第5章特殊平行四邊形5.1矩形第2課時(shí)矩形的判定基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)矩形的判定1.(2022山東聊城中考)要檢驗(yàn)一個(gè)四邊形的桌面是不是矩形，可行的測(cè)量方案是()A.測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線是否相等B.度量?jī)蓚€(gè)角是不是90°C.測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否相等D.測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等2.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC交BD于點(diǎn)O，再添加什么條件可以判定四邊形ABCD為矩形()A.AB∥CD，AB=AD B.OA=OC，BC=CD C.AB=CD，AC=BD D.AD=BC，AC=BD[變式]已知平行四邊形ABCD，下列條件：①AB=BC；②AC=BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能說明平行四邊形ABCD是矩形的是()A.① B.② C.③ D.④3.(2022甘肅中考)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何輔助線的前提下，要想四邊形ABCD成為一個(gè)矩形，只需添加的一個(gè)條件是.

4.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若∠ABC=90°，∠2=60°，則∠1=°.

5.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠1+∠2=90°，試作出四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)E、F、G、H，并證明四邊形EFGH是矩形.能力提升全練6.如圖，在矩形ABCD中，AB=10，P是CD邊上一點(diǎn)，M、N、E分別是PA、PB、AB的中點(diǎn)，有以下四種情況，在哪一種情況下四邊形PMEN不可能為矩形()A.AD=3 B.AD=4 C.AD=5 D.AD=67.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=3，AC=4，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連結(jié)MN，則線段MN的長(zhǎng)的最小值為.

8.如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD.(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠AOB∶∠ODC=4∶3，求∠ADO的度數(shù).9.如圖，將?ABCD的邊AB延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得AB=BE，連結(jié)DE、EC、BD，DE交BC于點(diǎn)O.(1)求證：△ABD≌△BEC；(2)若∠BOD=2∠A，求證：四邊形BECD是矩形.10.如圖，點(diǎn)E為四邊形ABCD外一點(diǎn)，AD∥BC，AD=BC，BC⊥CD，AE=DE，連結(jié)EB、EC，分別與AD相交于點(diǎn)F、G.求證：(1)△EAB≌△EDC；(2)∠EFG=∠EGF.11.如圖，在?ABCD中，AC⊥AD，作∠ECA=∠ACD，CE交AB于點(diǎn)O，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)BE.(1)求證：四邊形ACBE是矩形；(2)連結(jié)OD，若AB=4，∠ACD=60°，求OD的長(zhǎng).素養(yǎng)探究全練12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2，n)，B(m，n)(m>2)，D(p，q)(q<n)，點(diǎn)B，D在直線y=12x+1上.四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面積是2求證：四邊形ABCD是矩形.

