第一章：空間向量與立體幾何章末重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)題型一空間向量的有關(guān)概念理解1．（23-24高二上·貴州黔西·月考）（多選）下列說(shuō)法，錯(cuò)誤的為（

）A．若兩個(gè)空間向量相等，則表示它們有向線段的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同B．若向量滿足，且與同向，則C．若兩個(gè)非零向量與滿足，則為相反向量D．的充要條件是與重合，與重合2．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·月考）（多選）以下關(guān)于向量的說(shuō)法正確的有（

）A．若空間向量，，滿足，則B．若空間向量，，滿足，則C．若空間向量，滿足，，則D．若空間向量，滿足，，則3．（23-24高二上·河南漯河·月考）如圖所示，在三棱柱中，與是向量，與是向量(用“相等”“相反”填空).4．（23-24高二上·山西臨汾·月考）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，以長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)中的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中．(1)試寫(xiě)出與相等的所有向量．(2)試寫(xiě)出的相反向量．題型二空間向量的線性運(yùn)算1．（23-24高二上·山東德州·期中）四面體ABCD中，E為棱BC的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·湖北十堰·月考）在三棱錐中，若為正三角形，且E為其中心，則等于（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·山西運(yùn)城·月考）空間四邊形ABCD，連接AC，BD．M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則等于

（

）

A． B． C． D．4．（23-24高二上·天津·期中）若為空間不同的四點(diǎn)，則下列各式不一定為零向量的是（

）A． B．C． D．題型三空間向量的線性表示1．（23-24高二上·四川德陽(yáng)·期中）在長(zhǎng)方體中，設(shè)為棱的中點(diǎn)，則向量可用向量表示為（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·重慶·月考）如圖，在四面體OABC中，，，.點(diǎn)M在OA上，且，為BC中點(diǎn)，則等于（

）A． B．C． D．3．（22-23高二上·北京·期中）在三棱柱中，D是四邊形的中心，且，，，則（

）A． B．C． D．4．（23-24高二上·福建福州·期中）如圖：在平行六面體中，為的交點(diǎn)．若，則向量（

）A． B． C． D．題型四空間向量基本定理及應(yīng)用1．（23-24高二上·重慶·月考）在正方體中，可以作為空間向量的一組基的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（23-24高二上·河北邢臺(tái)·月考）（多選）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則空間的另一個(gè)基底可能是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·山東臨沂·月考）若是空間的一個(gè)基底，且向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·江蘇鹽城·月考）（多選）給出下列命題，其中正確命題有（

）A．空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為一組基底B．已知向量，則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底C．A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一組基底，那么點(diǎn)A，B，M，N共面D．已知向量是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底題型五空間向量的共線問(wèn)題1．（23-24高二上·江西·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若三點(diǎn)共線，則的值為（

）A． B． C．10 D．132．（23-24高二上·遼寧·月考）已知向量，，且，那么實(shí)數(shù)（）A．3 B． C．9 D．3．（23-24高二上·福建泉州·月考）設(shè)向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三點(diǎn)共線，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（22-23高二上·安徽阜陽(yáng)·月考）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在體對(duì)角線上，且．求證：，，三點(diǎn)共線．題型六空間向量的共面問(wèn)題1．（23-24高二上·貴州遵義·月考）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（23-24高二上·遼寧沈陽(yáng)·期中）已知，，三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)，若，則可以得到結(jié)論是四點(diǎn)（

）A．共面 B．不一定共面C．無(wú)法判斷是否共面 D．不共面3．（23-24高二下·上?！ぴ驴迹┮阎?，若三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（

