目錄

目錄..............................................................-1-

（一〕找規(guī)律....................................................-1-

①數(shù)列中的規(guī)律......................................-2-

②圖形中的規(guī)律.......................................-3-

（二〕數(shù)字謎....................................................-4-

①橫式字謎......................................-4-

②豎式字謎......................................-6-

（三〕定義新運(yùn)算................................................-8-

（四〕雞兔同籠..................................................-9-

（五〕行程問題...............................................-11-

①追擊及遇問題....................................-11-

②火車過橋........................................-13-

（六〕植樹問題...............................................-15-

（七〕有趣的數(shù)陣圖...........................................-18-

（八〕有趣的數(shù)陣圖練習(xí).......................................-19-

（九〕枚舉法.................................................-20-

（十〕邏輯推理...............................................-23-

■一〕抽屜原理.............................................-25-

（十二〕倒推法的妙用.........................................-27-

（十三〕火柴棍游戲...........................................-30-

①擺圖形游戲....................................-30-

②移動(dòng)火柴，變換圖形游戲..................................-31-

③去掉火柴，變換圖形游戲...................................-31-

（十四〕巧求面積習(xí)題.........................................-31-

（十五）方程式解應(yīng)用題.......................................-33-

（十六〕移多補(bǔ)少平均數(shù).......................................-34-

（十七〕一筆畫...............................................-35-

（-）找規(guī)律

觀察是解決問題的根據(jù)。通過觀察，得以揭示出事物的開展和變化規(guī)律，在一般情況

下，我們可以從以下幾個(gè)方面來找規(guī)律：

1.根據(jù)每組相鄰兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；

2.根據(jù)相隔的每?jī)蓚€(gè)數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；

3.要善于從整體上把握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從-而很快找出規(guī)律；

4.數(shù)之間的聯(lián)系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可以

認(rèn)為是正確的。

①數(shù)列中的規(guī)律

一、例題與方法指導(dǎo)

例1：先找出以下數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

1,4,7,10,(),16,19

花這列數(shù)中，相鄰的兩個(gè)數(shù)的差都是3,即每一個(gè)數(shù)加上3都等于后面的數(shù)。根據(jù)這一

規(guī)律，括號(hào)里應(yīng)填的數(shù)為：

10+3=13或16—3=13

像上面按照一定的順序排列的一串?dāng)?shù)叫做數(shù)列。

例2：先找出以下數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

1,2,4,7,(),16,22

思路導(dǎo)航:

倉(cāng)列數(shù)中，前4個(gè)數(shù)每相鄰的兩個(gè)數(shù)的差依次是1,2,3o由此可以推算7比括號(hào)里

的數(shù)少4,括號(hào)里應(yīng)填：7+4=llo

經(jīng)驗(yàn)證，所填的數(shù)是正確的。

應(yīng)填的數(shù)為：7+4=11或16-5=11

例3：先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

23,4,20,6,17,8,(),(),11,12

思路導(dǎo)航:

在這列數(shù)中，第一個(gè)數(shù)減去3的差是第三個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)加上2的和是第四個(gè)數(shù)，第

三個(gè)數(shù)減去3的差是第五個(gè)數(shù)，第四個(gè)數(shù)加上2的和是第六個(gè)數(shù)……依此規(guī)律，8后面的

一個(gè)數(shù)為：17-3:14,11前面的數(shù)為：8+2=10

二、穩(wěn)固訓(xùn)練

1.先找出以下各列數(shù)的排列規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

(1)2,6,10,14,(),22,26

(2)3,6,9,12,(),18,21

⑶33,28,23,(),13,(),3

(4)55,49,43,(),31,(),19

(5)3,6,12,1),48,(),192

⑹2,6,18,(),162,()

(7)128,64,32,(),8,(),2

(8)19,3,17,3,15,3,(),(),11,3

2.先找出以下數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

(1)10,11,13,16,20,(),31

(2)1,4,9,16,25,(),49,64

⑶3,2,5,2,7,2,(),(),11,2

(4)53,44,36,29,(),18,(),11,9,8

(5)81,64,49,36,(),16,1),4,1,0

(6)28,1,26,1,24,1,(),(),2d,1

(7)30,2,26,2,22,2,(),(),14,2

(8)1,6,4,8,7,10,(),(),13,14

三、拓展提升

先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

⑴1,6,5,10,9,14,13,(),()

⑵13,2,15,4,17,6,(),()

⑶3,29,4,28,6,26,9,23,(),(),18,14

⑷21,2,19,5,17,8,(),()

⑸32,20,29,18,26,16,(),(),20,12

(6)2,9,6,10,18,11,54,(),(),13,486

⑺1,5,2,8,4,11,8,14,(),()

(8)320,1,160,3,80,9,40,27,(),()

②圖形中的規(guī)律

我們通常會(huì)碰到一些圖形，它們?cè)谀骋环矫?，比方顏色，形狀，大小，結(jié)構(gòu)，位置或

繁難等有些共同的特征或變化規(guī)律，你能通過觀察找規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律推斷出結(jié)果嗎？

一、例題與方法指導(dǎo)

例1.下面哪個(gè)圖形和其他兒個(gè)不一樣，你能找出來嗎？

思路導(dǎo)航:

題市幾個(gè)圖形的共同特征是：先連接各邊中點(diǎn)，組成一個(gè)復(fù)合圖形。所不同的是，B圖

形是一個(gè)三角形，而其他幾個(gè)圖形都是四邊形，這樣，只有B與其他幾個(gè)不一樣。

例2.找出下組圖形中不同的項(xiàng)。

思、路導(dǎo)航:

麗市只有D圖形不是由A翻轉(zhuǎn)過來的，其他圖形都是在同一個(gè)平面內(nèi)通過把A圖形旋

轉(zhuǎn)而得到的。故不同的選項(xiàng)應(yīng)該為D

例3.在下面圖形中找出一個(gè)與眾不同的.

(1)⑵(3)(4)(5)

思路導(dǎo)航:

不容易看出題目圖中⑴逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。就是(4),但是這樣一來，(2)、(3)、(5)都與它

們不同了.題目上要求找出一個(gè).所以放棄這種想法.

圖⑵順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，且大、小兩個(gè)矩形顏色互換一下就得到(5).而圖(1)與⑶的變化

規(guī)律也是這樣:順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，大小兩局部顏色互換.因此⑴與⑶配對(duì)，(2)與⑸配對(duì).

