海南省文昌中學(xué)2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.如果復(fù)數(shù)z滿足：z+|z|=2+4i,那么z=（）

A.-3+4i

C.-5+4i

2.已知兩個(gè)非零向量入B滿足B+耳邛-牛則z+B在B上的投影向量為（）

A.-bB.b

3.設(shè)/，加是兩條不同的直線，%夕是兩個(gè)不同的平面，則下面命題中正確的是（）

A.若mlla,a110,nu0,則加〃〃B.若加//%加//a,〃//，，則a/〃？

C.若/_L冽，加ua,貝i"_LaD.若/_L回加_L回冽_Li,貝i"_La

4.如圖，在直三棱柱4G中，所有棱長(zhǎng)都相等，D,E,尸分別是棱4B,BC,BXCX

的中點(diǎn)，則異面直線。尸與所成角的余弦值是（）

5.在3世紀(jì)中期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所

失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國(guó)古代極限觀

念的佳作.割圓術(shù)可以視為將一個(gè)圓內(nèi)按正”邊形等分成“個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)"

越大，等腰三角形的面積之和越近似等于圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到sin6。的近

似值為（兀取近似值3.14）（）

試卷第1頁(yè)，共6頁(yè)

A.0.314B.0.157C.0.105D.0.052

A

6.在V/BC中，若sinC-sin8=cos2—,則V/3C是（）

2

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

7.若水平放置的平面四邊形N08C按斜二測(cè)畫法得到如圖所示的直觀圖，其中

AC1B'C,A'C'=l,O'B'=2,則以原四邊形/OB。的邊/C為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何

體的體積為（）

8.已知二面角c-加一"的平面角的大小為90°48為半平面a內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，C為半平面"內(nèi)

一點(diǎn)，且/C=8C=2g,若直線8C與平面a所成角為30。，。為3c的中點(diǎn)，則線段

長(zhǎng)度的最大值是（）

4.而B.MC.浮D.理

二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)2=注，則下列說法正確的是（）

A.|z|=V13B.z的虛部為-2i

C.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限D(zhuǎn).z的共輾復(fù)數(shù)為3+2i

10.函數(shù)/（x）=cos2xcose-sin2xsine（0<^<|）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為］已，°）則

下列說法正確的是（）

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

A.直線x=（兀是函數(shù)/⑺的圖象的一條對(duì)稱軸

B.函數(shù)/'（x）在（4,f上單調(diào)遞減

C.函數(shù)/'（x）的圖象向右平移展個(gè)單位可得到N=cos2x的圖象

D.函數(shù)/（x）在［。目上的最大值為1

11.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方體/BCD-44GA中，￡,尸分別是棱用G，G2的中點(diǎn)，P是

正方形44GA內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若。尸〃平面C￡b,則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為近

B.若=則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為］

C.二面角Z-跖-C的正切值為速

D.若尸是棱4月的中點(diǎn)，則三棱錐尸-CE尸的外接球的表面積是41兀

三、填空題

12.tan20°+tan40°+血an20°tan40°=

13.已知直四棱柱48cz）-44GA高為2,底面四邊形4BC。中，/8=/。=90。，NN=60°,

AB=4,AD=5,則四棱柱外接球的表面積是.

14.某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索三角形相關(guān)知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊

所對(duì)的外接圓的三條圓弧（劣?。┭刂切蔚倪呥M(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部

一點(diǎn)，且此交點(diǎn)為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點(diǎn)）如圖，已知銳角V/8C外接

圓的半徑為4,且三條圓弧沿V/BC三邊翻折后交于點(diǎn)尸.若48=6,貝IJ

ccs/P/C=；若/C:/5:BC=6:5:4,則P/+PB+PC的值

為.