）A．4 B．3 C．2 D．14．（23-24高二上·湖北·開(kāi)學(xué)考試）（多選）下列命題中正確的是（

）A．非零向量，，，若與共面，與共面，與共面，則向量，，共面B．向量，，共面，即它們所在的直線共面C．設(shè)，，是三個(gè)空間向量，則D．若與共面，與共面，則任意，與共面題型七空間向量的數(shù)量積問(wèn)題1．（23-24高二下·江蘇連云港·月考）有一長(zhǎng)方形的紙片，的長(zhǎng)度為，的長(zhǎng)度為，現(xiàn)沿它的一條對(duì)角線把它折成直二面角，則折疊后（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·河北石家莊·期中）如圖，二面角等于，、是棱上兩點(diǎn)，、分別在半平面、內(nèi)，，，且，，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·甘肅慶陽(yáng)·期中）已知向量，向量，(1)求向量，，的坐標(biāo)；(2)求與所成角的余弦值.4．（23-24高二上·廣東江門(mén)·期中）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為2，且兩兩夾角為．求：(1)的長(zhǎng)；(2)與夾角的余弦值．題型八空間向量的對(duì)稱問(wèn)題1．（23-24高二上·廣東東莞·月考）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·陜西渭南·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·安徽合肥·月考）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·寧夏銀川·月考）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為B．點(diǎn)P在x軸上的射影點(diǎn)的坐標(biāo)為C．點(diǎn)P關(guān)于Oyz平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為D．點(diǎn)P在Oyz平面上的射影點(diǎn)的坐標(biāo)為題型九利用空間向量證明平行垂直1．（23-24高二上·浙江紹興·期末）如圖所示，在棱長(zhǎng)均相等的平行六面體中分別為線段的中點(diǎn)．(1)設(shè)，請(qǐng)以向量表示；(2)求證：平面平面．2．（23-24高二上·山東·月考）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，分別的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)判斷與平面是否垂直，并說(shuō)明理由．3．（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在正方體中，點(diǎn)E?F分別為棱?的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱上一動(dòng)點(diǎn).(1)證明：直線∥平面；(2)證明：.4．（23-24高二上·新疆喀什·期中）如圖所示，在底面是矩形的四棱錐中，⊥底面，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，，.求證：(1)平面；(2)平面⊥平面.題型十利用空間向量計(jì)算空間角1．（23-24高二上·山東棗莊·月考）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，E為上一點(diǎn)，且，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．2．（23-24高二下·甘肅蘭州·月考）已知四棱柱的底面是正方形，，，點(diǎn)在底面的射影為中點(diǎn)H，則直線與平面所成角的正弦值為．3．（23-24高二下·江蘇鹽城·月考）（多選）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，則（

）A．點(diǎn)A到平面的距離為1B．與平面所成角的正弦值為C．異面直線與所成角的余弦值為D．二面角的余弦值為4．（23-24高二下·江蘇徐州·月考）已知，分別是正方體的棱和的中點(diǎn)，求：(1)與所成角的大小；(2)與平面所成角的正弦值；(3)二面角的余弦值．題型十一利用空間向量計(jì)算空間距離1．（23-24高二上·河北·月考）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·湖北·月考）如圖，在平行六面體中，，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·廣東東莞·月考）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·廣西玉林·月考）如圖，在四棱錐中，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，，平面平面ABCD，，底面ABCD的面積為，E為PD的中點(diǎn)．(1)證明：平面PAB；(2)求直線CE與平面PAB間的距離．題型十二利用空間向量探究動(dòng)點(diǎn)存在1．（23-24高二下·黑龍江大慶·開(kāi)學(xué)考試）如圖，，分別是直徑的半圓上的點(diǎn)，且滿足，為等邊三角形，且與半圓所成二面角的大小為，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)在弧上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)到平面的距離；若不存在，說(shuō)明理由．2．（23-24高二下·浙江·期中）如圖，在四棱錐中，側(cè)面是正三角形且垂直于底面，底面是矩形，，，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)(1)是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，試求；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若直線與直線所成角的余弦值為，試求二面角的平面角的余弦值.3．（23-24高二上·湖北黃岡·月考）如圖，在長(zhǎng)方體中，E，M分別是，的中點(diǎn)，，.(1)若在線段上存在一點(diǎn)，使∥平面，試確定N的位置；(2)在（1）的條件下，試確定直線與平面的交點(diǎn)F的位置，并求的長(zhǎng).4．（23-24高二下·湖北武漢·月考）四棱錐中，，側(cè)面底面，且是棱上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：上存在一點(diǎn)，使得與總垂直；(2)當(dāng)平面時(shí)，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成角的大小．第一章：空間向量與立體幾何章末重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)題型一空間向量的有關(guān)概念理解1．（23-24高二上·貴州黔西·月考）（多選）下列說(shuō)法，錯(cuò)誤的為（

