特訓(xùn)09多面體與求內(nèi)切外接問題（八大題型）

方法歸納4

一、外接球問題

若一個(gè)簡單多面體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球?yàn)榇硕嗝骟w的外接球。簡單多面體的外接球問

題是立體幾何的重點(diǎn)和難點(diǎn)，此類問題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長或確定球心位置問題，其中球心位置的確定

是關(guān)鍵，下面介紹幾種常見的球心位置的確定方法。

如果一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)簡單多面體的所有頂點(diǎn)的距離都相等，那么這個(gè)定點(diǎn)就是該簡單多面體的外接球

的球心。由此，可以得到確定簡單多面體外接球的球心位置有如下結(jié)論：

結(jié)論1：正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點(diǎn)。

結(jié)論2:正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點(diǎn)。

結(jié)論3：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多邊形外心連線的中點(diǎn)。

結(jié)論4：正棱錐外接球的球心在其高上，具體位置通過構(gòu)造直角三角形計(jì)算得到。

結(jié)論5：若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心。

二、內(nèi)切球問題

若一個(gè)多面體的各個(gè)面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這

個(gè)多面體的內(nèi)切球。因此，多面體內(nèi)切球球心到該多面體各個(gè)面的距離相等。并非所有多面體都有內(nèi)切球,

下面介紹幾種常見多面體內(nèi)切球問題：

1.正多面體內(nèi)切球的球心與其外接球的球心重合，內(nèi)切球的半徑為球心到多面體任一面的距離。

2.正棱錐的內(nèi)切球與外接球的球心都在其高線上，但不一定重合。

題型歸納

目錄：

?題型01:三棱柱

?題型02:四棱錐

?題型03:棱臺

?題型04:側(cè)棱垂直于底面

?題型05:正方體、長方體

?題型06:其他多面體

?題型07:三棱錐

?題型08:折疊問題

?題型01:三棱柱

1.在一個(gè)封閉的直三棱柱ABC-A4cl內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB工3C,AB=6,AC=10,朋=5,

則球的體積的最大值為()

12532

A.----7iB.—7iC.2771D.36TI

63

【答案】B

【分析】設(shè),ABC的內(nèi)切圓。的半徑為「，由等面積法得(AC+AB+3C)xr=6x8,解得r=2.由于朋=5,

所以球的最大半徑為2,由此能求出結(jié)果.

【解析】由題知，球的體積要盡可能大時(shí)，球需與三棱柱內(nèi)切.

所以球在底面「ABC內(nèi)的投影的圓面最大不能超出.ABC的內(nèi)切圓.

設(shè)圓。與，ABC內(nèi)切，設(shè)圓。的半徑為L

由AB=6,AC=10,則3c=8

由等面積法得(AC+Afi+3C)xr=6x8,得r=2.

由于三棱柱高伍=5,若球的半徑R=2,此時(shí)能保證球在三棱柱內(nèi)部，

所以直三棱柱ABC-的內(nèi)切球半徑的最大值為2.

所以球的體積的最大值為：普/=與*23=等.

故選：B

2.在正三棱柱ABC-A⑸G中，AB=AAl=4,E為線段cq上動(dòng)點(diǎn)，。為BC邊中點(diǎn)，則三棱錐A-3DE外

接球表面積的最小值為.

【答案】48兀

【分析】建立邊長CE和。到平面A3。距離為OF的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合基本不等式，求解出。尸最小值，建立

外接球半徑店=/+4的函數(shù)，從而求解外接球半徑的最小值，從而求出外接球表面積的最小值.

【解析】由正三棱錐的側(cè)棱垂直于底面的性質(zhì)，設(shè)球心。到平面A3。距離為。尸，設(shè)OF=h,

有因?yàn)闉橹苯侨切?，則O尸經(jīng)過直角三角形斜邊中點(diǎn)，即E為中點(diǎn).

故取AB的中點(diǎn)設(shè)為F，則由正三角形求解高知C尸=2后如圖，設(shè)CE=x,

設(shè)球心0到平面ABD距離為OF,設(shè)=〃

(2OE=OA=R,:.OE2=(OF-CE)2+CF2=(/z-x)2+(2A/3)2=OA2=OF2+AF2=h2+22,

7x2+8x4_/r-

/.h.--------——l—N212,

2x2x

當(dāng)且僅當(dāng)x=20時(shí)即CE=2V2取

222

7?=/1+4>8+4=12,.-.S=47r7?>48K.

故最小為48Tl.

故答案為：48Tl.

【點(diǎn)睛】立體圖形平面化，結(jié)合函數(shù)和基本不等式的知識求解是問題的關(guān)鍵.

