1.1.1集合與元素

軍訓(xùn)前學(xué)校通知：8月13日8點(diǎn)，高一年級在操場集合進(jìn)行軍訓(xùn)動員；試問這個通知的

對象是全體的高一學(xué)生還是個別學(xué)生？

初中時(shí)你聽說過“集合”這一詞嗎？你在學(xué)習(xí)那些知識點(diǎn)中提到了“集合”這一詞？

問題1：總結(jié)出集合與元素的概念：

問題2：集合中元素的三個特征：

問題3：集合相等:

如果,則集合A與集合B中的元素是

一樣的，因此集合A與集合B相等，即若Au8且8=A,則。

集合與元素的字母表示：集合通常用大寫的拉丁字母A,B,C…表示，集合的元素用小寫

的拉丁字母a,b,c,…表示。

例1.請用列舉法表示下列集合：

（1）小于5的正奇數(shù)。（2）能被3整除且大于4小于15的自然數(shù)。

（3）方程爐-9=0的解的集合。

問題4.用列舉法能表示元素個數(shù)無限個的集合嗎？舉例說明？

問題5.什么樣的集合適合用列舉法表示？

描述法的定義：

例2.試分別用列舉法和描述法表示下列集合：

（1）方程x2-3=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合。（2）由大于10小于30的所有整數(shù)組成的集合。

問題6.什么樣的集合適合用描述法表示？一個集合是否既能用列舉法表示，又能用描述法表

示？并舉例說明。

問題7.集合｛x|x>3｝與集合｛t11>3｝是否表示同一個集合?

問題8：元素與集合之間的關(guān)系？

例1：設(shè)A表示“1一一20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)”組成的集合，則3、4與A的關(guān)系？

關(guān)系文字語言符號語言

屬于

不屬于

問題9：常用數(shù)集及其記法:

數(shù)集名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號名稱

例3：若xsN+，貝ij尤wN,對嗎？

達(dá)標(biāo)檢測：

1.判斷以下元素的全體是否組成集合：

(1)大于3小于11的偶數(shù)；()(2)我國的小河流；()

(3)非負(fù)奇數(shù)；()(4)本校2009級新生;()

(5)血壓很高的人；()(6)著名的數(shù)學(xué)家；()

(7)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第三象限的點(diǎn)()

2.用“G”或"任”符號填空：

(1)8_N；(2)0N；(3)-3Z；(4)V2Q；

(5)設(shè)A為所有亞洲國家組成的集合，則中國A,美國A,印度A,英國A；

3.下面有四個語句:①集合N中最小的數(shù)是1；②若-aeN,則aeN;③若aeN,bwN,

則a+b的最小值是2;④+4=4x的解集中含有2個元素;

其中正確語句的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

4.已知集合S中的三個元素a,b,c是AABC的三邊長，那么AABC一定不是()

A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰三角形

5.已知集合A含有三個元素2,4,6,且當(dāng)aeA,有6-aGA,那么a為()

A.2B.2或4C.4D.0

6.設(shè)雙元素集合A是方程x2-4x+m=0的解集,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

7.已知集合A由l,x,x2三個元素構(gòu)成，集合B山1,2,x三個元素構(gòu)成，若集合A與集合B相等,

求x的值。

Y+y—2

8.方程組《的解集用列舉法表示為_________；用描述法表示為_____________.

x-y-5

9.{(x,y)|x+y=6,xeN,yeN}用列舉法表示為。

10.已知A={x|x=3k—1,keZ},用e或史符號填空：(1)5A(2)—7_A

11.集合M={(x,y)|xy>0,xGR,yWR}是指

A第一象限內(nèi)的點(diǎn)集B第三象限內(nèi)的點(diǎn)集

C第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)集D第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)集

12.用列舉法將集合{(x,y)|xe{l,2},yG{l,2}}可以表示為

A.{{1,1},{1,2},{2,1},{2,2}}B.{112}

C.{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}D.{(1,2)}

13.已知集合人={-2,-1,0,1},集合B={y|y=|x|,xGA},則B=

14.已知集合代={(x,y)|y=2x+l},B={(x,y)|y=x+3},a《A且a^B則a為

15.試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)山所有小于10的既是奇數(shù)又是素?cái)?shù)的自然數(shù)組成的集合；

