第01講排列與組合課程標準學習目標通過實例，總結(jié)出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理，理解并掌握兩個計數(shù)原理，并會利用計數(shù)原理解決一些簡單的問題．理解排列組合的概念、掌握排列數(shù)、組合數(shù)公式，并能解決有關(guān)的實際問題.通過對計數(shù)原理的學習，掌握兩個計數(shù)原理的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)；理解排列、組合的概念及公式的推導過程，掌握排列、組合在實際問題中的應(yīng)用.知識點01兩個計數(shù)原理1.分類加法計數(shù)原理完成一件事，如果有n類辦法，且：第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事，如果需要分成n個步驟，且：做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.【即學即練】（多選）下列命題正確的是()A從書架上任取數(shù)學書、語文書各1本是分類問題．()B分步乘法計數(shù)原理是指完成其中一步就完成了整件事情．()C分類加法計數(shù)原理可用來求完成一件事有若干類方法這類問題．()D從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問題．()知識點02排列與排列數(shù)1.排列的定義一般地，從n個不同元素中取出m個元素，并按照一定的順序排一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。2.排列數(shù)的定義從n個不同對象中取出m個對象的所有排列的個數(shù)，稱為從n個不同對象中取出m個對象的排列數(shù)，用符號表示.=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).（1）排列數(shù)公式的階乘表示全排列數(shù)公式的階乘表示:=n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1.=1\*GB3①規(guī)定:1!=1，0!=1，=1.=2\*GB3②排列數(shù)公式的階乘表示:.（2）排列數(shù)的性質(zhì)=1\*GB3①=n;=2\*GB3②=m.辨析：“排列”和“排列數(shù)”是兩個不同的概念.排列是指“從n個不同對象中，任取m個對象，按照一定順序排成一列”，它不是一個數(shù)，而是具體的一個排列(也就是具體的一件事);排列數(shù)是指“從n個不同的對象中取出m個對象的所有排列的個數(shù)”，它是一個數(shù).【即學即練】1．（24-25高二上·全國·課前預(yù)習）下列問題是排列問題的是（

）A．從8名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法B．會場中有30個座位，任選3個安排3位客人入座，有多少種坐法C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線D．從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個相乘，其結(jié)果共有多少種2.（24-25高三·上海·課堂例題）由1、2、5、7、9任取兩個數(shù)作除法，可得到不同的商的個數(shù)為（

）A．20 B．25 C．30 D．21知識點03組合與組合數(shù)組合一般地，從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象并成一組，稱為從n個不同對象中取出m個對象的一個組合．組合數(shù)從n個不同對象中取出m個對象的所有組合的個數(shù)，稱為從n個不同對象中取出m個對象的組合數(shù)，用符號表示．（1）排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系①共同點：兩者都是從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象．②不同點：排列與對象的順序有關(guān)，組合與對象的順序無關(guān)．③只有兩個組合中的對象完全相同，不論對象的順序如何，都是相同的組合，只有當兩個組合中對象不完全相同時，才是不同的組合．（2）組合與組合數(shù)的區(qū)別一個組合是具體的一件事，它不是一個數(shù)；而組合數(shù)是指所有組合的個數(shù)，它是一個數(shù)．3．組合數(shù)的性質(zhì)（1）．（2）．點睛：（1）計算時，若m>，通常不直接計算，而是根據(jù)性質(zhì)（1）改為計算．（2）要注意公式的正用、逆用、變形．尤其是當m，n都是具體自然數(shù)時的應(yīng)用．正用時是“合二為一”，即將化為；逆用則是將組合數(shù)拆開；變形則為．【即學即練3】1．（23-24高二下·陜西西安·期中）下列選項中，屬于組合問題的是（

）A．從六名學生中選三名學生參加數(shù)學、物理、化學競賽，共有多少種選法B．有十二名學生參加植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案C．從3，5，7，9中任選兩個數(shù)做指數(shù)運算，可以得到多少個冪D．從1，2，3，4中任取兩個數(shù)作為點的坐標，可以得到多少個不同的點2．（23-24高二下·山東臨沂·期中）（

）A．24 B．26 C．30 D．323．（23-24高二下·江蘇徐州·期中）一個口袋內(nèi)裝有大小相同的5個白球和2個黑球，從中取3個球，則不同的取法種數(shù)是（

）A． B． C． D．題型01分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用【典例1】家住廣州的小明同學準備周末去深圳旅游，從廣州到深圳一天中動車組有30個班次，特快列車有20個班次，汽車有40個不同班次．則小明乘坐這些交通工具去深圳不同的方法有()A．240種 B．180種C．120種 D．90種【變式1】三角形的三邊均為整數(shù)，且最長的邊為11，則這樣的三角形有()A．25個 B．26個C．32個 D．36個【變式2】在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是()A．18 B．36C．72 D．48題型02分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用【典例2】有且僅有語文、數(shù)學、英語、物理4科老師布置了作業(yè)，同一時刻3名學生都在做作業(yè)，則這3名學生做作業(yè)的可能情況有種．【變式1】某省新高考采用“”模式：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學、外語，所有學生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學、生物4個科目中選擇2個科目．已知小明同學必選化學，那么他可選擇的方案共有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．12種【變式2】已知某居民小區(qū)附近設(shè)有A，B，C，D4個核酸檢測點，居民可以選擇任意一個點位去做核酸檢測，現(xiàn)該小區(qū)的3位居民要去做核酸檢測，則檢測點的選擇共有（

）A．64種 B．81種 C．7種 D．12種【變式3】體育場南側(cè)有4個大門，北側(cè)有3個大門，某學生到該體育場練跑步，則他進出門的方案有（

）A．14種 B．7種 C．24種 D．49種【變式4】在2024年某市運動會選手選拔賽上，8名男運動員參加100米決賽．其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有________種．題型03兩個原理的綜合應(yīng)用【典例3】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出形狀相同的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有個陰眼，陰魚的頭部有個陽眼，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現(xiàn)代哲學中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律．由八卦模型圖可抽象得到正八邊形，從該正八邊形的8個頂點中任意取出4個構(gòu)成四邊形，其中梯形的個數(shù)為．

【變式1】（23-24高二下·廣東中山·期末）用數(shù)字，，，，，組成的有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高三上·上?！ら_學考試）已知集合，若且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個函數(shù)在上嚴格增函數(shù)的有序數(shù)對的個數(shù)是【變式3】某校數(shù)學課外活動小組有高一學生10人，高二學生8人，高三學生7人．①選其中1人為總負責人，有多少種不同的選法？②每一年級各選1名組長，有多少種不同的選法？③推選出其中2人去外校參觀學習，要求這2人來自不同年級，有多少種不同的選法？題型04排列及排列數(shù)公式【典例4】（24-25高三·上?！ふn堂例題）計算的值是（

）A．1 B．0.6 C．0.8 D．1.2【變式1】（23-24高二下·山東菏澤·期中），，則等于（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高二下·四川南充·階段練習）已知，那么n（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式3】（23-24高二下·寧夏吳忠·期中）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【變式4】已知，則x等于（

）A．6 B．13 C．6或13 D．12題型05組合及組合數(shù)公式【典例5】（24-25高三上·江蘇蘇州·開學考試）下列數(shù)中，與不相等的是（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）（

）A．315 B．330 C．345 D．380【變式2】（多選）（23-24高二下·陜西西安·期末）已知，，且，則（

）A． B．【變式3】（24-25高三上·重慶·階段練習）若，則的值為【變式4】（24-25高三上·河北承德·開學考試）若，則.【變式5】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若，則.題型06涂色問題【典例6】（23-24高二下·江西贛州·期中）提供6種不同顏色的顏料給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不能涂相同顏色，則不同的涂色方法共有種.【變式1】（23-24高三下·重慶·開學考試）用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F(xiàn)涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是（