3.已知正三棱柱的底面邊長為4石，高為6,經(jīng)過上底面棱的中點(diǎn)與下底面的頂點(diǎn)截去該三棱柱的三個(gè)角,

如圖1,得到一個(gè)幾何體，如圖2所示，若所得幾何體的六個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的體積為（）

A2加R4小80^5160』

■A.o（J7T.-------7CC.---------兀L-z.----------兀

333

【答案】D

【分析】根據(jù)幾何體特征、勾股定理及其外接球體積公式計(jì)算即可.

【解析】設(shè)M、N分別為正棱柱上下底面的中心，即MN=6,

由幾何體的特征易知其外接球球心。在MN上，如圖所示，

根據(jù)正三角形的中心性質(zhì)可知AN=|x#⑹^2^§了=4,同理應(yīng)1=2,

設(shè)外接球半徑為R,MO=h,則ON=6-h,

所以有22+/22=夫2=42+（6一/2）2=>/7=4,7?=2百，

則外接球體積V=-nR3=160@7T.

33

故選：D

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于幾何體外接球問題，第一步先確定球心位置，可以先通過確定一面的外接圓圓心

去確定，本題幾何體比較規(guī)則，容易得出球心在上下中心連線上；第二步，由點(diǎn)在球上及球體的特征結(jié)合

勾股定理構(gòu)建方程組解方程求半徑即可.

4.如圖，在直三棱柱ABC-AB?中，側(cè)棱長為2,ACJ.BC,AC=3C=1,點(diǎn)。在上底面44cl（包含

邊界）上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐o-ABC外接球半徑的取值范圍為（）

兒因B.[|4]C.羽「531

D.

l_42J

【答案】B

【分析】由條件確定球心位置，建立關(guān)于球的半徑的表達(dá)式,從而求出半徑的取值范圍即可.

【解析】因?yàn)?ABC為等腰直角三角形，AC=BC=1,

所以ABC的外接圓的圓心為A3的中點(diǎn)。一

且AO|=《，

設(shè)44的中點(diǎn)為E，連接。田，

則O|E〃AA，。也，平面ABC,

設(shè)三棱錐。-ABC外接球的球心為O,

由球的性質(zhì)可得點(diǎn)。在。也上，設(shè)OQ=x,DE=t0<t<—

\7

外接球的半徑為R,因?yàn)椤?=OD=R,

X0<?<—,則

28

因?yàn)榫?丁+[,所以,4Kw：,

2642

82

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見幾何體的外接球半徑求法：（1）棱長為的正方體的外接球半徑為夫=立°；

2

（2）長方體的長，寬，高分別為。，b,c,則其外接球的半徑為R

2

（3）直棱柱的高為心底面多邊形的外接圓半徑為人則其外接球半徑為R=hj.

?題型02:四棱錐

5.四棱錐尸―ABC。中，平面R4D，平面A3CD,底面ABCD為矩形，PA=PD,AB=2,8C=2道，若

四棱錐尸-ABCD的外接球表面積為20兀，則四棱錐P-ABCD的體積為（）

A.4A/3B.12A/3C.士叵或4指D.46或126

3

【答案】C

【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理即可求解即可求解四棱錐的高，由體積公式即可求

解.

【解析】取AD的中點(diǎn)E,連接PE,

又因?yàn)閄4=PD,所以PE_LA。，

又因?yàn)槠矫鍱4T>_L平面ABCD,且交線為A。，PEu平面PAD,

所以PE_L平面ABCD.

設(shè)ABCD的中心為O',球心為。，則OO」平面ABCD,

于是。2=：2￡?=122+(2@=2,OO'HPE.

設(shè)四棱錐P-ABC。的外接球半徑為R,其表面積為4兀改=20兀，故R=行.

過。作。似//0上，則四邊形。為矩形，

故OO=ME,OM=O'E=:AB=1,

在RfOO'B^RTOMP中，

R2=O'O2+O'B2=(A/5)2=PM-+OM-,

O'B=2,OM=\,

所以00=1,PM=2,ME=OO'=1.

當(dāng)。在平面ABCD的上方，此時(shí)四棱錐的高為尸E=PM+ME=3,

.??四棱錐尸-ABCD的體積1x2x26x3=46.

3

當(dāng)。在平面ABCD的下方，此時(shí)四棱錐的高為「石=9-ME=1.

四棱錐尸―ABCD的體積lx2x2招、1=生叵.

33

故選:C.

O

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵要注意外心即可能在平面ABCD上方，也可能在下方，思考問題要周密.