）A．若兩個(gè)空間向量相等，則表示它們有向線段的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同B．若向量滿足，且與同向，則C．若兩個(gè)非零向量與滿足，則為相反向量D．的充要條件是與重合，與重合【答案】ABD【解析】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移，而表示向量的有向線段是起點(diǎn)、方向、終點(diǎn)都確定的，故相等向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)不必相同，對(duì)應(yīng)表示它們的有向線段也不必起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同，即A、D錯(cuò)誤；向量的模長(zhǎng)可比大小，但向量不可以，故B錯(cuò)誤；由相反向量的定義可知C正確.BD.2．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·月考）（多選）以下關(guān)于向量的說(shuō)法正確的有（

）A．若空間向量，，滿足，則B．若空間向量，，滿足，則C．若空間向量，滿足，，則D．若空間向量，滿足，，則【答案】CD【解析】A：若，顯然滿足，但是不滿足，因此本選項(xiàng)不正確；B：兩個(gè)空間向量相等，它們的模顯然相等，因此本選項(xiàng)正確；C：若，且三向量不共面時(shí)，不一定不成立，因此本選項(xiàng)不正確；D：由相等向量的定義可知，如果，，一定有，因此本選項(xiàng)正確，D3．（23-24高二上·河南漯河·月考）如圖所示，在三棱柱中，與是向量，與是向量(用“相等”“相反”填空).【答案】相等；相反【解析】在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，則，即與是相等向量；四邊形是平行四邊形，，即與是互為相反向量.故答案為：相等；相反4．（23-24高二上·山西臨汾·月考）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，以長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)中的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中．(1)試寫(xiě)出與相等的所有向量．(2)試寫(xiě)出的相反向量．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由題意，與相等有；（2）由題意，的相反向量有.題型二空間向量的線性運(yùn)算1．（23-24高二上·山東德州·期中）四面體ABCD中，E為棱BC的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，因?yàn)镋為棱BC的中點(diǎn)，所以,2．（23-24高二上·湖北十堰·月考）在三棱錐中，若為正三角形，且E為其中心，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】延長(zhǎng)交于，如圖，則是中點(diǎn)，，，．3．（23-24高二上·山西運(yùn)城·月考）空間四邊形ABCD，連接AC，BD．M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則等于

（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】∵M(jìn)，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，∴，．∴．4．（23-24高二上·天津·期中）若為空間不同的四點(diǎn)，則下列各式不一定為零向量的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對(duì)于A，；對(duì)于B，；對(duì)于C，；對(duì)于D，..題型三空間向量的線性表示1．（23-24高二上·四川德陽(yáng)·期中）在長(zhǎng)方體中，設(shè)為棱的中點(diǎn)，則向量可用向量表示為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示，，故選:D.2．（23-24高二上·重慶·月考）如圖，在四面體OABC中，，，.點(diǎn)M在OA上，且，為BC中點(diǎn)，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】連接，是的中點(diǎn)，，，.3．（22-23高二上·北京·期中）在三棱柱中，D是四邊形的中心，且，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】..4．（23-24高二上·福建福州·期中）如圖：在平行六面體中，為的交點(diǎn)．若，則向量（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?所以..題型四空間向量基本定理及應(yīng)用1．（23-24高二上·重慶·月考）在正方體中，可以作為空間向量的一組基的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄浚?，不共面，所以可以作為空間向量的一組基，而其它三組向量都共面，.2．（23-24高二上·河北邢臺(tái)·月考）（多選）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則空間的另一個(gè)基底可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】不存在，使得，所以不共面，是空間的另一個(gè)基底，A正確．因?yàn)?，所以共面，不是空間的另一個(gè)基底，B錯(cuò)誤．不存在，使得，所以不共面，是空間的另一個(gè)基底，C正確．因?yàn)?，所以共面，不是空間的另一個(gè)基底，D錯(cuò)誤．C.3．（23-24高二上·山東臨沂·月考）若是空間的一個(gè)基底，且向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?，，不能?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以、、共面，故存在實(shí)數(shù)、使得，即，因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底，則，解得..4．（23-24高三上·江蘇鹽城·月考）（多選）給出下列命題，其中正確命題有（

