高一年級期中考試

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊第一章到第三章.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.命題“立〉0,1_3》_2〉0?的否定是（）

A.Vx>0,X2-3X-2<0B.VX<0,X2-3X-2<0

C.3x>0,X2-3X-2<0D.3X<0,X2-3X-2<0

2.已知集合/={引一2<%<5},8={引2。一1<%<2。+6},若NcB={x|3<x<5},則（）

A.1B.2C.3D.4

3.函數(shù)/（x）=x2+ox-5在（—1,+co）上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

A.（-a）,2]B,C.[l,+oo）D.[2,+co）

4.已知不等式辦2+區(qū)+3〉0的解集是（一3,1）,則a+b=（）

A,-3B.-1C.1D.3

5.甲、乙、丙三人進入某比賽的決賽，若該比賽的冠軍只有1人，貝廣甲是冠軍”是"乙不是冠軍'’的（）

A,充要條件B.充分不必要條件

C,必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.若函數(shù)/（x）的定義域是卜3,7],則函數(shù)/（2x—1）的定義域是（）

A.[-7,13]B,[-5,15]C.[-1,4]D.[-2,3]

7.若x<—1,則--------有（）

X+1

A.最小值4B.最小值2

C.最大值-8D.最大值—10

8.已知函數(shù)/(x)=—2d—3X+2,若不等式+—5)〉4成立，則。的取值范圍是()

A.(―叫—2)。(3,+8)B.(-2,3)C.(-8,-3)U(2,+S)D.(-3,2)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知a>6>c,則下列不等式不一定成立的是()

A.a-b>b—cB.a2—b2>ac—bc

333222

C.a>b>cD.a>b>c

10.已知。>0,b>0,且2a+b=2ab,則()

A.a>—B.Z?>1

2

C.ab<2D.(2o-l)2+(6-l)2>2

11.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(x)=/(4—x),當(dāng)0<x42時，/(X)=X2-2X,則()

A/⑶=-1

B./(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱

C./(x)的圖象關(guān)于點(4,0)中心對稱

D.當(dāng)4WxW6時，/(%)=-x2+10x-24

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數(shù)/(%)=!：—：+則/(/(-1))=____.

3x-l,x>0,

13.已知某商品的原價為。元，由于市場原因，先降價P％(0<夕<100)出售，一段時間后，再提價2％

出售，則該商品提價后的售價該商品的原價.(填“高于”“低于”或“等于”)

14.設(shè)函數(shù)尸(x)=max{/(x),g(x)},即尸⑴表示函數(shù)/(x),g(x)中的較大者.已知函數(shù)

/(x)=|x|-2,g(x)=x2+ax+l,若心(x)的值域為則。=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知集合/={x卜3<x<5},5={x|2a+l<xV2a+7}.

（1）當(dāng)。=1時，求4UB,AcB；

（2）若幺（"|3=0,求。的取值范圍.

16.已知募函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求/（x）的解析式；

（2）若不等式（3a—3）*1<（。2一0『”成立，求a的取值范圍.

17.已知4>0,>0,且〃+26=2.

41

（1）證明：—+.

29

（2）求一+7的最小值.

ab

18.已知/（x）是定義在（。,+力）上的函數(shù)，Vx>0,.V>0,/（.w）=/（x）+/（y）,且當(dāng)x>l時，

/（x）<0.

（1）求/（1）的值.

（2）證明：/（x）是（0,+8）上的減函數(shù).

（3）若/（2）=-3,求不等式/（x—7）—9的解集.

19.已知/（x）是定義在刀上的函數(shù)，對任意的xe。，存在常數(shù)四〉0,使得恒成立，則稱

/（X）是。上的受限函數(shù)，河為/（X）的限定值.

（1）若函數(shù)/（x）=-x2+2x+7〃在［0,3］上是限定值為8的受限函數(shù)，求7〃的最大值.

（2）若函數(shù)/（》）=，9一4+4,判斷/（x）是否是受限函數(shù).若是，求出/（x）的限定值河的最小值：

若不是，請說明理由.

（3）若函數(shù)/（x）=ax+――x2--7在-,3上是限定值為11的受限函數(shù)，求。的取值范圍.

xx2

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數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊第一章到第三章.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.命題“立〉0,1_3》_2〉0?的否定是（）

A.Vx>0,X2-3X-2<0B.VX<0,X2-3X-2<0

C.3x>0,X2-3X-2<0D.3X<0,X2-3X-2<0

【答案】C

【解析】

【分析】由全稱命題的否定為特稱命題即可求解.

【詳解】命題“Vx>0,必―3x—2〉0”的否定是“%>0,x2-3x-2<0,,.