6.已知正四棱錐尸-ABCD的側(cè)棱長為如，且二面角P-AB-C的正切值為2夜，則它的外接球表面積

為（）

4025

A.12KB.一71C.8兀D.一71

2

【答案】D

【分析】如圖，根據(jù)線面垂直的判定定理可得尸O人平面ABCD,則為二面角P-AB-C的平面角,

設(shè)正方形ABCD的邊長為。（a>0）,利用銳角三角函數(shù)求出。，即可求出P。，AO,再設(shè)球心為G,則球

心在直線尸。上，設(shè)球的半徑為R,利用勾股定理求出R,最后再由球的表面積公式計(jì)算可得.

【解析】設(shè)正方形ABCD中心為。，取中點(diǎn)連接PO、PH>OH,

則尸以LAB,OHLAB,物OH=H,PH,O/fu平面ABC。，得尸O/平面ABC。，

所以NPHO為二面角P-AB-C的平面角，即tanZP，O=re=20,

設(shè)正方形A3CD的邊長為貝=

22

y.AO=-AC=-yJa+a=—o,PA=410,由尸O2+人。2=叢2,

222

10,解得。=2（負(fù)值已舍去），

則尸0=2血，AO=C，設(shè)球心為G,則球心在直線PO上，設(shè)球的半徑為火,

貝I]R2=02+（2忘一7?『，解得R=乎，

25

所以外接球的表面積S=4兀R2=4TIX=一n

2

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是確定二面角的平面角，利用銳角三角函數(shù)求出底面邊長與高，再

由正四棱錐的性質(zhì)確定球心在P。上.

?題型03:棱臺

7.已知正四棱臺=半球的球心。在底面A,8?。的中心，且半球與該棱臺的各棱

均相切，則半球的表面積為（）

A.9兀B.18兀C.27TID.36兀

【答案】C

【分析】分析半球與各棱的切點(diǎn)位置，利用球的切線性質(zhì)，用R表示出側(cè)棱長，從不同角度表示出棱臺的高,

從而建立關(guān)于R的方程，然后可得.

【解析】由題意可知，4耳CR為下底面，

記上底面ABCD的中心為過C作CH垂直于平面AgGR,垂足為H,

易知點(diǎn)”在4G上，記半球與BC,CC1,4cl分別相切于點(diǎn)E,F,G,

由正四棱臺和球的對稱性可知,E,G為BC,B￡的中點(diǎn)，

因?yàn)锳B=2,所以AC=2?，CE=CF=1,

記半球的半徑為R,則GF=GG=OG=R,

所以CG=R+1,HQ=OCX-OH=V27?-A/2,

分別在?。?？侰C"中，由勾股定理得OO；=OE2-O,E2=R2-1,

CH°=CC；-GH?=（R+1『_（拒R-用,

因?yàn)?所以（R+I）2_（&R_&『=R2_I,

解得R=3或R=0（舍去），

所以半球的表面積為|x4成2+您?=3花后=27Tt.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查學(xué)生的直觀想象能力，解題關(guān)鍵在于利用球的切線性質(zhì)，用R表示出側(cè)棱，然

后根據(jù)棱臺的高距離方程求出半徑即可.

8.在正三棱臺ABC-A4C中，Ag=26,AB=4有，二面角片-BC-A的正弦值為手，則ABC-A/G

的外接球體積為()

A.迎B.16。扃C.40垢兀D.65后

336

【答案】B

【分析】記正三棱臺上下底面的中心分別為0”。2，BC,4G的中點(diǎn)分別為。，〃，。2〃的中點(diǎn)為E,先判斷

“町為二面角與-BC-A的平面角，然后求出棱臺的高，判斷球心位置，利用勾股定理求解可得半徑，

然后可得體積.

【解析】記正三棱臺上下底面的中心分別為Q,BC,瓦C的中點(diǎn)分別為D2，O?。的中點(diǎn)為E,

如圖，因?yàn)?CG用為等腰梯形，2A分別為BC,瓦G的中點(diǎn)，

所以，由等腰梯形性質(zhì)可知。RL5C,

又,.ABC為正三角形，所以AD/3C,

所以ZADO,為二面角B.-BC-A的平面角,

由正棱臺性質(zhì)可知，OQJ■平面ABC,

因?yàn)?4=2W，AB=45/3,所以AA=3,AO=6,

所以4。1=2O1R=2,AO2=2O2D=4,O2E=ED=1

易知。A〃。亞，所以為平行四邊形，

所以。。//?；颍訰E,平面ABC,

由題知sinN/DE=乎，/叩Ee(0,,

所以cos/￡>]￡>￡1=(,所以tanNr>QE=2,

所以Q]Q=DXE=DEtanADXDE=2,

易知，正三棱臺ABC-4瓦G的外接球的球心在射線。。2上，記為。，半徑為尺

若球心0在線段OR上，則OO；+0/2=尺2=A。；+0一OQ了，

即OO；+16=4+(2-00?)二解得QO=-2,不符合題意；

若球心。在下底面下方，則OO；+02A2=氏2=AO：+（2+OQ）2,

即OO；+16=4+（2+OOj2,解得QO=2,則<=+=2。

所以ABC-AAG的外接球體積為=3X（26）3=生臀.

