重難點(diǎn)29圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1三角形面積問題】 2【題型2四邊形面積問題】 2【題型3三角形面積之比問題】 4【題型4三角形面積之和、之差問題】 5【題型5已知面積求其他量】 7【題型6三角形（四邊形）面積的最值、范圍問題】 81、圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題圓錐曲線是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題考查熱度較高，考查形式多種多樣，主要考查三角形、四邊形的面積及其最值（范圍）問題、面積之比問題、已知面積求其他量等問題，各種題型都有考查，在解答題中，計算量大，難度較高；復(fù)習(xí)時要加強(qiáng)此類問題的訓(xùn)練，靈活求解.【知識點(diǎn)1圓錐曲線中的面積問題及其解題策略】1．三角形面積問題的解題策略(1)利用三角形面積公式求解：①(一般選弦長做底，點(diǎn)到直線的距離為高)；②.2．四邊形面積問題的解題策略面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積問題通?？紤]拆分為多個三角形的面積和，對于三角形如果底和高不便于計算，則也可以考慮拆分成若干個易于計算的三角形.3．三角形面積之比問題的解題策略(1)三角形面積公式：利用三角形面積公式分別求出各個三角形的面積，再研究它們之間的比值問題.(2)面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：尋找這些三角形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(diǎn)，從而可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系，使得計算得以簡化.4．圓錐曲線中面積的最值（范圍）問題的解題策略一般都是利用三角形面積公式表示面積，然后將面積的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為某個變量的一個函數(shù)，再求解函數(shù)的最值(常用方法有：單調(diào)性法、換元法、基本不等式、三角函數(shù)求最值、利用導(dǎo)數(shù)求最值等)，在計算面積的過程中，優(yōu)先選擇長度為定值的線段參與運(yùn)算，靈活求解，簡化計算.【題型1三角形面積問題】【例1】（2024·湖北武漢·二模）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，過F作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，過A,B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為M,N，若△AFM和△BFN的面積分別為8和4，則△MFN的面積為（

）A．32 B．16 C．82 【變式1-1】（2024·湖南長沙·三模）已知點(diǎn)A為雙曲線x24?y2=1的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的左支上，若A．4 B．89 C．169 【變式1-2】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸長為20，離心率為35，左?右焦點(diǎn)為FA．6433 B．643 C．128【變式1-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)A為橢圓M：x24+y23=1的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓M的左，右焦點(diǎn)，∠A．12 B．22 C．1 【題型2四邊形面積問題】【例2】（2024·貴州畢節(jié)·二模）在橢圓C:x24+y22=1上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，(1)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動時，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2)若曲線E與x，y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)N是E上第三象限內(nèi)一點(diǎn)，線段AN與y軸交于點(diǎn)H，線段BN與x軸交于點(diǎn)G，求四邊形ABGH的面積.【變式2-1】（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）如圖，直線l1:x=my+n1與直線l2:x=my+n2，分別與拋物線T:y2=2px(p>0)交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D（A，D在x

(1)求拋物線T的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)線段AC與BD交于點(diǎn)H，線段AB與CD的中點(diǎn)分別為M，N①求證：M，H，N三點(diǎn)共線；②若2HM=HN【變式2-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓E:x2a2+y2(1)求橢圓E的方程；(2)已知A,B,C為橢圓上三個點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形OABC為矩形，求四邊形OABC的面積.【變式2-3】（2024·山東濟(jì)南·二模）已知點(diǎn)B4,3是雙曲線T:x2a2?y2(1)求雙曲線T的方程及點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)過A且斜率非負(fù)的直線與T的左?右支分別交于N,M.過N做NP垂直于x軸交T于P（當(dāng)N位于左頂點(diǎn)時認(rèn)為N與P重合）.C為圓E:(x?1)2+(y+2)2【題型3三角形面積之比問題】【例3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知F1?c,0,F2c,0分別是橢圓C1:x2a(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)△PF1F2和△QF【變式3-1】（2024·四川南充·二模）如圖，已知四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)都在拋物線x2=4y上，且A，B在第一象限，AC//x軸，拋物線在點(diǎn)A處的切線為l，且