）A．120 B．72 C．48 D．24【變式2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）重慶位于中國西南部、長江上游地區(qū)，地跨青藏高原與長江中下游平原的過渡地帶．東鄰湖北、湖南，南靠貴州，西接四川，北連陜西．現(xiàn)用4種顏色標注6個省份的地圖區(qū)域，相鄰省份地圖顏色不相同，則共有種涂色方式．【變式3】（2024高二下·全國·專題練習）一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n（，）等份，種植紅、黃、藍三種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．（1）如圖（1），圓環(huán)分成3等份，分別為，，，則有種不同的種植方法；（2）如圖（2），圓環(huán)分成4等份，分別為，，，，則有種不同的種植方法．題型07數(shù)字排列問題【典例7】（23-24高三上·上海虹口·期中）在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)中，小于70000的奇數(shù)有個．【變式1】（23-24高二下·廣東深圳·階段練習）我們把各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱為“八合數(shù)”(如2024是“八合數(shù)”)，則“八合數(shù)”共有（

）個.A．35 B．580 C．120 D．165【變式2】（多選）用到這個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式3】已知0，1，2，3，4，5，6共7個數(shù)字．(1)可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？(2)可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？(3)可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的四位數(shù)？（結(jié)果用數(shù)字作答）題型08相鄰問題【典例8】（24-25高三上·福建泉州·階段練習）七位漁民各駕駛一輛漁船依次進湖捕魚，甲?乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有（

）A．96種 B．120種 C．192種 D．240種【變式1】（23-24高二下·青?！て谀?0人（含甲、乙、丙）隨機站成一排，則甲、乙、丙3人站在一起的概率為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高二下·內(nèi)蒙古·期末）有本不同的書，其中語文書本，數(shù)學書本，物理書本．若將其隨機擺放到書架的同一層上，則相同科目的書相鄰的排法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【變式3】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）用0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求數(shù)字1和4相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為（

）A．192 B．240 C．380 D．720【變式4】某校畢業(yè)典禮由6個節(jié)目組成，節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙，丁必須排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有（

）A．120種 B．1580種 C．188種 D．240種題型09不相鄰問題【典例9】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）象棋作為一種古老的傳統(tǒng)棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子，現(xiàn)將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則同色棋子不相鄰的排列方式有（

）A．120種 B．24種 C．36種 D．12種【變式1】四名男生和兩名女生排一行進行合影，若要求男生甲與男生乙不相鄰，且女生A和女生B相鄰，則不同排法的種數(shù)有（

）A．288種 B．144種 C．96種 D．72種【變式2】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）一位語文老師在網(wǎng)上購買了四書五經(jīng)各一套，四書指《大學》《中庸》《論語》《孟子》，五經(jīng)指《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》，他將9本書整齊地放在同一層書架上，若四書，五經(jīng)必須分別排在一起，且《大學》和《春秋》不能相鄰，則不同方式的排列種數(shù)為（

）A．5780 B．58080 C．58042 D．5472【變式3】（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·開學考試）小明將1，4，0，3，2，2這六個數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個2不相鄰，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（

）A．144 B．72 C．36 D．24【變式4】（24-25高三上·江蘇無錫·階段練習）隨著杭州亞運會的舉辦，吉祥物“琮琮”、蓮蓮”、宸宸”火遍全國.現(xiàn)有甲、乙、丙3位運動員要與“琮琮”、蓮蓮”、宸宸”站成一排拍照留念，則這3個吉祥物互不相鄰的排隊方法數(shù)為.（用數(shù)字作答）題型10元素（位置）有限制的排列問題【典例11】中國古代的五經(jīng)指《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同學分別選取了其中一本書作為課外興趣研讀，且5名同學選取的書均不相同．若甲選《詩經(jīng)》，乙不選《春秋》，則這5名同學所有可能的選擇方法有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．54種【變式1】某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙必須排在最后一位，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有（

）A．36種 B．42種 C．48種 D．54種【變式2】4人隨機排成一排，甲不在排頭且乙不在排尾的排法有多少種（

）A．14種 B．16種 C．10種 D．13種【變式3】甲，乙，丙，丁，戊共5名同學進行勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，則5人的名次排列的所有可能情況共有（

）A．30種 B．54種 C．84種 D．120種題型11定序問題【典例4】（23-24高二下·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同學站一排，若甲在乙的左邊，則不同的站隊方式共有種.【變式1】（23-24高二下·福建福州·期中），等6人排成一列，則在的前面的排法種數(shù)是種．（用數(shù)字作答）【變式2】（23-24高二下·安徽六安·期中）高三年級某班組織元旦晚會，共準備了甲、乙、丙、丁、戊五個節(jié)目，出場時要求甲、乙、丙三個節(jié)目順序為“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相鄰），則這樣的出場排序有種（用數(shù)字作答）【變式3】（23-24高二下·西藏拉薩·期末）4名男生和3名女生站成一排.(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？(2)男生甲和男生乙不相鄰，女生甲和女生乙相鄰，排在一起的站法有多少種？(3)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？【變式4】（23-24高二下·河北唐山·期中）某學習小組共6人，其中男生3名，女生3名.(1)將6人排成一排，3名男生從左到右的順序一定（不一定相鄰），不同排法有多少種？(2)從6人中選出4人，女生甲和女生乙至少1人在內(nèi)的不同選法共有多少種？題型12分組分配問題【典例13】（24-25高三上·河北邯鄲·開學考試）在第33屆夏季奧運會期間，中國中央電視臺體育頻道在某比賽日安排甲、乙、丙、丁4個人參加當天A，B，C三個比賽場地的現(xiàn)場報道，且每個場地至少安排一人，甲不在A場地的不同安排方法數(shù)為（

）A．32 B．24 C．18 D．12【變式1】（22-23高三下·河北·階段練習）6名大學生分配到4所學校實習，每名大學生只分配到一所學校，每所學校至少分配1名大學生，則不同的分配方案共有（

）A．65 B．15800 C．2640 D．45800【變式2】（23-24高二下·河北·階段練習）暑期將至，甲?乙?丙等六名學生準備各自從四個景點中選一個景點去旅游.已知每個景點都有人選，且甲沒有選景點，則所有不同的選法種數(shù)為（

）A．540 B．720 C．1080 D．1170【變式3】（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）為貫徹落實國家關(guān)于開展中小學研學旅行的文件精神，搭建中學與高校交流的平臺，拓展學生視野，今年某中學計劃開展暑期“雙高互動”之旅夏令營活動，學生可自愿報名.其中有4名教師和6名學生報名，將報名的教師和學生分成2個組，分別安排到兩所高校，要求每個組由2名老師和3名同學組成，則學生甲和學生乙不去同一所高校的概率為（

）A． B． C． D．【變式4】（多選）（24-25高三上·吉林白城·階段練習）現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊這5名同學參加志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，且每人只安排一個工作，則下列說法正確的是（

）A．不同安排方案的種數(shù)為B．若每項工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為C．若司機工作不安排，其余三項工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為D．若每項工作至少有1人參加，甲不能從事司機工作，則不同安排方案的種數(shù)為題型13隔板法的應(yīng)用【典例14】（23-24高二下·貴州遵義·期末）方程的非負整數(shù)解個數(shù)為（

）．A．220 B．120 C．84 D．24【變式1】（23-24高三下·云南昆明·階段練習）把分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片全部分給甲、乙、丙三個人，每人至少一張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號，那么不同的分法種數(shù)為（