故選：B

?題型04:側(cè)棱垂直于底面

9.如圖，四棱錐尸-ABCD中，P4L面ABCD,四邊形ABCD為正方形，PA=4,PC與平面ABCD所成

，則四棱錐P-ABCD的外接球表面積為（）

B.28K

C.34兀D.1471

【答案】C

【分析】依題意可將四棱錐P-ABCD補(bǔ)成長方體尸EFG-ABCD,則四棱錐P-ABCD的外接球也是長方體

PEFG-ABCD的外接球，由tan0=2也可求出AC的長，進(jìn)而可求PC,即為外接球的直徑，從而可得外

3

接球的表面積.

【解析】如圖，因?yàn)镻4上面ABCD,四邊形A3CD為正方形,

所以可將四棱錐P-ABCD補(bǔ)成長方體PEFG-ABCD，

則四棱錐P—ABCD的外接球也是長方體PEFG-ABCD的外接球.

由上4,面ABCD,所以/PC4就是PC與平面ABCD所成的角。,

4

貝Itan0=-----手,所以AC=3夜,

ACAC

設(shè)四棱錐P-ABC。的外接球的半徑為R,

因?yàn)殚L方體PEFG-ABCD的對角線PC的長即為其外接球的直徑,

所以PC=2R=Jacz+PA?=J(3&『+42=后,所以氏=與,

所以四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為4兀尺2=34兀.

故選：C

10.如圖，在四面體A8CO中，△ABD與△BCD均是邊長為2班的等邊三角形，二面角A-BD-C的大小

為90。，則四面體A3CD的外接球表面積為.

【答案】207r

【分析】設(shè)。1為的中心，。為四面體ABCD的外接球的球心，過。作OGLAM,然后在RtZ\AGO

中，由G/f+GO?：。］求出外接球的半徑，再由球的表面積公式計(jì)算可得.

【解析】如圖所示：設(shè)。|為△BCD的中心，。為四面體A8CD的外接球的球心，

則OOi_L平面BOC.

因?yàn)槎娼茿-BD-C的大小為90。，即平面平面BCD,

設(shè)M為線段3。的中點(diǎn)，外接球的半徑為K,

連接AM,CM,OA,

過。作OGJLAM于點(diǎn)G,

易知G為AABD的中心，則OO|=OG=MOl=MG,

因?yàn)镸A=3x2指=3,

2

MG=OG=—x3=1,GA=2,

3

在RtzMGO中，GA2+GO2=OA2,

故F+22=R2,則R=?.

所以外接球的表面積為s=4兀^2=20n,

故答案為：207r.

?題型05:正方體、長方體

II.已知正方體ABC。-A4GA的棱長為4,點(diǎn)E是棱C。的中點(diǎn)，P為四邊形CD2G內(nèi)（包括邊界）的一

動(dòng)點(diǎn)，且滿足耳P//平面BAE,的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分的外接球的體積為（）

A.8娓無B.24兀C.187tD.30兀

【答案】A

【分析】作出輔助線，得到平面ABE〃平面瓦M(jìn)N,確定當(dāng)尸在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足用尸//平面氏

用P的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分為三棱錐C|-瓦,

求出外接球半徑，得到外接球體積.

【解析】分別取GR,CC1的中點(diǎn)M,N,連接ME,CQ,

故MNUCD、,

因?yàn)锳2//BC,A2=BC,

所以四邊形ARC8為平行四邊形，

所以AB//2C,故MNIAB,

因?yàn)镸Nu平面gMN,A8(Z平面4MN,

所以AB〃平面印VW,

又點(diǎn)E是棱8的中點(diǎn)，所以ME=BBQBBJ/ME,

故四邊形百為平行四邊形，

所以BE//BJf,

又平面4MN,平面4"N,

所以3E〃平面與MN,

因?yàn)?平面ABE,

所以平面A8E//平面片MN,

故當(dāng)尸在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足男尸//平面BAE,

BtP的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分為三棱錐G-耳MN,

其中C|M，GN,C由兩兩垂直，且6河=6％=2,86=4,

故其外接球半徑為是+22+4=瓜,

2

故較小部分的外接球的體積為［兀&3=8"九

故選：A

【點(diǎn)睛】特殊幾何體的內(nèi)切球或外接球的問題，常常進(jìn)行補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為更容易求出外接球或內(nèi)切球球心和

半徑的幾何體，比如墻角模型，對棱相等的三棱錐常常轉(zhuǎn)化為棱柱來進(jìn)行求解.