(1)設(shè)直線CB,CD的斜率分別為k和k′，求k+(2)P為AC與BD的交點(diǎn)，設(shè)△BCD的面積為S1，△PAD的面積為S2，若tan∠BCA=2【變式3-2】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）設(shè)動點(diǎn)Gx,y到點(diǎn)F1,0的距離與它到直線l:x=4的距離之比為12，記點(diǎn)G(1)求C的方程；(2)A為C與x軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)，B為直線x=1與C在第一象限的交點(diǎn)，直線l′過點(diǎn)?2,3，且與C相交于M,N兩點(diǎn)，過點(diǎn)N作垂直于x軸的直線分別與直線AB,AM相交于點(diǎn)P,Q，分別記△ANQ與△APQ的面積為S1與S2【變式3-3】（2024·新疆·三模）已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為12，過拋物線C2：y2=2ax焦點(diǎn)的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，MN的最小值為4.連接MO，NO并延長分別交C1于A，(1)求C1和C(2)記λ=S△OMNS【題型4三角形面積之和、之差問題】【例4】（23-24高二下·福建泉州·期中）已知拋物線C:y2=2px(0<p<3)，其焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Qm,23(1)求拋物線C的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B為拋物線上不同的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，（i）求證直線AB過定點(diǎn)；（ii）求△AFO與△ABO面積之和的最小值．【變式4-1】（2024·上?！つM預(yù)測）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓Γ:x22+y2=1的左，右焦點(diǎn)外別為F1,F

(1)求△PF(2)求△PF(3)求S△P【變式4-2】（23-24高二下·四川瀘州·階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，Mm,?3(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)P4,0且斜率存在的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)A,B，且點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D，直線AD與x軸交于點(diǎn)Q（i）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（ii）求△OAQ與△OAB的面積之和的最小值.【變式4-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(1,0)的距離和它到定直線l:x=4的距離之比是常數(shù)12，設(shè)動點(diǎn)M的軌跡為曲線C(1)求曲線C的方程；(2)過點(diǎn)N(?1,0)的直線與曲線C相交于點(diǎn)A，B(不在x軸上)，記線段AF的中點(diǎn)為P，連接PO，并延長PO交曲線C于點(diǎn)D，求△FPN與△BND的面積之和的取值范圍.【題型5已知面積求其他量】【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，離心率為2A．42 B．82 C．6【變式5-1】（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線l：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，過A作x軸的垂線與EA．2332 B．2333 【變式5-2】（2024·山東·二模）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)P2,?(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)Q0,2的直線l與雙曲線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，△OEF的面積為22，求直線【變式5-3】（2024·廣東茂名·一模）已知拋物線C:y2=2pxp>0，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P,Q其為準(zhǔn)線上的兩個動點(diǎn)，且PF⊥QF.當(dāng)(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若線段PF,QF分別交拋物線C于點(diǎn)A,B，記△PQF的面積為S1，△ABF的面積為S2，當(dāng)S1【題型6三角形（四邊形）面積的最值、范圍問題】【例6】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知橢圓C：x2a2+y2=1a>1的離心率為255，橢圓C的動弦AB過橢圓C的右焦點(diǎn)F，當(dāng)AB垂直(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若直線AB的斜率為1m，過點(diǎn)M作x軸的垂線l，點(diǎn)N為l上一點(diǎn)，且點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為?m2，直線NF與橢圓C交于P，Q【變式6-1】（2024·北京·模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:x2+4y2=2上一點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，斜率存在的直線l交橢圓C于A，(1)求OD；(2)若點(diǎn)D在第一象限，探究△ABO的面積是否有最大值？