解:與眾不同的是題目圖中的(4).

例4.依照下面圖中所給圖形的變化規(guī)律,在空格中填圖.

思路曼航:

”我桁刀花盆、花莖、花葉、花朵四個(gè)局部逐步觀察.

⑴花盆:花盆的形狀每一行都是由同樣的三種形狀組成，所以第三行所缺的形狀便是應(yīng)填

的圖案中的花盆形狀;花盆的顏色在同一行中都是由黑、白、灰(畫有斜線)三色組成，圖中

第三行已有白、灰二色，所以應(yīng)填的花盆為黑色(如以下圖(D);

⑵花莖:如同上面一樣的分析.花莖的形狀為魚鉤狀，方向向右(如以下圖⑵)；

⑶花葉:花葉數(shù)量為兩朵,方向是向左、右平展(如以下圖(3));

⑷花朵：形狀為圓形(如以下圖(4)).

(1)(2)(3)(4)

解:依照所給圖形的變化規(guī)律，空格中應(yīng)填的圖形如圖(4).

二、穩(wěn)固訓(xùn)練

1.按順序觀察圖5—2中圖形的變化，想一想，按圖形的變化規(guī)律，在帶“？〃的空格

處應(yīng)畫什么樣的圖形？

分析觀察中，注意到圖5—1中每行三角形的個(gè)數(shù)依次減少，而正方形的個(gè)數(shù)依次增多，

且三角形的個(gè)數(shù)按4、3、X、1的順序變化.顯然X應(yīng)等于2;圖5—2中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)從左到

右逐次增多，且每一格（第一格除外）比前面的一格多兩個(gè)點(diǎn).事實(shí)上，此題中幾何圖形的變

化僅表現(xiàn)在數(shù)量關(guān)系上，是一種較為根本的、簡(jiǎn)單的變化模式。

解：在圖5-2的“？〃處應(yīng)是

2.請(qǐng)觀察右圖中已有的幾個(gè)圖形，并按規(guī)律填出空白處的圖形。

分析首先可以看出圖形的第一行、第二列都是由一個(gè)圓、一個(gè)三角形和一個(gè)正方形所

組成的；其次，在所給出的圖形中，我們發(fā)現(xiàn)各行、各列均沒有重復(fù)的圖形，而且所給出的

圖形中，只有圓、三角形和正方形三種圖形.由此，我們知道這個(gè)圖的特點(diǎn)是：

①僅由圓、三角形、正方形組成；

②各行各列中，都只有一個(gè)圓、一個(gè)三角形和一個(gè)正方形。

因此，根據(jù)不重不漏的原那么，在第二行的空格中應(yīng)填一個(gè)三角形，而第三行的空格

中應(yīng)填一個(gè)正方形。

解略。

3.按順序觀察以下圖中圖形的變化規(guī)律，并在“？〃處填上適宜的圖形.

分析顯然，圖（a）、圖（b）中都是圓，而圖（c）中卻不是圓；同時(shí)，圖（a）、（c）中都有3

個(gè)圖形，而⑹中只有兩個(gè).由此可知：圖（a）到（b）的變化規(guī)律對(duì)應(yīng)于圖（c）到（d）的變化規(guī)

律.再注意到圖（a）到圖（b）中圖形在繁簡(jiǎn)、多少、位置幾方面的變化，就容易得到圖（d）中

的圖形了。

解：在上圖的“？〃處應(yīng)填如以下圖形.

4.以下圖中的圖形是按一定規(guī)律排列的，請(qǐng)仔細(xì)觀察，并在“？〃處填上適當(dāng)?shù)膱D形.

分析此題中，首先可以注意到每個(gè)圖形都由大、小兩局部組成，而且，大、小圖形都

是由正方形、三角形和圓形組成，圖中的任意兩個(gè)圖形均不相同.因此，我們不妨試著把

大、小圖形分開來考慮，再一次觀察后我們可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)于大圖形來說，每行每列的圖形

決不重復(fù)。因此，每行每列都只有一個(gè)大正方形，一個(gè)大三角形和一個(gè)大圓，對(duì)于小圖形

也是如此，這樣，處的圖形就不難得出。

解：圖中，（b）、（f）、（h）處的圖形分別應(yīng)填下面的圖甲、圖乙、圖丙.

小結(jié)：對(duì)于較復(fù)雜的圖形來說，有時(shí)候需要把圖形分開兒局部來單獨(dú)考慮其變化規(guī)律,

從而把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。

（二）數(shù)字謎

小朋友們都玩過字謎吧，就是一種文字游戲，例如“空中碼頭〃（打一城市名）。謎底

你還記得嗎？記不得也沒關(guān)系，想想“空中〃指什么？“天〃。這個(gè)地名第1個(gè)字可能是

天?！按a頭〃指什么呢？碼頭又稱渡口，聯(lián)系這個(gè)地名開頭是“天〃字，容易想到“天津〃

這個(gè)地名，而“津〃正好又是“渡口〃的意思。這樣謎底就出來了：天津。

算式謎又被稱為“蟲食算〃，意思是說一道算式中的某些數(shù)字被蟲子吃掉了無法識(shí)別,

需要運(yùn)用四那么運(yùn)算各局部之間的關(guān)系，通過推理判定被吃掉的數(shù)字，把算式復(fù)原?！跋x

食算〃主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數(shù)字常常用口、△、☆等圖形符號(hào)或

字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸，用文字或字母來代替未知的數(shù)字，在同一

道算式中不同的文字或字母表示不同的數(shù)字，相同的數(shù)字或字母表示同一個(gè)數(shù)字。文字算

式謎也是最難的一種算式謎。

在數(shù)學(xué)里面，文字也可以組成許許多多的數(shù)學(xué)游戲，就讓我們一起來看看吧。

①橫式字謎

一、例題與方法指導(dǎo)

例1口，口8,口97在上面的3個(gè)方框內(nèi)分別填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)字，可以使得這3個(gè)數(shù)的

平均數(shù)是150o那么所填的3個(gè)數(shù)字之和是多少？

思路導(dǎo)航:150*3-8-97-5=340

所以3個(gè)數(shù)之和為3+4+5=12。

例2在以下算式的口中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得等式成立：

(1)6口口4?56二口0口，

(2)7口口8?37二口口，

(3)3口口3?2口二口17,

(4)8口口口+58=口口6。

分析：(1)6104/56=109

(2)7548/37=204

(3)3393/29=117

(4)8468/58=146

例3在算式407964-□□□=□99……98的各個(gè)方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字后，就可以使