故選：C

2.已知集合/={x|-2<x<5},8={x|2a-l<x<2。+6},若NcB={x|3<x<5},則（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由Nc8={x|3<x<5},分析集合48的端點值，知2a—1=3,求解即可

【詳解】由題意可得2a—1=3,解得a=2.

故選：B.

3.函數(shù)/（x）=x2+ax—5在（―1,+s）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）

A.(-°°,2]B,C,[l,+oo)D.[2,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】由二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系即可判斷.

【詳解】/(x)=Y+ax—5的對稱軸為：x=—|,

由題意可得—1,解得a22.

2

故選：D

4.已知不等式辦2+法+3〉0的解集是(一3,1),則a+b=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，借助韋達定理，列方程組，從而求得.

-3+1=--,

【詳解】由題意可得1/解得。=—1,b=-2,則a+b=—3.

-3x1=1,

.a

故選：A.

5.甲、乙、丙三人進入某比賽的決賽，若該比賽的冠軍只有1人，則“甲是冠軍''是"乙不是冠軍'’的(

A,充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】利用充分條件、必要條件的定義直接判斷即得.

【詳解】若甲是冠軍，則乙不是冠軍；若乙不是冠軍，則甲是冠軍或丙是冠軍，

所以“甲是冠軍”是“乙不是冠軍”的充分不必要條件.

故選：B

6.若函數(shù)/⑺的定義域是卜3,7],則函數(shù)/(2x—1)的定義域是()

A.[-7,13]B,[-5,15]C,[-1,4]D.[-2,3]

【答案】C

【解析】

【分析】由—3<2x—1<7,即可求解.

【詳解】因為函數(shù)/(x)的定義域是[-3,7],

所以由—3<2x—1<7,可得—即函數(shù)/(2x-l)的定義域是[―1,4].

故選：C

7.若x<-l,則----------有()

x+1

A.最小值4B,最小值2

C.最大值-8D,最大值—10

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本不等式可得答案.

【詳解】X2_2X+6=(X+1)2—4(X+1)+9=X+]+___4.

x+1x+1x+1

9

因為所以x+l<0,----<0,

x+1

所以x+l+'7=---(X+1)+|-―I<-6,

x+1+

9

當(dāng)且僅當(dāng)—(x+l)=-----即X=—4時，等號成立，

X+1

則x+l+-----4<-10,即^_有最大值—10.

x+1X+1

故選：D.

8.已知函數(shù)/(x)=—2d—3x+2,若不等式/(/—i)+/(_q—5)〉4成立，則。的取值范圍是()

A.(一叫―2)。(3,+功B.(-2,3)C.(一叫-3)U(2,+s)D.(-3,2)

【答案】B

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x),驗證其為奇函數(shù)，再將問題轉(zhuǎn)化為g(/-l)〉g(a+5),然后由單調(diào)性解抽象函

數(shù)不等式即可;

【詳解】設(shè)g(x)=/(x)—2=—2V—3X,貝Ijg(—x)=2x3+3x=—g(x),故g(x)是奇函數(shù).

不等式/(/—1)+5)〉4等價于不等式/(/—i)—2+/(—a—5)—2〉0,

即不等式g(a?—1)+g(—a—5)>0.

因為g(x)是奇函數(shù)，所以g(/-i)〉g(a+5)-

易證g(x)是R上的減函數(shù)，則1<。+5，即/一。一6<0,解得—2<a<3.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知。>b>c,則下列不等式不一定成立的是()

A.a-b>b-cB.a1-b2>ac-bc

C.a>b3>c3D.a2>b2>c2

【答案】ABD

【解析】

【分析】舉反例可說明選項A,B,D符合題意；由函數(shù)歹=/在R上為增函數(shù)可得選項c不符合題意.

【詳解】當(dāng)a=3,b=2,。=1時，a-b-b-c,A符合題意.

當(dāng)。二-1,b=-2,。=一3時，a1-b1=ac-bcB符合題意.

函數(shù)歹=/在R上為增函數(shù)，由q>b>c得c不符合題意.

當(dāng)。二一1,b=-2,。=一3時，a2<b2<c2D符合題意.

故選：ABD.

10.已知。〉0,6>0,且2a+6=2ab,則()

A.a>—B.Z?>1

2

C.ab<2D.(2t7-l)2+(6-l)2>2

【答案】ABD

【解析】

【分析】由不等式的性質(zhì)及基本不等式逐項判斷即可.

【詳解】因為2。+6=2。6,所以用二i2〃".因為4〉0,Z?>0,所以4>一i,則A正確.