若有，求出最大值；若沒有，請說明理由.【變式6-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,P為雙曲線C上一動點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），M為線段AP的中點(diǎn)，Q為直線x=95上一點(diǎn)，且AP//OQ，過點(diǎn)Q作QN⊥OM于點(diǎn)N，求【變式6-3】（2024·江蘇南通·三模）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F交C于A,B兩點(diǎn)，C在A,B兩點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)P,AB的中點(diǎn)為Q，且PQ交C于點(diǎn)E．當(dāng)l(1)求C的方程；(2)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，求QE；(3)設(shè)C在點(diǎn)E處的切線與PA,PB分別交于點(diǎn)M,N，求四邊形ABNM面積的最小值．一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C:x236+y225=1上一點(diǎn),F1,FA．167 B．537 C．122．（2024·河北·模擬預(yù)測）點(diǎn)F1?2,0,F22,0為等軸雙曲線C的焦點(diǎn)，過F2作x軸的垂線與CA．22 B．4 C．423．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=6x，過動點(diǎn)P作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C相切于點(diǎn)A,B，則△PABA．6 B．9 C．12 D．184．（2024·江西九江·三模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1且傾斜角為π6的直線交A．x23+C．x29+5．（2024·遼寧·一模）已知雙曲線C:y23?x2=1的下焦點(diǎn)和上焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與C交于AA．3 B．?3 C．103 D．6．（2024·廣東廣州·一模）雙曲線C:x2?y2=4的左，右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過F2作垂直于xA．62?8 B．62?4 C．7．（2024·云南·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的兩條互相垂直的直線l1,l2分別與拋物線C交于點(diǎn)A,B和D,EA．64 B．32 C．16 D．88．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)(A在x軸上方)，過點(diǎn)A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′、B′線段A′B′中點(diǎn)為E，四邊形AA′A．3?22 B．3?2 C．3+2二、多選題9．（2024·云南·二模）已知點(diǎn)P為雙曲線E:x24?y23=1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作E的兩條漸近線的垂線，垂足分別為M、A．∠MPN=2π3C．PM?PN=10．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知A?2,0，B2,0，C1,0，動點(diǎn)M滿足MA與MB的斜率之積為?34，動點(diǎn)M的軌跡記為Γ，過點(diǎn)C的直線交Γ于P，Q兩點(diǎn)，且P，QA．M的軌跡方程為xB．MC的最小值為1C．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OPQ面積的最大值為3D．若線段PQ的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D，則R點(diǎn)的橫坐標(biāo)是D點(diǎn)的橫坐標(biāo)的4倍11．（2024·廣東·二模）拋物線τ：x2=2pyp>0焦點(diǎn)為F，且過點(diǎn)A4,4，斜率互為相反數(shù)的直線AC，AD分別交τ于另一點(diǎn)C和A．直線CD過定點(diǎn)B．τ在C，D兩點(diǎn)處的切線斜率和為?4C．τ上存在無窮多個點(diǎn)到點(diǎn)F和直線y=5的距離和為6D．當(dāng)C，D都在A點(diǎn)左側(cè)時，△ACD面積的最大值為256三、填空題12．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若△AOB的面積為2，則p=13．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知橢圓M:x22+y2=1，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓M相交于A、B、C、D四個點(diǎn)，若該兩條直線的斜率分別為k1、k214．（2024·全國·模擬預(yù)測）過雙曲線C:x23?y2=1的右焦點(diǎn)F的直線與C的右支交于A,B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，線段OM的中點(diǎn)與線段AB四、解答題15．（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知橢圓C：x24+y2=1的左右頂點(diǎn)分別為A，B，過D65,0的直線與橢圓C交于E(1)求證：點(diǎn)P在定直線上；(2)線段EF的中點(diǎn)為M，求△OMP面積的最大值．