(2)不等式x-3>2的解的集合；

(3)二次函數(shù)y=x2-10圖像上的所有的點(diǎn)組成的集合;

1.L2集合間的基本關(guān)系

1.子集的定義：

一般地，對于兩個集合A,B,,我們

說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集。記作：418(或834)。

讀作：A包含于B,或B包含A。y一'、/-----、

當(dāng)集合A不包含于集合B時(shí)，記作A器B。(\

用Venn圖表示兩個集合間的“包含”(B-A(B(A))

注：Venn圖是解決復(fù)雜的關(guān)于集合問題的有力工具。\\7

2.真子集定義：、----------

若集合AqB,但存在，則稱集合4是集合6的真子集，

記作：。

讀作：A真包含于B(或B真包含A)。

空集定義?

_________________________________稱為空集，記作：0。

用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?/p>

0{0}；00；0{0}；{0}{0}

3.幾個重要的結(jié)論：

(1)空集是任何集合的子集；

(2)空集是任何非空集合的真子集；

(3)任何一個集合是它本身的子集；

(4)對于集合A,B,C,如果且BqC,那么AqC。

說明：

1.注意集合與元素是“屬于"''不屬于"的關(guān)系，集合與集合是“包含于”“不包含于”的

美系.

2.在與扁有關(guān)集合問題時(shí)，要注意空集的地位。

A1.填空：

(1).2—N；{2}_N；0A;

(2).已知集合A=集|x?—3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,xGN},則

AB；AC；{2}C；2C

B2.判斷題

(1)空集沒有子集。()

(2)空集是任何集合的子集。()

(3)任一集合必有兩個或兩個以上的子集。()

(4)若B=AH0,那么凡不屬于集合A的元素，則必不屬于B。()

B3.以下五個式子中錯誤的個數(shù)是()

①{1}W{1,2,3}②{1,-3}={-3,1}③{1,2,0}q{1,0,2}@0e{0,1,2}⑤0e{0}

B4.已知集合A={T,3,2m-l},集合B={3,〃/}.若B=A,則實(shí)數(shù)m=.

B5.寫出集合［a,b,c}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

酗：集合A中含有n個元素，那么集合A有多少個子集？多少個真子集?

C6.集合A=卜,+x-6=()},8=+1=0},B寫A,求m的值。

D7.已知集合A={x卜2<x<5^,B-|x|—/n+1<x<2m—1|且A=3,

求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

LL3集合的基本運(yùn)算

1.并集的定義：

一般地，,叫做集合A與集合B的并

集。記作：______________（讀作：“A并B”），即

AuB=|x|xGA,或XGB}

用Venn圖表示：

這樣，在思考1中，集合A,B的并集是C,即

A（JB-C

說明：定義中要注意“所有”和“或”這兩個條件。

討論：AUB與集合A、B有什么特殊的關(guān)系？

AUA=,AU0）=,AUBBUA

AUB=A=>,AUB=B=>.

鞏固練習(xí)：

①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},則AUB=—;

②.設(shè)A={銳角三角形},B={鈍角三角形},則AUB=—;

③.A={x|x>3},B={x|x<6},則AUB=。

2交集的定義.

一般地,叫作集合A、B的交集,

記作（讀“A交B"）即：

AnB={x|x￡A,且xWB}

用Venn圖表示：（陰影部分即為A與B的交集）

討論：ACB與A、B、BCA的關(guān)系？

AnA=AD=AnBBAA

AAB=AnAAB=Bn

鞏固練習(xí)：

①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},則AC1B=_;

②.A={等腰三角形},B={直角三角形},則ACB=;

③.A={x|x>3},B={x|x<6},則ACB=。

3.全集的定義：

一般地，如果?個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集,

記作U,全集是相對于所研究問題而言的一個相對概念。

4.補(bǔ)集的定義：

對于一個集合A,，叫作集合A相對于全集

U的補(bǔ)集，記作：

讀作：”A在U中的補(bǔ)集"，即GA={x|xeU,且xeA}

用Venn圖表示：（陰影部分即為A在全集U中的補(bǔ)集）

D

討論：集合A與C,A之間有什么關(guān)系？一借助Venn圖分析。

Ar>CuA=0AyCU(CUA)=A

C(JU=0,CM=U

鞏固練習(xí)

①.U={2,3,4},A={4,3},B=<t>,則G,，A=,CbB=:

②.設(shè)U={x|x〈8,且xCN},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},則；

③.設(shè)U={三角形},A={銳角三角形},則CL,A=。

A2.已知集合A={x13<x<1},B={xIxW-3},貝ijAUB=?

