高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省滄州市普通高中2025屆高三上學(xué)期12月教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，且，則（）A.2 B. C. D.1【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得，解得，∴，，∴.故選：C.2.命題“”的否定是（）A B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)存在量詞命題的否定可得.故選：B.3.已知向量滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：.4.為了分析某次數(shù)學(xué)模擬考試成績，在90分及以上的同學(xué)中隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的成績，得到如下成績分布表：分?jǐn)?shù)區(qū)間人據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）A.所抽取的100名同學(xué)的成績的中位數(shù)小于120B.所抽取的100名同學(xué)的成績低于130所占比例超過C.所抽取的100名同學(xué)的成績的極差不小于40且不大于60D.所抽取的100名同學(xué)的成績的平均分?jǐn)?shù)介于100至110之間【答案】C【解析】對于A選項(xiàng)，根據(jù)人數(shù)分布可知，所以所抽取的100名同學(xué)的成績的中位數(shù)不小于120，所以A選項(xiàng)不正確；對于B選項(xiàng)，所抽取的100名同學(xué)的成績低于130的人數(shù)為，故所抽取的名同學(xué)的成績低于所占比例低于，所以B選項(xiàng)不正確；對于C選項(xiàng)，所抽取的100名同學(xué)的成績的極差最大值為，極差最小值大于，所以C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，成績的平均分?jǐn)?shù)，所以D選項(xiàng)不正確，故選：C.5.已知曲線，從上任取一點(diǎn)向軸作垂線段為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，依題意可知，即因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，即，故選：A.6.已知函數(shù)，曲線y=fx與y=gx有兩個交點(diǎn)AA. B. C. D.【答案】D【解析】當(dāng)x>0時，，，當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)0,1對稱，函數(shù)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)的圖象也關(guān)于點(diǎn)0,1對稱.則兩點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)0,1對稱，所以，則，故選：D.7.已知圓臺的體積為，上?下底面的半徑分別為為圓臺的一條母線，若為圓臺上底面內(nèi)的一條直線，圓臺的母線與所成的角的最小值為，則的值為（）A.2 B. C. D.1【答案】B【解析】依題意，設(shè)圓臺的高為，則有，解得，為圓臺上底面內(nèi)的一條直線，圓臺的母線與所成的角的最小值即為母線與底面所成的角，所以.故選：B.8.若不等式恒成立，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，設(shè)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋睿獾没?易知函數(shù)在上均單調(diào)遞減，若恒成立，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，即的最小值為，故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于函數(shù)和，下列說法正確的是（）A.與有相同的最小正周期B.與一定不存在相同的零點(diǎn)C.與的圖象有相同的對稱軸D.存在區(qū)間與均單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】對于A，函數(shù)，又函數(shù)，所以函數(shù)與有相同的最小正周期，故A正確；對于B，對于函數(shù)的零點(diǎn)，可令，解得；對于函數(shù)的零點(diǎn)，可令，解得，由于，所以函數(shù)與一定不存在相同的零點(diǎn)，故B正確；對于C，對于函數(shù)的對稱軸，可令，解得；對于函數(shù)對稱軸，可令，解得，由于，所以函數(shù)與一定不存在相同的對稱軸，故C錯誤；對于D，對于函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，可令，解得；對于函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，可令，解得，由于，可令，則區(qū)間為函數(shù)與的一個共同單調(diào)遞增區(qū)間，故D正確.故選：ABD.10.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，解得或，所以?對于A選項(xiàng)，在等比數(shù)列中，，又，所以，所以A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，若，則數(shù)列遞增，，即，所以，所以B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，若，則數(shù)列遞減，，即，所以，所以C選項(xiàng)不正確；對于D選項(xiàng)，若，則數(shù)列遞減，，又，所以，所以D選項(xiàng)正確，故選：ABD.11.已知拋物線的準(zhǔn)線為，為上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（）A.