）A．80 B．36 C．30 D．12【變式2】（22-23高二下·北京·期末）個相同的籃球，分給甲、乙、丙三位同學（每人至少分得一個），不同分法的總數(shù)為．【變式3】（1）將個不同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，共有多少種不同的放法?（2）將個不同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法?（3）將個相同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，共有多少種不同的放法?（4）將個相同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法?（注：要寫出算式，結(jié)果用數(shù)字表示）【變式4】將10個優(yōu)秀指標分配給3個班級：(1)每班至少一個，則共有多少種分配方法？(2)任意分配共有多少種分配方法？(3)若班級為一、二、三班，名額數(shù)不少于班級數(shù)，則共有多少種分配方法？一、單選題1．（23-24高二下·廣東肇慶·階段練習）（

）A．24 B．80 C．48 D．722．（24-25高三上·廣東·開學考試）從2023年伊始，各地旅游業(yè)爆火，少林寺是河南省旅游勝地．某大學一個寢室6位同學慕名而來，游覽結(jié)束后，在門前站一排合影留念，要求相鄰，在的左邊，則不同的站法共有（

）A．480種 B．240種 C．120種 D．80種3．（23-24高三上·四川內(nèi)江·階段練習）從甲、乙等名志愿者中隨機選名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為（

）A． B． C． D．4．（21-22高二下·江蘇淮安·階段練習）學校有個優(yōu)秀學生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個年級至少個名額，則有（

）種分配方案.A． B． C． D．5．（24-25高三上·重慶涪陵·開學考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行數(shù)學建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無并列情況).甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個回答分析，5名同學可能的名次排列情況種數(shù)為（

）A．44 B．46 C．48 D．546．（23-24高二下·廣東·期中）某種產(chǎn)品的加上需要經(jīng)過A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七道工序，要求A，B兩道工序必須相鄰，C，D兩道工序不能相鄰，則不同的加工順序有（

）A．980種 B．836種C．816種 D．720種7．（24-25高三上·重慶·階段練習）如圖，無人機光影秀中，有架無人機排列成如圖所示，每架無人機均可以發(fā)出種不同顏色的光，至號的無人機顏色必須相同，、號無人機顏色必須相同，號無人機與其他無人機顏色均不相同，則這架無人機同時發(fā)光時，一共可以有（

）種燈光組合.A． B． C． D．8．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）某物流公司需要安排四個區(qū)域的快遞運送，公司現(xiàn)有甲、乙、丙三位快遞員可選派，要求每個區(qū)域只能有一個快遞員負責，每位快遞員至多負責兩個區(qū)域，則不同的安排方案共有（

）A．80種 B．54種 C．48種 D．36種二、多選題9．（23-24高二下·江蘇徐州·階段練習）用0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．可組成300個不重復(fù)的四位數(shù)B．可組成1580個不重復(fù)的四位偶數(shù)C．可組成120個能被5整除的不重復(fù)四位數(shù)D．若將組成的不重復(fù)的四位數(shù)按從小到大的順序排列，則第85個數(shù)字為230110．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）學校要安排一場文藝晚會的11個節(jié)目的演出順序，第1個節(jié)目和最后1個節(jié)目已確定，其余9個節(jié)目中有4個音樂節(jié)目，3個舞蹈節(jié)目，2個曲藝節(jié)目，則（

）A．若要求4個音樂節(jié)目排在一起，則有種不同的排法B．若要求曲藝節(jié)目甲必須在曲藝節(jié)目乙的前邊，則有種不同的排法C．若要求3個舞蹈節(jié)目不能排在一起，則有種不同的排法D．若要求音樂節(jié)目、舞蹈節(jié)目、曲藝節(jié)目分別相鄰演出，則有種不同的排法11．（22-23高三下·重慶南岸·階段練習）中國的五岳是指在中國境內(nèi)的五座名山，坐落于東西南北中五個方位，分別是東岳泰山、西岳華山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明與其父母共3人計劃在假期出游，每人選一個地方，則（

）A．3人選擇的地點均不同的方法總數(shù)為20B．恰有2人選一個地方的方法總數(shù)為80C．恰有1人選泰山的概率是D．已知小明已選擇去泰山的情況下，其父母至少有一人選擇去泰山的概率為三、填空題12．（22-23高二下·安徽阜陽·階段練習）若，則=.13．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）現(xiàn)有10人排隊，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后順序固定，則共有不同排法種．14．（24-25高三上·云南昆明·階段練習）如圖是某城區(qū)的街道平面網(wǎng)格，它由24個全等的小正方形構(gòu)成，每個小正方形的邊界都是能通行的街道道路，而小正方形的內(nèi)部都有樓房建筑（不能跨越通行）．小張家居住在街道網(wǎng)格的M處，她的工作單位在街道網(wǎng)格的N處，每天早上她從家出發(fā)，沿著街道道路去單位上班，若她要選擇最短路徑前往，則小張上班一共有種走法；若小張某天早上從家出發(fā)前往單位上班，途中要先到達街道P處吃早餐，吃完早餐再前往單位，則她一共有種最短路徑的走法．四、解答題15．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）一名同學有4本不同的數(shù)學書，5本不同的物理書，3本不同的化學書，準備分給甲、乙、丙三人，每人4本，要求甲恰好分配到2本數(shù)學書，則不同的分配方法共有多少種？16．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）為迎接端午節(jié)，某社區(qū)準備參加市里舉行的龍舟比賽，計劃從6名男選手和5名女選手中隨機選出男、女選手各2名參加此次比賽，并需要安排好龍舟上選手的座位順序，有如下方案：(1)男選手小王必須參加，并且坐在第四個位置上；(2)男選手小李和女選手小趙都要參加，并且座位不相鄰；(3)男選手小錢和男選手小周至少一人參加.17．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）從5個男生和4個女生中選出5人去擔任英語、數(shù)學、物理、化學、生物的課代表．分別求出符合下列條件的安排方法種數(shù)：(1)有女生但不少于男生；(2)女生甲不擔任物理課代表；(3)女生乙入選且不擔任生物課代表，男生甲若入選，只擔任數(shù)學或物理課代表．18．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）結(jié)合排列組合，解決下列問題．(1)將6封不同的信放到7個不同的信箱中，有多少種放法？(2)將6封不同的信放到5個不同的信箱中，每個信箱至少有一封信，有多少種放法？(3)將6封相同的信放到3個不同的信箱中，每個信箱至少有一封信，有多少種放法？(4)將4封標有序號A，B，C，D的信放到四個標有A，B，C，D的信箱中，恰有一組序號相同，則有多少種放法？19．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）現(xiàn)有名師生站成一排照相，其中老師人，男學生人，女學生人，在下列情況下，各有多少種不同的站法？(1)老師站在最中間，名女學生分別在老師的兩邊且相鄰，名男學生兩邊各人；(2)名男學生互不相鄰，男學生甲不能在兩端；(3)名老師之間必要有男女學生各人．第01講排列與組合課程標準學習目標通過實例，總結(jié)出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理，理解并掌握兩個計數(shù)原理，并會利用計數(shù)原理解決一些簡單的問題．理解排列組合的概念、掌握排列數(shù)、組合數(shù)公式，并能解決有關(guān)的實際問題.通過對計數(shù)原理的學習，掌握兩個計數(shù)原理的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)；理解排列、組合的概念及公式的推導過程，掌握排列、組合在實際問題中的應(yīng)用.知識點01兩個計數(shù)原理1.分類加法計數(shù)原理完成一件事，如果有n類辦法，且：第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事，如果需要分成n個步驟，且：做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.【即學即練】（多選）下列命題正確的是()A從書架上任取數(shù)學書、語文書各1本是分類問題．()B分步乘法計數(shù)原理是指完成其中一步就完成了整件事情．()C分類加法計數(shù)原理可用來求完成一件事有若干類方法這類問題．()D從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問題．()【答案】DD知識點02排列與排列數(shù)1.排列的定義一般地，從n個不同元素中取出m個元素，并按照一定的順序排一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。2.排列數(shù)的定義從n個不同對象中取出m個對象的所有排列的個數(shù)，稱為從n個不同對象中取出m個對象的排列數(shù)，用符號表示.=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).（1）排列數(shù)公式的階乘表示全排列數(shù)公式的階乘表示:=n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1.=1\*GB3①規(guī)定:1!=1，0!=1，=1.=2\*GB3②排列數(shù)公式的階乘表示:.（2）排列數(shù)的性質(zhì)=1\*GB3①=n;=2\*GB3②=m.辨析：“排列”和“排列數(shù)”是兩個不同的概念.排列是指“從n個不同對象中，任取m個對象，按照一定順序排成一列”，它不是一個數(shù)，而是具體的一個排列(也就是具體的一件事);排列數(shù)是指“從n個不同的對象中取出m個對象的所有排列的個數(shù)”，它是一個數(shù).【即學即練】1．（24-25高二上·全國·課前預(yù)習）下列問題是排列問題的是（