12.已知一個(gè)長方體的封閉盒子，從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為3,4,5,盒內(nèi)有一個(gè)半徑為1的小球,

若將盒子隨意翻動(dòng)，則小球達(dá)不到的空間的體積是（）

2022

A.36——nB.32——71

33

40

C.60-127TD.60——71

3

【答案】B

【分析】分別計(jì)算小球在8個(gè)頂點(diǎn)和12條棱不能到達(dá)的空間體積，然后進(jìn)行相加即可.

【解析】小球在8個(gè)頂點(diǎn)不能到達(dá)的空間相當(dāng)于棱長為2的正方體挖去一個(gè)半徑為1的球，

4

其體積為8-§兀，

小球在AB,CD,A4，G2這4條棱不能到達(dá)的空間相當(dāng)于一個(gè)長為3,寬為2,高為2的長方體挖去

一個(gè)底面半徑為1，高為3的圓柱，

其體積為3x2x2-371=12-3兀，

小球在BC,AD,BG，AR這4條棱不能到達(dá)的空間相當(dāng)于一個(gè)棱長為2的正方體挖去一個(gè)底面半徑為

1,高為2的圓柱，

其體積為2x2x2-271=8—271,

小球在他，BBI，CC、,這4條棱不能到達(dá)的空間相當(dāng)于一個(gè)長為2,寬為2,高為1的長方體挖去一

個(gè)底面半徑為1,高為2的圓柱,

其體積為2x2*1—兀=4一兀,

422

所以小球不能到達(dá)的空間的體積為8-彳兀+12-3兀+8-2無+4-無=32-個(gè)無,

33

故選：B.

?題型06:其他多面體

13.如圖1,一圓形紙片的圓心為。，半徑為4石，以。為中心作正六邊形ABCDEF,以正六邊形的各邊

為底邊作等腰三角形，使其頂角的頂點(diǎn)恰好落在圓。上，現(xiàn)沿等腰三角形的腰和中位線裁剪，裁剪后的圖

形如圖2所示，將該圖形以正六邊形的邊為折痕將等腰梯形折起，使得相鄰的腰重合得到正六棱臺.若該

正六棱臺的高為卡，則其外接球的表面積為()

357r

D.

【答案】D

【分析】根據(jù)側(cè)面積與底面積的關(guān)系求出相應(yīng)的邊長，進(jìn)而利用外接球的性質(zhì)求出半徑，從而求出外接球

的表面積.

【解析】如圖1,設(shè)以為底邊的等腰三角形的中位線為4與，連接OA,分別交于點(diǎn)M,N,

則點(diǎn)M,N分別為AXBVAB的中點(diǎn).

設(shè)A3=2a,則4月=”，ON=2axsin60°="a，MN與氐①.

折疊后形成的正六棱臺如圖2所示，設(shè)上底面a耳￡。耳￡的中心為。I，連接

貝！IOXM=axsin60°=：~

連接op,則op是正六棱臺ABCDEF-44GREE的高，即00=".

過點(diǎn)M作MG_LON,垂足為G,則MGL底面ABCDEF,故MG=OQ=&.

在RtMNG中，MN=y/MG2+NG2=MG2+(ON-O,M)2=②，

由①②得拽二^豆=回三五，解得。=1,

22

所以正六棱臺ABCDEF-的上、下底面的邊長分別為1和2.

由00=#,可知正六棱臺的外接球球心R必在線段。。上，

連接。2。。2。1，。。。4,則。2。,。2。為外接球的半徑，設(shè)為

在和n△OzOiA中，由勾股定理得，

2

可得00；+0D-=QO2+QDf,

又因?yàn)?。］??。2+。。2="，OR=l,0D=2,

即OO；+22=（#-OO2『+l,解得o02=手，

貝I]r2=OO；+OD2=

所以所求外接球的表面積為4口2=寸

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面圖形的折疊，幾何體外接球的半徑，解題關(guān)鍵在于平面圖形折疊成立

體圖形后，要明確變化的量和沒有變的量，以及線線的位置，線面的位置關(guān)系，對于幾何體的外接球的問

題，關(guān)鍵在于確定外接球的球心的位置.

14.六氟化硫，化學(xué)式為S耳，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在

電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作

是將兩個(gè)棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體E-ABCD-E的棱長為

a,下列說法中正確的個(gè)數(shù)有（）

①異面直線AE與BF所成的角為45。；

②此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為36;

③若點(diǎn)尸為棱EB上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+CP的最小值為2?；

④若點(diǎn)。為四邊形ABCD的中心，點(diǎn)。為此八面體表面上動(dòng)點(diǎn)，且則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡長度為苧“九

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】對①：借助等角定理，找到與AE平行，與跳■相交的線段，計(jì)算即可得；對②：借助外接球與內(nèi)

切球的性質(zhì)計(jì)算即可得；對③：空間中的距離和的最值問題可將其轉(zhuǎn)化到同意平面中進(jìn)行計(jì)算.對④，計(jì)算

的值,并比較它們的大小，即可得出當(dāng)點(diǎn)Q在平面8C￡內(nèi)時(shí)，點(diǎn)。在三角形8CE的內(nèi)切圓上

運(yùn)動(dòng)，結(jié)合對稱性即可驗(yàn)算.