試卷第3頁(yè)，共6頁(yè)

四、解答題

15.如圖所示，A,B,C為山腳兩側(cè)共線的三點(diǎn)，在山頂尸處測(cè)得三點(diǎn)的俯角分別為夕，

P，Y.計(jì)劃沿直線NC開通穿山隧道，請(qǐng)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，計(jì)算：

(1)PB的長(zhǎng)度

(2)隧道。石的長(zhǎng)度.

acosyADEBBC

4573■

45°60°12-3^

5~r~T

16.正方體43CD-44GA的棱長(zhǎng)為2,尸是線段42上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：平面瓦犯圈，平面43G；

⑵PB、與平面43G所成的角的余弦值為立，求PB的長(zhǎng).

3

17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形0/8C是等腰梯形，4(6,0),C(l，6)，點(diǎn)M

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

⑴當(dāng)點(diǎn)尸為線段BC中點(diǎn)時(shí)，將存繞原點(diǎn)。沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)75。到函的位置，求

點(diǎn)片的坐標(biāo);

⑵求NOCM的余弦值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)2,使（方-彳痂），而？若存在，求出實(shí)數(shù)力的取值范圍；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

18.如圖1,在矩形ABCD^,4B=1,BC=41,M是線段上（包括端點(diǎn)）的一動(dòng)點(diǎn),

如圖2,將A48W沿著8〃折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)尸的位置，滿足點(diǎn)Pe平面BCDM.

圖1圖2

PN

（1）如圖2,當(dāng)8。=2加0時(shí)，點(diǎn)N是線段PC上點(diǎn)的，DN//平面PBM,求正的值；

（2）如圖2,若點(diǎn)P在平面3CDM內(nèi)的射影E落在線段BC上.

①是否存在點(diǎn)M,使得平面PCM,若存在，求9的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由;

②當(dāng)三棱錐E-PBM的體積最大值時(shí)，求點(diǎn)E到平面PCD的距離.

19.已知函數(shù)/（x）=2cos（ox+夕）+后（0＜。＜2,0＜夕＜.

請(qǐng)?jiān)谙旅娴娜齻€(gè)條件中任選兩個(gè)解答問題.

①函數(shù)/（X）的圖象過點(diǎn)（0,272）；

②函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；

③函數(shù)/（X）相鄰對(duì)稱軸與對(duì)稱中心之間距離為1.

⑴求函數(shù)/（x）的解析式;

試卷第5頁(yè)，共6頁(yè)

⑵若"馬是函數(shù)/a）的零點(diǎn)，求cos-；2）兀的值組成的集合;

⑶當(dāng)。武-2,0）時(shí)，是否存在。滿足不等式若存在，求出。的范圍;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案ABDDCADAACDAC

題號(hào)11

答案BCD

1.A

【分析】設(shè)2=。+萬(36?!<),即可表示出口，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，解

得即可.

【詳解】設(shè)2="+瓦(。,6?1<),則三=4-及，|z|=yja2+b2,

因?yàn)閦+|z|=2+4i,即0+后""記+6i=2+4i，

UUl、la+Vi/2+b2=2fcn，fa=-3

所以〈，解得B〈，“，

b=4〔6=4

所以z=-3+4i.

故選：A

2.B

【分析】根據(jù)F+用=『-可，得￡%=0,再根據(jù)投影向量的公式計(jì)算即可.

【詳解】由題意口+31=,-坂『，a2+2a-b+b2^a2-2a-b+b2>解得Z%=0,

2

a+b\b石a-b+brr

所以2+5在B上的投影向量為MM，

故選：B.

3.D

【分析】對(duì)于ABC：根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，舉反例說明即可；對(duì)于D：根據(jù)線面垂直的

性質(zhì)和判定定理分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)ABC：在正方體中48cz)-44GA，

答案第1頁(yè)，共19頁(yè)

例如4月〃平面48C。，平面/5CD〃平面,42u平面431CQ,

但44與4。相交，故A錯(cuò)誤;

例如44〃?！?44〃平面。孰2。，eq〃平面4094

但平面CCQQn平面ADDXAX=DDX,故B錯(cuò)誤；

例如48工/C,ZCu平面/BCD,但48u平面48cD,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：若貝1]/〃加，

且加_Ltz,所以/_La,故D正確；

故選：D.

4.D

【分析】利用平移法作出異面直線。尸與GE所成角，解三角形即可求得答案.