與相離B.的最小值為C.的最大值為D.四邊形的面積的最小值為2【答案】BCD【解析】對于A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線的方程為，的圓心到直線的距離為，小于的半徑1，與相交，選項(xiàng)A錯誤.對于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，.令函數(shù)，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，∵時，，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，函數(shù)取得最小值5，故的最小值為，選項(xiàng)B正確.對于C選項(xiàng)，，，∵，∴，，，故的最大值為，選項(xiàng)C正確.對于D選項(xiàng)，由題意得，，.在中，.由選項(xiàng)B得的最小值為，所以，故四邊形的面積的最小值為2，選項(xiàng)D選項(xiàng)正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則__________.【答案】54【解析】，因?yàn)?，所以，?又，解得，所以.故答案為：54.13.已知分別為第一象限角和第三象限角，，則__________.【答案】【解析】依題意，，因?yàn)?，，即，所以，又，所以，，所?故答案為：.14.已知集合是由個連續(xù)正整數(shù)構(gòu)成的集合，記集合中所有元素的和為，若，則集合中最小的元素為__________.【答案】【解析】因?yàn)榧鲜怯蓚€連續(xù)正整數(shù)構(gòu)成的集合，所以集合是公差為1，項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，集合中所有元素的和為，設(shè)集合中最小的元素為，則，整理得，所以，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以為正整數(shù)，由，則當(dāng)時，，不符合為正整數(shù)，當(dāng)時，，不符合為正整數(shù)，當(dāng)時，，不符合為正整數(shù)，當(dāng)時，，不符合為正整數(shù)，當(dāng)時，，不符合為正整數(shù)，當(dāng)時，，不符合為正整數(shù)，當(dāng)時，，不符合為正整數(shù)，當(dāng)時，，符合為正整數(shù).故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對邊分別為，若.（1）求；（2）若，求的周長.解：（1）依題意，，所以，因?yàn)?，所以或，所以?（2）由，根據(jù)正弦定理和三角形內(nèi)角和定理可得，又，所以，即，又，所以，在中，因?yàn)?，則，所以，所以.根據(jù)正弦定理可得，即，所以，所以的周長為.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)的極小值小于0，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時，，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）由題意得，，當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，此時函數(shù)不存在極值，不合題意.當(dāng)時，令，即，則.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以函數(shù)在處取得極小值，且.又因?yàn)?，則等價于，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，，即不等式的解集為，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.如圖，在五棱錐中，，，.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的正弦值.（1）證明：在中，，所以，所以，即，又，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，又平面，所以；?）解：連接，在中，，所以，在中，，所以，所以，即，由（1）知，，又因?yàn)?，平面，所以平?以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，故，則，故，設(shè)平面的法向量為，則即不妨令，則，則為平面的一個法向量，依題意，為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，又因?yàn)?，所以平面與平面夾角的正弦值為.18.某學(xué)校信息科技小組為了研究“加密信息傳遞過程中被破解問題”的一項(xiàng)“微課題”，進(jìn)行了一次探究活動.將傳遞的信息編碼分別用“”四種字符代替，并隨機(jī)等可能發(fā)送，每次只傳遞一種字符，且在發(fā)送過程中，“”四種字符被破解情況如下：傳遞信息字符破解后信息字符（每一種傳遞字符等可能被破解，如“傳遞字符”等可能被破解為“”）（1）若破解后信息字符為“”，求破解正確的概率；（2）現(xiàn)已知連續(xù)三次傳遞信息字符均為“”，設(shè)被破解后信息字符正確個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若連續(xù)三次傳遞信息，被破解后信息字符均為“”，設(shè)傳遞信息字符只有一種的概率為，傳遞信息字符只有兩種的概率為，傳遞信息字符有三種的概率為，請比較的大小，并說明理由.解：（1）記破解后信息字符為為事件，傳遞信息字符為為事件，由于傳遞信息字符為時，均有的可能破解后信息字符為，則，，所以，所以；（2）由（1）可知，若傳遞信息字符為，則被破解正確的概率為，所有可能的取值為，，，，，的分布列為0123.（3）記“傳遞信息字符只有一種”為事件A，“傳遞信息字符只有兩種”為事件，“傳遞信息字符有三種”為事件，“被破解后信息字符均為''”為事件，事件A中，由（1）可知，傳遞信息字符為中的某一個，故，，所以，事件B中，傳遞信息字符為中的某兩個，且有1個字符被傳遞了2次，順序有種，故，，故，事件C中，傳遞信息字符中各一次，順序不定，，，，則，，，所以19.