A3.集合A={x|x>0},B={x|x<3},則ACB=()

A.{x|x<0}B.{x|0<x<3}C.{x|x>3)D.R

A4.設(shè)集合A={mGZ|-3cm<2},B={nGZI-1WnW3},貝ljAC1B=()

A.0B.1C.2D.3

B5.若集合A={x,xW4},B={x|x'a},滿足AC1B={4},則實(shí)數(shù)a=。

B6.已知M={1},N={L2},設(shè)4={ay)|xeMyejV),B-{(x,y)\xeN,yeM],

求AflB,AUB.

C7.設(shè)集合A={x|TVx<a},B={xI1<x<3),求AAB.

C8.設(shè)A={-4,2,a-1,a2},B={9,a-5,1-a),已知ACB={9},求a.

D9.已知集合4={x—-7"x+〃『-19=o},B=3)，-5y+6=o}

C={zp+2z_8=0}是否存在實(shí)數(shù)m,同時(shí)滿足4cB/0,AcC=0?

A1,已知U為全集,M、NUU,且MCIN=N,則()

4、CuMUCuNB、QMqCuN

C、QN2MD、M2CUN

A2.全集與補(bǔ)集有什么關(guān)系呢？CAM與CRM相等嗎？

A2.若S={1,2,4,8},A=O,貝UGA=.

B3.設(shè)集合1)={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},則G(AAB)=

B4.若U={1,3,a2+2a+l},A={1,3},GA={5},貝Ija=.

B5.設(shè)U=R,A={x|x>0},B={x|x>l},貝ljACGB=.

B6.設(shè)集合U={1,2,3,4,5),A={2,4},B={5,3,4},C={3,4},則(AUB)B(CiC)

B7.設(shè)全集1]={2,3,m2+2m-3},A={|m+l|,2},G，A={5},求m的值。

B8,已知全集U二{1,2,3,4},A={x|x2-5x+m=0,x￡U},求CiA、m.

CIO.設(shè)全集U為R,A={X卜？+〃工+12=()},8={x,-5x+q=o},若

(CUA)C3={2},AC(C*)={4},求AUB.

Dll.已知集合A={x|xVa},B={x|lVxV2}且AUC&8二R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

1.2.1函數(shù)的概念

問題1：回顧初中所學(xué)過的幾種函數(shù)？

一次函數(shù)y=kx+b(kw0)

二次函數(shù)y=ax2++c(aw0)

反比例函數(shù)y=A(%#0)

x

問題2：初中所學(xué)函數(shù)的定義是什么？(設(shè)在某變化過程中有兩個變量x和y,,如果給定了一

個x的值，相應(yīng)地確定唯一的一個y值，那么就稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變

量)。

(歸納以上三例，三個實(shí)數(shù)中變量之間的關(guān)系都可以描述為兩個數(shù)集A、B間的一種對應(yīng)

關(guān)系：對數(shù)集A中的每一個x,按照某個對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對應(yīng)，