其成為正確的等式。求其中的除數(shù)。

分析：40796/102=399...98o

例4我學(xué)數(shù)學(xué)樂X我學(xué)數(shù)學(xué)樂二數(shù)數(shù)數(shù)學(xué)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)

在上面的乘法算式中，“我、學(xué)、數(shù)、樂〃分別代表的4個(gè)不同的數(shù)字。如果“樂〃

代表9,那么“我數(shù)學(xué)〃代表的三位數(shù)是多少？

分析：學(xué)二1,我=8,數(shù)二6,81619*81619=6661661161

例5□+(口+口+□)=24在式中的4個(gè)方框內(nèi)填入4個(gè)不同的一位數(shù)，使左邊的

數(shù)比右邊的數(shù)小，并且等式成立。

思路導(dǎo)航:

這樣,我們可以先用字母代替數(shù)字，原等式寫成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b,

(a<b<c<d)

當(dāng)a=l時(shí)，有6*8/2=24,8*9/3=24；

當(dāng)a=2時(shí),有4*9/3=12,6*8/4=12,8*9/6=12；

所以，滿足要求的等式有：1+(24-64-8]=24>14-(34-84-9)=24,24-(34-44-9)

=24,24-(44-64-8)=24,24-(64-84-9]=240

例6①DX口二5口；②12+□一口二口，把1至9這9個(gè)數(shù)字分別填入上面兩個(gè)算式的

各個(gè)方框中，使等式成立，這里有3個(gè)數(shù)字己經(jīng)填好。

分析:根據(jù)第一個(gè)等式,只有兩種可能：7*8=56,6*9=54；如果為7*8=56,那么余下

的數(shù)字有：3、4、9,顯然不行；而當(dāng)6*9=54時(shí),余下的數(shù)字有:3、7、8,那么，12+3-7=8

或12+3-8=7都能滿足。

二、訓(xùn)練穩(wěn)固

1.迎迎義春春二杯迎迎杯，數(shù)數(shù)X學(xué)學(xué)二數(shù)賽賽數(shù)，春春X春春二迎迎賽賽

在上面的3個(gè)算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。如

果這3個(gè)等式都成立，那么，“迎+春+杯+數(shù)+學(xué)+賽”等于多少？

分析：考察上面三個(gè)等式，可以從最后一個(gè)等式入手：能夠滿足：春春X春春=迎迎賽

賽的只有88*88=7744,于是，春二8,迎二7,賽=4；這樣，不難得到第一個(gè)為：77*88=677

6,第二個(gè)為：55*99=5445；

所以，迎十春十杯十?dāng)?shù)+學(xué)十賽=7十8十6+5+9+4=39。

2.迎+春米春=迎春，（迎士杯）X（迎冬杯）=迎杯

在上面的兩個(gè)橫式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。那么“迎

+春+杯〃等于多少？

分析：同樣可以從第二個(gè)算式入手，發(fā)現(xiàn)滿足要求的只有（8+1）*（8+1）=81,于是,

迎二8；

這樣，第一個(gè)算式顯然只有：8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。

三、拓展提升

1.在以下各式的口中分別填入相同的兩位數(shù)：

⑴5XH2口；（2）6乂口=3口。

2.將3?9中的數(shù)填入以下各式，使算式成立，要求各式中無重復(fù)的數(shù)字：

（1）□4■□=□4■口；（2）口□。

3.在以下各式的口中填入適宜的數(shù)字：

（1）448+□□二口；（2）28224-

(3)13xan=4D6o

4.在以下各式的口中填入適宜的數(shù)：

(1)04-32=8……31；(2)5734-32=□……29；

(3)4837+口=74……27。

答案與提示練習(xí)22

4.(1)287；(2)17；()65O

②豎式字謎

一、例題與方法指導(dǎo)

例1在圖4T所示的算式中，每一個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字.那

么“喜歡〃這兩個(gè)漢字所代表的兩位數(shù)是多少？

分析：首先看個(gè)位，可以得到“歡〃是0或5,但是“歡〃是第二個(gè)數(shù)的十位，

所以“歡〃不能是0,只能是5。再看十位，"歡”是5,加上個(gè)位有進(jìn)位1,那么，加起

來后得到的“人〃就應(yīng)該是偶數(shù)，因?yàn)榻Y(jié)果的百位也是“人〃，所以“人〃只能是2；由

此可知，“喜”等于8。所以，“喜歡〃這兩個(gè)漢字所代表的兩位數(shù)就是85。

例2在圖4-2所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)

字.如果：巧+解+數(shù)+字+謎二30,那么“數(shù)字謎〃所代表的三位數(shù)是多少？

分析：還是先看個(gè)位，5個(gè)“謎〃相加的結(jié)果個(gè)位還是等于“謎〃，“謎〃必定是

5（0顯然可以排出）；接著看十位，四個(gè)“字〃相加再加上進(jìn)位2,結(jié)果尾數(shù)還是“字〃，

那說明"字”只能是6；再看百位，三個(gè)“數(shù)”相加再加上進(jìn)位2,結(jié)果尾數(shù)還是“數(shù)”，

“數(shù)〃可能是4或9：再看千位，（1）如果“數(shù)〃為4,兩個(gè)“解〃相加再加上進(jìn)位1,

結(jié)果尾數(shù)還是“解〃，那說明“解〃只能是9；5+6+4+9=24,30-24=6,“巧〃等于6與“字〃

等于6重復(fù)，不能；（2）如果“數(shù)〃為9,兩個(gè)“解”相加再加上進(jìn)位2,結(jié)果尾數(shù)還是

“解〃，那說明“解〃只能是8；5+6+9+8=28,30-28=2,可以。所以“數(shù)字謎”代表的

三位數(shù)是965o

例3在圖4-3所示的加法算式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同

的數(shù)字.請(qǐng)把這個(gè)豎式翻譯成數(shù)字算式.