已知雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，且直線被雙曲線的兩條漸近線截得的線段長為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），過點(diǎn)作直線分別交橢圓于另外兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線的傾斜角為鈍角，且的面積為，證明：；（3）若，證明：直線的斜率為定值.（1）解：依題意，雙曲線的焦點(diǎn)為，則，又雙曲線的漸近線方程為，則，解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由直線的傾斜角為鈍角，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得，則恒成立，所以，，解得，因?yàn)?，所以，即直線的方程為，連接，又有，解得，從而可得，所以，且，所以，所以.根據(jù)對稱性可知，所以，所以.（3）證明：因?yàn)椋?，設(shè)，由，可得，又均在橢圓上，則有即所以，整理得，同理可得，所以直線的方程為，此時直線的斜率為，因?yàn)?，所以直線的斜率為定值.河北省滄州市普通高中2025屆高三上學(xué)期12月教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，且，則（）A.2 B. C. D.1【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得，解得，∴，，∴.故選：C.2.命題“”的否定是（）A B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)存在量詞命題的否定可得.故選：B.3.已知向量滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：.4.為了分析某次數(shù)學(xué)模擬考試成績，在90分及以上的同學(xué)中隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的成績，得到如下成績分布表：分?jǐn)?shù)區(qū)間人據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）A.所抽取的100名同學(xué)的成績的中位數(shù)小于120B.所抽取的100名同學(xué)的成績低于130所占比例超過C.所抽取的100名同學(xué)的成績的極差不小于40且不大于60D.所抽取的100名同學(xué)的成績的平均分?jǐn)?shù)介于100至110之間【答案】C【解析】對于A選項(xiàng)，根據(jù)人數(shù)分布可知，所以所抽取的100名同學(xué)的成績的中位數(shù)不小于120，所以A選項(xiàng)不正確；對于B選項(xiàng)，所抽取的100名同學(xué)的成績低于130的人數(shù)為，故所抽取的名同學(xué)的成績低于所占比例低于，所以B選項(xiàng)不正確；對于C選項(xiàng)，所抽取的100名同學(xué)的成績的極差最大值為，極差最小值大于，所以C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，成績的平均分?jǐn)?shù)，所以D選項(xiàng)不正確，故選：C.5.已知曲線，從上任取一點(diǎn)向軸作垂線段為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，依題意可知，即因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，即，故選：A.6.已知函數(shù)，曲線y=fx與y=gx有兩個交點(diǎn)AA. B. C. D.【答案】D【解析】當(dāng)x>0時，，，當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)0,1對稱，函數(shù)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)的圖象也關(guān)于點(diǎn)0,1對稱.則兩點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)0,1對稱，所以，則，故選：D.7.已知圓臺的體積為，上?下底面的半徑分別為為圓臺的一條母線，若為圓臺上底面內(nèi)的一條直線，圓臺的母線與所成的角的最小值為，則的值為（）A.2 B. C. D.1【答案】B【解析】依題意，設(shè)圓臺的高為，則有，解得，為圓臺上底面內(nèi)的一條直線，圓臺的母線與所成的角的最小值即為母線與底面所成的角，所以.故選：B.8.若不等式恒成立，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，設(shè)，則函數(shù)的定義域?yàn)?，令，解得?易知函數(shù)在上均單調(diào)遞減，若恒成立，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，即的最小值為，故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于函數(shù)和，下列說法正確的是（）A.與有相同的最小正周期B.與一定不存在相同的零點(diǎn)C.與的圖象有相同的對稱軸D.存在區(qū)間與均單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】對于A，函數(shù)，又函數(shù)，所以函數(shù)與有相同的最小正周期，故A正確；對于B，對于函數(shù)的零點(diǎn)，可令，解得；對于函數(shù)的零點(diǎn)，可令，解得，由于，所以函數(shù)與一定不存在相同的零點(diǎn)，故B正確；對于C，對于函數(shù)的對稱軸，可令，解得；對于函數(shù)對稱軸，可令，解得，由于，所以函數(shù)與一定不存在相同的對稱軸，故C錯誤；對于D，對于函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，可令，解得；對于函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，可令，解得，由于，可令，則區(qū)間為函數(shù)與的一個共同單調(diào)遞增區(qū)間，故D正確.