【解析】對①：連接AC,取AC中點(diǎn)0,連接OE、OF,

由題意可得。石、。尸為同一直線，A、E、C、尸四點(diǎn)共面，

又AE=EC=CF=FA,故四邊形AECF為菱形,

WAEUCF,故異面直線AE與BF所成的角等于直線CF與8尸所成的角,

即異面直線AE與斯所成的角等于NCTB=60,故①錯(cuò)誤;

對②：由四邊形A3CD為正方形，^AC2^BC2+AB2=EC2+AE2^2a2,

故四邊形AECF亦為正方形，即點(diǎn)0到各頂點(diǎn)距離相等，

即此八面體的外接球球心為。，半徑為R=叵=&，

22

設(shè)此八面體的內(nèi)切球半徑為小

22

則有/ABCDF=—xr=2VEABCD=2x—xax^^-=—x2y/3arf化簡得r=，

it—rr3\衣c—ADCAZc3c2c3、o，

3心］

則此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為=6一=3出,故②正確；

對③：將△44￡?延￡8折疊至平面EBC中，如圖所示:

EC

則在新的平面中，A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，AP+CP有最小值，

貝|］（4尸+（7尸）.=—ax2=j3a,故③錯(cuò)誤.

\/min2

對于④，設(shè)三角形BCE的內(nèi)切圓半徑為*則由等面積法，有工.3°力=工/.且,

2123

解得,

16

由②可知，點(diǎn)。到平面BCE的距離為廠="a,

這表明當(dāng)點(diǎn)。在平面5CE內(nèi)時(shí)，點(diǎn)。在三角形3CE的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng),

它的周長是2跖，

根據(jù)對稱性可知?jiǎng)狱c(diǎn)Q的軌跡長度為8*2跖=8x2兀乂曲=迪而，故④正確.

163

正確的編號有②④.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題④中，關(guān)鍵點(diǎn)在于得出當(dāng)點(diǎn)Q在平面BCE內(nèi)時(shí)，點(diǎn)。在三角形BCE的內(nèi)切圓上

運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對稱性即可順利得解.

?題型07:三棱錐

15.若三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球。的球面上，S3為球。的直徑，且AC=20,則該三

棱錐的最大體積為（）

A.-B.-C.3D.—

333

【答案】B

【分析】由勾股定理逆定理得到Q4LOC,故SA.C=：O4OC=2,要想該三棱錐的體積最大，則平

面AOC,從而求出最大體積.

【解析】S3的中點(diǎn)為。，連接OA,OC,則。4=OB=OC=OS=2,

因?yàn)锳C=20,t^O^+OC2=AC2,

故G!A_LOC,SAOC=^OA-OC=2,

要想該三棱錐的體積最大，則S3_L平面AOC,

11Q

故最大體積U=§SA℃-S8=§X2X4=§

故選：B

16.在正三棱錐A-BCD中，M、N分別為AC、3c的中點(diǎn)，P為棱CD上的一點(diǎn)，且尸C=2PD,MNIMP,

若BD=?,則此正三棱錐A-3CD的外接球的表面積為（）

A.3兀B.6兀C.871D.9兀

【答案】D

【分析】如圖，根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)證明AB1AC,AB1AD,AC±AD,將三棱

錐A-BCD補(bǔ)成以AB、SAC為棱的正方體，則正方體的外接球即為三棱錐A-BCD的外接球，求出外接球

的半徑，結(jié)合球的體積和表面積公式計(jì)算即可求解.

【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)Q,連接A。、BQ,則

由肱V_LMP,得AB_LMP,

因?yàn)槿忮FA—3CD為正三棱錐，所以AC=A。,3c=2。，

而。是8的中點(diǎn)，所以AQLCOBQLCD,

又AQcBQ=Q,A。、3Qu平面A8。，所以CD,平面AB。,

由Mu平面ABQ,得ABJ.CD,又AB_LMP,

MPcCD=P,MP、CDu平面ACD,所以48人平面4。￡),

由AC、ADu平面AC。，所以A51AC,ABLAD,

根據(jù)正三棱錐的特點(diǎn)可得ACLAD,

故可將三棱錐A-38補(bǔ)成以AB、AD,AC為棱的正方體，如圖,

所以正方體的外接球即為三棱錐A-BCD的外接球.