分析?：首先萬位上“華”=1；再看千位，“香〃只能是8或9,那么“人〃就相應(yīng)的

只能是0或1。但是“華〃=1,所以，“人〃就是0；再看百位，“人〃=0,那么，十位

上必須有進(jìn)位，否那么“港”+“人〃還是“港〃。由此可知“回〃比“港〃大1,這樣就

說明“港〃不是9,百位向千位也沒有進(jìn)位。于是可以確定“香〃等于9的；再看十位，

“回〃+"愛〃二”港〃要有進(jìn)位的，而“回〃比”港〃大1,那么“愛〃就等于8；同時(shí):

個(gè)位必須有進(jìn)位；再看個(gè)位，兩數(shù)相加至少12,至多13,即只能是5+7或6+7,顯然“港〃

二5,“回〃二6,“歸〃二7。這樣，整個(gè)算式就是：9567+1085=10652。

例4圖4-4是一個(gè)加法豎式，其中E,F,I,N,0,RS,T,X,Y分別表示從0到9

的不同數(shù)字，且F,S不等于零.那么這個(gè)算式的結(jié)果是多少？

分析：先看個(gè)位和十位，N應(yīng)為0,E應(yīng)為5；再看最高位上，S比F大1；千位上0最

少是8；但因?yàn)镹等于0,所以，I只能是1,0只能是9；由于百位向千位進(jìn)位是2,且X

不能是0,因此決定了T、R只能是7、8這兩個(gè)；如果T=7,X=3,這是只剩下了2、4、6

三個(gè)數(shù)，無法滿足S、F是兩個(gè)連續(xù)數(shù)的要求。所以，T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F(xiàn)=2,

S=3,Y=6o所以，得到的算式結(jié)果是31486。

二、訓(xùn)練穩(wěn)固

1.在圖4-5所示的減法算式中，每一個(gè)字母代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)

字.那么D+G等于多少？

分析：先從最高位看，顯然A=l,B=0,E=9；接著看十位，因?yàn)镋等于9,說明個(gè)

位有借位，所以F只能是8；由F=8可知，0=7；這樣，D、G有2、4,3、5和4、6三種可

能。所以，D+G就可以等于6,8或10。

2.王老師家的號(hào)碼是一個(gè)七位數(shù)，把它前四位組成的數(shù)與后三位組成的數(shù)相加得

9063,把它前三位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得2529.求王老師家的號(hào)碼.

分析：我們可以用abcdefg來表示這個(gè)七位數(shù)號(hào)碼。由題意知，abcd+efg=9063,

abc+defg=2529；

首先從第一個(gè)算式可以看出，"8,從第二個(gè)算式可以看出，d二1；再回到第一個(gè)算式，g=2,

掉到第二個(gè)算式，c=7；又回到第一個(gè)算式，f=9,掉到第二個(gè)算式，b=3；那么，e=6o所

以，王老師家的號(hào)碼是8371692。

3.將一個(gè)四位數(shù)的各位順序顛倒過來，得到一個(gè)新的四位數(shù).如果新數(shù)比原數(shù)大7902,

那么在所有符合這樣條件的四位數(shù)中，原數(shù)最大是多少？

分析：用abed來表示愿四位數(shù)，那么新四位數(shù)為deba,dcba-abcd=7902；由最高

為看起，a最大為2,那么d=9；但個(gè)位上10+a-d=2,所以，a只能是1；接下來看白位，b

最大是9,那么，『8正好能滿足要求。所以，原四位數(shù)最大是1989。

三、拓展提升

1.圖4-6所示的乘法豎式成立.那么ABCDE是多少？

分析:由1/7的特點(diǎn)易知，ABCDE=42857。142857*3=428571。

2.某個(gè)自然數(shù)的個(gè)位數(shù)字是4,將這個(gè)4移到左邊首位數(shù)字的前面，所構(gòu)成的新數(shù)恰

好是原數(shù)的4倍.問原數(shù)最小是多少？

分析：由個(gè)位起逐個(gè)遞推：4*4=16,原十位為￡；4*6+1=25,原百位為5；4*5+2=22,

原千位為2；

4*2+2=10,原萬位為0；1*4=4,正好。所以，原數(shù)最小是102564。

3.在圖4-7所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)

字.那么符合題意的數(shù)“迎春杯競(jìng)賽贊〃是多少？

分析?：同第10題-?樣，也是利用1/7的特點(diǎn)。因?yàn)槊總€(gè)字母代表不同的數(shù)字，因

此“好〃只有3和6可選；

好=3,那么：142857*3=428571；好=6,那么：142857*6=857142；兩個(gè)都能滿足,所以,

符合題意的數(shù)“迎春杯競(jìng)賽贊〃可能是428571或857142。

(三)定義新運(yùn)算

定義新運(yùn)算通常是用特殊的符號(hào)表示特定的運(yùn)算意義。它的符號(hào)不同于課本上明確定

義或已經(jīng)約定的符號(hào)，例如“+、-、X、+、、＞、＜〃等。表示運(yùn)算意義的表達(dá)式，通常是

便用四那么運(yùn)算符號(hào)，例如a+b=3a-3b,新運(yùn)算使用的符號(hào)是☆,而等號(hào)右邊表示新運(yùn)算

意義的那么是四那么運(yùn)算符號(hào)。

正確解答定義新運(yùn)算這類問題的關(guān)鍵是要確切理解新運(yùn)算的意義，嚴(yán)格按照規(guī)定的法

那么進(jìn)行運(yùn)算。如果沒有給出用字母表示的規(guī)那么，那么應(yīng)通過給出的具體的數(shù)字表達(dá)式,

先求出表示定義規(guī)那么的一般表達(dá)式，方可進(jìn)行運(yùn)算。

值得注意的是：定義新運(yùn)算一般是不滿足四那么運(yùn)算中的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，所以，

不能盲目地運(yùn)用定律和運(yùn)算性質(zhì)解題。

一、例題與方法指導(dǎo)

例1.設(shè)ab都表示數(shù)，規(guī)定aZ^b表示a的4倍減去b的3倍，即aZ\b=4)＜a-3Xb,

試計(jì)算5A6,6A5o

解5A6-5X4-6X3=20-18=2

6Z\5=6X4-5X3=24-15=9

說明例1定義的△沒有交換律，計(jì)算中不得將△前后的數(shù)交換。

例2.對(duì)于兩個(gè)數(shù)a、b,規(guī)定a+b表示3Xa+2Xb,試計(jì)算(5A6)☆7,S'A(6☆7)o

思路導(dǎo)航:

先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算。

解(5☆6)☆7=(5X3+6X2)☆7=27☆7=27X3+7X2=95

5*(6*7)(6X3+7X2)=5☆32=5X3+32X2=79

說明此題定義的運(yùn)算不滿足結(jié)合律。這是與常規(guī)的運(yùn)算有區(qū)別的。

例3.2Z\3=2X3X4,4a2=4X5,一般地，對(duì)自然數(shù)a、b,aAb表示aX(a+l)X…

(a+b-1).