16．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a(1)求C的方程；(2)若直線l:y=kx+2交C于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB的面積為26，求k17．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1的左、右焦點(diǎn)分別為(1)若C的離心率為2，求證：對于給定的a或b，以AB為直徑的圓經(jīng)過x軸上一定點(diǎn).(2)若b=1，D為y軸上一點(diǎn)，四邊形F218．（2024·四川達(dá)州·二模）已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)，直線l:y=k(x?p)與Γ交于A,B兩點(diǎn)，線段(1)求拋物線Γ的方程；(2)直線l與x軸交于點(diǎn)C,O為原點(diǎn)，設(shè)△BOC,△COM,△MOA的面積分別為S△BOC,S△COM,19．（2024·陜西寶雞·三模）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）和圓C：x2+y2=1，C經(jīng)過E的右焦點(diǎn)(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)D，A是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，過F的直線l交E于M，N兩點(diǎn)（其中M點(diǎn)在x軸上方），求△MAF與△DNF的面積之比的取值范圍.重難點(diǎn)29圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1三角形面積問題】 2【題型2四邊形面積問題】 5【題型3三角形面積之比問題】 10【題型4三角形面積之和、之差問題】 15【題型5已知面積求其他量】 20【題型6三角形（四邊形）面積的最值、范圍問題】 251、圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題圓錐曲線是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題考查熱度較高，考查形式多種多樣，主要考查三角形、四邊形的面積及其最值（范圍）問題、面積之比問題、已知面積求其他量等問題，各種題型都有考查，在解答題中，計算量大，難度較高；復(fù)習(xí)時要加強(qiáng)此類問題的訓(xùn)練，靈活求解.【知識點(diǎn)1圓錐曲線中的面積問題及其解題策略】1．三角形面積問題的解題策略(1)利用三角形面積公式求解：①(一般選弦長做底，點(diǎn)到直線的距離為高)；②.2．四邊形面積問題的解題策略面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積問題通?？紤]拆分為多個三角形的面積和，對于三角形如果底和高不便于計算，則也可以考慮拆分成若干個易于計算的三角形.3．三角形面積之比問題的解題策略(1)三角形面積公式：利用三角形面積公式分別求出各個三角形的面積，再研究它們之間的比值問題.(2)面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：尋找這些三角形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(diǎn)，從而可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系，使得計算得以簡化.4．圓錐曲線中面積的最值（范圍）問題的解題策略一般都是利用三角形面積公式表示面積，然后將面積的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為某個變量的一個函數(shù)，再求解函數(shù)的最值(常用方法有：單調(diào)性法、換元法、基本不等式、三角函數(shù)求最值、利用導(dǎo)數(shù)求最值等)，在計算面積的過程中，優(yōu)先選擇長度為定值的線段參與運(yùn)算，靈活求解，簡化計算.【題型1三角形面積問題】【例1】（2024·湖北武漢·二模）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，過F作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，過A,B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為M,N，若△AFM和△BFN的面積分別為8和4，則A．32 B．16 C．82 【解題思路】設(shè)直線AB:x=my+p2代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，計算S△AFM,S【解答過程】設(shè)直線AB:x=my+p

代入拋物線方程，消元可得y2設(shè)Ay12S△AFMS△BFN∴==p于是S△AFM?S∴S故選：C.【變式1-1】（2024·湖南長沙·三模）已知點(diǎn)A為雙曲線x24?y2=1的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的左支上，若A．4 B．89 C．169 【解題思路】雙曲線x24?y2=1的左頂點(diǎn)A?2,0【解答過程】由題意得A?2,0，點(diǎn)B和點(diǎn)C若△ABC是等腰直角三角形，由雙曲線的對稱性可得A為直角頂點(diǎn)，設(shè)Bx1,則有y1=x1?2則有等腰直角三角形△ABC的斜邊BC=83所以S△ABC故選：C.【變式1-2】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸長為20，離心率為35，左?右焦點(diǎn)為FA．6433 B．643 C．128【解題思路】首先求出a,b,c的值，進(jìn)一步結(jié)合橢圓定義、余弦定理即可列式求得PF【解答過程】由題知，2a=20ca=35∵C的左?右焦點(diǎn)為F1,F2，若C上的點(diǎn)∴由橢圓定義得PF由余弦定理得PF得PF∴△F1P故選：A.