第5章特殊平行四邊形5.1矩形第2課時(shí)矩形的判定答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.C測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否相等，如果相等，那么對(duì)角線互相平分且相等，就可以判定這個(gè)四邊形桌面是矩形，反之則不是矩形，故選項(xiàng)C符合題意.2.D再添加AD=BC，AC=BD，可判定四邊形ABCD為矩形.理由：∵AD∥BC，AD=BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵AC=BD，∴?ABCD為矩形.[變式]B當(dāng)AC=BD時(shí)，?ABCD是矩形.3.∠A=90°(答案不唯一)解析答案不唯一.如：添加∠A=90°，理由如下：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠A=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形.4.30解析∵在平行四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形.∴AO=OC=BO=OD，∴∠1=∠OBC，∵∠2=60°，∠2=∠1+∠OBC，∴2∠1=60°，解得∠1=30°.5.解析作出四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)E、F、G、H，如圖，連結(jié)EF，F(xiàn)G，GH，HE，則EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，所以EF∥GH，EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形.因?yàn)椤?+∠2=90°，所以∠BOC=90°，即AC⊥BD.因?yàn)锳C∥EF，F(xiàn)G∥BD，所以FG⊥EF，所以四邊形EFGH是矩形.能力提升全練6.D∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD=10，∠C=∠D=90°，∵M(jìn)、N、E分別是PA、PB、AB的中點(diǎn)，∴ME、NE是△ABP的中位線，∴ME∥BP，NE∥AP，∴四邊形PMEN是平行四邊形，當(dāng)∠APB=90°時(shí)，平行四邊形PMEN是矩形，設(shè)DP=x，則CP=10-x.由勾股定理得AP2=AD2+x2，BP2=BC2+(10-x)2，AP2+BP2=AB2，∴AD2+x2+AD2+(10-x)2=102，∴AD2+x2-10x=0，當(dāng)AD=3時(shí)，x2-10x+9=0，解得x=1或x=9，所以A不符合題意；當(dāng)AD=4時(shí)，x2-10x+16=0，解得x=2或x=8，所以B不符合題意；當(dāng)AD=5時(shí)，x2-10x+25=0，解得x1=x2=5，所以C不符合題意；當(dāng)AD=6時(shí)，x2-10x+36=0，(-10)2-4×1×36=-44<0，方程無(wú)解，所以D符合題意，故選D.7.12解析如圖，連結(jié)AD，∵∠BAC=90°，BA=3，AC=4，∴BC=BA∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°，∴四邊形DMAN是矩形，∴MN=AD，∴AD的長(zhǎng)最小時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD的長(zhǎng)最小，∵S△ABC=12AB·AC∴12×3×4=12×5·AD，解得故線段MN的長(zhǎng)的最小值為1258.解析(1)證明：∵AO=OC，BO=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD，∴∠DAO=∠ADO，∴AO=DO，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形.(2)∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∵∠AOB∶∠ODC=4∶3，∴∠AOB∶∠ABO=4∶3，∴∠BAO∶∠AOB∶∠ABO=3∶4∶3，∴∠ABO=54°，∵∠BAD=90°，∴∠ADO=90°-54°=36°.9.證明(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC，又∵AB=BE，∴BE∥CD，BE=CD，∴四邊形BECD是平行四邊形，∴BD=CE，∴△ABD≌△BEC(SSS).(2)由△ABD≌△BEC可得∠A=∠CBE，∵∠BOD=2∠A，∴∠BOD=2∠CBE，∵∠BOD=∠OBE+∠OEB，∴∠OBE=∠OEB，∴BO=OE，由(1)可知四邊形BECD是平行四邊形，∴BC=2BO，ED=2OE，∴BC=DE，∴平行四邊形BECD是矩形.10.證明(1)在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，BC⊥CD，∴四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°.∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA.∴∠EAB=∠EDC.∴△EAB≌△EDC.(2)∵△EAB≌△EDC，∴∠AEF=∠DEG.∵∠EAD=∠EDA，∴∠EAF+∠AEF=∠EDG+∠DEG.即∠EFG=∠EGF.11.解析(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AC⊥AD，∴∠EAC=∠DAC=90°，∵∠ECA=∠ACD，∴∠AEC=∠ADC，∴CE=CD，∴AE=AD=BC，∵AE∥BC，∴四邊形ACBE是平行四邊形，∵∠EAC=90°，∴四邊形ACBE是矩形.(2)如圖，過點(diǎn)O作OF⊥DE于F，∴∠OFA=90°.由(1)知四邊形ACBE是矩形，∴OA=OC=OB=OE，∵OF⊥DE，∴AF=EF，∴OF=12AC∵∠ACD=∠ACO=60°，∴△AOC是等邊三角形，∴AC=OA=2，∴OF=1，∴AF=3，∴EF=3，∴AD=AE=23，∴DF=AF+AD=3+2∴OD=OF素養(yǎng)探究全練12.證明∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∠BAC=∠ACD，又∵BE=DE，∴△ABE≌△CDE.∴AE=CE.∴四邊形ABCD為平行四