）A．空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為一組基底B．已知向量，則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底C．A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一組基底，那么點(diǎn)A，B，M，N共面D．已知向量是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底【答案】ABCD【解析】選項(xiàng)A中，根據(jù)空間向量的基底的概念，可得任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一組基，所以A正確；選項(xiàng)B中，根據(jù)空間的基底的概念，可得B正確；選項(xiàng)C中，由不能構(gòu)成空間的一組基底，可得共面，又由過(guò)相同點(diǎn)B，可得A，B，M，N四點(diǎn)共面，所以C正確；選項(xiàng)D中，由是空間的一組基底，則基向量與向量一定不共面，所以可以構(gòu)成空間的另一組基底，所以D正確.BCD題型五空間向量的共線問(wèn)題1．（23-24高二上·江西·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若三點(diǎn)共線，則的值為（

）A． B． C．10 D．13【答案】C【解析】因?yàn)?，且三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，解得．.2．（23-24高二上·遼寧·月考）已知向量，，且，那么實(shí)數(shù)（）A．3 B． C．9 D．【答案】A【解析】，則，即，解得，故.3．（23-24高二上·福建泉州·月考）設(shè)向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三點(diǎn)共線，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由，，得，因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，則，解得..4．（22-23高二上·安徽阜陽(yáng)·月考）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在體對(duì)角線上，且．求證：，，三點(diǎn)共線．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】連接，，∵，，∴，∴，又，∴，，三點(diǎn)共線．題型六空間向量的共面問(wèn)題1．（23-24高二上·貴州遵義·月考）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】對(duì)于因?yàn)?，故三個(gè)向量共面；對(duì)于

假設(shè)，，共面，則，使得，故有，方程組無(wú)解，故假設(shè)不不成立，即，，不共面；對(duì)于,，故三個(gè)向量共面；對(duì)于，故三個(gè)向量共面，故選：2．（23-24高二上·遼寧沈陽(yáng)·期中）已知，，三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)，若，則可以得到結(jié)論是四點(diǎn)（

）A．共面 B．不一定共面C．無(wú)法判斷是否共面 D．不共面【答案】A【解析】,則，所以，則，故四點(diǎn)共面.3．（23-24高二下·上?！ぴ驴迹┮阎?，若三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】因?yàn)槿蛄抗裁妫O(shè)，所以，即，解得，.4．（23-24高二上·湖北·開(kāi)學(xué)考試）（多選）下列命題中正確的是（