【變式1-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)A為橢圓M：x24+y23=1的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓M的左，右焦點(diǎn)，∠A．12 B．22 C．1 【解題思路】結(jié)合光學(xué)性質(zhì)，列出直線AB方程，即可求解答案.【解答過程】設(shè)點(diǎn)Ax0,所以過A的切線方程即直線DE為x?x即y=?3由光學(xué)幾何性質(zhì)知，kAB所以kAB則直線AB的方程為y?y令x=0，得yB=?y所以S△A故選：C.【題型2四邊形面積問題】【例2】（2024·貴州畢節(jié)·二模）在橢圓C:x24+y22=1上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，(1)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動時，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2)若曲線E與x，y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)N是E上第三象限內(nèi)一點(diǎn)，線段AN與y軸交于點(diǎn)H，線段BN與x軸交于點(diǎn)G，求四邊形ABGH的面積.【解題思路】（1）利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程；（2）首先設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)，并表示直線AN,BN的方程，并求點(diǎn)H,G的坐標(biāo)，結(jié)合圖形表示四邊形ABGH的面積，并化解求值.【解答過程】（1）由DP=2DM設(shè)Mx,y，Px1,y1∵x124所以點(diǎn)M的軌跡E的方程為x2（2）由題知A2,0，B0,1，設(shè)Nm,n，則k

令x=0，解得yH=2n2?m，同理k所以AG=2?m又因為m所以S四邊形ABGH=所以四邊形ABGH的面積為2.【變式2-1】（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）如圖，直線l1:x=my+n1與直線l2:x=my+n2，分別與拋物線T:y2=2px(p>0)交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D（A，D在x

(1)求拋物線T的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)線段AC與BD交于點(diǎn)H，線段AB與CD的中點(diǎn)分別為M，N①求證：M，H，N三點(diǎn)共線；②若2HM=HN【解題思路】（1）根據(jù)題意，利用拋物線的幾何性質(zhì)，得到2p=1，即可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2分別求得AB,CD的方程，求得y②由①，得到xM=y12+y222和xN=y【解答過程】（1）解：因為當(dāng)l1經(jīng)過拋物線T:y2=2px的焦點(diǎn)F且垂直于可得2p=1，解得p=12，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）解：①設(shè)Ax則lAB:y同理設(shè)Cx則lCD:y又因為lAB//lCD，可得同理lBD:y2+lAC:y1+所以點(diǎn)M，H，N三點(diǎn)共線.②由①知xM=x所以xH?xN?兩式相減，可得y2?y3=1，可得S△BCE=因為2HM=HN=2且可得ABCD=MHNH=AHCH所以S△CDH=4S所以SABCD【變式2-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓E:x2a2+y2(1)求橢圓E的方程；(2)已知A,B,C為橢圓上三個點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形OABC為矩形，求四邊形OABC的面積.【解題思路】（1）利用橢圓離心率和橢圓上的點(diǎn)，列方程組求出a2,b（2）由四邊形OABC為矩形，設(shè)出直線OA方程為y=kx，直線OC方程為y=?1kx，與橢圓方程聯(lián)立解得A,C兩點(diǎn)坐標(biāo)，表示出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程求出k，得A,C【解答過程】（1）由題知c解得a2=9,b2=3,（2）由橢圓的圖形可知，當(dāng)直線OA的斜率為0或不存在時，矩形OABC不存在，不符合題意.設(shè)直線OA的斜率為k，則直線OC的斜率為?1由橢圓的對稱性，只需考慮k>0的情況.不妨設(shè)點(diǎn)Ax1,由y=kx,x29+y23=1,消去由y=?1kx,x29+y2因為四邊形OABC是矩形，線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為x1所以線段OB的中點(diǎn)坐標(biāo)為x1+x又因為點(diǎn)B在橢圓E上，所以x1即x1又x12+3將x1,y即4k1+3k23+k2=1，整理得k此時A32,32，C32所以四邊形OABC的面積S=OA【變式2-3】（2024·山東濟(jì)南·二模）已知點(diǎn)B4,3是雙曲線T:x2a2?y2(1)求雙曲線T的方程及點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)過A且斜率非負(fù)的直線與T的左?右支分別交于N,M.過N做NP垂直于x軸交T于P（當(dāng)N位于左頂點(diǎn)時認(rèn)為N與P重合）.C為圓E:(x?1)2+(y+2)2【解題思路】（1）利用待定系數(shù)法求雙曲線方程，利用導(dǎo)數(shù)法來求切線方程即可得A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先設(shè)直線PM的方程，再利用M,A,N三點(diǎn)共線，可求出直線PM過定點(diǎn)Q4,0，從而把面積問題轉(zhuǎn)化到兩定點(diǎn)上去研究，最后發(fā)現(xiàn)P、M為實軸兩頂點(diǎn)時S△BPM取到最小值，再去研究另一個圓上動點(diǎn)C的【解答過程】（1）由題意可知，16a2?3=1，即a=2，故T因為B在第一象限，不妨設(shè)y≥0，則x24?則y′=12x24令y=0得x=1,所以點(diǎn)A坐標(biāo)為1,0.（2）

