第13講泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（高階拓展、競賽適用）（2類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2022年新I卷，第7題,5分泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮比較指數(shù)冪的大小比較對(duì)數(shù)式的大小2022年全國甲卷理科，第12題,5分泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮比較三角函數(shù)值大小2021年全國乙卷理科，第12題,5分泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮比較對(duì)數(shù)式的大小2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題不定，難度較大，分值為5分【備考策略】1能理解泰勒公式的本質(zhì)2能運(yùn)用泰勒公式求解【命題預(yù)測】泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，它貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終．泰勒公式的重點(diǎn)就在于使用一個(gè)次多項(xiàng)式，去逼近一個(gè)已知的函數(shù)，而且這種逼近有很好的性質(zhì)：與在點(diǎn)具有相同的直到階的導(dǎo)數(shù)，所以泰勒公式能很好的集中體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中的“逼近”這一思想精髓．泰勒公式的難點(diǎn)就在于它的理論性比較強(qiáng)，一般很難接受，更不用說應(yīng)用了．但泰勒公式無論在科研領(lǐng)域還是在證明、計(jì)算應(yīng)用等方面，它都起著很重要的作用．運(yùn)用泰勒公式，對(duì)不等式問題進(jìn)行分析、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、放縮是解決不等式證明問題的常用方法與基本思想．在高中階段，會(huì)基本運(yùn)用即可知識(shí)講解1．泰勒公式：泰勒公式是將一個(gè)在處具有階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)利用關(guān)于的次多項(xiàng)式來逼近函數(shù)的方法．【定理1】若函數(shù)在包含的某個(gè)閉區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間上任意一點(diǎn)，成立下式：其中：表示在處的階導(dǎo)數(shù)，等號(hào)后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)在處的泰勒展開式，剩余的是泰勒公式的余項(xiàng)，是的高階無窮小量．2．常見函數(shù)的泰勒展開式：（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．3．常見函數(shù)的泰勒展開式的結(jié)論：結(jié)論1．結(jié)論2．結(jié)論3（）．結(jié)論4．結(jié)論5；；．結(jié)論6；結(jié)論7結(jié)論8．結(jié)論9．考點(diǎn)一、泰勒展開式的初步認(rèn)知1．（2023·遼寧·二模）（多選）泰勒公式通俗的講就是用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)去逼近一個(gè)給定的函數(shù)，也叫泰勒展開式，下面給出兩個(gè)泰勒展開式由此可以判斷下列各式正確的是（

）．A．（i是虛數(shù)單位） B．（i是虛數(shù)單位）C． D．2．（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在高等數(shù)學(xué)中，我們將在處可以用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)近似表示，具體形式為：（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），以上公式我們稱為函數(shù)在處的泰勒展開式.(1)分別求，，在處的泰勒展開式；(2)若上述泰勒展開式中的x可以推廣至復(fù)數(shù)域，試證明：.（其中為虛數(shù)單位）；(3)若，恒成立，求a的范圍.（參考數(shù)據(jù)）1．（2023·遼寧丹東·一模）計(jì)算器計(jì)算，，，等函數(shù)的函數(shù)值，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的．“泰勒展開式”是：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)，且時(shí)，有．其中是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)……．取，則的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為，精確到0.01的近似值為．2．（23-24高二下·山西長治·期末）對(duì)于函數(shù)，規(guī)定，，…，，叫做函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)．若函數(shù)在包含的某個(gè)閉區(qū)間上具有n階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間上任意一點(diǎn)x，，該公式稱為函數(shù)在處的n階泰勒展開式，是此泰勒展開式的n階余項(xiàng)．已知函數(shù)．(1)寫出函數(shù)在處的3階泰勒展開式（用表示即可）；(2)設(shè)函數(shù)在處的3階余項(xiàng)為，求證：對(duì)任意的，；(3)求證：．考點(diǎn)二、泰勒展開式的綜合應(yīng)用1．（2022年新Ⅰ卷高考真題第7題）設(shè)，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．1．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，，，則（