）A．從8名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法B．會場中有30個座位，任選3個安排3位客人入座，有多少種坐法C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線D．從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個相乘，其結(jié)果共有多少種【答案】C【分析】根據(jù)排列的定義逐項判斷即可.【詳解】對于A，8名同學中選取2名，不涉及順序問題，不是排列問題，A錯誤；對于B，“入座問題”，與順序有關(guān)，是排列問題，B正確；對于C，確定直線不涉及順序問題，不是排列問題，C錯誤；對于D，4個數(shù)字中任取2個，根據(jù)乘法交換律知，結(jié)果不涉及順序問題，不是排列問題，D錯誤．2.（24-25高三·上?！ふn堂例題）由1、2、5、7、9任取兩個數(shù)作除法，可得到不同的商的個數(shù)為（

）A．20 B．25 C．30 D．21【答案】A【分析】除法是有序的，故直接利用排列數(shù)求解即可.【詳解】任意兩個數(shù)作除法，可得到不同的商的個數(shù)為..知識點03組合與組合數(shù)組合一般地，從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象并成一組，稱為從n個不同對象中取出m個對象的一個組合．組合數(shù)從n個不同對象中取出m個對象的所有組合的個數(shù)，稱為從n個不同對象中取出m個對象的組合數(shù)，用符號表示．（1）排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系①共同點：兩者都是從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象．②不同點：排列與對象的順序有關(guān)，組合與對象的順序無關(guān)．③只有兩個組合中的對象完全相同，不論對象的順序如何，都是相同的組合，只有當兩個組合中對象不完全相同時，才是不同的組合．（2）組合與組合數(shù)的區(qū)別一個組合是具體的一件事，它不是一個數(shù)；而組合數(shù)是指所有組合的個數(shù)，它是一個數(shù)．3．組合數(shù)的性質(zhì)（1）．（2）．點睛：（1）計算時，若m>，通常不直接計算，而是根據(jù)性質(zhì)（1）改為計算．（2）要注意公式的正用、逆用、變形．尤其是當m，n都是具體自然數(shù)時的應(yīng)用．正用時是“合二為一”，即將化為；逆用則是將組合數(shù)拆開；變形則為．【即學即練3】1．（23-24高二下·陜西西安·期中）下列選項中，屬于組合問題的是（

）A．從六名學生中選三名學生參加數(shù)學、物理、化學競賽，共有多少種選法B．有十二名學生參加植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案C．從3，5，7，9中任選兩個數(shù)做指數(shù)運算，可以得到多少個冪D．從1，2，3，4中任取兩個數(shù)作為點的坐標，可以得到多少個不同的點【答案】C【分析】根據(jù)排列、組合的定義判斷即可.【詳解】對于A：從六名學生中選三名學生參加數(shù)學、物理、化學競賽，因為學科不一樣，且學生各不相同，所以為排列問題，故A錯誤；對于B：有十二名學生參加植樹活動，要求三人一組，可分為四組，三人一組無先后順序，屬于組合問題，故B正確；對于C：從，，，中任取兩個數(shù)進行指數(shù)運算，底數(shù)與指數(shù)有順序，所以為排列問題，故C錯誤；對于D：從，，，中任取兩個數(shù)作為點的坐標，橫、縱坐標與順序有關(guān)，所以為排列問題，故D錯誤.2．（23-24高二下·山東臨沂·期中）（

）A．24 B．26 C．30 D．32【答案】C【分析】利用排列數(shù)公式、組合數(shù)公式計算可得答案.【詳解】..3．（23-24高二下·江蘇徐州·期中）一個口袋內(nèi)裝有大小相同的5個白球和2個黑球，從中取3個球，則不同的取法種數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意由組合數(shù)公式計算可得.【詳解】根據(jù)題意，一個口袋內(nèi)裝有大小相同的個白球和個黑球，共個球，從中取個球，則有種取法．．題型01分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用【典例1】家住廣州的小明同學準備周末去深圳旅游，從廣州到深圳一天中動車組有30個班次，特快列車有20個班次，汽車有40個不同班次．則小明乘坐這些交通工具去深圳不同的方法有()A．240種 B．180種C．120種 D．90種【答案】A【解析】由加法計數(shù)原理可得小明乘坐這些交通工具去深圳不同的方法有30＋20＋4090種．【變式1】三角形的三邊均為整數(shù)，且最長的邊為11，則這樣的三角形有()A．25個 B．26個C．32個 D．36個【答案】A【解析】11是最長邊，另一邊是11時：第三邊可能是11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1，共11個；另一邊是10時：第三邊可能是10,9,8,7,6,5,4,3,2，共9個；同理，9時：9,8,7,6,5,4,3，共7個；8時：8,7,6,5,4，共5個；7時：7,6,5，共3個；6時：6，即1個．一共有1＋3＋5＋7＋9＋1136(個)．【變式2】在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是()A．18 B．36C．72 D．48【答案】C【解析】解法一按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個、7個、6個、5個、4個、3個、2個、1個．由分類加法計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋136個．解法二按個位上的數(shù)字分別是2,3,4,5,6,7,8,9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個．由分類加法計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋836個．解法三考慮兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的大小關(guān)系，利用對應(yīng)思想解決．所有的兩位數(shù)共有90個，其中，個位數(shù)字等于十位數(shù)字的兩位數(shù)為11,22,33，…，99，共9個；有10,20,30，…，90共9個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字不能調(diào)換位置，則剩余的兩位數(shù)有90－1872個．在這72個兩位數(shù)中，每一個個位數(shù)字(a)小于十位數(shù)字(b)的兩位數(shù)都有一個十位數(shù)字(a)小于個位數(shù)字(b)的兩位數(shù)與之對應(yīng)，故滿足條件的兩位數(shù)的個數(shù)是72÷236.題型02分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用【典例2】有且僅有語文、數(shù)學、英語、物理4科老師布置了作業(yè)，同一時刻3名學生都在做作業(yè)，則這3名學生做作業(yè)的可能情況有種．【答案】64【分析】根據(jù)分步乘法，每個學生做作業(yè)的情況都是4，相乘即可.【詳解】因為4科老師布置了作業(yè)，在同一時刻每個學生做作業(yè)的情況有4種可能，所以3名學生都做作業(yè)的可能情況種．故答案為:64.【變式1】某省新高考采用“”模式：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學、外語，所有學生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學、生物4個科目中選擇2個科目．已知小明同學必選化學，那么他可選擇的方案共有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．12種【答案】C【分析】應(yīng)用分步乘法求小明選擇方案的方法數(shù).【詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：①小明必選化學，則須在思想政治、地理、生物中再選出1個科目，選法有3種；②小明在物理、歷史科目中選出1個，選法有2種．由分步乘法計數(shù)原理知，小明可選擇的方案共有（種）．【變式2】已知某居民小區(qū)附近設(shè)有A，B，C，D4個核酸檢測點，居民可以選擇任意一個點位去做核酸檢測，現(xiàn)該小區(qū)的3位居民要去做核酸檢測，則檢測點的選擇共有（