【詳解】連接8月，因?yàn)樵谥比庵?3。-4月￡中，E,尸分別是棱2C,4G的中點(diǎn),

故G尸l|8E,C/=8E,,即四邊形GEBE,為平行四邊形，所以8FIIG&

則ND廠3即為異面直線D尸與所成角或其補(bǔ)角;

直三棱柱/8C-4耳G中，所有棱長(zhǎng)都相等，設(shè)其棱長(zhǎng)為2,連接EEDE,

則EF=2,EF\\BB{,BB{_L平面ABC,故EF_L平面ABC,DEu平面ABC,

答案第2頁(yè)，共19頁(yè)

故EhDE,。是棱的中點(diǎn)，i^DE=-AC=l,

2

則。尸=^EF"+DE-=曲，而BF=^EF'+BE1=75

DF?+BF?-DB。5+5-1_9

又DB=T,故在“DBF中，COSZDFB=

2DFBF-2.亞.下一10

由于異面直線所成角的范圍(o(],故異面直線。尸與GE所成角的余弦值是亮，

\，1U

故選：D.

5.C

【分析】根據(jù)題意，將一個(gè)單位圓等分成60個(gè)扇形，則每個(gè)扇形的圓心角均為6。，再根據(jù)

這60個(gè)扇形對(duì)應(yīng)的等腰三角形的面積之和近似等于單位圓的面積列等式，計(jì)算即可.

【詳解】將一個(gè)單位圓等分成60個(gè)扇形，則每個(gè)扇形的圓心角均為6。.

因?yàn)檫@60個(gè)扇形對(duì)應(yīng)的等腰三角形的面積之和近似等于單位圓的面積，

1314

所以60義一xlxlxsin6。p兀乂仔，所以sin6°穴——?0.105.

230

故選：C.

6.A

【分析】根據(jù)條件，利用降暴升角公式及余弦的和差角公式，得到cos(C-5)=1,即可求出

結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閟inC-sinS=cos23二上上0，整理得到

22

2sinC?sinB=1+cosA=l-cos(C+B)=1—cosCcosB+sinC?sinB,

即cosCcosB+sinC-sin5=cos(C-B)=l9

又0＜。＜兀,0＜8〈兀，得至Ij—兀＜?！?＜兀，所以C—5=0,即。=5,

故選：A.

7.D

【分析】由斜二測(cè)畫法的直觀圖，得出原圖形為直角梯形，再軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圓柱和圓錐

的組合幾何體的體積.

ff

【詳解】由題意，HC7/。?,AC'_LB'C\AC=19O?=2,

O'A1=V2，

答案第3頁(yè)，共19頁(yè)

yt

o

所以原圖形/03C中，ACHOB,OAVOB,AC=1,08=2,

AO=240,=2x拒=2收，

所以梯形M98。以邊ZC為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓柱去掉一個(gè)同底圓錐的組合體,

V=nOA2xOB--TtOA2x(OB-AC}=Ttx8x2--TcxSxl=—Tt.

3''33

故選：D.

8.A

【分析】作CO,小于。，根據(jù)已知條件可得48兩點(diǎn)在以C。為高，C4cB為母線的圓錐

的底面圓周上，再根據(jù)余弦定理可得/￡p=1572cos44。，從而判斷出要使線段工。的長(zhǎng)

度最大，則44CD最大，確定42兩點(diǎn)的位置，再利用三角形知識(shí)求解即可.

作CO_L小于0,

因?yàn)槎娼莂-m-/的平面角的大小為90°,

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得CO_Lc,

因?yàn)镹C=8C=2百，

所以43兩點(diǎn)在以C。為高，C4cB為母線的圓錐的底面圓周上，

根據(jù)余弦定理：

AD2=AC2+CD2-2AC-CD-cosZACD=(2-J+(6y-2x2備<TcosZACD

=15-12cosZT4CD,

要使線段4D的長(zhǎng)度最大，需要使得cosN/CD最小，即乙4CD最大,

所以當(dāng)45兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到公共棱〃?上時(shí)，乙4co最大,則線段的長(zhǎng)度最大.