計(jì)算(6A3)-(5A2)O

思路導(dǎo)航:

原式=6X7—5義6

=336-30

規(guī)定：aA=a+(a+1)+(a+2)+?-?+(a+bT),其中a,b表示自然數(shù)。

例4.求1Z\1OO的值。xA10=75,求x.

思路導(dǎo)航:

(1)原式=1+2+3+…+100=(1+100)X100+2=5050

(2)原式即x+(x+l)+(x+2)+…+(X+9)=75,

所以

10X+(l+2+3+???+9)=75

10x+45=75

10x=30

x=3

二、穩(wěn)固訓(xùn)練

1.假設(shè)對(duì)所有b,=aXx,x是一個(gè)與b無關(guān)的常數(shù)；"☆b=(a+b)+2,且(1A3)

☆3=1A(3*3)o

求(1△求的值。

分析注意此題有兩種運(yùn)算，由(1A3)☆3=1A可求出x.

解因?yàn)閁A3)☆B=IA(3^3),所以UXx)

即

(x+3)+2=x

x+3=2x

x=3

因?yàn)?1A4)*2

=(1X4)*2

=(4+2)4-2

=3

2.如果規(guī)定：③=2X3X4,④=3X4X5,⑤=4X5X6,.....,⑨=8X9X10,求⑨+

⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。

解題思路

依題意可以看出：定義的新運(yùn)算為連續(xù)三個(gè)數(shù)的乘積，而且，⑤里的數(shù)就是三個(gè)連續(xù)

數(shù)中的中間的哪個(gè)數(shù)，即③是2,3,4三個(gè)連續(xù)的乘積，④是3,4,5三個(gè)連續(xù)睡的乘積,

從而不難求出⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。

解：原式=8X9X10+7X8X9-6X7X8+5X6X7-4X5X6+3X4X5-2X3X4

二720+504+-339+210-120+60-24

=1014

三、能力提升

答案

(四)雞兔同籠

雞兔同籠問題是指雞與兔同在一個(gè)籠中，雞與兔的總頭數(shù)以及雞與兔的總足數(shù)，求雞

和兔各是多少只的應(yīng)用題。這種類型題是古代趣題，在現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)中應(yīng)用廣泛，有著

十分重要的使用價(jià)值。

雞兔問題，也叫簡(jiǎn)換問題。解答時(shí)，一般采用假設(shè)法，即假定全部的只數(shù)都是雞或者

是兔，算出假定情況下的足數(shù)和實(shí)際上的足數(shù)和、足數(shù)差，然后推算出雞和兔的只數(shù)。

訐算時(shí)的主要數(shù)量關(guān)系是：

L如果假定全部是兔，那么

雞的只數(shù)二(每只兔的足數(shù)X總頭數(shù)一總足數(shù))彳(每一只雞與兔足數(shù)的差)

簡(jiǎn)單理解就是：

雞的只數(shù)二(4X總頭數(shù)一總足數(shù))?2

兔的只數(shù)二總頭數(shù)一雞的只數(shù)

2.如果假定全部是雞，那么

兔的只數(shù)二(總足數(shù)一每只雞的足數(shù)X總頭數(shù))小(每一只雞與兔足數(shù)的差)

簡(jiǎn)單寫就是

兔的只數(shù)二（總足數(shù)一2X總頭數(shù)）:2

雞的只數(shù)二總頭數(shù)一兔的只數(shù)

一、例題與方法指導(dǎo)

例1.雞兔同籠，共有100個(gè)頭，320只腳，問雞和兔各是多少只？

思路導(dǎo)航:

同看2只腳，兔有4只腳，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來，當(dāng)成一只腳，兩只

后腳也用繩子捆起來，當(dāng)成一只腳，那么兔子和雞一樣，都是2只腳。雞和兔的總腳數(shù)就

是100X2=200（只），但比實(shí)際320只腳要少320—20腳120（只），為什么會(huì)少了120只腳

呢？是因?yàn)槊恐煌米又凰阋恢磺澳_，一只后腳，而少算了一只前腳和一只后腳。也就是說

每只兔子都少算了兩只腳，一共少算了120只腳，所以兔子應(yīng)該有120：2=60（只）。

解法一：解法二：

2X100=200（只）4X100=400（只）

320-200=120（只）400-320=80（只）

1204-2=60（只）804-2=40（只）

100-60=40（只）100-40=60（只）

答：雞有40只，兔有60只。

例2.5元紙幣和2元紙幣總張數(shù)是200張，它們的總面值是940元，這兩種紙幣各多

少?gòu)垼?/p>

思、路導(dǎo)航:

，仃植設(shè)200張紙幣完全是2元，共值：

2X200=400（元）

（2）比實(shí)際少：

940—400=540（元）

（3）2元換成5元，每張?jiān)黾樱?/p>

5—2二3（元）

（4）5元紙幣有：

5404-3=180（張）

（5）2元紙幣有：

200-180=20（張）

答：有180張5元、20張2元紙幣。

例3.雞兔同籠，雞比兔多25只，腳數(shù)共176只，雞、兔各多少只？

思路導(dǎo)航:

假債去掉多的25只雞，那么一共去掉2X25:50（只）腳，那么176—50=126（只）腳

是雞和兔一樣多的腳的總數(shù)量，而一對(duì)雞兔共有2+4=6（只）腳，可以求出去掉25只雞

以后一共多少對(duì)雞和兔，然后再加上去掉的25只雞。

2X25=50（只）

176-50=126（只）

2+4=6（只）

1264-6=21（對(duì)）.....雞、兔各21只

21+25=46（只）.....雞的只數(shù)