記作

函數(shù)的定義

注意：①

②

③

當(dāng)確定用解析式y(tǒng)=f(x)表示的函數(shù)的定義域時(shí)，常有以下情況：

(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是；

(2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是；

(3)如果f(x)是偶次根式，那么函數(shù)的定義域是；

(4)如果f(x)是由兒個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是

(5)如果f(x)是由實(shí)際問題列出的，函數(shù)的定義域由數(shù)學(xué)式子本身的意義和問題的

實(shí)際意義決定。

問題3：初中學(xué)過哪些函數(shù)？它們的定義域、值域、對應(yīng)法則分別是什么？

答:一次函數(shù)y=kx+/ZW0)定義域、值域、對應(yīng)法則

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aw0)定義域、值域

對應(yīng)法則__________________________

反比例函數(shù)y=豐0)定義域、值域、對應(yīng)法則

X

例1.已知函數(shù)/*)=475+」一，

x+2

(1)求函數(shù)的定義域；

2

(2)求/(_3),/q)的值；

(3)當(dāng)a>0時(shí),求/(a)J(a—1)的值。

練習(xí)1已知函數(shù)”無)=3叱+2工

⑴求/(2),/(-2),〃2)+/(-2)的值。

（2）求〃*“一。）,“。）+〃一。）的值。

問題4.區(qū)間的概念

設(shè)a、b是兩個實(shí)數(shù)，且a〈b,規(guī)定：

（1）滿足不等式aWxWb的實(shí)數(shù)x的集合叫做,表示為；

（2）滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做表示為；

（3）滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做,表示為

（4）滿足不等式a<xWb的實(shí)數(shù)x的集合叫做一.，表示為一

在數(shù)軸上，這些區(qū)間都可以用?條以a和b為端點(diǎn)的線段來表示，在圖中，用表示

包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)；

實(shí)數(shù)集R也可以用區(qū)間表示為,“8"讀作“"，“一8”讀作“”,

“+8”讀作“"，還可以把滿足xNa,x>a,x<b,x〈b的實(shí)數(shù)x的集合分別表示

為。

1、函數(shù)的三種表示方法

（1）解析法：（將兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式表示）。

舉例：如y=3x2+2x+l,S=7tr2,C=2兀r,S=等。

心上f簡明，全面地概括了變量間的關(guān)系；

優(yōu)點(diǎn)：<

［可以通過解析式求出任意一個自變量所對應(yīng)的函數(shù)值；

（2）列衣法：（列HI表格表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系）：

舉例：如：平方表，二角函數(shù)表，利息表，列車時(shí)刻表，國民生產(chǎn)總值表等。

優(yōu)點(diǎn)：不需要計(jì)算，就可以直接看與自變量的值相對應(yīng)的函數(shù)值。

（3）圖象法：（用圖象來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系）。

舉例:

優(yōu)點(diǎn):

點(diǎn)撥:

①函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個

圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；

②解析法：必須注明函數(shù)的定義域；

③圖象法：是否連線；

④列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征。

映射的概念

點(diǎn)撥：（1）映射有三個要素：兩個集合，一種對應(yīng)關(guān)系，缺不可；

（2）A,B可以是數(shù)集，也可以是點(diǎn)集或其它集合。這兩個集合具有先后順序:符號“f：

A-B”表示A到B的映射,符號“f：B->A”表示B到A的映射，兩者是不同的；

（3）集合A中的元素在集合B中一定有元素和它對應(yīng)，并且是唯一的；但集合B中的元

素在A中可以沒有元素和它對應(yīng)，即使有也可以不唯一。

舉例：下列對應(yīng)，哪些是集合A到集合B的一個映射(為簡明起見，這里的A、B都是有限集

合)

旦

/11

1

-7*2

2

43

*4

-3295

*6

-3c3

注：對每個對應(yīng)都要強(qiáng)調(diào)對應(yīng)法則,集合順序。

答：由映射定義，上述四圖中對應(yīng)是A到B的映射，.對應(yīng)不是A到B

的映射。對應(yīng)法則分別是_________

思考：函數(shù)與映射的關(guān)系？

達(dá)標(biāo)檢測：

A1.下列說法正確的是()

(A)函數(shù)值域中每一個數(shù)在定義域中一定只有一個數(shù)與之對應(yīng)。

(B)函數(shù)的定義域和值域可以是空集。

(0函數(shù)的定義域和值域一定是非空數(shù)集。

(D)函數(shù)的定義域和值域確定后，函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系也就確定了。

尤+]

A2.已知函數(shù)/(x)=^一?則/(2)=()

x-1

(A)3(B)2(C)1(D)0

B3：下列函數(shù)圖像中不能作為函數(shù)y=f(x)的圖像的是()

