PAGE1-2.4.2平面對量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角[A基礎達標]1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，則k＝()A．－12 B．－6C．6 D．12解析：選D.2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b與b垂直，則|a|等于()A．0 B．1C．－2 D．2解析：選D.2a－b＝(3，n)，由2a－b與b垂直可得(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0，所以n2＝3，所以|a|＝2.3．已知平面對量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，則|c|等于()A．4eq\r(2) B．2eq\r(5)C．8 D．8eq\r(2)解析：選D.易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝eq\r(82＋（－8）2)＝8eq\r(2).4．(2024·河北衡水中學檢測)設向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(x，－3)，c＝(1，－eq\r(3))，若b∥c，則a－b與b的夾角為()A．30° B．60°C．120° D．150°解析：選D.因為b∥c，所以－eq\r(3)x＝(－3)×1，所以x＝eq\r(3)，所以b＝(eq\r(3)，－3)，a－b＝(0，4)．所以a－b與b的夾角的余弦值為eq\f(b·（a－b）,|a－b||b|)＝eq\f(－12,4×2\r(3))＝－eq\f(\r(3),2)，所以a－b與b的夾角為150°.5．已知O為坐標原點，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4，1)，在x軸上有一點P使得eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))有最小值，則點P的坐標是()A．(－3，0) B．(2，0)C．(3，0) D．(4，0)解析：選C.設點P的坐標為(x，0)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－2，－2)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－4，－1)．eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，所以當x＝3時，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))有最小值1.此時點P的坐標為(3，0)．6．設a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，則m＝________．解析：a＋b＝(m＋1，－3)＋(1，m－1)＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m＋1，－3)－(1，m－1)＝(m，－2－m)，因為(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0，所以m2＋2m－m2＋2m＋8＝0，解得m＝－2.答案：－27．(2024·陜西咸陽檢測)已知向量a＝(－2，1)，b＝(λ，eq\f(1,2))，且|λa＋b|＝eq\f(\r(13),2)，則λ＝________．解析：由已知易得λa＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－λ，λ＋\f(1,2)))，則(－λ)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(13,4)，解得λ＝1或λ＝－eq\f(3,2).答案：1或－eq\f(3,2)8．已知點A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影為________．解析：由題意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(5，5)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝15，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影為|eq\o(AB,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).答案：eq\f(3\r(2),2)9．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)．(1)求a－b及|a－b|；(2)若ka＋b與a－b垂直，求實數(shù)k的值．解：(1)a－b＝(4，0)，|a－b|＝eq\r(42＋02)＝4.(2)ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－b＝(4，0)，因為ka＋b與a－b垂直，所以(ka＋b)·(a－b)＝4(k－3)＋(2k＋2)·0＝0，解得k＝3.10．(2024·重慶第一中學第一次月考)已知向量a，b，c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a＝(1，－1)．(1)若|c|＝3eq\r(2)，且c∥a，求向量c的坐標；(2)若b是單位向量，且a⊥(a－2b)，求a與b的夾角θ.解：(1)設c＝(x，y)，由|c|＝3eq\r(2)，c∥a可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋x＝0，,x2＋y2＝18，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝3，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－3，))故c＝(－3，3)或c＝(3，－3)．(2)因為|a|＝eq\r(2)，且a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，所以a·b＝1，故cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(\r(2),2)，所以θ＝eq\f(π,4).[B實力提升]11．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq\r(5)，若(a＋b)·c＝eq\f(5,2)，則a與c的夾角大小為()A．30° B．60°C．120° D．150°解析：選C.設a與c的夾角為θ，依題意，得a＋b＝(－1，－2)，|a|＝eq\r(5).設c＝(x，y)，因為(a＋b)·c＝eq\f(5,2)，所以x＋2y＝－eq\f(5,2).又a·c＝x＋2y，所以cosθ＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(x＋2y,\r(5)×\r(5))＝eq\f(－\f(5,2),5)＝－eq\f(1,2)，所以a與c的夾角為120°.12．在邊長為1的正方形ABCD中，M為BC的中點，點E在線段AB上運動，則eq\o(EM,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))解析：選C.以A為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，設E(x，0)，0≤x≤1.因為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，C(1，1)，所以eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x，\f(1,2)))，eq\o(EC,\s\up6(→))＝(1－x，1)，所以eq\o(EM,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x，\f(1,2)))·(1－x，1)＝(1－x)2＋eq\f(1,2).因為0≤x≤1，所以eq\f(1,2)≤(1－x)2＋eq\f(1,2)≤eq\f(3,2)，即eq\o(EM,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))).13．已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2，0)．(1)求a－b的坐標以及a－b與a之間的夾角；(2)當t∈[－1，1]時，求|a－tb|的取值范圍．解：(1)因為向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2，0)，所以a－b＝(1，eq\r(3))－(－2，0)＝(3，eq\r(3))，所以cos〈a－b，a〉＝eq\f(（a－b）·a,|a－b|·|a|)＝eq\f(6,4\r(3))＝eq\f(\r(3),2).因為〈a－b，a〉∈[0，π]，所以向量a－b與a的夾角為eq\f(π,6).(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋3.易知當t∈[－1，1]時，|a－tb|2∈[3，12]，所以|a－tb|的取值范圍是[eq\r(3)，2eq\r(3)]．14．(選做題)已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4，0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，2eq\r(3))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1－λ)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))(λ2≠λ)．(1)求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))及eq\o(OA,\s\up6(→))在eq\o(OB,\s\up6(→))上的投影；(2)證明A，B，C三點共線，并在eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))時，求λ的值；(3)求|eq\o(OC,\s\up6(→))|的最小值．解：(1)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝8，設eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|))＝eq\f(8,4×4)＝eq\f(1,2)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))在eq\o(OB,\s\up6(→))上的投影為|eq\o(OA,\s\up6(→))|cosθ＝4×eq\f(1,2)＝2.(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2，2eq\r(3))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))－(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(λ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))，因為eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))有公共點B，所以A，B，C三點共線．當eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))時，