答：雞有46只，兔有21只。

二、穩(wěn)固訓(xùn)練

1.雞兔同籠，共有頭90只，腳252只。雞兔各多少只？

2.雞兔同籠，共有頭80只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)多40只，雞兔各多少只？

3.30枚硬幣由2分和5分組成，共值9角9分，兩種硬幣各多少枚？

三、拓展提升

L雞兔共100只，雞的腳數(shù)比兔少40只，雞兔各多少只？

2.46人去劃船，一共乘坐10條船，其中大船坐7人，小船坐4人，大、小船各多少條？

3.某車棚共停放三輪車和自行車共39輛，兩種車輪總和96個(gè)，三輪車和自行車各多少輛？

（五）行程問題

行程問題是小學(xué)奧數(shù)中變化最多的一個(gè)專題，不管在奧數(shù)競(jìng)賽中還是在“小升初”的

升學(xué)考試中，都擁有非常重要的地位。行程問題中包括：火車過橋、流水行船、沿途數(shù)車、

獵狗追兔、環(huán)形行程、多人行程，等等。每一類問題都有自己的特點(diǎn)，解決方法也有所不

同，但是，行程問題無論怎么變化，都離不開“三個(gè)量，三個(gè)關(guān)系〃：

這三個(gè)量是：路程（s）、速度（v）、時(shí)間（t）

三個(gè)關(guān)系：1.簡(jiǎn)單行程：路程二速度X時(shí)間

2.相遇問題：路程和=速度和X時(shí)間

3.追擊問題：路程差=速度差X時(shí)間

牢牢把握住這三個(gè)量以及它們之間的三種關(guān)系，就會(huì)發(fā)現(xiàn)解決行程問題還是有很多方

法可循的。

①追擊及遇問題

一、例題與方法指導(dǎo)

例L有甲、乙、丙三人同時(shí)同地出發(fā)，繞一個(gè)花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與

乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和

乙相遇后3分鐘和丙相遇。問：這個(gè)花圃的周長(zhǎng)是多少米？題健是成：

這個(gè)三人行程的問題由兩個(gè)相遇、一個(gè)追擊組成，題目市所給而條件只有三個(gè)人的速

度，以及一個(gè)“3分鐘〃的時(shí)間。

第一個(gè)相遇：在3分鐘的時(shí)間里，甲、丙的路程和為（40+36]X3=2281米〕第一個(gè)追擊:

這228米是由于在開始到甲、乙相遇的時(shí)間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追

擊過程，可求出甲、乙相遇的時(shí)間為228+（38-36）=114（分鐘）

第二個(gè)相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程

所以花圃周長(zhǎng)為（40+38）XI14=8892（米）

我們把這樣一個(gè)抽象的三人行程問題分解為三個(gè)簡(jiǎn)單的問題，使解題思路更加清晰。

例2.東西兩地間有一條公路長(zhǎng)217.5千米，甲車以每小時(shí)25千米的速度從東到西地,

1.5小時(shí)后，乙車從西地出發(fā)，再經(jīng)過3小時(shí)兩車還相距15千米。乙車每小時(shí)行多少千米？

思路導(dǎo)航:

從圖中可以看出，要求乙車每小時(shí)行多少千米，關(guān)鍵要知道乙車已經(jīng)行了多少路

程和行這段路程所用的時(shí)間。

解：（1）甲車一共行多少小時(shí)？1.5+3=4.5（小時(shí)）

（2）甲車一共行多少千米路程?25x4.5=112.5（千米）

⑶乙車一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）

（4）乙車每小時(shí)行多少千米？（105-15）;3=3（）（千米）

答：乙車每小時(shí)行30千米。

例3.兄妹二人同時(shí)從家里出發(fā)到學(xué)校去，家與學(xué)校相距140（）米。哥哥騎自行車每

分鐘行200米，妹妹每分鐘走80米。哥哥剛到學(xué)校就立即返回來在途中與妹妹相遇。從出

發(fā)到相遇，妹妹走了幾分鐘？相遇處離學(xué)校有多少米？

思路導(dǎo)航:

反畫隔以看出，哥與妹妹相遇時(shí)他們所走的路程的和相當(dāng)于從家到學(xué)校距離的2倍。因

此此題可以轉(zhuǎn)化為“哥哥妹妹相距2800米，兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，哥哥每分鐘行200

米，妹妹每分鐘行80米，經(jīng)過幾分鐘相遇？〃的問題，解答就容易了。

解：⑴從家到學(xué)校的電離的2倍：距00x2=2800［米）

（2）從出發(fā)到相遇所需的時(shí)間:2800-（200+80）=10（分）

（3）相遇處到學(xué)校的距離：1400-80x10=600（米）

答：從出發(fā)到相遇，妹妹走了10分鐘，相遇處離學(xué)校有600米。

二、穩(wěn)固訓(xùn)練

1.兩城市相距328千米，甲、乙兩人騎自行車同時(shí)從兩城出發(fā)，相向而行。甲每小時(shí)

行28千米，乙每小時(shí)行22千米，乙在中途修車耽誤1小時(shí)，然后繼續(xù)行駛，與甲相遇，

求出發(fā)到相遇經(jīng)過多少時(shí)間？

分析:如果乙在中途不停車，那么甲、乙兩人從出發(fā)到相遇共行路程的和：328+22x1=350

（千米）,兩車的速度和:28+22=50（千米〃J、時(shí)）,然后根據(jù)相遇問題“路程和?速度和二相

追時(shí)間〃得350-50=7（小時(shí)）

解：（328+22x1）.（28+22）

=350-50

=7（小時(shí)）

解法2：

（328-22x1）:：28+22）

=300-5-50

=6（小時(shí)）

6+1=7（小時(shí)）

答：從出發(fā)到相遇經(jīng)過了7小時(shí)。

2.快車和慢車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開出，快車每小時(shí)行40千米，經(jīng)過3小時(shí)快車已

過中點(diǎn)12千米與慢車相遇，慢車每小時(shí)行多少千米？

分析：

從圖中可知：快車3小時(shí)行的路程40x3=12（）千米，比全程的一半多12千米，全程的一半

是120-12=108千米。而慢車3小時(shí)行的路程比全程的一半還少12千米，所以慢車3小時(shí)

行的路程是108-12=96千米，由此可以求出慢車的速度。

解：①甲乙兩地路程的一半：40x3-12=108（千米）

②慢車3小時(shí)行的路程：108-12=96（千米）

③慢車的速度：964-3=32（千米）

答：慢車每小時(shí)行32千米。

3.小華和小明同時(shí)從甲、乙兩城相向而行，在離甲城85千米處相遇，到達(dá)對(duì)方城市

后立即以原速沿原路返回，又在離甲城35千米處相遇，兩城相距多少千米？

分析：

從圖上可以看出，小華和小明兩人第一次相遇時(shí)，行了一個(gè)全程，小華行了85千米。當(dāng)小

華和小明第二次相遇時(shí)，共行了3個(gè)全程，這時(shí)小華共行了3個(gè)85千米，如果再加上35

千米，相當(dāng)于小華行了2個(gè)全程，甲乙兩地全長(zhǎng)也就可以求出來了。

解：（1）甲乙出發(fā)到第二次相遇時(shí)，小華共行了多少千米？85x3=255（千米）

（2）甲乙兩城相距多少千米？（255+35）;2=29（）:2=145（千米）

答：兩城相距145千米。

三、拓展提升

1.客車和貨車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開出，客車每小時(shí)行54千米，貨車每小時(shí)行48

