第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《三角形的有關(guān)證明》專項(xiàng)測試卷（附答案）學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單選題1．某校八年級生物興趣小組租兩艘快艇去微山湖生物考察，他們從同一碼頭出發(fā)，第一艘快艇沿北偏西70°方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西20°方向航行50千米，如果此時(shí)第一艘快艇不動，第二艘快艇向第一艘快艇靠攏，那么第二艘快艇航行的方向和距離分別是（）A．南偏東，千米 B．北偏西，千米C．南偏東，100千米 D．北偏西，100千米2．如圖，，，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．如圖，P是等邊的邊AC的中點(diǎn)，E為邊延長線上一點(diǎn)，，則的度數(shù)為（

）A．20° B．25° C．30° D．35°4．如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D,DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,下列結(jié)論:①∠BAD=∠CAD;②AD上任意一點(diǎn)到AB,AC的距離相等;③BD=CD;④若點(diǎn)P在直線AD上,則PB=PC．其中正確的是()A．① B．①② C．①②③ D．①②③④5．如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N，若∠BAC＝，則∠EAN的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．如圖，在圓柱的截面ABCD中，AB=，BC=12，動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動到BC的中點(diǎn)S的最短距離為．A．10 B．12 C．20 D．14二、填空題7．如圖，長方形ABCD沿AM折疊，使D點(diǎn)落在BC上的N點(diǎn)處，AD＝7cm，DM＝5cm，∠DAM＝39°，則△ANM≌△ADM，AN＝cm，NM＝cm，∠NAB＝．8．如圖，點(diǎn)D為的邊上一點(diǎn)，且滿足，作于點(diǎn)E，若，則的長為．

9．如圖，已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交AC，AB于點(diǎn)D，E，則CD的長為．10．如圖，已知等邊三角形ABC的高為7cm，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F．則PD+PE+PF＝．

11．如圖，已知EC＝BC，∠1＝∠2，要使△ECD≌△BCA，需添加的條件是(只需寫出一個條件)．12．如圖，點(diǎn)P是△ABC外的一點(diǎn)，PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，連接PB，PC．若PD＝PE＝PF，∠BAC＝70°，則∠BPC的度數(shù)為．三、解答題13．求證：在一個三角形中，如果兩個角不等，那么它們所對的邊也不相等．14．如圖，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AB=4，BC=12，AD=3，若點(diǎn)P在BC上運(yùn)動．(1)求線段DP的最小值；(2)當(dāng)DP最小時(shí)，求CDP的面積．15．（1）【動手操作】如圖①，已知．①用量角器畫的平分線．②在上任取一點(diǎn)M，畫，垂足分別為．③度量點(diǎn)M到的距離，你發(fā)現(xiàn)了什么？在上再取幾點(diǎn)試一試．（2）【實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)】角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離_______．（3）【結(jié)論應(yīng)用】如圖②，點(diǎn)P是的平分線上一點(diǎn)，，垂足為D，且是射線上一動點(diǎn)，則的最小值是_______．

16．如圖，等腰梯形ABCD的上底，下底，底角，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo).17．如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，且，ΔABC外一點(diǎn)滿足，平分，求的度數(shù).18．如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在直線l上（點(diǎn)F，C之間不能直接測量），點(diǎn)A，D在l的異側(cè)，，，測得．(1)求證：；(2)若，，求的長．參考答案題號123456答案BACDBA1．B【分析】根據(jù)題意得出AO＝BO以及∠BOA＝90°，進(jìn)而得出第二艘快艇航行的方向和距離．【詳解】解：∵第一艘快艇沿北偏西70°方向，第二艘快艇沿南偏西20°方向，∴∠BOA＝90°，∵BO＝AO＝50km，∴AB＝km，∠B＝∠OAB＝45°，∵第二艘快艇沿南偏西20°方向，∴∠1＝∠CAO＝20°，∴∠2＝45°?20°＝25°，∴第二艘快艇航行的方向和距離分別是：北偏西25°，千米．故答案選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理以及方向角，正確把握方向角的定義是解題關(guān)鍵．2．A【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確判斷對應(yīng)角，對應(yīng)邊是解決本題的關(guān)鍵．在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等即可解決．【詳解】解：在中，，∵，，，∴，∴．故選：A．3．C【分析】根據(jù)“三線合一”可得平分，可得，根據(jù)即可作答．【詳解】∵P是等邊的邊AC的中點(diǎn)，∴平分，，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，“三線合一”以及三角形外角的定義和性質(zhì)等知識，掌握“三線合一”是解答本題的關(guān)鍵．4．D【詳解】∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，又∵AD⊥BC于D，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，故①③正確；∵∠BAD=∠CAD，∴AD上任意一點(diǎn)到AB、AC的距離相等，故②正確；∵AD是BC的中垂線，∴若點(diǎn)P在直線AD上，則PB=PC，故④正確.故選D.5．B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠B+∠C，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，EA＝EB，NA＝NC，則∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，從而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，即可得解．【詳解】解：∵∠BAC＝，∴∠B+∠C＝，∵AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N，∴EA＝EB，NA＝NC，∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，∴∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，＝＝．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，線段垂直平分線的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，能得到求∠EAN的關(guān)系式是關(guān)鍵．6．A【分析】將圓柱的截面ABCD展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求出斜邊AS即可.【詳解】將圓柱的截面ABCD展開，可得到直角三角形ABS，因?yàn)?，BS=6，AB=×π×=8,所以，AS=.故選A【點(diǎn)睛】本題考核知識點(diǎn)：勾股定理.解題關(guān)鍵點(diǎn)：利用勾股定理分析最短距離.7．7512°【解析】略8．3【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)及含30度角的直角三角形中30度角所對的邊等于斜邊的一半．由等腰三角形的性質(zhì)得，求出，然后由30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．故答案為：3．9．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴AD＝BD＝4﹣CD，∵AC2＝AD2﹣CD2，∴32＝（4﹣CD）2﹣CD2，∴CD＝，故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10．7cm【分析】連接PA、PB、PC，作AB邊上的高CG，根據(jù)△ABP、△BCP、△ACP的面積和等于△ABC的面積，等邊三角形的三邊相等，即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，連接PA、PB、PC，作AB邊上的高CG，∵S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，∴AB?PD+BC?PF+AC?PE＝AB?CG，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∴AB（PE+PF+PD）＝AB?CG，∵等邊三角形ABC的高為7cm，∴PE+PD+PF＝CG＝7cm.