）A．非零向量，，，若與共面，與共面，與共面，則向量，，共面B．向量，，共面，即它們所在的直線共面C．設(shè)，，是三個(gè)空間向量，則D．若與共面，與共面，則任意，與共面【答案】DD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：例如非零向量，，是三棱錐三條側(cè)棱所在的向量，顯然滿足與共面，與共面，與共面，但向量，，不共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)橄蛄靠梢云揭?，但直線不能平移，可知：若向量，，共面，但它們所在的直線不一定共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)數(shù)量積的分配律可知：，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：對(duì)任意，可知與、共面，若、與共面，所以與共面，故D正確；D.題型七空間向量的數(shù)量積問(wèn)題1．（23-24高二下·江蘇連云港·月考）有一長(zhǎng)方形的紙片，的長(zhǎng)度為，的長(zhǎng)度為，現(xiàn)沿它的一條對(duì)角線把它折成直二面角，則折疊后（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，，，，所以，所以，．2．（23-24高二上·河北石家莊·期中）如圖，二面角等于，、是棱上兩點(diǎn)，、分別在半平面、內(nèi)，，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知，二面角等于，即，所以，，所以，，因此，..3．（23-24高二下·甘肅慶陽(yáng)·期中）已知向量，向量，(1)求向量，，的坐標(biāo)；(2)求與所成角的余弦值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)橄蛄?，所以，解得：，，則，，又因?yàn)椋瑒t，解得，所以（2）由（1）知，所以，，則，，，即與所成角的余弦值4．（23-24高二上·廣東江門(mén)·期中）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為2，且兩兩夾角為．求：(1)的長(zhǎng)；(2)與夾角的余弦值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）設(shè)，，，由題意知：，，∴，又∵，∴，∴，即的長(zhǎng)為，（2）∵，∴，∴，，∴，即與夾角的余弦值為．題型八空間向量的對(duì)稱問(wèn)題1．（23-24高二上·廣東東莞·月考）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則可得解得,所以對(duì)稱點(diǎn)得坐標(biāo)為..2．（23-24高二上·陜西渭南·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】點(diǎn)關(guān)于z軸對(duì)稱時(shí)，z不變，x與y變?yōu)橄喾磾?shù)，所以點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為..3．（23-24高二上·安徽合肥·月考）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，可得點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B．4．（23-24高二上·寧夏銀川·月考）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為B．點(diǎn)P在x軸上的射影點(diǎn)的坐標(biāo)為C．點(diǎn)P關(guān)于Oyz平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為D．點(diǎn)P在Oyz平面上的射影點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】D【解析】點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.故選項(xiàng)A正確；點(diǎn)在x軸上的射影即為過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線所得垂足，其坐標(biāo)為.故選項(xiàng)B正確；點(diǎn)關(guān)于Oyz平面的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)橫標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)與豎坐標(biāo)保持不變.故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；點(diǎn)在平面Oyz上的射影即為過(guò)點(diǎn)作平面Oyz的垂線所得垂足，其坐標(biāo)為.故選項(xiàng)D正確..題型九利用空間向量證明平行垂直1．（23-24高二上·浙江紹興·期末）如圖所示，在棱長(zhǎng)均相等的平行六面體中分別為線段的中點(diǎn)．(1)設(shè)，請(qǐng)以向量表示；(2)求證：平面平面．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）.（2）∵∴，又∵，∴，即，∵底面菱形中，，且，平面.所以平面．又平面．∴平面平面．2．（23-24高二上·山東·月考）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，分別的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)判斷與平面是否垂直，并說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)不垂直，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）在長(zhǎng)方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，，分別的中點(diǎn)，得，，顯然平面的一個(gè)法向量，則，于是，有平面，而平面，所以平面.（2）由（1）知，，則有，而，于是向量與向量不垂直，即直線與不垂直，而平面，所以與平面不垂直.3．（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在正方體中，點(diǎn)E?F分別為棱?的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱上一動(dòng)點(diǎn).(1)證明：直線∥平面；(2)證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸所在的直線，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，可得，可知，則∥，且平面，平面，所以∥平面.（2）設(shè)，則，可得，由（1）可知：，因?yàn)?，所?4．（23-24高二上·新疆喀什·期中）如圖所示，在底面是矩形的四棱錐中，⊥底面，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，，.求證：(1)平面；(2)平面⊥平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，,，，，∴，，，，，，.，，即，又?平面，平面，∴平面.（2），，∴，即又平面，平面，∴平面.∵平面，∴平面⊥平面.題型十利用空間向量計(jì)算空間角1．（23-24高二上·山東棗莊·月考）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，E為上一點(diǎn)，且，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，則異面直線與所成角的余弦值為..2．（23-24高二下·甘肅蘭州·月考）已知四棱柱的底面是正方形，，，點(diǎn)在底面的射影為中點(diǎn)H，則直線與平面所成角的正弦值為．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在底面的射影為中點(diǎn)H，則平面，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫危渣c(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)?，，則，則、、、，所以，易知平面的一個(gè)法向量為，，因此，直線與平面所成角的正弦值為．故答案為：.3．（23-24高二下·江蘇鹽城·月考）（多選）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，則（