千米，兩車相遇后又以原來的速度繼續(xù)前進(jìn)，客車到達(dá)乙站后立即返回，貨車到達(dá)甲站后

也立即返回，兩車再次相遇時(shí)，客車比貨車多行216千米。求甲乙兩站相距多少千米？

分析

如圖，從出發(fā)到第二次相遇時(shí)，客車和貨車共行3個(gè)全程，在這段時(shí)間里客車一共比貨車

多行216千米，客車每小時(shí)比貨車快54-48=6千米，這樣可以求出行3個(gè)全程的時(shí)間為

216:6=36小時(shí)，由此可求出行一個(gè)全程時(shí)間：36:3=12小時(shí)，因而可以求出甲乙兩站的距

禺。

解：①?gòu)某霭l(fā)到第二次是兩車行駛的時(shí)間：216-（54-48）=36（小時(shí)）

②從出發(fā)到第一次相遇所用的時(shí)間：36^3=12（小時(shí)）

③甲乙兩站的距離：（54+48）xl2=1224（千米）

答：求甲乙兩站相距1224千米。

2.甲、乙、丙三輛車同時(shí)從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車速度分別為每小時(shí)60千

米和48千米，有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發(fā)后6小時(shí)、7小時(shí)、8小時(shí)先后與甲、

乙、丙三車相遇。求丙車的速度。

分析：

解答的關(guān)鍵是求出卡車的速度，從圖上明顯看出，甲車6小時(shí)的行程與乙車7小時(shí)的行程

差正好是卡車的速度。再根據(jù)速度和、相遇時(shí)間和路程三者之間的關(guān)系，求出丙車速度。

解：（1）卡車的速度：（60x6-48x7）（7-6）=24-1=24（千米）

（2）AB兩地之間的距離：（60+24）-6=504（千米）

（3）丙車與卡車的速度和：5044-8=64（千米）

（4）丙車的速度：64-24=40（千米/小時(shí)）

答：丙車的速度每小時(shí)40千米。

3.兩列火車從某站相背而行，甲車每小時(shí)行58千米，先開出2小時(shí)后，車以每小時(shí)62

千米才開出，乙車開出5小時(shí)后，兩列火車相距多少千米？

②火車過橋

過橋問題也是行程問題的一種。首先要弄清列車通過一座橋是指從車頭上橋到車尾離橋。

列車過橋的

總路程是橋長(zhǎng)加車長(zhǎng)，這是解決過橋問題的關(guān)鍵。過橋問題也要用到一般行程問題的根本

數(shù)量關(guān)系：

過橋問題的一般數(shù)量關(guān)系是：

因?yàn)椋哼^橋的路程=橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)

所以有：通過橋的時(shí)間=〔橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)）?車速

車速=（橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)）+過橋時(shí)間

公式的變形：

橋長(zhǎng)=車速X過橋時(shí)間一車長(zhǎng)

車長(zhǎng)=車速X過橋時(shí)間一橋長(zhǎng)

后三個(gè)都是根據(jù)第二個(gè)關(guān)系式逆推出的。

火車通過隧道的問題和過橋問題的道理是一樣的，也要通過上面的數(shù)量關(guān)系來解決。

一、例題與方法指導(dǎo)

例L一列客車經(jīng)過南京長(zhǎng)江大橋，大橋長(zhǎng)6700米，這列客車長(zhǎng)1（）0米，火車每分

鐘行400米，這列客車經(jīng)過長(zhǎng)江大橋需要多少分鐘？

思路導(dǎo)航:

從火至實(shí)上橋，到火車尾離橋，這之間是火車通過這座大橋的過程，也就是過橋的路程是

橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)。通過“過橋的路程〃和“車速〃就可以求出火車過橋的時(shí)間。

(1)過橋路程：6700+100=6800(米)

(2)過橋時(shí)間:68004-400=17(分)

答：這列客車通過南京長(zhǎng)江大橋需要17分鐘。

例2.一列火車長(zhǎng)160米，全車通過440米的橋需要30秒鐘，這列火車每秒行多少

米？

思路導(dǎo)領(lǐng)^

妻想泵次車過橋的速度，就要知道“過橋的路程〃和過橋的時(shí)間。

(1)過橋的路程：160+440=600(米)

(2)火車的速度：6004-30=201米)

答：這列火車每秒行20米。

例3.某列火車通過360米的第一個(gè)隧道用了24秒鐘，接著通過第二個(gè)長(zhǎng)216米的

隧道用了16秒鐘，求這列火車的長(zhǎng)度？

火車通過第一個(gè)隧道比通過第二個(gè)隧道多用了8秒，為什么多用8秒呢？原因是第一個(gè)隧

道比第二個(gè)隧道長(zhǎng)360—216=144(米)，這144米正好和8秒相對(duì)應(yīng)，這樣可以求出車速。

火車24秒行進(jìn)的路程包括隧道長(zhǎng)和火車長(zhǎng)，減去的隧道長(zhǎng)，就是火車長(zhǎng)。

(1)第一個(gè)隧道比第二個(gè)長(zhǎng)多少米？

360—216=144(米)

(2)火車通過第一個(gè)隧道比笫二個(gè)多用幾秒？

24—16=81秒)

(3)火車每秒行多少米？

1444-8=18(米)

(4)火車24秒行多少米?

18X24=432(米)

(5)火車長(zhǎng)多少米?