2a-12

b

因為2。+6=2",所以4二因為a>0,b>0,所以)〉1,則B正確.

2(5-1).

因為。>0,b>Q,且2a+b=2ab,所以而，解得當(dāng)且僅當(dāng)2。=6=2時，等號

成立，則C錯誤.

因為2々+6=2〃6,所以6二",，所以辦一1二———-1=-----

2a-12a-12a-1

22212

所以(2。-1)+。-1)=(2。-1)+-一~2^2,當(dāng)且僅當(dāng)(2。-1)=-一-T,即。=1時，等號成

(2n-l)(2(7-1)

立，則D正確

故選：ABD

11.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(x)=/(4—x),當(dāng)0<x<2時，f(x)=x2-2x,則()

A./(3)=-1

B./(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱

C./(x)的圖象關(guān)于點(4,0)中心對稱

D,當(dāng)4Wx<6時，f(x)=-x2+10x-24

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，賦值計算判斷AB：利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解判斷CD.

【詳解】在R上的奇函數(shù)/(x)滿足/(x)=/(4-x),當(dāng)0<x?2時，f(x)=x2-2x,

對于A,由/(x)=/(4-x),得/(3)=/。)=-1,A正確；

對于B,/(—1)=—/(1)=1,/(—1)。/(3),函數(shù)/(X)的圖象不關(guān)于直線x=l對稱，B錯誤:

對于C,由/(C=/(4-x),得/(—x)=/(4+x),則/(4+x)+/(4-x)=〃r)+/(x)=(),

因此函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(4,0)中心對稱，C正確：

對于D,/(0)=0,當(dāng)04xW2時，/(X)=X2-2X,設(shè)4(X?6,則OKX—4(2,

于是/(x—4)=(x—4)2—2(X—4)=》2-lOx+24,因此/(x)=/(4—x)=-/(x—4),

所以=—J+lOx—24，D正確.

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數(shù)小)=]：—則/(/(-1))=____.

[3x-l,x＞0,

【答案】11

【解析】

【分析】由解析式即可直接求解.

【詳解】由題意可得/(—1)=(—#―(―1)+2=4,則/(/(—l))=/(4)=3x4—1=11.

故答案為：11

13.已知某商品的原價為。元，由于市場原因，先降價夕％(0＜夕＜100)出售，一段時間后，再提價。％

出售，則該商品提價后的售價該商品的原價.(填“高于”“低于”或“等于”)

【答案】低于

【解析】

【分析】根據(jù)已知第一次降價后的售價為-夕%))元，第二次提價后的售價為夕％)。+夕％)元，

再計算判斷即可.

【詳解】第一次降價后的售價為。(1—夕%)元，第二次提價后的售價為。(1—夕％)(1+夕％)元.

因為0＜夕＜100,所以0＜P％＜1,所以(1—2％)(1+2％)=1—(夕％了＜1,

所以a(l-夕%)(1+2％)＜。，即該商品提價后的售價低于該商品的原價.

故答案為：低于.

14.設(shè)函數(shù)E(x)=max{/(x),g(x)},即尸(x)表示函數(shù)/(x),g(x)中的較大者.已知函數(shù)

/(x)=|x|-2,g(x)=x2+ax+l,若E(x)的值域為則。=.

【答案】3或-3

【解析】

【分析】由/(x)=W—22—1,解得x?1或xW-1.再結(jié)合二次函數(shù)對稱軸—■jw?；颉獌煞N情況討

論即可.

【詳解】因為尸(X)的值域為[T+⑹，所以/(x)=W-2"l,解得或XW-L

g(x)=x2+ax+l,對稱軸為：x=--|,圖像恒過(0,1)

當(dāng)一■jw。時，因為尸(X)的值域為[—1,+8),

所以當(dāng)x=—l時，g(-l)=l-a+l=/(-l)=-l,解得。=3；

當(dāng)—^20,因為尸(x)的值域為[—1,+8),

所以當(dāng)X=1時，g(l)=l+?+l=/(l)=-l,解得q=_3.

綜上，。=3或。=一3.

故答案為：3或-3.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知集合/={xp3<x<5},5={x|2a+l<xW2a+7}.

(1)當(dāng)。=1時，求/U8,AcB；

(2)若Zn8=0,求。的取值范圍.

【答案】(1)N={耳一3<xV9},Nc5={x[3cx<5}

(2)(-oo,-5]U[2,+oo)

【解析】

【分析】(1)把a=1代入，利用并集、交集的定義直接求解.

(2)利用給定的交集結(jié)果，列式求出.