）A． B．C． D．4．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）設(shè)，則（

）A． B．C． D．1．（2024·遼寧·一模）設(shè)則（

）A． B．C． D．2．（2024·遼寧·二模）若，則（

）A． B．C． D．3．（2024·山西·二模）設(shè)，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．5．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B． C． D．7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B． C． D．8．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．9．（2024·湖南邵陽·一模）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．10．（23-24高三上·安徽·期末）已知，，，則（

）A． B．C． D．11．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．12．（2024·湖南長沙·一模）已知實(shí)數(shù)分別滿足，，且，則（

）A． B．C． D．13．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．14．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．15．（2024·甘肅隴南·一模）若，則（

）A． B． C． D．16．（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．17．（2024·遼寧沈陽·一模）已知，則（

）A． B．C． D．1．2．3．4．18．（2024·全國·模擬預(yù)測）下列正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．419．（23-24高二上·湖北武漢·期中）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)試證明，.20．（21-22高二下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：第13講泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（高階拓展、競賽適用）（2類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2022年新I卷，第7題,5分泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮比較指數(shù)冪的大小比較對(duì)數(shù)式的大小2022年全國甲卷理科，第12題,5分泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮比較三角函數(shù)值大小2021年全國乙卷理科，第12題,5分泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮比較對(duì)數(shù)式的大小2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題不定，難度較大，分值為5分【備考策略】1能理解泰勒公式的本質(zhì)2能運(yùn)用泰勒公式求解【命題預(yù)測】泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，它貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終．泰勒公式的重點(diǎn)就在于使用一個(gè)次多項(xiàng)式，去逼近一個(gè)已知的函數(shù)，而且這種逼近有很好的性質(zhì)：與在點(diǎn)具有相同的直到階的導(dǎo)數(shù)，所以泰勒公式能很好的集中體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中的“逼近”這一思想精髓．泰勒公式的難點(diǎn)就在于它的理論性比較強(qiáng)，一般很難接受，更不用說應(yīng)用了．但泰勒公式無論在科研領(lǐng)域還是在證明、計(jì)算應(yīng)用等方面，它都起著很重要的作用．運(yùn)用泰勒公式，對(duì)不等式問題進(jìn)行分析、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、放縮是解決不等式證明問題的常用方法與基本思想．在高中階段，會(huì)基本運(yùn)用即可知識(shí)講解1．泰勒公式：泰勒公式是將一個(gè)在處具有階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)利用關(guān)于的次多項(xiàng)式來逼近函數(shù)的方法．【定理1】若函數(shù)在包含的某個(gè)閉區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間上任意一點(diǎn)，成立下式：其中：表示在處的階導(dǎo)數(shù)，等號(hào)后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)在處的泰勒展開式，剩余的是泰勒公式的余項(xiàng)，是的高階無窮小量．2．常見函數(shù)的泰勒展開式：（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．3．常見函數(shù)的泰勒展開式的結(jié)論：結(jié)論1．結(jié)論2．結(jié)論3（）．結(jié)論4．結(jié)論5；；．結(jié)論6；結(jié)論7結(jié)論8．結(jié)論9．考點(diǎn)一、泰勒展開式的初步認(rèn)知1．（2023·遼寧·二模）（多選）泰勒公式通俗的講就是用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)去逼近一個(gè)給定的函數(shù)，也叫泰勒展開式，下面給出兩個(gè)泰勒展開式由此可以判斷下列各式正確的是（

