真命題.考向二充分條件、必要條件的判斷

【考情快遞】

命題方向命題視角用定義法判斷充分條件、必要條件考查對充分條件、必要條件定義的理解和運(yùn)用,屬容易題用集合法判斷充分條件、必要條件考查對集合法的理解和運(yùn)用,屬容易題用等價(jià)轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件考查對四種命題的理解,屬中檔題【考題例析】命題方向1:用定義法判斷充分條件、必要條件【典例2】(2015·陜西高考)“sinα=cosα”是“cos2α=0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解題導(dǎo)引】結(jié)合二倍角的余弦公式進(jìn)行判斷或先表示出角α,再判斷.【規(guī)范解答】選A.方法一:由cos2α=0得cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=0,得sinα=cosα或sinα=-cosα.所以sinα=cosα?cos2α=0,即“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要條件.方法二:由sinα=cosα,得即α-=kπ,k∈Z,α=kπ+,k∈Z.而由cos2α=0,得2α=kπ+,k∈Z,α=k∈Z.所以sinα=cosα?cos2α=0,即“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要條件.命題方向2:用集合法判斷充分條件、必要條件【典例3】(2015·安徽高考)設(shè)p:1<x<2,q:2x>1,則p是q成立的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解題導(dǎo)引】利用集合法結(jié)合充分、必要條件的定義及指數(shù)不等式的求解進(jìn)行判斷.【規(guī)范解答】選A.由2x>20?x>0,且{x|1<x<2}{x|x>0}可知:由p能推出q,但由q不能得出p,所以p是q成立的充分不必要條件.命題方向3:用等價(jià)轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件【典例4】(2016·銀川模擬)給定兩個(gè)命題p,q.若?p是q的必要而不充分條件,則p是?q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解題導(dǎo)引】利用原命題與逆否命題等價(jià)進(jìn)行判斷.【規(guī)范解答】選A.因?yàn)?p是q的必要不充分條件,則q??p但?pq,其逆否命題為p??q但?qp,所以p是?q的充分不必要條件.【技法感悟】充要條件的三種判斷方法(1)定義法:根據(jù)p?q,q?p進(jìn)行判斷.(2)集合法:根據(jù)p,q成立對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法:根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性,把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷.這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問題,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何種條件,即可轉(zhuǎn)化為判斷“x=1且y=1”是“xy=1”的何種條件.【題組通關(guān)】1.(2016·肇慶模擬)設(shè)條件p:a≥0;條件q:a2+a≥0,那么p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【解析】選A.因?yàn)閍2+a≥0,所以a≥0,a≤-1,可判斷:若p:a≥0;則條件q:a2+a≥0成立.可判斷:p是q的充分不必要條件.2.(2015·湖北高考)l1,l2表示空間中的兩條直線,若p:l1,l2是異面直線,q:l1,l2不相交,則()A.p是q的充分條件,但不是q的必要條件B.p是q的必要條件,但不是q的充分條件C.p是q的充分必要條件D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件【解析】選A.若p:l1,l2是異面直線,由異面直線的定義知,l1,l2不相交,所以命題q:l1,l2不相交成立,即p是q的充分條件,反過來,若q:l1,l2不相交,則l1,l2可能平行,也可能異面,所以不能推出l1,l2是異面直線,即p不是q的必要條件.3.(2014·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)存在,若p:f′(x0)=0;q:x=x0是f(x)的極值點(diǎn),則()A.p是q的充分必要條件B.p是q的充分條件,但不是q的必要條件C.p是q的必要條件,但不是q的充分條件D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件【解析】選C.因?yàn)槿鬴′(x0)=0,則x=x0不一定是極值點(diǎn),所以命題p不是q的充分條件;因?yàn)槿魓=x0是極值點(diǎn),則f′(x0)=0,所以命題p是q的必要條件.4.(2014·湖北高考)設(shè)U為全集,A,B是集合,則“存在集合C使得A?C,B?C”是“A∩B=?”的()A.充分而不必要的條件B.必要而不充分的條件C.充要條件D.既不充分也不必要的條件【解析】選C.依題意,若A?C,則C?A,當(dāng)B?C時(shí),可得A∩B=?;若A∩B=?,不妨令C=A,顯然滿足A?C,B?C,故滿足條件的集合C是存在的.考向三充分條件、必要條件的應(yīng)用【典例5】(1)使不等式x2-3x<0成立的充分而不必要條件是()A.0<x<2 B.0<x<3C.0<x<4 D.x<0或x>3(2)已知p:|4-x|≤6,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且?p是?q的必要而不充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.【解題導(dǎo)引】(1)先解不等式,再由題意對比選取.(2)先求出p,q對應(yīng)不等式的解集,再利用p,q間的關(guān)系列出關(guān)于m的不等式或不等式組求解.【規(guī)范解答】(1)選A.解不等式x2-3x<0得0<x<3,由題意逐一對比選項(xiàng),易知A正確.(2)因?yàn)?p是?q的必要而不充分條件,所以p是q的充分而不必要條件.由q:x2-2x+1-m2≤0,m>0,得1-m≤x≤1+m,則q:Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.由p:|4-x|≤6,解得-2≤x≤10,則p:P={x|-2≤x≤10}.因?yàn)閜是q的充分而不必要條件,則PQ,所以即m≥9或m>9.故m≥9.答案:m≥9【一題多解】解答本題,還有以下解法:

由q:x2-2x+1-m2≤0,m>0,

得1-m≤x≤1+m,

則?q:A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}.

由p:|4-x|≤6,

得-2≤x≤10,則?p:B={x|x>10或x<-2}.

因?yàn)?p是?q的必要而不充分條件,

則AB,所以

即m≥9或m>9.

故m≥9.【易錯(cuò)警示】解答本例題(1)會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤:

題意理解不清,混淆了誰是誰的充分而不必要條件,而誤選C.【規(guī)律方法】1.與充分條件、必要條件有關(guān)的參數(shù)問題的求解方法根據(jù)條件把問題轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,并由此列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解,要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).2.充要條件的證明方法在解答題中證明一個(gè)論斷是另一個(gè)論斷的充要條件時(shí),其基本方法是分“充分性”和“必要性”兩個(gè)方面進(jìn)行證明.這類試題一般有兩種設(shè)置格式.(1)證明:A成立是B成立的充要條件,其中充分性是A?B,必要性是B?A.(2)證明:A成立的充要條件是B,此時(shí)的條件是B,故充分性是B?A,必要性是A?B.易錯(cuò)提醒:在對充分