因?yàn)橹本€8c與平面。所成角為30°,

答案第4頁(yè)，共19頁(yè)

所以NC8O=30°,

則。。=百,20=08=3，

12+12-36L

在△/C3中,根據(jù)余弦定理得:cosNNCD=

2X2A/3X2^-2

所以NO=J15—12cos//CD=15-12x=A/21

即線段AD長(zhǎng)度的最大值是V21.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解得關(guān)鍵在于根據(jù)/C=3C=2后確定點(diǎn)43軌跡，然后結(jié)合圓錐

性質(zhì)即可求解.

9.ACD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,即可得到其共軌復(fù)數(shù)，再一一判斷即可.

5+i(5+1)(1)—i+i-i2=3-2i

【詳解】對(duì)于AD,m--

2

所以z=3+2i，貝U曰=粗。+2，=,故A正確，D正確；

對(duì)于B,z的虛部為一2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（3,-2）,位于第四象限，故C正確.

故選：ACD

10.AC

【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再根據(jù)對(duì)稱中心可得再根據(jù)三角函數(shù)

性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng).

【詳解】由f(x)=cos2xcos-sin2xsin(p=cos(2x+o),

由是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,

13rt-兀兀,

RP2x—(p——Fku,左￡Z,

62

JT

解得夕=Z+加，keZ,

0

又0＜夕＜；,所以0=],

所以/(x)=cos[2x+1)

答案第5頁(yè)，共19頁(yè)

對(duì)于A選項(xiàng)：令2%+巴=攵兀，keZ,解得x=—--+—,keZ,當(dāng)左=1時(shí)，x=—,即直

612212

5兀

線五==是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故A選項(xiàng)正確；

12

兀715兀

■X寸于B項(xiàng)：令2knW2xH—<兀+2^71,keZ,角星----Fkit?X?---Fku,keZ,

61212

jr5JTTT57r

即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為-不+優(yōu)行+配,keZ,當(dāng)左=0時(shí)，函數(shù)在-不，不單調(diào)遞

I乙乙_L4J.乙

減，所以函數(shù)在,率-11]上單調(diào)遞增，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)：函數(shù)〃無)的圖象向右平移三個(gè)單位可得〉=COSC

選項(xiàng)正確;

7T,兀兀7兀一百

對(duì)于D選項(xiàng):當(dāng)xe0,-時(shí),2x+—G,所以函數(shù)〃x)=cos2x+—

66，-6-I6eT萬

即最大值為心，D選項(xiàng)錯(cuò)誤;

2

故選：AC.

11.BCD

【分析】對(duì)于A,作出對(duì)應(yīng)圖形，先證明面跖VD3//面CEV,再結(jié)合給定條件確定動(dòng)點(diǎn)軌

跡，求解長(zhǎng)度，對(duì)于B,利用給定條件確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，求解長(zhǎng)度，對(duì)于C,作出二面角的平

面角，利用余弦定理結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解正切值，對(duì)于D,先找到球心，利用

勾股定理得到半徑，求解球的表面積即可.

【詳解】對(duì)于A,如圖，取42,44中點(diǎn)星〃，且連接用

因?yàn)镋,尸分別是棱用G，CQ的中點(diǎn)，由中位線定理得MV//"，，EFHBR,

所以MN//EF，而8。=BQ、,BB[=DDi,所以四邊形BBQ、D是平行四邊形,

所以AD//42，所以BD//EF,因?yàn)镃O=NE,ND=CE,

答案第6頁(yè)，共19頁(yè)

