NT20名校聯(lián)合體高一年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)考試說明：1.本試卷共150分.考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)將各題答案填在答題卡上.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的基本運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】∵，∴，∵，∴.故選：D.2.命題“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】含有一個(gè)量詞的命題的否定，需要“改量詞，否結(jié)論”.【詳解】因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題“”的否定是“”.故選：A.3.已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】利用“1”的代換結(jié)合基本不等式可求的最小值.【詳解】由題意得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為6.故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，然后結(jié)合，利用正弦余弦齊次式弦化切，再代入求解即可.【詳解】由得，解得，則.故選：D.5.某企業(yè)在2024年12月對(duì)產(chǎn)品的生產(chǎn)線進(jìn)行了技術(shù)改造，采用新技術(shù)后力爭(zhēng)每個(gè)月的產(chǎn)量比上個(gè)月增長，要使月產(chǎn)量提高到原來的2倍，至少需要個(gè)月，那么（）（結(jié)果精確到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】由題意列出不等式，通過取對(duì)數(shù)求解不等式再取整即得.詳解】可得由題意：由題意可得：.即，兩邊取對(duì)數(shù)，，即，因?yàn)?，故得，因，?即至少要經(jīng)過8個(gè)月，才能使月產(chǎn)量提高到原來的2倍.故選：C.6.若函數(shù)在處取得最大值，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)是奇函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出的值，再根據(jù)平移變換求出的最小值.【詳解】因?yàn)闀r(shí)函數(shù)取得最大值，則，解得.所以，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到，，函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：D.7.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性、函數(shù)值的正負(fù)，并結(jié)合排除法即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除BD.又當(dāng)時(shí)，，故排除A.故選：C.8.已知函數(shù)，設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函數(shù)的對(duì)稱性及其在區(qū)間上的單調(diào)性，即可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】對(duì)任意的，，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)在上為增函數(shù)，外層函數(shù)為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，，且，因?yàn)椋?，則，所以，，同理可得，故，所以，，即，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】舉反例可說明選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤；不等式等價(jià)變形，利用不等式的性質(zhì)可得選項(xiàng)B正確；利用作差法可得選項(xiàng)D正確.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)滿足，但不成立，故A不正確；對(duì)于B，等價(jià)于，∵，∴，故，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)滿足，但，故C不正確；對(duì)于D，，故D正確.故選：BD.10.已知，則下列說法正確的是（）A若，則 B.若，則C.的最大值為 D.【答案】ABD【解析】【分析】利用兩角和的正切公式可得選項(xiàng)A正確；利用倍角公式及條件可計(jì)算，由此可得選項(xiàng)B正確；利用兩角差的正切公式和基本不等式可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；利用條件可得，根據(jù)兩角和、差的正弦公式可得選項(xiàng)D正確.詳解】對(duì)于A，若，則，，∴，故A正確；對(duì)于B，若，則，由得，，故，解得，∴，，故，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由得，即.∴，故D正確.故選：ABD.11.函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，稱為取整函數(shù)，也稱為高斯函數(shù)，在數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，則下列關(guān)于高斯函數(shù)的說法正確的是（）A.在R上單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)的值域?yàn)镃.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，通過舉反例即可判斷結(jié)論錯(cuò)誤；對(duì)于B，由即可求得的值域并判斷；對(duì)于C，分段表示，易判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；對(duì)于D，求出函數(shù)的解析式，作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，故在R上不是增函數(shù)，且圖象也不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，由于，所以，所以函數(shù)的值域是，故B正確；對(duì)于C，，滿足函數(shù)單調(diào)遞增的條件，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，，作出函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)在上的值域?yàn)?故其與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，故D正確.故選:BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)新定義的理解，對(duì)于C,D兩項(xiàng)關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性以及有關(guān)的交點(diǎn)問題，關(guān)鍵在于寫出具體的解析式，通過對(duì)解析式的分析，結(jié)合函數(shù)的圖象做出判斷.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.化簡(jiǎn)求值：______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.13.若，則______.【答案】##【解析】【分析】為求角的大小，只需算出的三角函數(shù)值.【詳解】，故由，得.又，又，則，又，所以.故答案為：.14.高中數(shù)學(xué)必修一教材第87頁中提到：函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則實(shí)數(shù)t的值為______，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.【答案】①.1②.