B4：依函數(shù)的定義，平行于y軸的直線與函數(shù)圖像最多有個交點(diǎn)。

例1.求下列函數(shù)的定義域。

(1)/(%)=------1------；(2)/(x)=Vx-4+y/x+2；(3)/(x)=Jx+1+

(l-2x)(x+l)乙一

練習(xí)1:

求下列函數(shù)的定義域(用區(qū)間表示)

1

①f(x)=一x-+②f(x)=-~-+J-3x+4

Nx-4x-3

例2.下列函數(shù)中，哪個與函數(shù)y=x是同一函數(shù)？

(1)(Vx)2；(2)y=—;(3)y=V^；(4)y=Vx^.

x

練習(xí)2：判斷下列函數(shù)f(x)與g(x)是否表示同一個函數(shù)，說明理由？()

A.f(x)=(x—1)°；g(x)=1;B.f(x)=x；g(x)=y[x^

C.f(x)=x2；f(x)=(x+l)2'D.f(x)=|x1；g(x)=

結(jié)論；判斷兩個函數(shù)是否相同，要看這兩個

函數(shù)才算相同。

例3.求下列函數(shù)的值域

⑴y=2x+l,xe{1,2,3,4,5};

(2)y=Vx+1、

(3)y=-x2-2x+3(-5<x<-2)

達(dá)標(biāo)檢測：

A練習(xí)：1、用區(qū)間表示下列數(shù)集。

⑴{x|x?l}=

(2){x|2<x<3}=

(3){x|x>1且%A2}=

B、求函數(shù)y=——2x+2(0Wx<3)的值域。

例1：某種筆記本的單價(jià)是5元，買x(xe(1,2,3,4,5)個筆記本需要y元,試用函數(shù)的三種

表示法表示函數(shù)y=/(x)。

說明：函數(shù)的圖象通常是一段或幾段光滑的曲線，但有時(shí)也可以由些孤立點(diǎn)或幾段線段

組成。

練習(xí)1：作業(yè)本每本0.3元，買x個作業(yè)本的錢數(shù)y(元).試用三種方法表示此實(shí)例中的函

數(shù)。

A2.已知/(x)與g(x)分別由下表給出

X1234

4321

/(X)

X1234

3142

g(x)

那么/(g(3))=

B3.在一定范圍內(nèi)，某種產(chǎn)品的購買量y噸與單價(jià)x元之間滿足一次函數(shù)關(guān)系。如果購買1000

噸，每噸800元，購買2000噸，每噸700元，若一客戶購買400噸，單價(jià)應(yīng)該是()

(A)820(B)840(C)860(D)880

X2+2(x<2)

B4.設(shè)函數(shù)/(x)=《，則/(-4)=____,若/(/)=8,則/=_______。

2x(%>2)

例2.某市“招手即?！惫财嚨钠眱r(jià)按下列規(guī)則制定：

(1)5公里以內(nèi)(含5公里)，票價(jià)2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票價(jià)增加1元(不足5公里按5公里計(jì)算)。

如果某條線路的總里程為20公里，請根據(jù)題意，寫出票價(jià)與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出

函數(shù)的圖像。

20<x<5

y=35<x<10

410<x<15

515<x<20

說明：表示函數(shù)的式子也可以不止一個(如例1與例2),對于這類分幾個式子表示的函

數(shù)稱為分段函數(shù)。注意它是一個函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是“幾個函數(shù)”。

例3.作出下列各函數(shù)的圖象:

-(0<%<1)x2+2x(x>0)

⑴/(x)=<X(2)f(x)=

—x?—2x(x<0)

X(X>1)

達(dá)標(biāo)檢測：

x+l(x>0)

Al.已知/*)=<%(x=0)，則/{/"(一1)]}=________。

0(x<0)

x+2(x<-l)

A2在函數(shù)/(x)=</(—l<x<2)中，若/(x)=3,則x的值為。

2x(x22)

B3.國內(nèi)投寄信函(外埠)，假設(shè)每封信函不超過20g時(shí)付郵資80分；超過20g不超過40g時(shí)