由皿="得42=代，可得正方體的棱長為6,所以(2R)2=(B)2+(^y,

oc9

即&=1,所以正三棱錐A-BCD的外接球的表面積為S=4位-=4兀x—=9兀.

44

故選：D

17.已知三棱錐P—ABC的底面ABC是直角三角形，平面ABC,PA=AB=AC=2,貝|()

A.三棱錐P-ASC外接球的表面積為12兀

B.三棱錐P-ABC外接球的表面積為48兀

C.三棱錐尸一ABC內(nèi)切球的半徑為土9

3

D.三棱錐p—43c內(nèi)切球的半徑為土2巨

9

【答案】AC

【分析】根據(jù)三棱錐特征構(gòu)造長方體求出外接球半徑，求得表面積，再由等體積法求出內(nèi)切球半徑.

【解析】由題意可知AB,AC,AP兩兩垂直，

則三棱錐尸-ABC外接球的半徑R滿足(2R)2=AB2+AC2+AP2=12)

從而三棱錐尸-A5c外接球的表面積為4?！?12兀，

故A正確，B錯(cuò)誤.

114

由題意可得三棱錐P—"C的體積丫=]><5乂2乂2*2=1，

三棱錐P—ABC的表面積S=；x2x2x3+乎x(2后)2=6+2括.

設(shè)三棱錐P-ABC內(nèi)切球的半徑為r,

因?yàn)閂=

所以廠=四=」^=土避，則C正確，D錯(cuò)誤.

S6+2V33

故選：AC

18.如圖，在正三棱錐尸—ABC中，PB=RAC=2底，分別是棱AC,P2的中點(diǎn)，M是棱尸C上的任

意一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.PB1AC

B.異面直線上與AB所成角的余弦值為（

C.+的最小值為

D.三棱錐尸-ABC內(nèi)切球的半徑是石（歷一1）

10

【答案】ACD

【分析】對于A,易知ACJ.3D,AC±PD,可證AC_L平面尸3。，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；對

于B,取3c中點(diǎn)尸，連接。尸，EF,由。尸〃AB,知/EDP即為異面直線DE和A3所成角，由尸C_LAB,

可推出EFLD尸，再由三角函數(shù)的知識即可求解；對于C,將平面PAC和平面PBC平鋪展開，形成四邊形

PACB,連接A3,交PC于點(diǎn)M,此時(shí)AM+MB=M是最小值，再結(jié)合二倍角公式與余弦定理即可求解;

對于D,設(shè)內(nèi)切球的球心為。，點(diǎn)尸在平面ABC內(nèi)的投影為。一2為2ABe的重心，球。與平面PAC相

切于點(diǎn)G,設(shè)三棱錐P-ABC內(nèi)切球的半徑為,，由POG相似于.PDOi，即可求解.

【解析】對于A,如圖1所示，連接80,PD,

由正三棱錐的性質(zhì)可知PA=PC=2^/6,AB=BC=AC=24，

因?yàn)椤锳C中點(diǎn)，

所以AC13D,ACA.PD,

又因?yàn)?。PD=D,BRPOu平面尸砒）,

所以AC_L平面PB￡),

又因?yàn)槭?u平面尸5￡)

所以尸3LAC,故A正確；

對于B,如圖①，取BC中點(diǎn)尸，連接DF,EF,

因?yàn)椤?、歹分別為AC,8C的中點(diǎn)，

所以O(shè)F//AB,DF=6

所以/￡Db即為異面直線DE和A3所成角或其補(bǔ)角，

因?yàn)镋、尸分別為用，BC的中點(diǎn)，

所以EF=布,

由選項(xiàng)A知，尸31.AC,同理可得PCLA5,

所以EF_LDb,

所以。E?=￡尸+。尸=6+3=9,

所以DE=3,

所以cosNEDF=,

DE3

即異面直線OE和所成角的余弦值為且，故B錯(cuò)誤；

3

對于C,將平面PAC和平面P3C平鋪展開，形成四邊形B4CB,

如圖②所示，連接A3,交PC于點(diǎn)此時(shí)=是最小值，

連接尸尸，貝代05/尸叱=受=更=也，

PC2屈4

3

所以COS/ACB=2COS2ZPCF-1^一一，

4

在，ABC中，由余弦定理知，

3

AB2=AC2+BC2-2AC-BCcosZACB=12+12-2x12x(——)=42,

4

所以A8="5,

即AM+MB的最小值是屈，故C正確；

對于D,如圖③所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為。，點(diǎn)尸在平面ABC內(nèi)的投影為。為/ABC的重心,

球。與平面PAC相切于點(diǎn)G,則G在PD上，且OGLPD,

在qftW中，PD=dPH—AD1=<24—3=向，

在一ABC中,BD7AB2—Alf=J12—3=3,

因?yàn)?。i為ABC的重心，所以。01=：8。=1,

在！POtD中，poi=QPD-DO；=<21-1=2下，

設(shè)三棱錐P-ABC內(nèi)切球的半徑為r,

OGPO

由POG相似于?尸得萬萬=而，

即工=羋二，解得r=?（@T）,故D正確；

1后10

圖①圖②圖③

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了異面直線所成角、最短距離及內(nèi)切球，解題關(guān)鍵是作出異面直線所成角、

平面展開求最值以及通過相似三角形求內(nèi)切球的半徑.