所以四邊形MX為是平行四邊形，所以ND//CE,因?yàn)榱?面CEb,

CEu面CEF,所以ND7面CEF,因?yàn)锽DcZ面CEF,

EFu面CE尸，所以助〃面CE尸，而5。門沏=。，

所以面MNDB//面CEV,又P是正方形4片弓。內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，

且。尸〃平面C￡尸，面跖W3和面CEF相交，MN,EF是交線,

所以尸的軌跡為線段ACV,由勾股定理得肱V=HZ=20，故A錯(cuò)誤,

對(duì)于B,如圖，若AP=厲，此時(shí)44，面431clz）],

所以P的軌跡為在面4耳內(nèi)，以4為圓心，1為半徑的;圓弧,

所以P的軌跡長(zhǎng)度為：1、2兀=71:，故B正確，

42

對(duì)于C,如圖，作ETL8C,連接4GcM=S,連接/及工廠,幺。，4尸,/邑44]?，

因?yàn)檎襟wABCD-44G〃，E,F分別是棱4G,G。的中點(diǎn),

也把4G的中點(diǎn)記為廣,所以此是ACQ4的中位線，

所以EF〃RB1,而。百，4C，

所以斯，4G,而由正方體性質(zhì)得eg±面4用。4,

所以CC|_L跖，而CGc/￡=G，CG，4Gu面4Ncq,

答案第7頁(yè)，共19頁(yè)

故所EFLAS,EFA-CS,

而由勾股定理得4尸=/T=2遙，AF=AE=6,

由三線合一性質(zhì)得S是跖的中點(diǎn)，故S是CJ的中點(diǎn),

即S是4G靠近￡的四等分點(diǎn)，所以由勾股定理得/5=4記=扇，CS=5T?=3五,

/C=J16+16=4x[2,

而EF_L/S,EFICS,面/E尸c面CEF=EF,

所以N/SC是二面角/-防-。的平面角，且設(shè)該角為6,

18+34-32205

在ANSC中,由余弦定理得cos6=

2南x3近12舊-51

易得。?0,可，所以sinONO,而（評(píng)了+如2夕=1,

_89

解得sin6='回（負(fù)根舍去），所以121!。=嗎=7^=哆，

51cos。5J175

51

所以二面角/-斯-。的正切值為逑，故C正確，

5

對(duì)于D,如圖，取尸尸的中點(diǎn)G,/C的中點(diǎn)連接PE,G〃,EP,

因?yàn)槭抢?月的中點(diǎn)，E,F分別是棱耳G，G，的中點(diǎn),

所以CL=QE=B\E=BF=2,由勾股定理得所=PE=2叵,

而尸尸=4,所以EF=PE?=PF?，所以跖_(tái)LPE,

而GE=；FP=2,所以點(diǎn)G到E,F,P的距離相等，

因?yàn)镚H//AA,,由正方體性質(zhì)得AAX，面尸￡尸，

所以G"，面PEF,所以三棱錐P-CEF的外接球的球心在GH上,

答案第8頁(yè)，共19頁(yè)

設(shè)球心為。，GO=t,則〃0=47,又GP=2,CH=2C，

設(shè)三棱錐P-CEF的外接球的半徑為R,則尸O=CO=R,

在直角三角形8CO中，由勾股定理得及2=8+(4-。2,在直角三角形尸GO中，

57541

由勾股定理得斤=4+/,解得f=［，4=9+4=；,

244

41

所以三棱錐P-CEF的外接球的表面積為二X4兀=41兀，故D正確.

4

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何，解題關(guān)鍵是確定球心的位置，然后利用勾股定理

求出球的半徑，得到所要求的表面積即可.

12.V3

【分析】利用60。=20。+40。，兩角和的正切公式，進(jìn)行變形，化為所求式子的值.

【詳解】因?yàn)閠an60。=tan(20°+40。)=Jan20；：tan黑=g

1-tan20tan40

所以班-班tan20°tan40°=tan20°+tan40°,

所以tan20°+tan40°+6tan20°tan40°=正

故答案為：V3.

13.32K

【分析】由已知可得底面四邊形的外接圓圓心及為的外接圓圓心，根據(jù)余弦定理及

正弦定理可得底面外接圓半徑，進(jìn)而可得四棱柱外接球半徑，即可得外接球表面積.