付郵資160分；依次類推，寫出每封xg(0<x<100)的信與所付郵資y之間的函數(shù)解析式，

并畫出這個函數(shù)的圖象。

B4如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD邊上有一點(diǎn)P,自點(diǎn)B(起點(diǎn))沿著折線BCDA向點(diǎn)A

(終點(diǎn))運(yùn)動。設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x,Z\APB的面積為y,求y與x之間的函數(shù)解析式。并

畫出這個函數(shù)的圖象。

達(dá)標(biāo)檢測：

A1判斷下面的對應(yīng)是否為集合A到集合B的映射,并說明理由。

(1)設(shè)A={1,2,3,4),B—{3,4,5,6,7,8,9}?f:x-2x+1;

(2)設(shè)A=N*,B={0,1},f:xrx除以2得的余數(shù)；

(3)設(shè)A=R,B二R,f：XfX取倒數(shù)；

B2.在映射f:AfB中，A=B={(x,y)eR}且，/:(x,y)—(x-+y)則與A中的元

素(T,2)對應(yīng)的B中的元是。

1.3.1函數(shù)的基本性質(zhì)一一單調(diào)性

觀察下列各個函數(shù)的圖象,并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律:

①隨X的增大，y的值有什么變化？

②能否看出函數(shù)的最大、最小值？

③函數(shù)圖象是否具有某種對稱性？VA

1.畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：

1.f(x)=X|

①從左至右圖象上升還是下降？

②在區(qū)間上，隨著X的增一力1

大，f(x)的值隨著。

2.f(x)=-2x+l

y4

①從左至右圖象上升還是下降?

②在區(qū)間上，隨著x的增1-

大，f(x)的值隨著。

3.f(x)=X?-----i~~

-1-

①在區(qū)間上，f(x)的值隨

著x的增大而。

②在區(qū)間一上，f(x)的值隨

著X的增大而。

1-

學(xué)習(xí)過程：

(-)函數(shù)單調(diào)性定義1X

-1-

1.增函數(shù)

2.函數(shù)的單調(diào)性定義

3.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟:

注意：

①函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；

②必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量xi,x2；當(dāng)xKx2時(shí)，總有f(xi)<f(x2)(或

/(x,)>/(x2)).

③反映在圖象上，若/(x)是區(qū)間D上的增(減)函數(shù)，則圖象在D上的部分從左到右是上

升(下降)的。

(-)典型例題

Al如圖是定義在區(qū)間［-5,5］上的函數(shù)y=f(x),根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一

單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

A2.求證：函數(shù)y=一二在區(qū)間(1,+8)上為單調(diào)減函數(shù)。

X—1

六達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：

AL證明函數(shù)f(x)=-3x+2在R上是減函數(shù)。

B2.寫出f(x)=x?—4x+5的單調(diào)遞增區(qū)間，并證明。

C3.討論函數(shù)尸？-2(2a+l)x+3在［-2,2］上的單調(diào)性。

1.畫出下列函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象解答下列問題：

①說出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在各單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性;

②指出圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)。

(1)/(%)=-2x4-3(2)j(x)=—2,x+3,xG[—1,2]

(3)f(x)=x*2(4)/(x)=-x2

2.函數(shù)最大(小)值定義

(1).最大值

一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

(1)對于任意的xe/,都有f(x)

(2)存在xoei,使得f(xo)=M

那么，稱"是函數(shù)㈤的最大值。

思考：仿照函數(shù)最大值的定義，給出函數(shù)y=f(x)的最小值的定義。

(2).最小值

一般地，設(shè)函數(shù)y二『仞的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

(1)；

(2)

那么，稱"是函數(shù)的最小值

注意：

①函數(shù)最大(小)首先應(yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在x°w/,使得f(x。)=M：

②函數(shù)最大(小)應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大(小)的，即對于任意的xez,都有f(x)

WM(f(x)\M)。

六、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：

Al.(1).函數(shù)/"(x)=2x—V的最大值是

()

A.—1B.0

C.1D.2

(2).已知函數(shù)/?(才)=弧三+的則它的最小值是

()

A.0B.1

2

C-D.無最小值

(3).函數(shù)/■(x)=f—2ax+a+2在[0,a]上的最大值為3,最小值為2,則a的值為

()