432—360=72(米)

答：這列火車長(zhǎng)72米。

二、穩(wěn)固訓(xùn)練

1.某列火車通過342米的隧道用了23秒，接著通過234米的隧道用了17秒，這列火

車與另一列長(zhǎng)88米，速度為每秒22米的列車錯(cuò)車而過，問需要幾秒鐘？

思路導(dǎo)航:

通過前兩個(gè)條件，我們可以求出火車的車速和火車的車身長(zhǎng)。

(342—234)+(23—17)=18］米)……車速

18X23—342=72(米)................車身長(zhǎng)

兩車錯(cuò)車是從車頭相遇開始，直到兩車尾離開才是錯(cuò)車結(jié)束，兩車錯(cuò)車的總路程是兩個(gè)車

身之和，兩車是做相向運(yùn)動(dòng)，所以，根據(jù)“路程+速度和二相遇時(shí)間〃，可以求出兩車錯(cuò)

車需要的時(shí)間。

(72+88)+(18+22)=4(秒)

答：兩車錯(cuò)車而過，需要4秒鐘。

2.一列火車全長(zhǎng)265米，每秒行駛25米，全車要通過一座985米長(zhǎng)的大橋，問需要

多少秒鐘？

(265+985)+25=5()(秒)

答：需要50秒鐘。

3.一列長(zhǎng)50米的火車，穿過20()米長(zhǎng)的山洞用了25秒鐘，這列火車每秒行多少米？

(200+50)4-25=10(米)

答：這列火車每秒行10米。

三、拓展提升

1.一列長(zhǎng)240米的火車以每秒3（）米的速度過一座橋，從車頭上橋到車尾離橋用了1

分鐘，求這座橋長(zhǎng)多

少米？

1分二60秒

30X60—240=1560（米）

答：這座橋長(zhǎng)1560米。

2.一列貨車全長(zhǎng)240米，每秒行駛15米，全車連續(xù)通過一條隧道和一座橋，共用40

秒鐘，橋長(zhǎng)15（）米，

問這條隧道長(zhǎng)多少米？

15X40—240—150=210（米）

答：這條隧道長(zhǎng)210米。

3.一列火車開過一座長(zhǎng)1200米的大橋，需要75秒鐘，火車以同樣的速度開過路旁的

電線桿只需15秒鐘，求火車長(zhǎng)多少米？

12004-（75—15）=20（米）

20X15=30（）（米）

答：火車長(zhǎng)300米。

4.在上下行軌道上，兩列火車相對(duì)開來，一列火車長(zhǎng)182米，每秒行18米，另一列

火車每秒行17米，兩列火車錯(cuò)車而過用了10秒鐘，求另一列火車長(zhǎng)多少米？

（18+17）X10—182=168（米）

答：另一列火車長(zhǎng)168米。

（六）植樹問題

只要我們稍加留意，都會(huì)看到在馬路兩旁一般都種有樹木。細(xì)心觀察，這些樹木的問

距一般都是等距離種植的。路長(zhǎng)、間距、棵數(shù)之間存在著確定的關(guān)系，我們把這種關(guān)系叫

做“植樹問題〃。而植樹問題，一般又可分為封閉型的和不封閉型的（開放型的）。

不封閉后封閉

封閉型的和不封閉型而植樹問題，區(qū)別在于間隔數(shù)（段數(shù)）與棵數(shù)的關(guān)系：

1、不封閉型的（多為直線上），一般情況為兩端植樹，如以下圖所示，其路長(zhǎng)、間距、

棵數(shù)的關(guān)系是：

棵數(shù)=段數(shù)+1=路長(zhǎng)+間距+1

但如果只在一端植樹，如右圖所示，這時(shí)路長(zhǎng)、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是:

棵數(shù)二段數(shù):路長(zhǎng)0間距

如果兩端都不植樹，那么棵數(shù)比一端植樹還要再少一-棵，其路長(zhǎng)、間距、棵數(shù)的關(guān)系

就是：

楔數(shù)=段數(shù)一I二路長(zhǎng)+間距-I____II_U_11____

2、封閉型的情況（多為圓周形），如以下圖所示，那么：

植樹問題的三要素：

總路線長(zhǎng)、間距（棵距）長(zhǎng)、棵數(shù).

只要知道這三個(gè)要素中任意兩個(gè)要素，就可以求出第三個(gè).

植樹問題的分類：

⑴直線型的植樹問題⑵封閉型植樹問題⑶特殊類型的植樹問題

一、例題與方法指導(dǎo)

例1有一條公路長(zhǎng)1000米，在公路的一側(cè)每隔5米栽一棵垂柳，可種植垂柳多少棵？

思路導(dǎo)航:

每扁5米栽一棵垂柳，即以兩棵垂柳之間的距離5米為一段。公路的全長(zhǎng)1000米，分

成5米一段，那么里包含有100095=200段。由于公路的兩端都要求種樹，所以要種植的

棵數(shù)比分成的段數(shù)多1,所以,可種植垂柳200+1=201棵。

例2某一淡水湖的周長(zhǎng)1350米，在湖邊每隔9米種柳樹一株，在兩株柳樹中間種植2

株夾枝桃，可栽柳樹多少株?可栽夾枝桃多少株?兩株夾枝桃之間相距多少米？

思墨導(dǎo)版:

,茬面周上植樹時(shí)，由于可栽的株數(shù)等于分成的段數(shù)，所以，可栽柳樹二1350?9=150株;

由于兩株柳樹之間等距離地栽株夾枝桃，而間隔數(shù)（段數(shù)）為150,所以栽夾枝桃的株數(shù)

=2X150=300株；每隔9米種柳樹一株，在兩株夾枝桃之間等距地栽2株夾枝桃，這就變

成兩端都不植樹的情形，即2株等距離栽在9米的直線上，不含兩端，所以，每?jī)芍曛g

的距離=96（2+1）=3（米）。

例3一條街上，一旁每隔8米有一個(gè)廣告牌，從頭到尾有16個(gè)廣告牌，現(xiàn)在要進(jìn)行調(diào)

整，變成每12米有一個(gè)廣告牌。那么除了兩端的廣告牌外，中間還有幾個(gè)牌不需要移動(dòng)？

思路導(dǎo)航:

16個(gè)廣告牌，每相鄰的兩個(gè)廣告牌的間隔為8米，那么共有16-1=15個(gè)間隔，這條街

的總K度為8X15=120（米）；現(xiàn)在耍調(diào)整為每12米?個(gè)廣告牌，那么不移動(dòng)的牌離端點(diǎn)

的距離一定既是8的倍數(shù)，同時(shí)也是12的倍數(shù)；8X3=12X2=24,也就是說，每24米及其

倍數(shù)處的廣告牌可以不需要移動(dòng)；120+24=5,即段數(shù)為5個(gè)，但要扣除兩端的2個(gè)，所

以，中間不需要移動(dòng)的有5~1=4個(gè)。

事實(shí)上，所謂植樹問題只是我們對(duì)這一種類型問題的總稱，并不單指植樹問題。例如,

與之類似的還有爬樓（梯