【小問1詳解】

當(dāng)a=l時，5={x[3<xV9},而N={x卜3<x<5},

則ZuB={耳-3<xV9},Zc3={x[3<x<5}.

【小問2詳解】

由/口5=0,得2a+125或2a+7W-3,解得a22或aW-5,

所以。的取值范圍是(―s,-5]U[2,+s).

16.已知幕函數(shù)/(x)=(m2-3m-3)xm-l是奇函數(shù).

(1)求/(X)的解析式；

(2)若不等式(3a—3/T<("—a)用

成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)/(x)=x3

(2)(-co,l)o(3,+co)

【解析】

【分析】(1)由幕函數(shù)的概念及奇函數(shù)即可求解；

(2)由函數(shù)單調(diào)性即可求解.

【小問1詳解】

因為/(X)是幕函數(shù)，所以加2—3加—3=1，即機2—3〃z—4=0，

所以(機—4)(m+1)=0,解得機=4或機=-1.

當(dāng)機=4時，/(x)=x3,止匕時/(—%)=—丁=—/(力，所以/(X)是奇函數(shù)，則機=4符合題意；

當(dāng)機=-1時，f(x)=x2,此時/(一x)=〈2=/(x),所以/(x)是偶函數(shù)，則機=—1不符合題意.

故/(x)=V.

【小問2詳解】

由⑴可知能=4,所以不等式(3"3)"1<(/一即不等式(3"3)3<卜2_"，

因為y=/為增函數(shù)，

所以3。一3<。2—。，即/一4。+3>0，

所以(。一1)(。一3)>0,解得a〉3或即口的取值范圍是(一e,l)u(3,+”).

17.已知a〉0,b>0,且a+26=2.

41

(1)證明：—+^>8.

ab

(2)求一2+'9的最小值.

ab

【答案】(1)證明見解析

(2)16

【解析】

【分析】(1)由基本不等式即可直接求證；

(2)由乘“1”法即可求解.

【小問1詳解】

證明：由基本不等式可需+Q2房=總

41

當(dāng)且僅當(dāng)下=*,即。=26=1時，等號成立.

因為。>0,b>Q,且a+2Z>=2,所以242abW2，所以。辦4；,

當(dāng)且僅當(dāng)a=28=1時，等號成立,

14

所以丁N2,所以一28.

abab

41

故-y+*N8，當(dāng)且僅當(dāng)。=2Z）=1時，等號成立.

【小問2詳解】

291/、9a“

解:因為a+2Z>2>所以一+g=5（a+2Z>）+—+20

3Mb

所以絲>0,—>0,所以竺+”〉12,

因為。〉0,b>0,

abab

4Z>9a即〃二」■,5=2時，等號成立，

當(dāng)且僅當(dāng)——=丁，

ab24

所以9+*2832,所以轉(zhuǎn)+*）

>16,

2929

則一+一216,即一+：的最小值是16.

abab

18.已知是定義在（0,+e）上的函數(shù)，Vx>0,.V>0,/（舒）=/卜）+/（田，且當(dāng)x>l時,

〃x）<0.

（1）求/（I）的值.

（2）證明：/（x）是（0,+力）上的減函數(shù).

（3）若/（2）=-3,求不等式/（x-7）-9的解集.

【答案】（1）/（1）=0

（2）證明見解析（3）（7,8）.

【解析】

【分析】（1）賦值法計算即可；（2）運用定義法證明單調(diào)性；（3）運用單調(diào)性解不等式即可.

【小問1詳解】

解：令x=y=l,得/⑴=1/1⑴+/⑴,則/(1)=0.

【小問2詳解】

證明：設(shè)玉=￥>0,x2=V>0,且玉>、2，則x>l.

因為/(w)=/(x)+/(y),所以/(再)-/(*2)=/(盯)-/(v)=/(x).

當(dāng)X〉1時，/(.X)<0,所以/(再)-/卜2)<0,所以/(X1)</(X2),

則/(X)是(0,+8)上的減函數(shù).

【小問3詳解】

令x=y=2,得〃4)=/(2)+/(2)=-6.

令x=2,y=4,得/(8)=/(2)+/(4)=—9.

因為/3)=/(x)+/(y),所以/3)-/(y)=/(x),

所以/(X_7)_/(￡|=/(X2_7X),則不等式等價于不等式

/(X2-7X)>/(8).

x—7>0,

由(2)可知〃X)是(0,+8)上的減函數(shù)，則<->0,

X

x?—7x<8,

解得7<x<8,即不等式/5-7)—/(￡|〉—9的解集為(7,8).

19.已知/(x)是定義在刀上的函數(shù)，對任意的xe。，存在常數(shù)Af〉0,使得恒成