顯然直線PM的斜率存在且不為?1設(shè)PM:y=kx+m,Mx1,聯(lián)立方程x24?Δ=16由M,A,N三點(diǎn)共線得：y1x1整理得：2kx所以2k??4m2滿足Δ>0，所以直線PM過定點(diǎn)Q4,0，則|BQ|=3令dP?BQ,dM?BQ,結(jié)合圖，顯然|dP?BQ?所以S=≥12BQ【題型3三角形面積之比問題】【例3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知F1?c,0,F2c,0分別是橢圓C1:x2a(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)△PF1F2和△QF【解題思路】（1）由拋物線C2:y2=?2pxp>0的焦點(diǎn)為F1?c,0，知（2）設(shè)出橢圓的方程，設(shè)直線PF1為y=26【解答過程】（1）由拋物線C2:y2=?2px所以拋物線方程為y2=?4cx，準(zhǔn)線方程為因為PF1=53所以yP2=?4c×所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為?23c,所以49c2所以4b2c化簡整理得4c所以4e4?37解得e2=9（舍去），或所以e=1（2）由（1）知ca=1所以橢圓方程為x2因為P的坐標(biāo)為?23c,所以kP所以直線PF1為由y=26(x+c)x化簡整理得33x所以(3x+2c)(11x+14c)=0，得x=?23c所以xP=?2所以S1S2【變式3-1】（2024·四川南充·二模）如圖，已知四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)都在拋物線x2=4y上，且A，B在第一象限，AC//x軸，拋物線在點(diǎn)A處的切線為l，且

(1)設(shè)直線CB,CD的斜率分別為k和k′，求k+(2)P為AC與BD的交點(diǎn)，設(shè)△BCD的面積為S1，△PAD的面積為S2，若tan∠BCA=2【解題思路】（1）首先分別設(shè)Ax0,x0（2）由已知條件求出直線CB,CD,BD的方程，再分別與拋物線的方程聯(lián)立，可求出Px0?32x0,【解答過程】（1）設(shè)Ax0,x0由AC//x軸得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為?x由x2=4y得y=1所以拋物線在點(diǎn)A處的切線斜率為k1又kBD=x224?因為k′=x所以k′（2）因為tan∠BCA=2，所以k=2，k所以直線CB的方程為y?x02由x2=4yy=2x+2所以x1?x又直線CD的方程為y?x02由x2=4yy=?2x?2所以x2?x所以直線BD的方程為y?x0+8所以Px由?x0<xP因為PA=x0所以S1S2所以S1又x0>4，所以S1S2【變式3-2】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）設(shè)動點(diǎn)Gx,y到點(diǎn)F1,0的距離與它到直線l:x=4的距離之比為12，記點(diǎn)G(1)求C的方程；(2)A為C與x軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)，B為直線x=1與C在第一象限的交點(diǎn)，直線l′過點(diǎn)?2,3，且與C相交于M,N兩點(diǎn)，過點(diǎn)N作垂直于x軸的直線分別與直線AB,AM相交于點(diǎn)P,Q，分別記△ANQ與△APQ的面積為S1與S2【解題思路】（1）由動點(diǎn)Gx,y滿足的條件，列出等式，化簡整理得C（2）利用C的方程可得A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)l′:y?3=kx+2,Nx1,y1,Mx2,【解答過程】（1）由已知可得(x?1)2+y即C的方程為x2（2）證明：由C的方程可知A?2,0，將x=1代入x由題意知直線l′的斜率一定存在，故可設(shè)lx1聯(lián)立x24+y2Δ=8k2k+3所以x1因為A?2,0,B1,32聯(lián)立x=x1x?2y+2=0，得x=直線AM的方程為y=y聯(lián)立x=x1y=y2則yN+==2k?1又2k?1=2k?1所以yN所以P為NQ的中點(diǎn)，所以S1【變式3-3】（2024·新疆·三模）已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為12，過拋物線C2：y2=2ax焦點(diǎn)的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，MN的最小值為4.連接MO，NO并延長分別交C1于A，(1)求C1和C(2)記λ=S△OMNS【解題思路】（1）利用拋物線過焦點(diǎn)弦求最小值，求解出a值，即可求解兩個方程；（2）利用拋物線過焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率之積為定值，從而引入新變量直線OM斜率為m，即可求出點(diǎn)A坐標(biāo)，同理也可以求出點(diǎn)B坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間弦長公式可求得OA,OB,OM,ON的長度，即可計算兩三角形面積比的平方，最后轉(zhuǎn)化到變量m的函數(shù)求最小值即可.【解答過程】（1）設(shè)直線MN的方程為x=ty+a2，設(shè)Mx1,整理得y2?2aty?a所以當(dāng)t=0時，MN有最小值2a，所以2a=4，解得a=2，又因為離心率為e=ca=12所以橢圓C1的方程為x24+y（2）