【解析】【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，利用奇偶性的定義以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算求出，判斷單調(diào)遞增，將原不等式化為，進(jìn)而可得答案.【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，得為奇函數(shù)，，，則，所以，所以，那么，又，所以.故函數(shù)，因?yàn)樵谏隙际沁f增函數(shù)，所以在上是遞增函數(shù)，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，要使，只需，解得或，故m的取值范圍是.故答案為：1；.【點(diǎn)睛】將奇偶性與單調(diào)性綜合考查一直是命題的熱點(diǎn)，解這種題型往往是根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性判斷出函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性(偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間單調(diào)性相同)，然后再根據(jù)單調(diào)性列不等式求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知全集，不等式的解集是或，集合，若不等式的解集為A.（1）求集合A；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理可算出，進(jìn)而解決問題.（2）由，可根據(jù)的不同取值進(jìn)行討論即可.【小問1詳解】的解集是或，那么的兩個(gè)根分別為和，那么，所以，不等式，即，即，所以解集為.【小問2詳解】對(duì)于集合B，①當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋敲?，所以；②?dāng)時(shí)，，滿足題意；③當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋敲?，所?綜上可得m的取值范圍是.16.已知函數(shù)的圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，再向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，求函數(shù)的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的最值，求出，根據(jù)函數(shù)的周期可得，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸可得，從而可求函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象平移法則求出，由，可得，從而可求函數(shù)的值域【小問1詳解】由題意，函數(shù)的最大值為，最小值為，那么，所以，所以因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，所以，可得，是函數(shù)的對(duì)稱軸，且取得最小值，那么，所以，又，所以，那么；【小問2詳解】將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，可得的圖象，再向右平移個(gè)單位長度，的圖象，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，故函數(shù)的值域.17.2024年8月25日，商務(wù)部等四部門發(fā)布《關(guān)于進(jìn)一步做好家電以舊換新工作的通知》，提出各地要統(tǒng)籌使用中央與地方資金，對(duì)個(gè)人消費(fèi)者購買2級(jí)及以上能效或水效標(biāo)準(zhǔn)的空調(diào)等8類家電產(chǎn)品給予以舊換新補(bǔ)貼，國補(bǔ)政策的出臺(tái)極大地激發(fā)了消費(fèi)者的購買熱情.為應(yīng)對(duì)產(chǎn)品的消費(fèi)需求，某企業(yè)擴(kuò)大了某型號(hào)的變頻空調(diào)的生產(chǎn)，全年需投入固定成本500萬元，每生產(chǎn)x千臺(tái)空調(diào)，需另投入成本萬元；當(dāng)年產(chǎn)量不足50千臺(tái)時(shí)，，當(dāng)年產(chǎn)量不小于50千臺(tái)時(shí)，.已知每臺(tái)空調(diào)售價(jià)4000元，且生產(chǎn)的空調(diào)能全部銷售完.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千臺(tái)）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少千臺(tái)時(shí)，該廠該型號(hào)的變頻空調(diào)所獲利潤最大?并求出最大利潤.【答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為58千臺(tái)時(shí)，獲利最大，最大利潤為3582萬元.【解析】【分析】（1）年利潤等于銷售收入減去成本（固定成本和可變成本）；（2）分段求最大值，對(duì)比可得結(jié)果.【小問1詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以【小問2詳解】（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值3550萬元；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值3582萬元.因?yàn)?，所以?dāng)該企業(yè)該型號(hào)的變頻空調(diào)總產(chǎn)量為58千臺(tái)時(shí)，獲利最大，最大利潤為3582萬元.18.已知函數(shù)是偶函數(shù)，其中k為實(shí)數(shù)，函數(shù).（1）求k的值；（2）若，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)定義求出參數(shù)值；（2）含有量詞的問題轉(zhuǎn)化為最值問題即可.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以，所以【小問2詳解】由（1）知，設(shè)函數(shù)，設(shè)任意，則，因?yàn)?，所以，那么恒成立，所以在上單調(diào)遞增，那么在上是單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以時(shí)，，所以，若，使得等價(jià)于在上有解，即在上有解，即有解，而在上的值域?yàn)?，則，即a的取值范圍是.19.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾.對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使得，則稱為函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)使得，則稱為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).（1）求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；（2）如果函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動(dòng)點(diǎn)”，求m的取值范圍；（3）定義在R上函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，不等式的解集為A，若函數(shù)在A中存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】（1）和3（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定義列出方程，求解方程即可作答；（2）根據(jù)穩(wěn)定點(diǎn)及不動(dòng)點(diǎn)定義列出方程，分類討論即可作答；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合不動(dòng)點(diǎn)定義，建立函數(shù)關(guān)系，求出參數(shù)的范圍.【小問1詳解】令，得，整理得，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)知均滿足要求，故函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為和.【小問2