A.0B.1或2

C.1D.2

7

B2.已知函數(shù)y=-U--G[2,6]),求函數(shù)的最大值和最小值。

x-1

C3.已知函數(shù)/'(x)+2ax+2,—5,5］,

(1)當(dāng)a=—1時(shí)，求函數(shù)F(x)的最大值與最小值；

(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使函數(shù)尸F(xiàn)(x)在區(qū)間［—5,5］上是單調(diào)函數(shù)。

D4.已知函數(shù)f(x)=—是否存在實(shí)數(shù)以、n,成小使當(dāng)［如〃］時(shí)，函數(shù)的值域恰

為［2%,2〃］,若存在，求出/〃、刀的值；若不存在，說明理由。

1.3.2函數(shù)的奇偶性

函數(shù)的奇偶性:

(1)對于函數(shù)/(X),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱：

如果,那么函數(shù)/(X)為奇函數(shù)；

如果一，那么函數(shù)/(X)為偶函數(shù)。

(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于對稱。

(3)奇函數(shù)在對稱區(qū)間的增減性；偶函數(shù)在對稱區(qū)間的增減性

六、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：

A1、判斷下列函數(shù)的奇偶性。

(1)f(x)=x"；(2)f(x)—x5；

(3)f(x)=x+-(4)f(x)

XX

A2、二次函數(shù)y=ax?+8x+c(qk0)是偶函數(shù)，貝ijb=.

B3、已知/(x)=ax'+以3+dx+5,其中a,b,c,d為常數(shù)，若/(一7)=—7,則

/⑺=.

B4、若函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，貝IJ函數(shù)尸(x)=|/(x)|+)(W)的圖象關(guān)于()

(A)x軸對稱(B)y軸對稱(C)原點(diǎn)對稱(D)以上均不對

B5、如果定義在區(qū)間［3-凡5］上的函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，則。=.

C6、若函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，/(x)=x(l+〃7),那么當(dāng)

xe(-oo,0)時(shí)，/(%)=.

D7、設(shè)/(x)是(—8,+8)上的奇函數(shù)，f(x+2)=-f(x),當(dāng)OWxWl時(shí)，/(x)=x，則

”47.5)等于()

(A)0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.5

X-4-77?

D8、定義在(一1,1)上的奇函數(shù)/(x)=--------,則常數(shù)加=—，〃二______.

X+"X+1

函數(shù)及其表示(習(xí)題課)

A1.函數(shù)f(x)記號的理解與運(yùn)用：

已知函數(shù)/(x)=4x+3,g(x)=x?,求f[4]g[6].,f[g(x)Lg[f(x)]o

B2.解析式法及應(yīng)用：

例1求函數(shù)的解析式：

(1)已知F(2x+1)=)+1,求F(>；

1x

(2)已知/'(一)=^-3,求f(x).

X\-X

⑶已知F(x)是一次函數(shù),且滿足3F(x+l)—2F(kl)=2x+17,求F(x)；

(4)已知/(x)滿足2〃x)+fd)=3x,求/(x).

X

方法總結(jié)：第(1)題用代入法；第(2)題用配湊法；第(3)題已知一次函數(shù)，可用待定系數(shù)

法；第(4)題用方程組法。

六、達(dá)標(biāo)檢測:

一、選擇題

1一/1

AL若｛一2.)=7(任。)，那么?)等于()

A.1B.3

C.15D.30

B2.已知/'(x)是一次函數(shù),2/(2)-3/(1)=5,2/(0)=1,則f(x)=)

A.3%+2B.3才一2

C.2x+3D.2x—

3

]vl

B3.函數(shù)尸的圖象為()

x

C4.如下圖所示的四個容器高度都相同.將水

從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，注滿為止.用下面對應(yīng)的圖象顯示該容器中水血

的高度力和時(shí)間t之間的關(guān)系，其中不正確的有

()

A.1個B.2個C.3個D.4個

C5.水池有2個進(jìn)水口，1個出水口，每個水口進(jìn)出水的速度如下圖甲、乙所示.某天0點(diǎn)到

6點(diǎn)，該水池的蓄水量如下圖丙所示(至少打開一個水口)。

給出以下三個診斷：

①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；②3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；

③4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水.其中一定正確的論斷是()

A.①B.①②

C.①③D.①②③

二、填空題

A6.已知函數(shù)f(x)=x+6,若f(2)=8,則/XO)=.