）．A．（i是虛數(shù)單位） B．（i是虛數(shù)單位）C． D．【答案】ACD【分析】對(duì)于A、B，將關(guān)于的泰勒展開式兩邊求導(dǎo)得的泰勒展開式，再驗(yàn)證結(jié)論是否正確；對(duì)于C，由，再代入關(guān)于的泰勒展開式驗(yàn)證是否成立；對(duì)于D，由，證明即可.【詳解】對(duì)于A、B，由，兩邊求導(dǎo)得，，，又，，，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，已知，則.因?yàn)椋瑒t，即成立，故C正確；故C正確；對(duì)于D，,，，當(dāng)，；；；，,所以，所以成立，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】利用泰勒公式證明不等式方法點(diǎn)睛：應(yīng)用泰勒公式時(shí)要選好，有時(shí)可能需要結(jié)合題目給出信息進(jìn)行相關(guān)變形，再代入驗(yàn)證，利用展開項(xiàng)的特征進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，證明不等式成立.2．（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在高等數(shù)學(xué)中，我們將在處可以用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)近似表示，具體形式為：（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），以上公式我們稱為函數(shù)在處的泰勒展開式.(1)分別求，，在處的泰勒展開式；(2)若上述泰勒展開式中的x可以推廣至復(fù)數(shù)域，試證明：.（其中為虛數(shù)單位）；(3)若，恒成立，求a的范圍.（參考數(shù)據(jù)）【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)在處的泰勒展開式的公式即可求解；（2）把在處的泰勒展開式中的替換為，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡整理可得，從而即可證明；（3）根據(jù)在處的泰勒展開式，先證恒成立，再證，恒成立，然后分和兩種情況討論即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)在處的泰勒展開式為（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），所以，，在處的泰勒展開式分別為：，，；（2）證明：把在處的泰勒展開式中的替換為，可得，所以，即；（3）解：由在處的泰勒展開式，先證，令，，易知，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，再令，，易得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以成立，當(dāng)時(shí)，令，，易求得，所以必存在一個(gè)區(qū)間，使得在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，，不符合題意.綜上所述，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題（3）問解題的關(guān)鍵是根據(jù)在處的泰勒展開式，先證恒成立，再證，恒成立，從而即可求解.1．（2023·遼寧丹東·一模）計(jì)算器計(jì)算，，，等函數(shù)的函數(shù)值，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的．“泰勒展開式”是：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)，且時(shí)，有．其中是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)……．取，則的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為，精確到0.01的近似值為．【答案】【分析】根據(jù)泰勒展開式，化簡得到，求得的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)，令，代入上式，進(jìn)而求得的近似值.【詳解】取時(shí)，可得則，所以的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為，令，代入上式可得.故答案為：；.2．（23-24高二下·山西長治·期末）對(duì)于函數(shù)，規(guī)定，，…，，叫做函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)．若函數(shù)在包含的某個(gè)閉區(qū)間上具有n階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間上任意一點(diǎn)x，，該公式稱為函數(shù)在處的n階泰勒展開式，是此泰勒展開式的n階余項(xiàng)．已知函數(shù)．(1)寫出函數(shù)在處的3階泰勒展開式（用表示即可）；(2)設(shè)函數(shù)在處的3階余項(xiàng)為，求證：對(duì)任意的，；(3)求證：．【答案】(1);(2)證明見詳解；(3)證明見詳解.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)在處的階泰勒展開式的定義可直接求得結(jié)果；（2）根據(jù)泰勒公式的定義，計(jì)算函數(shù)在處的階泰勒展開式余項(xiàng)，介于與之間的常數(shù)，再通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可；（3）計(jì)算函數(shù)在處的階泰勒展開式為,并得，令，則，再利用累加法即可證明.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，且，則，，，所以函數(shù)在處的階泰勒展開式為：.（2）由（1）可知，，，所以函數(shù)在處的階泰勒展開式為：，其中，介于與之間的常數(shù)，所以，因?yàn)闉槌?shù)項(xiàng)，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，所以，故對(duì)任意的，.（3）由（2）可知，函數(shù)在處的階泰勒展開式為，所以，令，則，所以，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)中的新定義問題，關(guān)鍵是審題時(shí)明確階泰勒展開式的具體定義；在證明不等式成立時(shí)的關(guān)鍵是能夠根據(jù)原函數(shù)與其在處的階泰勒展開式的大小關(guān)系，利用放縮的方法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.考點(diǎn)二、泰勒展開式的綜合應(yīng)用1．（2022年新Ⅰ卷高考真題第7題）設(shè)，，則（