【詳解】如圖所示，

答案第9頁(yè)，共19頁(yè)

所以四邊形4BCD的外接圓圓心即為△/AD的外接圓圓心，在/C中點(diǎn),

連接3D,又//=6(F,AB=4,AD=5,

所以在中，由余弦定理得

BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cosA=16+25-2x4x5xL21,

2

即5。="F，

-----B--D---

所以四邊形4BCD及△NAD的外接圓半徑—2sinN

設(shè)四邊形ABCD的外接圓圓心為a,四邊形4耳的外接圓圓心為Q，

則。。2=2,OXA=r=y/1,

直四棱柱的外接球球心為002中點(diǎn)。，即。。=gaa=l,且00|，0/,

所以外接球半徑R=Joq2+Q/2=2后，

所以外接球表面積S=樂曉=32%.

故答案為：327t

323

14.-/0.75——

42

3

【分析】第一空：由正弦定理求得sin//CB==,利用三角形垂心性質(zhì)結(jié)合三角形誘導(dǎo)公

式推得cos/P/C=sin//C8,即得答案；第二空:設(shè)/CAB=e,/CBA=a,/ACB=。,

由余弦定理求得它們的余弦值，然后由垂心性質(zhì)結(jié)合正弦定理表示出

PA+PB+PC=8(cos0+cosa+cos^),即可求得答案.

【詳解】設(shè)外接圓半徑為R,則R=4,

AB

由正弦定理，可知——-——=2R=8,

smZACBsmZACB

即sin//CB=g,由于N4C8是銳角，故css/ACB也

44

TT

又由題意可知P為三角形/2C的垂心，即APLBC,故/尸NC=]-N/C8,

所以cosNPAC=cosNNC2J=sin//CB=|-；

設(shè)ZCAB=9,ZCBA=a,/ACB=/3,

jrjrjr

則NPAC=--^,ZPBA=--6>,ZPAB=--a,

答案第10頁(yè)，共19頁(yè)

由于/C:48:5C=6:5:4,不妨假設(shè)AC=6k,AB=5k,BC=4k,k>Q,

由余弦定理知

八36/+25/—16左2316/+25^-26r1°16^+36^-25r9

cost/=------------------------=—,cosa二---------------=-yCOSp=------------------------=-

2x6kx5k42x4左x5左82x4左x6左1€

ITTT

設(shè)AD,C￡,2尸為三角形的三條高，由于/EC2+/EBC=5，NPCZ)+NCPD=5,

故NEBC=NCPD,

貝!J得NAPC=TI-ZCPD=TI-ZEBC=n-NABC,

=2R=8

所以.(?！窱一?(兀Q—sinZAPC~sinZABC

—獸―v=———=———=27?=8

同理可得smge-mN"smN/C2

(2J

故答案為：43；23

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于：涉及到三角形垂心的性質(zhì)的應(yīng)用，解答時(shí)要能靈

活地結(jié)合垂心性質(zhì)尋找角之間的關(guān)系，應(yīng)用正余弦定理，解決問題.

15.(1)673

(2)9

4

【分析】(1)由cos/=，求出sin/,從而可求出sm(60。-7),然后在APBC中利用正弦定理

可求出PB；

(2)在AP48中利用正弦定理求出,從而可求出?！?

43

【詳解】(1)因?yàn)镃OS7=M，/為銳角，所以sin7=1,

所以sin(60°-7)=sin60°cosy-cos60°sin/

V34346-3

—X-----------X—=-----------

252510

答案第11頁(yè)，共19頁(yè)

在人PBC中，/BPC=60°-y,/PCB=y,BC=\2-36,

PBBC

所以由正弦定理得

sinZPCBsin/BPC

BCsiny

所以必=

sin(60°-7)

血+而

(2)H^Jsin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos300+cos45°sin30°=

4

在APAB中，NPAB=45°,NAPB=75°,PB=66,

ABPB

所以由正弦定理得

sinZAPBsinZPAB

+

6國(guó)瓜5

尸5sin75。

貝UAB=4=9+373,

sin45°

2

所以DE=4B-4D-EB=9+3G--=9,

22

所以隧道OE的長(zhǎng)度為9.

