溫故知新新課引入自主預(yù)習課堂典例講練思路方法技巧建模應(yīng)用引路探索延拓創(chuàng)新名師辨誤做答課后強化作業(yè)（點此鏈接）

【思考】【點撥】

余弦定理的簡單運用【名師指津】理解與應(yīng)用余弦定理的關(guān)注點：(1)余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例.(2)在應(yīng)用余弦定理時，因為已知三邊(求角)或已知兩邊及夾角(求第三邊)時，三角形是惟一確定的，即此時的解是惟一的.【特別提醒】在余弦定理的表達式中，含有三邊和一邊的對角這四個元素，可利用方程的思想，知三求一.【例1】在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的三邊，a2-(b-c)2=bc，(1)求A；(2)若B等于x，周長為y，求函數(shù)y=f(x)的取值范圍.【審題指導】先對a2-(b-c)2=bc進行化簡，再利用余弦定理求解；先寫出y=f(x)的解析式，再利用三角函數(shù)知識求解.【規(guī)范解答】(1)由a2-(b-c)2=bc得:a2-b2-c2=-bc，∴又∵0<A<π,∴A=(2)故∴y的取值范圍為【變式訓練】△ABC中，若a∶b∶c=3∶5∶7,則這個三角形中最大內(nèi)角為()(A)60°(B)90°(C)120°(D)150°【解題提示】先判斷出最大邊，再利用余弦定理計算最大角.【解析】選C.令a=3x,b=5x,c=7x(x>0)，則c為最大邊，角C為三角形中最大內(nèi)角，由余弦定理∴C=120°.

正、余弦定理的綜合應(yīng)用【名師指津】正、余弦定理的綜合應(yīng)用正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的邊角關(guān)系，要解三角形，必須已知三角形的一邊的長，對于兩個定理，根據(jù)實際情況可以選擇性地運用，也可以綜合運用，要注意以下關(guān)系式的運用：【特別提醒】如何靈活地運用正弦定理、余弦定理呢？關(guān)鍵在于觀察、分析已知條件的結(jié)構(gòu)特征，并聯(lián)想公式運用之.【例2】(2011·遼寧高考)△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且asinAsinB+bcos2A=(1)求(2)若求B.【審題指導】（1）利用正弦定理化簡上式，從而求得的值；(2)利用余弦定理求B.【規(guī)范解答】(1)由正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A

即sinB(sin2A+cos2A)故sinB所以(2)由余弦定理得又因為所以整理得又由(1)知b2=2a2，故可得cos2B=又cosB>0，故所以B=45°.【誤區(qū)警示】不能正確利用余弦定理和(1)的結(jié)論，從而導致(2)無法求解.【變式訓練】在△ABC中，AC=2，BC=1，(1)求AB的值；(2)求sin(2A+C)的值.【解題提示】先由余弦定理解出AB，再結(jié)合正弦定理及倍角公式等解出sin2A、cos2A、sinC的值.【解析】(1)由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC(2)由cosC=且0<C<π，得由正弦定理得解得又∵AB>BC,∴C>A，

判斷三角形的形狀【名師指津】判斷三角形形狀的方法：判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進行思考，可用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊與邊之間的關(guān)系，通過因式分解、配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，也可利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過三角變換，得出三角形各內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

【例3】在△ABC中，若sinA-2sinBcosC=0，試判斷△ABC的形狀.【審題指導】將角化為邊或?qū)⑦吇癁榻莵砼袛嗳切蔚男螤?【規(guī)范解答】方法一：∵sinA-2sinBcosC=0,∴由正弦定理知a=2bcosC,再由余弦定理得∴b2=c2,b=c,.故△ABC為等腰三角形.方法二：由sinA=sin(B+C),∴有sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC=0,即sinCcosB-cosCsinB=0,sin(C-B)=0,∴C-B=0,即C=B.故△ABC為等腰三角形.【互動探究】本例中，將所給條件變?yōu)閎2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，則三角形的形狀又如何？【解題提示】利用“角化邊”或“邊化角”來判斷三角形的形狀.【解析】方法一：由正弦定理(R為△ABC外接圓的半徑），將原式化為sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC.∵sinBsinC≠0，∴sinBsinC=cosBcosC，即cos(B+C)=0，∴B+C=90°.∴A=90°.∴△ABC為直角三角形.方法二：將已知等式變?yōu)閎2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC.由余弦定理，可得即∴b2+c2=a2.∴△ABC為直角三角形.【例】在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，求證：【審題指導】利用正弦定理、余弦定理，把邊化為角，再利用三角函數(shù)知識化簡.【規(guī)范解答】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB，∴a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.整理得：由正弦定理得：代入上式整理得：【變式備選】在△ABC中，求證：【證明】由余弦定理得，【典例】(12分)在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC，(1)求A的大??；(2)若sinB+sinC=1，試判斷△ABC的形狀.【審題指導】應(yīng)用正、余弦定理及其變形化簡即可.【規(guī)范解答】(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c………………2分即a2=b2+c2+bc…………3分由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可求得cosA=………5分又∵A為△ABC內(nèi)角，∴A=120°.……6分(2)由a2=b2+c2+bc得：sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC………8分又∵A=120°,sinB+sinC=1,∴sinB=sinC=……10分因為0°<B<90°,0°<C<90°,故B=C………………11分所以△ABC是等腰的鈍角三角形.……12分【誤區(qū)警示】對解答本題時易犯的錯誤具體分析如下：【即時訓練】在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC,則△ABC的形狀是什么？【解析】方法一：acosA+bcosB=ccosC,sinAcosA+sinBcosB=sinCcosCsin2A+sin2B=sin2C,2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosCcos(A-B)=-cos(A+B),2cosAcosB=0,cosA=0或cosB=0,得所以△ABC是直角三角形.方法二：由余弦定理得：上式兩邊同乘以2abc得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-c2)