）A． B． C． D．泰勒公式法：因?yàn)?，所以，所以因?yàn)樗跃C上所述：故選：C其他方法放縮法因?yàn)椋?，即因?yàn)?，所以，即綜上所述：，故選：C構(gòu)造函數(shù)法假設(shè)成立，即令，則等價(jià)證明：，即證：（原式得證，略）假設(shè)成立，即令，則等價(jià)證明：，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，即：，所以假設(shè)不成立，即，綜上所述：，故選：C2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得,即可得解.【詳解】[方法一]：泰勒展開設(shè)，則，，，計(jì)算得，故選A.[方法二]：構(gòu)造函數(shù)因?yàn)楫?dāng)故，故，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，故，所以，所以，所以，故選A[方法三]：不等式放縮因?yàn)楫?dāng)，取得：，故，其中，且當(dāng)時(shí)，，及此時(shí)，故，故所以，所以，故選A[方法四]：構(gòu)造函數(shù)因?yàn)?，因?yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮因?yàn)?，因?yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；因?yàn)楫?dāng)，取得，故，所以．故選：A．【整體點(diǎn)評(píng)】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點(diǎn)在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解．3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對(duì)a,b的大小作出判定，對(duì)于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.【詳解】[方法一]：由泰勒公式,可知將,分別相應(yīng)代入估算,得.由此可知.[方法二]：，所以；下面比較與的大小關(guān)系.記，則，，由于所以當(dāng)0<x<2時(shí)，，即，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即；令，則，，由于，在x>0時(shí)，，所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以，即，即b<c；綜上，，故選：B.[方法三]：令，即函數(shù)在（1，+∞)上單調(diào)遞減令，即函數(shù)在（1，3)上單調(diào)遞增綜上，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點(diǎn)是將各個(gè)值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計(jì)計(jì)算往往是無法解決的.1．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的信息構(gòu)造函數(shù)確定與2的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)確定與2的大小即得.【詳解】由，得，令函數(shù)，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此，由，得，有，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即函數(shù)在單調(diào)遞增，，即，因此，所以.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.2．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可得，作差法比較，可得結(jié)果.【詳解】由，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，而，所以，即，也就是；下面再比較與，，因?yàn)?，所以，則，所以.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而比較大小.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用指對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得到，，，從而利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析判斷得，，從而得解.【詳解】，，，因?yàn)?，則，所以，即；而，，所以，所以，即；綜上：.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用與比較大小，利用與比較大小，從而得解.4．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)函數(shù)，，則，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以，即，即，所以，因?yàn)椋?，所以，因?故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，從而比較大小.5．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造，二次求導(dǎo)，得到單調(diào)性，得到，再變形得到，故構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，比較出，得到答案.【詳解】設(shè)，設(shè)0，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.根據(jù)已知得，可設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.綜上，.故選：D.【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)，結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小.1．（2024·遼寧·一模）設(shè)則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，可得；根據(jù)不等式的性質(zhì)可證得，則，即可求解.【詳解】對(duì)于函數(shù)，，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，即.所以，.由，得，所以，則，所以，即.所以.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于比較實(shí)數(shù)大小方法：（1）利用基本函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，（2）利用中間值“1”或“0”進(jìn)行比較，（3）構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)及函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.2．（2024·遼寧·二模）若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而得出，即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，而，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，得到，即，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，得到，即，所以，綜上所述，，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：通過構(gòu)造函數(shù)和，將問題轉(zhuǎn)化成比較函數(shù)值的大小，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可解決問題.3．（2024·山西·二模）設(shè)，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得、，構(gòu)造函數(shù)、，利用導(dǎo)數(shù)討論兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性可得、，即可求解.【詳解】，，設(shè)函數(shù)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，且，即，所以在上單調(diào)遞減，則，即，所以.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，且，即，得，所以，即，解得.綜上，.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：此類比較大小類題目，要能將所給數(shù)進(jìn)行形式上的變化，進(jìn)而由此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而比較大小.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明得當(dāng)時(shí)，有，從而可證得，同理當(dāng)時(shí)，有，從而，另一方面注意到，由此即可得解.【詳解】設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，有，所以．同理可得，所以，即．設(shè)，則0，所以在單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，有，所以．又因?yàn)?，所以．綜上可知，．