）A．64種 B．81種 C．7種 D．12種【答案】A【分析】由分步計數(shù)原理計算．【詳解】3位居民依次選擇檢測點，方法數(shù)為．．【變式3】體育場南側(cè)有4個大門，北側(cè)有3個大門，某學生到該體育場練跑步，則他進出門的方案有（

）A．14種 B．7種 C．24種 D．49種【答案】A【分析】根據(jù)乘法原理即可得出．【詳解】解：學生進門有7種選擇，同樣出門也有7種選擇，由分步乘法計數(shù)原理，該學生的進出門方案有種．故選:D.【變式4】在2024年某市運動會選手選拔賽上，8名男運動員參加100米決賽．其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有________種．【答案】2880【解析】第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排．所以安排方式有4×3×224種．第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1120種．所以安排這8人的方式有24×1202880種．題型03兩個原理的綜合應(yīng)用【典例3】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出形狀相同的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有個陰眼，陰魚的頭部有個陽眼，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現(xiàn)代哲學中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律．由八卦模型圖可抽象得到正八邊形，從該正八邊形的8個頂點中任意取出4個構(gòu)成四邊形，其中梯形的個數(shù)為．

【答案】24【分析】首先分情況，先確定兩個頂點，再確定其他頂點，即可求解.【詳解】梯形的上、下底平行且不相等，如圖，

若以AB為底邊，則可構(gòu)成2個梯形，根據(jù)對稱性可知此類梯形有（個），若以AC為底邊，則可構(gòu)成1個梯形，此類梯形共有（個），所以梯形的個數(shù)是（個）．故答案為：24【變式1】（23-24高二下·廣東中山·期末）用數(shù)字，，，，，組成的有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，且是偶數(shù),按個位是和不是進行分類;個位不是時要注意選中的數(shù)有和不是情況求解.【詳解】由題意可知，這三位數(shù)是偶數(shù)，則說明其個位數(shù)為偶數(shù)，即0，2，4，有3種選擇，而由于這是一個三位數(shù)，所以百位數(shù)不能是0，有5種選擇，因為存在重復(fù)數(shù)字，由此分類討論:①當個位數(shù)為0時，則百位數(shù)有5種選擇，十位數(shù)有兩種情況，與百位數(shù)一樣，只有一種選擇，與個位數(shù)一樣，也只有一種選擇;②當個位數(shù)為2時，如果百位數(shù)為2，則十位數(shù)有6種選擇，如果百位數(shù)不為2，則百位數(shù)有4種選擇，此時十位數(shù)可以與百位數(shù)或個位數(shù)相同，有2種選擇:當個位數(shù)為4時，如果百位數(shù)為4，則十位數(shù)有6種選擇，如果百位數(shù)不為4，則百位數(shù)有4種選擇，十位數(shù)可以與百位數(shù)或個位數(shù)相同，有2種選擇綜上所述，..【變式2】（24-25高三上·上?！ら_學考試）已知集合，若且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個函數(shù)在上嚴格增函數(shù)的有序數(shù)對的個數(shù)是【答案】24【分析】滿足各個函數(shù)在上嚴格增函數(shù)的參數(shù)的取值均為，由于且互不相等，可分情況進行分類討論，再利用分類加法計數(shù)原理計算可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，滿足指數(shù)函數(shù)且，對數(shù)函數(shù)且的取值只有4個，分別為；而使它們在上嚴格增函數(shù)的取值都只有兩個，分別是；而滿足冪函數(shù)的的取值有6個（全部），使得冪函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)的取值有4個，即；由于且互不相等，有三種情況：第一種：指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，而冪函數(shù)不滿足，共有種；第二種：指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，而對數(shù)函數(shù)不滿足，共有種；第三種：對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，而指數(shù)函數(shù)不滿足，共有種；第四種：三個函數(shù)在上都是嚴格增函數(shù)，共有種；利用分類加法計數(shù)原理可得共有種；故答案為：24【變式3】某校數(shù)學課外活動小組有高一學生10人，高二學生8人，高三學生7人．①選其中1人為總負責人，有多少種不同的選法？②每一年級各選1名組長，有多少種不同的選法？③推選出其中2人去外校參觀學習，要求這2人來自不同年級，有多少種不同的選法？【解析】①若從高一學生中選，則有10種不同的選法；若從高二學生中選，則有8種不同的選法；若從高三學生中選，則有7種不同的選法；所以由分類加法計數(shù)原理知，共有10＋8＋725種不同的選法．②三個年級分別有10種，8種，7種不同選法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有10×8×75800種不同選法．③選法可分三類：一類是1人選自高一，1人選自高二，有10×880種選法；第二類是1人選自高一，1人選自高三，有10×770種選法；第三類是1人選自高二，1人選自高三，有8×7580種選法，所以共有80＋70＋580206種不同選法．題型04排列及排列數(shù)公式【典例4】（24-25高三·上?！ふn堂例題）計算的值是（

）A．1 B．0.6 C．0.8 D．1.2【答案】D【分析】根據(jù)排列數(shù)的公式即可求解.【詳解】【變式1】（23-24高二下·山東菏澤·期中），，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件利用排列數(shù)公式的意義即可得解.【詳解】因且，表示80個連續(xù)正整數(shù)的乘積，其中最大因數(shù)為，最小因數(shù)為，由排列數(shù)公式的意義得結(jié)果為，所以.【變式2】（23-24高二下·四川南充·階段練習）已知，那么n（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算求解即可.【詳解】∵，∴，∴或（舍去）..【變式3】（23-24高二下·寧夏吳忠·期中）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用排列數(shù)公式化簡并求解不等式.【詳解】不等式中，，化為，整理得，解得，因此，所以不等式的解集是.【變式4】已知，則x等于（

）A．6 B．13 C．6或13 D．12【答案】A【分析】根據(jù)排列數(shù)公式，化簡計算，結(jié)合x的范圍，即可得答案.【詳解】由題意得，化簡可得，解得或6，因為，所以且，故..題型05組合及組合數(shù)公式【典例5】（24-25高三上·江蘇蘇州·開學考試）下列數(shù)中，與不相等的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用排列數(shù)和組合數(shù)公式計算即可.【詳解】對于A，；對于B,對于C,，對于D，，【變式1】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）（