19.如圖，正三棱錐尸-ABC的側(cè)面和底面ABC所成角為a,正三棱錐Q-ABC的側(cè)面和底面ABC所成角

為月,A8=2g，尸和。位于平面A5C的異側(cè)，且兩個(gè)正三棱錐的所有頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則

NPBQ=,tan(a+2)的最大值為.

【分析】由幾何體結(jié)構(gòu)特征可知PQ為外接球直徑即得/MQ=90；先設(shè)琳=/4，0雙=色，外接球半徑為凡

則由PQ2=PB2+BQ2以及已知條件可求得AA=4,再根據(jù)幾何體結(jié)構(gòu)特征得

tana=儀=%,tan〃=黑=九，再結(jié)合兩角和正切公式以及基本不等式即可求解.

MNMN

【解析】由幾何體結(jié)構(gòu)特征可知PQ為外接球直徑，所以/尸8。=90；

連接PQ,交平面A3C于點(diǎn)N,取A3中點(diǎn)連接CM,

由正棱錐性質(zhì)知NeCAf,5.CN=|CM=|^BC2-BM2=|=2,

Q

則3N=2、CM=3,MN=1,設(shè)PN=h、,QN=h?,外接球半徑為R,

貝［JPB-=BN2+PN2=1+后，BQ2=BN2+NQ2=1+后

所以由尸。2=尸52+3。2得（九+7^2=1+42+1+依，4a=4,

PNQN

又而=h'

tana+tanp為

故tan(o+Q)=4+

1-tanatan(3i—W—3

而/&+%N2麻=4,當(dāng)且僅當(dāng)％=a=2時(shí)取等,

4

故tan（a+0max=-3?

4

故答案為：90;-—?

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解tang+B）市的關(guān)鍵是由PQ2=P32+5Q2以及已知數(shù)據(jù)求出4H=4.

?題型08:折疊問題

20.在一ABC中，AB=AC=2,ABAC=120°,過點(diǎn)A作人"L8C,垂足為點(diǎn)M,將一ABC沿直線40翻折,

使點(diǎn)8與點(diǎn)C間的距離為3,此時(shí)四面體A5CM的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積為（）

7c

A.5MB.IOTTC..而兀D.13n

36

【答案】D

【分析】如圖，根據(jù)余弦定理求出BC,根據(jù)正弦定理求出△BCD的外接圓半徑，結(jié)合球的性質(zhì)和勾股定理

求出球的半徑，利用球的表面積公式計(jì)算即可.

【解析】如圖，

將一ABC沿直線AM翻折，得到滿足題意的幾何體為三棱錐A-BCM,

因?yàn)锳3=AC=2,ABAC=120。,過點(diǎn)A作4W，8C,則

BMJ3AM1r-

ZBAM=60?,AABM=30?,——=—,——=-,BM=?AM=1,

AB2AB2

在一BCM中，BM=y[3,CM=,BC=3,

BM+CMBC2

由余弦定理，cosZBMC=--=_1所以，ZBMC=120°

IBMCM2

設(shè)，BCM的外接圓圓心為0,半徑為廠，則。3=OC=MD=〃，

由正弦定理，得二竺壽=2＞解得廠=6，即也=6，

sml20

易知AMI平面5c又AM是球。的弦，OA=OMfAM=1,

所以=,

得球的半徑為0M=J(1)2+(V3)2=半,

13

所以球的表面積為5=4兀。河2=4兀x—=l37.

4t

故選：D.

21.如圖1,在矩形A3C。中，AB=1,BC=2,M是邊BC上的一點(diǎn)，將一ABM沿著AM折起，使點(diǎn)8到

達(dá)點(diǎn)P的位置.

(1)如圖2,若加是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，求證：CN〃平面B4M；

(2)如圖3,若點(diǎn)P在平面AMCD內(nèi)的射影〃落在線段AD上.

①求證：CD，平面P4D；

②求點(diǎn)M的位置，使三棱錐P-"8的外接球的體積最大，并求出最大值.

【答案】（1）證明見解析

47r

（2）①證明見解析；②M位于點(diǎn)C,y

【分析】（1