B7.已知一次函數(shù)F(x),且/[F(x)]=16x-25,則f(x)=

B8.已知函數(shù)/'(x),g(x)分別由下表給出

則/[g(D]的值為：當(dāng)g"(x)]=2時(shí)，戶

三、解答題

B9(1)已知/■(x+l)=/+x-l,求/'(2)和f(x).

(2)若/(炭+1)=x+2?,求/(x).

B10.作出下列函數(shù)的圖象:

⑴尸?x>l；

(2)y=x—4x+3,[1,3].

2.1.1指數(shù)與指數(shù)累的運(yùn)算

一、三維目標(biāo)：

知識與技能：1.理解n次方根及根式的概念；2.正確運(yùn)用根式運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算變換。

過程與方法：由簡單的根式運(yùn)算推廣到?般的根式運(yùn)算。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：提高學(xué)生的分析問題的能力，體會數(shù)學(xué)的魅力。

二、學(xué)習(xí)重、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：利用根式的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡。

難點(diǎn)：條件求值問題。

三、學(xué)法指導(dǎo)：聯(lián)系初中學(xué)習(xí)的‘幕值運(yùn)算知識，認(rèn)真閱讀教材PM--PQ對照學(xué)習(xí)目標(biāo)，完成

導(dǎo)學(xué)案，適當(dāng)總結(jié)。

四、知識鏈接：

1.4的平方根是,4的算術(shù)平方根是一，、"的值是o

2.0的平方根是,正數(shù)的平方根是個，負(fù)數(shù)的平方根是一個。

3.實(shí)常數(shù)。的平方根、立方根是什么概念？

問題1：-8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,

-32的5次方根,0的7次方根,/的立方根

問題2：n次方根的概念：

問題3：負(fù)數(shù)沒有n次方根這種說法正確嗎？

問題4：設(shè)。為實(shí)常數(shù)，(1)則關(guān)于x的方程x'=a,x'a分別有解嗎？有幾個解？(2)則關(guān)

于x的方程x'=a,x6=a分別有解嗎？有幾個解？

問題5：當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，a的n次方根有幾個？該如何表示？當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)呢？

問題6：標(biāo)=±2是否正確？教材對于負(fù)數(shù)和零的n次方根有何說明？

A例1、(1)64的6次方根是,(2)若(x-2)°有意義，則x的取值范圍是。

問題6：我們把式子①'(〃eN,〃>1)叫做,其中n叫做，a叫做

問題7：(蚯產(chǎn)=(后了=(啦？=

根據(jù)以上例子試總結(jié)歸納，一般地(五等于什么？

問題8:瓦萬7=VF=

=*=

根據(jù)以上例子試總結(jié)歸納，一般地叱等于什么？

A例2、求值:

(1)#(-8)3(2)7(-10)2⑶<(3-乃>(4)N(a-b)8

A例3、化簡：

B⑴J(%+/fT)2—4C(2)75-276

六、達(dá)標(biāo)檢測：

Al.斤？=：(/力=；&3-乃)2=；V(x-7)J

4i----

B2.而空+(a—4)°有意義，則a的取值范圍是

()

A.a22B.2Wa〈4或a>4

C.D.

若I--------------

B工則化簡々(2a—1)”的結(jié)果是

()

A.\j2a—1

C.y]1—2a

B4.若#3一2X+1+,+6.-9=0,則/=

A5.化簡:+VO.125.

B6.(1)設(shè)求J/+2x+l-Jx?+6x+9的值。

(2)化簡：(7^1)2+-+/(1-4)3.

(3)若代數(shù)式V2x-1+57有意義，化簡A/4X2-4X+1+2y(X-2淀.

2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(第一課時(shí))

指數(shù)函數(shù)的概念：__________________________________________________________

注意：①指數(shù)函數(shù)的定義是一個形式定義；

②注意指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、和零。

例1.判斷下列函數(shù)是否