）A．315 B．330 C．345 D．380【答案】A【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】．【變式2】（多選）（23-24高二下·陜西西安·期末）已知，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)的計算公式及性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，由組合數(shù)的性質(zhì)可得，故B正確；對于C，因為，，又，所以，故C錯誤；對于D，，，故D正確.BD.【變式3】（24-25高三上·重慶·階段練習）若，則的值為【答案】69【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)及參數(shù)范圍得出參數(shù)m，再計算組合數(shù)即可.【詳解】因為，所以或，解得或,因為，所以,可得,所以.故答案為：69.【變式4】（24-25高三上·河北承德·開學考試）若，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合組合數(shù)的計算公式，準確計算，即可求解.【詳解】由組合數(shù)的計算公式，可得，解得.故答案為：.【變式5】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若，則.【答案】3【分析】利用排列數(shù)與組合數(shù)的公式即可得解.【詳解】因為，所以，則，即，解得或（舍去），所以.故答案為：3.題型06涂色問題【典例6】（23-24高二下·江西贛州·期中）提供6種不同顏色的顏料給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不能涂相同顏色，則不同的涂色方法共有種.【答案】6120【分析】根據(jù)和、和同色或者不同色分類，每一種情況中用分步乘法計數(shù)原理，最后利用分類加法計數(shù)原理得到涂色方法的數(shù)量.【詳解】假定涂色順序為若、涂相同顏色，則有種涂法；若、涂不同顏色，、涂相同顏色，則有種涂法；若、涂不同顏色，、涂不同顏色，則有種涂法；故由分類加法計數(shù)原理得不同的涂色方法共有種.故答案為：6120.【變式1】（23-24高三下·重慶·開學考試）用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F(xiàn)涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是（

）A．120 B．72 C．48 D．24【答案】A【分析】利用兩個計數(shù)原理，先分類再分步即可求解．【詳解】先涂，有4種選擇，接下來涂，有3種選擇，再涂,有2種選擇，①當,顏色相同時涂色方法數(shù)是：，②當,顏色不相同時涂色方法數(shù)是：，滿足題意的涂色方法總數(shù)是：．．【變式2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）重慶位于中國西南部、長江上游地區(qū)，地跨青藏高原與長江中下游平原的過渡地帶．東鄰湖北、湖南，南靠貴州，西接四川，北連陜西．現(xiàn)用4種顏色標注6個省份的地圖區(qū)域，相鄰省份地圖顏色不相同，則共有種涂色方式．【答案】【分析】根據(jù)題意，得到這4中顏色全部都用上，其中必有兩個不相鄰的地區(qū)涂同一中顏色，利用窮舉法，結(jié)合排列數(shù)公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，用4種顏色標注6個省份的地圖區(qū)域，相鄰省份地圖顏色不相同，則這4中顏色全部都用上，其中必有兩個不相鄰的地區(qū)涂同一中顏色，共有：{“四川和湖南”且“貴州和湖北”}、{“四川和湖南”且“貴州和陜西”}、{“四川和湖北”且“貴州和陜西”、{“四川和湖北”且“湖南和陜西”、{“貴州和湖北”且“湖南和陜西”，共有5種情況，所以不同的涂色共有種.故答案為：.【變式3】（2024高二下·全國·專題練習）一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n（，）等份，種植紅、黃、藍三種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．（1）如圖（1），圓環(huán)分成3等份，分別為，，，則有種不同的種植方法；（2）如圖（2），圓環(huán)分成4等份，分別為，，，，則有種不同的種植方法．【答案】618【分析】第一空：直接由分步乘法計數(shù)原理即可得解，第二空：分，是否同色討論，結(jié)合分類加法計數(shù)原理以及分步乘法計數(shù)原理即可得解.【詳解】（1）先種植部分，有3種不同的種植方法，再種植，部分．因為，與的顏色不同，，的顏色也不同，所以由分步乘法計數(shù)原理得，不同的種植方法有（種）．（2）當，不同色時，有種種植方法，當，同色時，有種種植方法，由分類加法計數(shù)原理得，共有種種植方法．故答案為：6；18.題型07數(shù)字排列問題【典例7】（23-24高三上·上海虹口·期中）在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)中，小于70000的奇數(shù)有個．【答案】【分析】小于70000的奇數(shù)萬位只能是1，2，3，4，分萬位為和，分別求出其方法總數(shù)，由分類加法計數(shù)原理求解即可.【詳解】小于70000的奇數(shù)萬位只能是1，2，3，4，個位只能為1，3，5，①萬位為或，則萬位有種方法，個位有種方法，其余各位為種方法，則種方法；②萬位為或，則萬位有種方法，個位有種方法，其余各位為種方法，則種方法；共有：種方法.故答案為：.【變式1】（23-24高二下·廣東深圳·階段練習）我們把各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱為“八合數(shù)”(如2024是“八合數(shù)”)，則“八合數(shù)”共有（

）個.A．35 B．580 C．120 D．165【答案】D【分析】分含有三個0，兩個0，一個0和不含0四種情況分類討論，求出每種情況下的個數(shù)相加得到答案.【詳解】含有三個0時，只能為，即1種選擇；含有兩個0時，另外兩個數(shù)為或或或，當另外兩個數(shù)為時，從百位，十位，個位選擇兩個位置放0，和剩余的兩個位置進行全排列，故有種選擇，當另外兩個數(shù)為或時，同理可得有種選擇，當另外兩個數(shù)為時，從百位，十位，個位選擇兩個位置放0，剩余的兩個位置放4，故有種選擇，故含有兩個0時，共有種選擇，含一個0，其他三個數(shù)可以為或或或或，當三個數(shù)為時，先從百位，十位，個位選擇一個位置放0，再從剩余的三個位置選擇一個位置放6，剩余的兩個位置放1，故有種選擇，同理當三個數(shù)為或時，均有種選擇；當三個數(shù)為或時，先從百位，十位，個位選擇一個位置放0，剩余的三個數(shù)進行全排列，故有種選擇，所以，當四個數(shù)中有一個0時，共有種選擇，當不含0時，四個數(shù)可以為或或或或，當四個數(shù)分別為，從四個位置選擇1個放5，其他三個位置放1，故有種，當四個數(shù)分別為，從四個位置選擇2個放，且有順序，其他兩個位置放1，故有種，當四個數(shù)分別為時，同理可得有種，當四個數(shù)分別為時，從四個位置選擇2個放，且無順序，其他兩個位置放3，故有種，當四個數(shù)為時，只有1種選擇，故不含0時，共有種選擇，綜上，共有個“八合數(shù)”.【變式2】（多選）用到這個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)最高位不能為，利用間接法、分步、分類法計算可得.【詳解】用到這個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，若不考慮最高位是否為，則有個，又最高位不能為，故當最高位為時有個，故可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個，故C正確；首先排最高位，有種，再排十位、個位，有種，故共有個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，故B正確；若選到的數(shù)字沒有，則有個，若選到的數(shù)字有，先排，有種方法，再從其余個數(shù)字選個排到其余位置，故有個，綜上可得共有個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，故C正確；BC【變式3】已知0，1，2，3，4，5，6共7個數(shù)字．(1)可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？(2)可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？(3)可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的四位數(shù)？（結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】(1)720(2)420(3)220【分析】（1）分兩步，先排最高位，其余的3個位置沒有限制任意排；（2）分末尾是0，和末尾是2，4，6排列；（3）分末尾是0和5排列.【詳解】（1）解：先排最高位有6種方法，其余的3個位置沒有限制，任意排，有種方法．根據(jù)分步計數(shù)原理，可組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為；（2）末尾是0，則有120個；末尾不是0，則末尾是2，4，6，有個，共有120+300420個．（3）5的倍數(shù)末尾是0，則有120個；末尾是5，有個．共有120+100220．題型08相鄰問題【典例8】（24-25高三上·福建泉州·階段練習）七位漁民各駕駛一輛漁船依次進湖捕魚，甲?乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有（