由（1）可得y1y2=?a設(shè)直線OM的方程為y=mx，聯(lián)立x24+y2同理可設(shè)直線ON的方程為y=?4mxλ2==12所以當(dāng)m=±2時，λ有最小值1912【題型4三角形面積之和、之差問題】【例4】（23-24高二下·福建泉州·期中）已知拋物線C:y2=2px(0<p<3)，其焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Qm,23(1)求拋物線C的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B為拋物線上不同的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，（i）求證直線AB過定點(diǎn)；（ii）求△AFO與△ABO面積之和的最小值．【解題思路】（1）利用焦半徑公式建立方程，解出參數(shù)，得到拋物線方程即可.（2）（i）設(shè)出x=sy+t，利用給定條件建立方程求出t=4，最后得到定點(diǎn)即可.（ii）利用三角形面積公式寫出面積和的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.【解答過程】（1）拋物線C:y其焦點(diǎn)為Fp2,0可得QF=m+p2解得p=2（另一個根舍去），m=3，則拋物線的方程為y2（2）（i）如圖，設(shè)AB的方程為x=sy+t，A(x聯(lián)立x=sy+ty2=4x則16s2+16t>0，又y由OA⊥OB，可得x1x2所以直線AB恒過定點(diǎn)N(4,0)；（ii）由上小問可得y1y2則△AFO與△ABO面積之和為S=1=?1當(dāng)且僅當(dāng)y1=?8則△AFO與△ABO面積之和的最小值為85【變式4-1】（2024·上?！つM預(yù)測）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓Γ:x22+y2=1的左，右焦點(diǎn)外別為F1,F

(1)求△PF(2)求△PF(3)求S△P【解題思路】（1）根據(jù)題意，由橢圓的定義即可得到△PQ2F（2）根據(jù)題意，聯(lián)立直線PQ（3）根據(jù)題意，聯(lián)立直線F1P的方程與橢圓方程，代入計算，即可得到點(diǎn)Q1的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)Q【解答過程】（1）∵F1,F2∴PF1+PF2由題意，得4a=42，即△PF1（2）由題意可設(shè)過PQ2聯(lián)立x=my+1x2+2y2因為直線PQ2所過定點(diǎn)則y0所以y0令t=1則y0?y2=所以S△P故△PF1Q（3）設(shè)Q1x1,y1，直線F1整理可得2則x0x1故Q1當(dāng)x0≠1時，直線F2?2x同理，可得Q2所以S=y當(dāng)且僅當(dāng)x0若PF2⊥x此時S△P綜上，S△PF2【變式4-2】（23-24高二下·四川瀘州·階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，Mm,?3(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)P4,0且斜率存在的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)A,B，且點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D，直線AD與x軸交于點(diǎn)Q（i）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（ii）求△OAQ與△OAB的面積之和的最小值.【解題思路】（1）由條件結(jié)合拋物線的定義列方程求p,m，由此可得拋物線方程；（2）（i）設(shè)l的方程為x=my+4，聯(lián)立方程組并化簡，設(shè)A(x1,y1),B(x（ii）由（i）的結(jié)論計算三角形面積和，結(jié)合基本不等式求其最值．【解答過程】（1）由題意可得m+p2=所以C的方程為：y2（2）（i）由已知可得直線l的斜率不為0，且過點(diǎn)4,0，故可設(shè)的直線l的方程為x=my+4，代入拋物線y2可得y2方程y2?3my?12=0的判別式設(shè)A(x1,y不妨設(shè)y1>0，則所以直線AD的方程為：y?y1即y?y1=3y所以3x=y1所以Q(?4,0)；（ii）如圖所示，可得S△OAQS△OAB所以△OAQ與△OAB的面積之和S==4當(dāng)且僅當(dāng)4y1=所以△OAQ與△OAB的面積之和的最小值為86【變式4-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(1,0)的距離和它到定直線l:x=4的距離之比是常數(shù)12，設(shè)動點(diǎn)M的軌跡為曲線C(1)求曲線C的方程；(2)過點(diǎn)N(?1,0)的直線與曲線C相交于點(diǎn)A，B(不在x軸上)，記線段AF的中點(diǎn)為P，連接PO，并延長PO交曲線C于點(diǎn)D，求△FPN與△BND的面積之和的取值范圍.【解題思路】（1）直接法求解軌跡方程；（2）先根據(jù)幾何關(guān)系得到S△FPN=S△ANP=S△AON，S【解答過程】（1）根據(jù)題意，(x?1)2將上式兩邊平方并化簡，得3x即C:（2）如圖所示，其中N為橢圓的左焦點(diǎn)，故OP為三角形AFN的中位線，所以AB//PD，所以S△FPN=SS△FPN+S△BND=不妨設(shè)lAB聯(lián)立x=my?1,x24+y23故y1又△AOB的面積S==1令t=m2+1≥1，則S=6所以0<S≤32，即△FPN與△BND的面積之和的取值范圍為【題型5已知面積求其他量】【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，離心率為2A．42 B．82 C．6【解題思路】由橢圓的定義結(jié)合題意可求出AF1=4a3，A【解答過程】由已知條件及橢圓的定義可得AF故AF1=設(shè)F1F2=2c，因為橢圓E的離心率為由余弦定理可得cos∠則sin∠F1AF2=則c=6×223=42故選：B．【變式5-1】（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線l：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，過A作x軸的垂線與EA．2332 B．