16.(1)證明見解析

⑵血

【分析】(1)根據(jù)題意可得4GLDDi，4G，B、D、,進(jìn)而可證4G±平面BDD、B,,即可

得結(jié)果；

(2)設(shè)4在平面48cl上的射影點(diǎn)為E,連接EP,E耳，利用等體積法可得￡月=氈，結(jié)

3

合線面夾角可得尸4=6,再利用余弦定理計(jì)算可得.

【詳解】(1)證明：因?yàn)椤?,平面44G2,且平面可得

四邊形44GA為正方形，則4G-LBQ、,

且BRnDDt=2,BR,DD{u平面BDD^,所以4G平面BDDXBX,

又4Gu平面48G,所以平面BDD^1平面Ag.

(2)設(shè)片在平面43cl上的射影點(diǎn)為￡,連接ERE區(qū),

答案第12頁(yè)，共19頁(yè)

可知V48G是以邊長(zhǎng)為26■的等邊三角形，則S-G=^x2&X2也=26,

因?yàn)?「4明=心型?，BP|X2A/3XJES1=|X|X2X2X2,解得￡4=氈，

3323

設(shè)PBX與平面48G所成的角的大小為0，

因?yàn)閏os。=—，貝!|sin。=Vl-cos26=，

33

空_

貝％n〃_6.—丁‘可得PB1=6,

3PB{PBi

在ABPB、中，由余弦定理得PBj=BB；+PB2-2BB、xPBxcos?

即2=4+必2_2血尸g,解得尸B=

17.⑴、

⑵立

14

「12、

(3)存在，2e(-8,-12］口—,+??I

【分析】(1)根據(jù)題意的?(3,g)也(3,0),3(5,回，。勺=26,根據(jù)在三角形中可求得答案;

(2)根據(jù)三角形中余弦定理運(yùn)算公式可求得答案；

(3)設(shè)尸化百)，其中1V/V5,根據(jù)(刀-彳麗).07=0，可得12=(2/3)2,分類討論可

求得的范圍.

【詳解】(1)因?yàn)?/3C是等腰梯形，/(6,0),C(l,6),西=；萬，點(diǎn)P為線段5c中

點(diǎn)

所以尸(3,?M(3,0),B(5,我，則0「=3"717=2后/尸(W=30°，將麗繞原點(diǎn)。沿逆

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)75。到函的位置，如圖所示.作軸于點(diǎn)。,。耳=26,/尸?！?75°,

答案第13頁(yè)，共19頁(yè)

可得4DOP\=30°+75°-90°=15°,

cos/DOR=cosl50=cos(45°-30°)=x義；=指+亞

4

sin/OOq=sinl5°=sin(45°-30°)=—x—-—x--指一行

22224

8=0…2A冷L

DP、=OPXxsinZDO^=26x瓜=3m&,

(2)在AOCM中，OM=3,OC=y/m2,CM=駟川+0-6丫=近，

0c2+。"2_°“24+7-9_6

所以cos/OCM=

2xOCxCM2x2xV7-14

因此/OCM的余弦值也；

14

(3)設(shè)P(t,5,其中1V/V5.

OA=(6,0),AOP=(At,V3A),O4-/ldP=(6-Az,-V3/l),CM=(2,-73)

若⑨-及為_L07，則的一70M07=0,

即2x(6-加)+百x百/1=0-12-2力+3/1=0,可得12=(2l-3)2.

3

若則彳不存在,

什3貝1J2=e|u[^,5，故；le(一力，-12]u

右t,

22%—32J\2

PN

18.(z1)----

PC2

(2)①存在，PM=6，②g

【分析】(1)取3C的中點(diǎn)尸，連接DF,FN,則由面面平行的判定定理可證得平面￡WF〃

平面PAW,再利用面面平行的性質(zhì)可得網(wǎng)從而可求得結(jié)果；

答案第14頁(yè)，共19頁(yè)

(2)①當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)。重合時(shí)，AP_L平面PCM,由已知條件可證得CM_L平面PBC,則

CM1PB,再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；

②在矩形4BCD中作于。，延長(zhǎng)20交8c于點(diǎn)G,折起后得P0_LW,設(shè)

AM—PM—x,由AABMs/\BGA,可得BG=—,

X

在Rt/XPBE中，表示出PE,然后表示出％PBM=%BEM=gs.BEM?PE,利用基本不等式可

求出其最大值，從而可點(diǎn)￡到平面尸CD的距離.