）A．96種 B．120種 C．192種 D．240種【答案】D【分析】先將甲乙捆綁成一個單元，再討論其所排位置，運算求解.【詳解】由題意可知，丙排在第4位，則甲乙兩人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位，故不同的排法有種..【變式1】（23-24高二下·青?！て谀?0人（含甲、乙、丙）隨機站成一排，則甲、乙、丙3人站在一起的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用捆綁法求出甲、乙、丙3人站在一起的方法數(shù)，除以10的全排列數(shù)可得．【詳解】由捆綁法可得，甲、乙、丙站在一起的概率為.．【變式2】（23-24高二下·內(nèi)蒙古·期末）有本不同的書，其中語文書本，數(shù)學書本，物理書本．若將其隨機擺放到書架的同一層上，則相同科目的書相鄰的排法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】利用捆綁法可求得結(jié)果.【詳解】將本語文書捆綁、本數(shù)學書捆綁，則相同科目的書相鄰的排法種數(shù)為種..【變式3】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）用0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求數(shù)字1和4相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為（

）A．192 B．240 C．380 D．720【答案】A【分析】根據(jù)題意和首位非零的要求，將六位數(shù)分成三類，在每一類中，再運用相鄰元素捆綁法求出方法數(shù)，最后根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可求得.【詳解】依題意，可將這樣的六位數(shù)分成三類：第一類，首位是1，則第二位必須是4，其余四個數(shù)位可將另外四個數(shù)字全排即可，有種方法；第二類，首位是4，則第二位必須是1，其余四個數(shù)位可將另外四個數(shù)字全排即可，有種方法；第三類，首位從中人去一個，有種，再將看成一個元素，與另外三個數(shù)字在四個位置上全排有種，再考慮的順序，有種，故由分步乘法計數(shù)原理，有種方法.由分類加法計數(shù)原理可知，這樣的六位數(shù)共有個..【變式4】某校畢業(yè)典禮由6個節(jié)目組成，節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙，丁必須排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有（

）A．120種 B．1580種 C．188種 D．240種【答案】A【分析】對甲的位置分三種情況討論，依次分析丙丁的位置以及其他三個節(jié)目的安排方法，由分步計數(shù)原理可得每種情況的編排方案數(shù)目，由加法原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，由于節(jié)目甲必須排在前三位，分3種情況討論：①、甲排在第一位，節(jié)目丙、丁必須排在一起，則丙丁相鄰的位置有個，考慮兩者順序，有種情況，將剩下的個節(jié)目全排列,安排在其他三個位置，有種安排方法，則此時有種編排方法；②、甲排在第二位，節(jié)目丙、丁必須排在一起，則丙丁相鄰的位置有個，考慮兩者的順序，有種情況，將剩下的個節(jié)目全排列，安排在其他三個位置，有種安排方法，則此時有種編排方法；③、甲排在第三位，節(jié)目丙、丁必須排在一起，則丙丁相鄰的位置有個，考慮兩者的順序，有種情況，將剩下的個節(jié)目全排列，安排在其他三個位置，有種安排方法，則此時有種編排方法；則符合題意要求的編排方法有種；.題型09不相鄰問題【典例9】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）象棋作為一種古老的傳統(tǒng)棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子，現(xiàn)將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則同色棋子不相鄰的排列方式有（

）A．120種 B．24種 C．36種 D．12種【答案】A【分析】先排紅色棋子，再將黑色棋子插空，求出答案.【詳解】先將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子進行全排列，有種選擇，3個紅色棋子中間有2個空，將2個黑色的“將”“車”棋子進行插空，有種選擇，則同色棋子不相鄰的排列方式有種.【變式1】四名男生和兩名女生排一行進行合影，若要求男生甲與男生乙不相鄰，且女生A和女生B相鄰，則不同排法的種數(shù)有（

）A．288種 B．144種 C．96種 D．72種【答案】C【分析】利用插空法和捆綁法求解即可.【詳解】第一步：先對2名女生進行排隊，有種排法；第二步：將除甲和乙之外的人進行排隊，有種排法；第三步：甲、乙采用插空的方式，有種排法．所以共有種．.【變式2】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）一位語文老師在網(wǎng)上購買了四書五經(jīng)各一套，四書指《大學》《中庸》《論語》《孟子》，五經(jīng)指《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》，他將9本書整齊地放在同一層書架上，若四書，五經(jīng)必須分別排在一起，且《大學》和《春秋》不能相鄰，則不同方式的排列種數(shù)為（

）A．5780 B．58080 C．58042 D．5472【答案】A【分析】計算出所有情況后減去《大學》和《春秋》相鄰的情況即可得.【詳解】四書、五經(jīng)必須分別排在一起，共有種，若《大學》和《春秋》相鄰，則不符合條件，共有種，則共有種．.【變式3】（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·開學考試）小明將1，4，0，3，2，2這六個數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個2不相鄰，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（

）A．144 B．72 C．36 D．24【答案】C【分析】根據(jù)相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解.【詳解】由題意知可將當成一個整體來計算，和總計有種排法，再根據(jù)插空法可得總排法有.【變式4】（24-25高三上·江蘇無錫·階段練習）隨著杭州亞運會的舉辦，吉祥物“琮琮”、蓮蓮”、宸宸”火遍全國.現(xiàn)有甲、乙、丙3位運動員要與“琮琮”、蓮蓮”、宸宸”站成一排拍照留念，則這3個吉祥物互不相鄰的排隊方法數(shù)為.（用數(shù)字作答）【答案】144【分析】先將甲、乙、丙3位運動員站成一排，有種不同的排法，再利用分步計數(shù)原理和不相鄰問題插空法，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，甲、乙、丙3位運動員站成一排，有種不同的排法，在三位運動員形成的4個空隙中選3個，插入3個吉祥物，共有種排法.故答案為：144．題型10元素（位置）有限制的排列問題【典例11】中國古代的五經(jīng)指《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同學分別選取了其中一本書作為課外興趣研讀，且5名同學選取的書均不相同．若甲選《詩經(jīng)》，乙不選《春秋》，則這5名同學所有可能的選擇方法有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．54種【答案】A【分析】若甲選《詩經(jīng)》，乙不選《春秋》，余下的三人中的一人選《春秋》，還有三人全排列即可.【詳解】由題知，余下的三人中的一人選《春秋》，還有三人全排列即可.即.【變式1】某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙必須排在最后一位，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有（

）A．36種 B．42種 C．48種 D．54種【答案】D【分析】根據(jù)元素分析法即可解出．【詳解】因為節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙必須排在最后一位，所以該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有．．【變式2】4人隨機排成一排，甲不在排頭且乙不在排尾的排法有多少種（

）A．14種 B．16種 C．10種 D．13種【答案】A【分析】分兩類：甲在排尾，另一種甲不在排頭也不在排尾，然后利用分類加法原理求解即可.【詳解】根據(jù)題意分兩類：第一類：甲在排尾，其它3人全排列，有，第二類：甲不在排頭也不在排尾，則甲排在中間兩個位置中的一個，然后從剩余的除乙外的2人中選一人排在排尾，最后剩下的2人排在剩余的2個位置，則有種，所以由分類加法原理可得共有種，.【變式3】甲，乙，丙，丁，戊共5名同學進行勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，則5人的名次排列的所有可能情況共有（