）A．點(diǎn)A到平面的距離為1B．與平面所成角的正弦值為C．異面直線與所成角的余弦值為D．二面角的余弦值為【答案】AC【解析】首先由題目條件知，，故，同時(shí)注意到，故，.由于，而在平面內(nèi)，所以，而，和都在平面內(nèi)且相交于，故垂直于平面，從而點(diǎn)到平面的距離為，故A正確；由于垂直于平面，平行于，故垂直于平面，而和在平面內(nèi)，所以，.而和都在平面內(nèi)，故與平面的夾角等于與的夾角，又由于，而在平面內(nèi)，所以，從而有，故B錯(cuò)誤；由于平行于，故直線與所成角等于直線與所成角.又因?yàn)?，而在平面?nèi)，所以，這就說(shuō)明，故C正確；已證兩兩垂直.如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系：則有，而，，，故.從而，，，設(shè)，分別為平面和的法向量，則，，令，解得，故可取，.注意到和分別是平面和向二面角內(nèi)部朝向的法向量，故鈍二面角的余弦值為，故D錯(cuò)誤.C.4．（23-24高二下·江蘇徐州·月考）已知，分別是正方體的棱和的中點(diǎn)，求：(1)與所成角的大?。?2)與平面所成角的正弦值；(3)二面角的余弦值．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，因?yàn)?，，所以，，，由，又因?yàn)?，故向量與夾角為，因此與所成角的大小為．（2）由（1）知，，，易知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，故，故與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，，故.易知平面，故平面的一個(gè)法向量為，則，又因?yàn)槎娼菫殇J角，故二面角的余弦值為.題型十一利用空間向量計(jì)算空間距離1．（23-24高二上·河北·月考）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，，所以到直線的距離為．2．（23-24高二上·湖北·月考）如圖，在平行六面體中，，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，因?yàn)椋?，，，因?yàn)?，所以，因此，所以點(diǎn)到直線的距離為，3．（23-24高二上·廣東東莞·月考）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意易知直線面，所以到面的距離即為直線到平面的距離.建立如圖所示坐標(biāo)系，則：，，，，,所以設(shè)面的法向量，則：，即取，則，所以所以到面的距離.4．（23-24高二上·廣西玉林·月考）如圖，在四棱錐中，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，，平面平面ABCD，，底面ABCD的面積為，E為PD的中點(diǎn)．(1)證明：平面PAB；(2)求直線CE與平面PAB間的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）記的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以底面ABCD為直角梯形，又底面ABCD的面積為，，所以，得，所以，所以且，所以為平行四邊形，故，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，因?yàn)镺，E分別為AD，PD的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面PAB.（2）因?yàn)槭且訟D為斜邊的等腰直角三角形，，所以，，由（1）可知，，所以又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以，故兩兩垂直，以所在直線分別為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)為平面的法向量，則，令得，所以點(diǎn)C到平面的距離為，由（1）知，平面PAB，所以直線CE與平面PAB間的距離即為.題型十二利用空間向量探究動(dòng)點(diǎn)存在1．（23-24高二下·黑龍江大慶·開(kāi)學(xué)考試）如圖，，分別是直徑的半圓上的點(diǎn)，且滿足，為等邊三角形，且與半圓所成二面角的大小為，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)在弧上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)到平面的距離；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，【解析】（1）依題意，所以，所以、是等邊三角形，所以，所以四邊形是菱形，所以，由于平面，平面，所以平面.由于是