a2b2+a2c2-a4+a2b2+b2c2-b4=a2c2+b2c2-c4a4+b4-2a2b2=c4(a2-b2）2=c4∴a2-b2=c2或a2-b2=-c2∴a2=b2+c2或a2+c2=b2,所以△ABC是直角三角形.1.三角形的三邊分別為4、6、8，則此三角形為()(A)銳角三角形(B)直角三角形(C)鈍角三角形(D)不存在【解析】選C.∵42+62<82，∴此三角形為鈍角三角形.2.在△ABC中，若a=c=2,B=120°,則邊b=()(A)(B)(C)(D)【解析】選B.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=4+4-2×2×2×3.在△ABC中，a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情況是()(A)無解(B)一解(C)兩解(D)不能確定【解析】選B.已知兩邊及其夾角的三角形惟一確定.4.在△ABC中，B=60°,b2=ac，則△ABC的形狀為____.【解析】∵b2=ac,∴a2+c2-2accos60°=ac，∴(a-c)2=0.∴a=c,∴△ABC為等腰三角形.又∵B=60°，∴△ABC為正三角形.答案：正三角形5.在△ABC中，若AB=AC=5且cosC=則BC=______.【解析】由余弦定理得∴BC2-9BC+20=0,∴BC=4或5.答案：4或56.在△ABC中，已知c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0，求角C.【解析】∵c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0，∴［c2-(a2+b2)］2-a2b2=0，∴c2-(a2+b2)=±ab，∴C=120°或60°.附贈材料：怎樣認真規(guī)劃課堂上的每一分鐘

假如你現(xiàn)在走進一位高效教師的課堂,毫無意外,你會看到學生一定正在忙著學習。這些學生雖然不一定整齊劃一地干同樣的事情,但他們手頭一定有事做,而不會坐在課桌前發(fā)呆。相對地,假如你現(xiàn)在走進一位低效教師的課堂,你可能會發(fā)現(xiàn)并不是所有的學生都分配了學習任務(wù),總有那么幾個學生坐在椅子上無所事事。他們或許在打瞌睡,或許在做些違反課堂紀律的事情?？傊?他們不是老老實實地坐在座位上聽講,而是急不可耐地挨過上課時間，顯然,你已經(jīng)知道,從上課鈴到下課鈴的整個課堂時段中,只有那些高效教師才能保持課堂不被瑣事中斷,并且保證學生能夠集中注意力。在高效教師的課堂上,沒有一分鐘被浪費,沒有學生無事可做。也正是因為這個原因,高效的教師很少遇到有關(guān)課堂紀律的問題。那么,高效教師是如何讓整個課堂從頭到尾一直保持飽滿的狀態(tài)呢?他們仔細規(guī)劃課堂上的每一分鐘,以保證沒有時間被浪費;他們仔細規(guī)劃講課過程,力求簡明扼要(因為他們知道長時間維持學生的注意力是件很不容易的事。)他們?yōu)轭I(lǐng)先的學生著想,他們也為后進的學生著想。是的,教學是一件很費心思的事情,世界上不可能存在一種萬能的教學方法,至少我還沒聽說過那些低效的教師在課堂上往往只是簡單地給全體學生布置一項任務(wù)(而且很可能沒有仔細考慮自己布置的任務(wù)是不是學生感興趣的或是需要的),然后要求學生用二十分鐘完成。同樣,不用親歷現(xiàn)場你也能猜到,有些學生五分鐘就能完成任務(wù),而這段時間里還有些學生甚至都沒有開始,總有些學生無法在二十分鐘內(nèi)完成任務(wù)因此,這個二十分鐘的規(guī)定會帶來課堂紀律的問題。教師需要不斷提醒學生集中注意力,但有的學生會抱怨自己還沒聽懂,而那些提前完成的學生則會感到無聊,并且著急地等著新任務(wù)。

課程在這里,我想講幾點最關(guān)鍵的策略,以幫助教師在課堂上合理安排學生活動。今天,我們的主題簡短、明確并易于實踐。目標如下:(1)幫助教師了解當學生沒有事情可做時,會出現(xiàn)什么狀況;(2)給教師提供幾個規(guī)劃課堂的好方法首先,以這幾個問題開始●你是否曾經(jīng)在給學生布置任務(wù)時,要求所有人在同樣的時間里完成?你是否曾注意到,布置任務(wù)時要求的時間越長,有些學生磨蹭的時間就越長?你是否曾注意到,有些學生能夠立刻著手行動,并且完成的速度也很快你是否曾注意到,有些學生再怎樣努力,也無法在規(guī)定時間內(nèi)完成任務(wù)。你是否曾注意到,學生做練習的時候,往往也是最容易出現(xiàn)課堂紀律問題的時候。比如,有些學生會在完成自己的任務(wù)之后,詢問接下來要做什么,有些學生沒有專心完成課堂任務(wù),而是做些違紀動作,還有些學生不停地抱怨自己不明白要做什么？●你是否曾遇到過這種情形,離下課還有一點時間時,你對學生說:“如果你們保持安靜,我就不會再布置更多的任務(wù)了。”學生會有哪些反應(yīng)?