）A．30種 B．54種 C．84種 D．120種【答案】C【分析】根據(jù)題意先排乙，再排甲，再排其他人即可【詳解】根據(jù)題意先排乙，再排甲，再排其他人，則所有排列的情況有題型11定序問題【典例4】（23-24高二下·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同學站一排，若甲在乙的左邊，則不同的站隊方式共有種.【答案】80【分析】定序問題采用倍縮法進行求解即可.【詳解】甲、乙、丙、丁、戊五名同學站一排，共有種排法，其中甲在乙的左邊和乙在甲的左邊一樣多，所以甲在乙的左邊的不同的站隊方式共有.故答案為：.【變式1】（23-24高二下·福建福州·期中），等6人排成一列，則在的前面的排法種數(shù)是種．（用數(shù)字作答）【答案】380【分析】首先將個人全排列，固定順序問題，再除以兩人的全排列.【詳解】依題意在的前面的排法有種．故答案為：【變式2】（23-24高二下·安徽六安·期中）高三年級某班組織元旦晚會，共準備了甲、乙、丙、丁、戊五個節(jié)目，出場時要求甲、乙、丙三個節(jié)目順序為“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相鄰），則這樣的出場排序有種（用數(shù)字作答）【答案】40【分析】先排除甲、乙、丙三個節(jié)目剩余的2個節(jié)目有，再排甲、乙、丙，由分步計數(shù)乘法原理可得結(jié)果.【詳解】先排除甲、乙、丙三個節(jié)目剩余的2個節(jié)目有,因甲、乙、丙的排序為定序，只有2種排法，則根據(jù)分步計數(shù)乘法原理滿足條件的出場順序共有種，故答案為：40.【變式3】（23-24高二下·西藏拉薩·期末）4名男生和3名女生站成一排.(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？(2)男生甲和男生乙不相鄰，女生甲和女生乙相鄰，排在一起的站法有多少種？(3)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？【答案】(1)2880(2)980(3)840【分析】（1）根據(jù)題意先排甲，然后剩余的進行全排列即可；（2）利用捆綁法，將女生甲和女生乙捆綁在一起，與除去男生甲和男生乙的其他人進行全排列，然后男生甲和乙插空即可；（3）7個全排列后，除以甲、乙、丙的全排列數(shù)即可.【詳解】（1）分兩步，先排甲有種，其余有種，所以根據(jù)分步乘法原理知共有種排法.（2）分三步：①捆綁法，現(xiàn)將女生甲與女生乙捆綁在一起，有（種）；②將女生甲和女生乙看成整體，與其他人（除去男生甲和男生乙）排列，有（種）；③插空法，在其他人排好的基礎(chǔ)上，將男生甲和乙插空（共有5個空位置），有（種），所以根據(jù)分步乘法原理可知共有（種）.（3）7人共有種排法，其中甲、乙、丙三人有種排法，因而在種排法中每種對應(yīng)一種符合條件的排法，故共有種排法【變式4】（23-24高二下·河北唐山·期中）某學習小組共6人，其中男生3名，女生3名.(1)將6人排成一排，3名男生從左到右的順序一定（不一定相鄰），不同排法有多少種？(2)從6人中選出4人，女生甲和女生乙至少1人在內(nèi)的不同選法共有多少種？【答案】(1)120(2)14【分析】（1）先將6人進行全排，再除以可得答案；（2）利用間接法，即可求解.【詳解】（1）男生3名，女生3名站成一排，共有種，又因為3名男生從左到右的順序一定，所以不同的排法種數(shù)為種；（2）從6人中出4人，女生甲和女生乙至少1人在內(nèi)的不同選法共有種.題型12分組分配問題【典例13】（24-25高三上·河北邯鄲·開學考試）在第33屆夏季奧運會期間，中國中央電視臺體育頻道在某比賽日安排甲、乙、丙、丁4個人參加當天A，B，C三個比賽場地的現(xiàn)場報道，且每個場地至少安排一人，甲不在A場地的不同安排方法數(shù)為（

）A．32 B．24 C．18 D．12【答案】C【分析】按照A場地安排人數(shù)分類討論，結(jié)合分類加法原理，利用排列組合知識求解即可.【詳解】按照A場地安排人數(shù)，可以分以下兩類：第一類，A場地安排1人，共種安排方法，第二類，A場地安排2人，共種安排方法，由分類加法計數(shù)原理得，共有（種）不同安排方法.【變式1】（22-23高三下·河北·階段練習）6名大學生分配到4所學校實習，每名大學生只分配到一所學校，每所學校至少分配1名大學生，則不同的分配方案共有（

）A．65 B．15800 C．2640 D．45800【答案】C【分析】先將6名大學生分四組，再將四組對應(yīng)到四個學校，計算可得最后方案種數(shù).【詳解】分兩種情況：把6名大學生分為3，1，1，1四組，有種分法，再將4組對應(yīng)四個學校，有種情況，由分步乘法計數(shù)原理得，共有種安排方法；把6名大學生分為2，2，1，1四組，有種分法，再將4組對應(yīng)四個學校，有種情況，由分步乘法計數(shù)原理得，共有種安排方法；綜上，不同的分配方案共有種..【變式2】（23-24高二下·河北·階段練習）暑期將至，甲?乙?丙等六名學生準備各自從四個景點中選一個景點去旅游.已知每個景點都有人選，且甲沒有選景點，則所有不同的選法種數(shù)為（

）A．540 B．720 C．1080 D．1170【答案】A【分析】根據(jù)排列組合知識結(jié)合分組問題求解即可.【詳解】因為甲沒有選景點，所以甲有種選法，其余5名學生可以選3個景點或4個景點.當其余5名學生選3個景點時，有種選法；當其余5名學生選4個景點時，有種選法.故共有種不同的選法..【變式3】（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）為貫徹落實國家關(guān)于開展中小學研學旅行的文件精神，搭建中學與高校交流的平臺，拓展學生視野，今年某中學計劃開展暑期“雙高互動”之旅夏令營活動，學生可自愿報名.其中有4名教師和6名學生報名，將報名的教師和學生分成2個組，分別安排到兩所高校，要求每個組由2名老師和3名同學組成，則學生甲和學生乙不去同一所高校的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由分組分配法計算事件個數(shù)，再由古典概型概率計算公式即可求解.【詳解】將4名教師和6名學生分成2個組，再將兩組分別安排到兩所高校共有：種分配方式；甲和乙不去同一所高校共有：種方法，所以，學生甲和乙不去同一所高校的概率為：.【變式4】（多選）（24-25高三上·吉林白城·階段練習）現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊這5名同學參加志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，且每人只安排一個工作，則下列說法正確的是（

）A．不同安排方案的種數(shù)為B．若每項工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為C．若司機工作不安排，其余三項工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為D．若每項工作至少有1人參加，甲不能從事司機工作，則不同安排方案的種數(shù)為【答案】CD【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理可判斷A；先分組，然后再分配可判斷BCD.【詳解】對A，若每人都安排一項工作，每人有4種安排方法，則不同安排方案的種數(shù)為，故A錯誤；對B，先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項工作，則不同安排方案的種數(shù)為，故B正確；對C，先將5人分為3組，有種分組方法，將分好的三組安排翻譯?導游?禮儀三項工作，有種情況，則不同安排方案的種數(shù)是，故C錯誤；對D，第一類，先從乙，丙，丁，戊中選出1人從事司機工作，再將剩下的4人分成三組，安排翻譯?導游?禮儀三項工作，則不同安排方案的種數(shù)為；第二類，先從乙，丙，丁，戊中選出2人從事司機工作，再將剩下的3人安排翻譯、導游、禮儀三項工作，則不同安排方案的種數(shù)為.所以不同安排方案的種數(shù)是，故D正確.D.題型13隔板法的應(yīng)用【典例14】（23-24高二下·貴州遵義·期末）方程的非負整數(shù)解個數(shù)為（

）．A．220 B．120 C．84 D．24【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為：將排成一列的13個完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解.【詳解】依題意，可知為非負整數(shù)，因為，所以，從而將問題轉(zhuǎn)化為：將排成一列的13個完全相同的小球分成部分，每部分至少一個球，一共有12個間隔，利用4個隔板插入即可，故共有種.【變式1】（23-24高三下·云南昆明·階段練習）把分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片全部分給甲、乙、丙三個人，每人至少一張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號，那么不同