2.2不等式2.2.4均值不等式及其應(yīng)用第2章

等式與不等式問題引入

新知探索

新知探索嘗試與發(fā)現(xiàn)：(2)如下表所示，再任意取幾組正數(shù)，算出它們的算術(shù)平均值和幾何平均值，猜測(cè)一般情況下兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值的相對(duì)大小，并根據(jù)(1)說出結(jié)論的幾何意義.

新知探索

幾何意義：與矩形周長(zhǎng)相等的正方形的邊長(zhǎng)大于或等于與矩形面積相等的正方形的邊長(zhǎng).

從具體實(shí)例中可以看出，兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它們的幾何平均值.一般地，我們有如下結(jié)論.

新知探索

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周長(zhǎng)相等的三角形中，正三角形的面積最大.平面上，周長(zhǎng)相等的所有封閉圖形中，圓的面積最大，當(dāng)周長(zhǎng)一定時(shí)，正多邊形的面積隨著邊數(shù)的增加而增加，當(dāng)邊數(shù)趨近于正無窮時(shí)，邊長(zhǎng)趨近于一個(gè)點(diǎn)，正多邊形的形狀趨近圓，故圓的面積最大.

想一想：你能推廣這個(gè)結(jié)論嗎？比如所有周長(zhǎng)相等的三角形中，什么樣的三角形面積最大？平面上，周長(zhǎng)相等的所有封閉圖形中，什么樣的圖形面積最大？新知探索

例題

例題

例題

分析：在(1)中，矩形的長(zhǎng)與寬的積是一個(gè)常數(shù)，要求長(zhǎng)與寬之和的兩倍的最小值.

例題

分析：在(2)中，矩形的長(zhǎng)與寬之和的兩倍是一個(gè)常數(shù)，要求長(zhǎng)與寬之積的最大值.

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積定和最小，和定積最大.例題

例題

例題

新知探索探索與研究：用或其他計(jì)算機(jī)軟件，完成下列數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：(1)任取多組三個(gè)正數(shù)，，，計(jì)算和，比較它們得大小，總結(jié)出一般規(guī)律；(2)對(duì)四個(gè)正數(shù)、五個(gè)正數(shù)做類似的實(shí)驗(yàn)，總結(jié)出普遍規(guī)律.練習(xí)題型一：利用基本不等式比較大小

練習(xí)方法技巧：在利用基本不等式比較大小時(shí)，應(yīng)創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件，合理拆項(xiàng)或配湊，在拆項(xiàng)與配湊的過程中，首先要考慮基本不等式使用的條件，其次要明確基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”或者將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的功能.練習(xí)

練習(xí)題型二：利用基本不等式求最值

練習(xí)

練習(xí)

練習(xí)方法技巧：通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略

拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的簡(jiǎn)化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形.(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo).(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.(4)注意“1”的妙用.練習(xí)

練習(xí)

練習(xí)題型三：利用基本不等式證明不等式

練習(xí)方法技巧：1.可利用基本不等式證明題目的類型

所證不等式一端出現(xiàn)“和式”，而另一端出現(xiàn)“積式”，這便是應(yīng)用基本不等式的“題眼”，可嘗試用基本不等式證明.2.用基本不等式證明不等式的注意點(diǎn)(1)多次使用基本不等式時(shí)，要注意等號(hào)能否成立.(2)累加法是不等式證明中的一種