【詳解】(1)取BC的中點(diǎn)尸，連接DF,FN,

因?yàn)?C=2MD,所以BF=FC=DM,

因?yàn)樗运倪呅伪貫槠叫兴倪呅危?/p>

所以。尸〃BW,

因?yàn)镈FN平面PAW,平面尸2W,

所以。尸〃平面尸3”,

因?yàn)閆W〃平面P2W,DFCDN=D,DF,DNu平面DNF,

所以平面DNF//平面PBM,

因?yàn)槠矫?。入萬門平面P5C=NF,平面尸BWc平面P5C=PB,

所以FN〃PB,

PNBF1

因?yàn)榇跏?C的中點(diǎn)，所以?=能=

PCBC2

(2)①存在點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)。重合，即尸M=應(yīng)時(shí)，尸3,平面尸CM,

理由如下：當(dāng)點(diǎn)”與點(diǎn)。重合時(shí)，則CMLBC,

因?yàn)镻E_L平面BCD,CA/u平面BCD,所以PE_LCM,

因?yàn)?CcPE=E,8C,PEu平面尸3C,

所以CM_L平面尸BC,

因?yàn)镻3u平面尸3C,所以CM,必，

因?yàn)镻3_LBW,PMC\MC=M,PM,MCu平面PAC,

所以P3_L平面PCM,

答案第15頁(yè)，共19頁(yè)

即當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)。重合，尸加=血時(shí)，必，平面PCM；

②在矩形45C。中作NOLBW于。，延長(zhǎng)/。交3C于點(diǎn)G,折起后得POL8M,

設(shè)AM=PM=x,則BM=Jl+x~,AO=/,

Vl+x2

因?yàn)锳ABM+NMBG=90°,ZABM+ZBAG=90°,

所以/AfflG=/A4G,

因?yàn)?所以/B4G=/4MB,

因?yàn)镹BAM=ZABG=90°,

所以A/BMs/iBG/,得空=變，即工=也，得8G=L,

AMABx1x

一IFxi

所以O(shè)G=AG—AO=JlT—T----/—/，

因?yàn)镻O1BM,OG1BM,OPC\OG=O,OP,OGu平面POG,

所以平面尸OG,

因?yàn)镻Gu平面尸OG,所以氏W_LPG,

因?yàn)槭阓L平面8coM,Wu平面8cDM,所以

所以點(diǎn)E與點(diǎn)G重合,

因?yàn)橐沟命c(diǎn)P的射影落在線段3C上，所以49>OG,

X1

則不二,商,解得工￡(1,@,

+x2

在RtZXPBE中，尸￡=/1一二

所以YE-PBM%—BEM="EM，PE

11J1xlxjY

=—X—X

32XX'

1

max12

答案第16頁(yè)，共19頁(yè)

當(dāng)=應(yīng)時(shí)，PE=jl一與=也,BE=EC=—,則E是3。的中點(diǎn)，

\x222

所以點(diǎn)E到平面尸CD的距離為工82=工

22

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定，考查點(diǎn)面距離的求

法，解題的關(guān)鍵是要弄清折疊前后的邊角面的關(guān)系，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于較難題.

19.（1）f—2cos（—x+—）+-\/2；

⑵{TO」}

35

（3）存在；一7＜〃＜一/.

26

【分析】（1）選擇①②，將點(diǎn)（0,2夜）代入，結(jié)合0＜°＜方可求9=?,由/（x）的圖象關(guān)于

點(diǎn)亞］對(duì)稱可得+?=g+（后eZ）,結(jié)合0＜。＜2,可得0=?,即可解出函數(shù)解

析式；選擇①③：將點(diǎn)（0,20）代入，結(jié)合0＜。＜］可求0=7，由函數(shù)/（x）相鄰對(duì)稱軸

T