故選：ABD.10.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，解得或，所以?對于A選項(xiàng)，在等比數(shù)列中，，又，所以，所以A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，若，則數(shù)列遞增，，即，所以，所以B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，若，則數(shù)列遞減，，即，所以，所以C選項(xiàng)不正確；對于D選項(xiàng)，若，則數(shù)列遞減，，又，所以，所以D選項(xiàng)正確，故選：ABD.11.已知拋物線的準(zhǔn)線為，為上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（）A.與相離B.的最小值為C.的最大值為D.四邊形的面積的最小值為2【答案】BCD【解析】對于A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線的方程為，的圓心到直線的距離為，小于的半徑1，與相交，選項(xiàng)A錯誤.對于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，.令函數(shù)，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，∵時，，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，函數(shù)取得最小值5，故的最小值為，選項(xiàng)B正確.對于C選項(xiàng)，，，∵，∴，，，故的最大值為，選項(xiàng)C正確.對于D選項(xiàng)，由題意得，，.在中，.由選項(xiàng)B得的最小值為，所以，故四邊形的面積的最小值為2，選項(xiàng)D選項(xiàng)正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則__________.【答案】54【解析】，因?yàn)椋?，?又，解得，所以.故答案為：54.13.已知分別為第一象限角和第三象限角，，則__________.【答案】【解析】依題意，，因?yàn)?，，即，所以，又，所以，，所?故答案為：.14.已知集合是由個連續(xù)正整數(shù)構(gòu)成的集合，記集合中所有元素的和為，若，則集合中最小的元素為__________.【答案】【解析】因?yàn)榧鲜怯蓚€連續(xù)正整數(shù)構(gòu)成的集合，所以集合是公差為1，項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，集合中所有元素的和為，設(shè)集合中最小的元素為，則，整理得，所以，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以為正整數(shù)，由，則當(dāng)時，，不符合為正整數(shù)，當(dāng)時，，不符合為正整數(shù)，當(dāng)時，，不符合為正整數(shù)，當(dāng)時，，不符合為正整數(shù)，當(dāng)時，，不符合為正整數(shù)，當(dāng)時，，不符合為正整數(shù)，當(dāng)時，，不符合為正整數(shù)，當(dāng)時，，符合為正整數(shù).故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對邊分別為，若.（1）求；（2）若，求的周長.解：（1）依題意，，所以，因?yàn)?，所以或，所以?（2）由，根據(jù)正弦定理和三角形內(nèi)角和定理可得，又，所以，即，又，所以，在中，因?yàn)?，則，所以，所以.根據(jù)正弦定理可得，即，所以，所以的周長為.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)的極小值小于0，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時，，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）由題意得，，當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，此時函數(shù)不存在極值，不合題意.當(dāng)時，令，即，則.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以函數(shù)在處取得極小值，且.又因?yàn)椋瑒t等價于，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，，即不等式的解集為，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.如圖，在五棱錐中，，，.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的正弦值.（1）證明：在中，，所以，所以，即，又，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以；?）解：連接，在中，，所以，在中，，所以，所以，即，由（1）知，，又因?yàn)椋矫?，所以平?以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，故，則，故，設(shè)平面的法向量為，則即不妨令，則，則為平面的一個法向量，依題意，為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，又因?yàn)?，所以平面與平面夾角的正弦值為.18.某學(xué)校信息科技小組為了研究“加密信息傳遞過程中被破解問題”的一項(xiàng)“微課題”，進(jìn)行了一次探究活動.將傳遞的信息編碼分別用“”四種字符代替，并隨機(jī)等可能發(fā)送，每次只傳遞一種字符，且在發(fā)送過程中，“”四種字符被破解情況如下：傳遞信息字符破解后信息字符（每一種傳遞字符等可