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在比較的大小關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是找到適當(dāng)?shù)闹虚g值，然后通過適當(dāng)?shù)姆趴s比較大小即可順利得解.5．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，則答案可求.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，令，所以，則，，所以，即恒為遞增函數(shù)，則，即，所以，綜上：，故選：A.6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)b放縮可得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性可得，再構(gòu)造，，利用二次導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可比較a，c，然后可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以．?gòu)造函數(shù)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即．構(gòu)造函數(shù)，，則，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即．綜上，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題難點(diǎn)在于函數(shù)得構(gòu)造，構(gòu)造函數(shù)時(shí)經(jīng)常需要利用同構(gòu)函數(shù)、放縮法，構(gòu)造差函數(shù)等，然后利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，由單調(diào)性比較即可.7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)及函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可比較與，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可比較與，即可得解.【詳解】令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，故，即，即，、令，則，故在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故，即；令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故，故，即，故有.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)幫助比較大小，對(duì)與，可通過構(gòu)造，從而比較與的大小關(guān)系，構(gòu)造，從而比較與的大小關(guān)系，可得與的大小關(guān)系，通過構(gòu)造可比較與的大小關(guān)系.8．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用常見不等式放縮得到，的大小關(guān)系，再利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較，的大小關(guān)系即可得到答案.【詳解】令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即；令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即；由誘導(dǎo)公式得，所以，因此；因?yàn)?，，故只需比較與的大小，由二項(xiàng)式定理得，，所以．綜上，.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查比較大小問題，此類問題常見的處理方法為：（1）中間值法：通過與特殊的中間值比較大小，進(jìn)而判斷兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系；（2）構(gòu)造函數(shù)法：通過觀察兩個(gè)數(shù)形式的相似之處，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與極值等性質(zhì)進(jìn)而比較大小；（3）放縮法：利用常見的不等式進(jìn)行數(shù)的放縮進(jìn)而快速比較大小.9．（2024·湖南邵陽·一模）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的大小，構(gòu)造函數(shù)判斷的大小，從而判斷出大小；【詳解】，設(shè)，在上單調(diào)遞減.又；又，設(shè)時(shí)，在單調(diào)遞減.；綜上，，故選：D.10．（23-24高三上·安徽·期末）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由條件得到，，從而得到，，即可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷出，從而得出結(jié)果.【詳解】由，得到，又，所以，所以，，又，所以，又，得到，令，則，所以，得到，令，則在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，得到在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以，得到，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于判斷的大小，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，得函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)果.11．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可得，作差法比較，可得結(jié)果.【詳解】由，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，而，所以，即，也就是；下面再比較與，，因?yàn)?，所以，則，所以.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而比較大小.12．（2024·湖南長沙·一模）已知實(shí)數(shù)分別滿足，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可得，，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性后可得，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性后可得，即可得出.【詳解】由，則，令，，則，則當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，故，即，即，由，則，令，，則，令，則當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即，即，故.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)、，從而借助導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性以比較、、的大小.13．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)函數(shù)，，則，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以，即，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，從而比較大小.14．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，，，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性即可比較出函數(shù)值的大小，從而求出結(jié)果.【詳解】令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，所以，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以，令，則在區(qū)間上恒成立，即在在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，所以，綜上，，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：通過構(gòu)造函數(shù)，，，將比較大小轉(zhuǎn)化成函數(shù)值的大小，再對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性即可解決問題.15．（2024·甘肅隴南·一模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性判斷得，再構(gòu)造函數(shù)，推得，從而推得，由此得解.【詳解】因?yàn)?，所以；令，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以，故，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)，即，有，從而有；綜上，.故選：D.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：兩個(gè)常見的重要不等式：（1）；（2）.16．（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以得到，得到，作差比較的大小，利用基本不等式比較大小即可.【詳解】設(shè)，則在上單調(diào)遞減，所以，所以，，，，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以得到，利