故答案為7cm【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，將一個三角形的面積轉(zhuǎn)化成三個三角形的面積和是解題關(guān)鍵.11．DC=AC（答案不唯一）【分析】由∠1＝∠2可得∠ECD=∠BCA，再由EC＝BC，添加DC=AC，利用“SAS”判定兩個三角形全等．【詳解】解：添加的條件是DC=AC，理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，即∠ECD=∠BCA，在△ECD和△BCA中，，∴△ECD≌△BCA（SAS）．故答案為DC=AC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理．熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．12．35°/35度【分析】根據(jù)角平分線的判定，可得∠ABP＝∠CBP，∠ACP＝∠FCP；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠ABC+∠BAC＝∠ACF，∠PBC+∠BPC＝∠FCP，根據(jù)等量代換，可得答案．【詳解】解：由PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，連接PB，PC．∵PD＝PE＝PF，∴∠ABP＝∠CBP，∠ACP＝∠FCP．∵∠ABC+∠BAC＝∠ACF．即∠ABC+∠BAC＝∠ACF，即∠PBC+∠BAC＝∠FCP．∵∠PBC+∠BPC＝∠FCP，∴∠BPC＝∠BAC＝×70°＝35°，故答案為：35°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．13．見解析【分析】先假設(shè)它們的對邊相等，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出假設(shè)不成立，從而證得原結(jié)論成立．【詳解】證明：假設(shè)它們所對的邊相等，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理，“等邊對等角”知它們所對的角也相等，這就與題設(shè)兩個角不等相矛盾，因此假設(shè)不成立，故原結(jié)論成立．【點(diǎn)睛】本題結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．14．(1)DP的最小值是3；(2)當(dāng)DP最小時(shí)，△CDP的面積為12．【分析】（1）由垂線段最短可知當(dāng)DP⊥BC時(shí)，DP最短，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理得BD=5，當(dāng)DP最小時(shí)，DP⊥BC，再由勾股定理得PB=4，則CP=BC-PB=8，然后由三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)DP⊥BC時(shí)，線段DP的值最小，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，當(dāng)DP⊥BC時(shí)，DP=AD，∵AD=3，∴DP的最小值是3；（2）解：∵∠A=90°，∴BD==5，當(dāng)DP最小時(shí)，DP=3，DP⊥BC，則∠DPB=∠DPC=90°，∴PB==4，∴CP=BC-PB=12-4=8，∴△CDP的面積=CP×DP=×8×3=12，即當(dāng)DP最小時(shí)，△CDP的面積為12．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)、垂線段最短以及三角形面積等知識，熟練掌握勾股定理和角平分線的在是解題的關(guān)鍵．15．（1）見詳解（2）相等（3）3【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形；利用測量法解決問題．（2）由（1）的結(jié)論，即可作答．（3）根據(jù)垂線段最短，作圖，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)，即可作答．本題考查作圖基本作圖，垂線段最短，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．【詳解】解：（1）如圖所示；

發(fā)現(xiàn)了；又在上再取點(diǎn)和點(diǎn),同樣發(fā)現(xiàn)；（2）由（1）得：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；故答案為：相等．（3）如圖所示：過點(diǎn)作，

則的最小值為線段的長度，∵點(diǎn)P是的平分線上一點(diǎn)，，垂足為D，，∴，∴的最小值為，故答案為：．16．見解析，A(0,1),B(?1,0),C(3,0),D(2,1).【分析】作AE⊥BC，DF⊥BC分別與E，F(xiàn)，就很容易求出AE，BE，CE，的長，以BC為x軸，AE為y軸建立坐標(biāo)系，就可以求出各點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】作AE⊥BC，DF⊥BC分別與E，F(xiàn)，則EF=AD=2，BE=CF=1，直角△ABE中,∠B=45°，則其為等腰直角三角形，因而AE=BE=1，CE=3.以BC所在的直線為x軸，由B向C的方向?yàn)檎较?，AE所在的直線為y軸，由E向A的方向?yàn)檎较蚪⒆鴺?biāo)系，則A(0,1),B(?1,