2333 【解題思路】首先求出S△AOB=ab，再結(jié)合題干中的條件可知ab≥3【解答過程】由題意得Aa,0，漸近線y=±將x=a代入得M,N坐標(biāo)為a,±b,所以MN=2b因為MN⊥x軸，所以S△AOB由已知可得ab≥3兩邊同時除以a2得b所以3ba2解得33≤b而雙曲線的離心率e=1+故選：A.【變式5-2】（2024·山東·二模）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)P2,?(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)Q0,2的直線l與雙曲線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，△OEF的面積為22，求直線【解題思路】（1）設(shè)所求雙曲線方程為x2?y2=m（2）根據(jù)題意設(shè)直線l的方程為y=kx+2，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，分別用點(diǎn)到直線的距離公式，弦長公式，三角形面積公式，建立方程，即可得出答案．【解答過程】（1）因為雙曲線C的兩條漸近線互相垂直，所以雙曲線C為等軸雙曲線，所以設(shè)所求雙曲線方程為x2?y又雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)P(2,?2所以4?2=m，即m=2，所以雙曲線的方程為x2?y（2）根據(jù)題意可知直線l的斜率存在，又直線l過點(diǎn)Q(0,2)，所以直線l的方程為y=kx+2，所以原點(diǎn)O到直線l的距離d=2聯(lián)立y=kx+2x2?所以k2≠1且所以k2<3，且所以|EF|=1+所以△OEF的面積為12所以3?k2|k2所以直線l的方程為y=2x+2或【變式5-3】（2024·廣東茂名·一模）已知拋物線C:y2=2pxp>0，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P,Q其為準(zhǔn)線上的兩個動點(diǎn)，且PF⊥QF.當(dāng)(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若線段PF,QF分別交拋物線C于點(diǎn)A,B，記△PQF的面積為S1，△ABF的面積為S2，當(dāng)S1【解題思路】（1）首先利用勾股定理求出QF，PF，再由等面積法求出p，即可得解；（2）設(shè)直線AB的解析式為x=ky+b，Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，依題意FA?【解答過程】（1）方法一：∵PQ=5，PF⊥QF，∴QF2+PF2∴在△PQF中，根據(jù)等面積法125×p=25×5∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2方法二：設(shè)x軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為M.∵PF⊥QF,∴當(dāng)PF=2QF時，∴PM=2MF∴PQ=PM∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2（2）由（1）可得拋物線的焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線為x=?1依題意，直線AB的斜率不為0，∴設(shè)直線AB的解析式為x=ky+b，Ax1,聯(lián)立y2=4xx=ky+b，消去x得y∴y1+由PF⊥QF，則FA?FB=0，可得x1?1,易知直線AF的解析式為y=y1x1?1同理可得yQ∵S∴PF?QF=9AF∴yPyQy1y2=9∴y所以PQ=1【題型6三角形（四邊形）面積的最值、范圍問題】【例6】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知橢圓C：x2a2+y2=1a>1的離心率為255，橢圓C的動弦AB過橢圓C的右焦點(diǎn)F，當(dāng)AB垂直(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若直線AB的斜率為1m，過點(diǎn)M作x軸的垂線l，點(diǎn)N為l上一點(diǎn)，且點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為?m2，直線NF與橢圓C交于P，Q【解題思路】（1）根據(jù)橢圓的幾何意義，求得橢圓C的方程，從而得F(2,0)，將x=2代入橢圓方程，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再設(shè)橢圓C在點(diǎn)A處的切線方程為y=k(x?2)+55，將其與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式為0，求出k的值，即可求得（2）設(shè)直線AB的方程為x=my+2，將其與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式表示出|AB|，結(jié)合（1）中所得寫出N的坐標(biāo)，并求出直線NF的方程，再利用弦長公式求得|PQ|，然后化簡運(yùn)算1|AB|+1【解答過程】（1）解：由題意知，b=1ca=255b所以橢圓C的方程為x25+將x=2代入橢圓方程得y=±5不妨取A(2,5設(shè)橢圓C在點(diǎn)A處的切線方程為y=k(x?2)+5聯(lián)立x25+所以Δ=整理得4(5k+2)所以在點(diǎn)A處的切線方程為y=?2由橢圓的對稱性知，點(diǎn)M在x軸上，令y=0，則x=5即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(52,（2）根據(jù)題意可設(shè)直線AB的方程為x=my+2，A(x1,y1)，聯(lián)立x=my+2x25所以y1+y2=所以|AB|=1+因為MN⊥x軸，且點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為?m2，所以N(5所以直線NF的斜率為?m所以直線NF的方程為x=?1同理可得，|PQ|=2所以1|AB|故1|AB|+1故1|AB|+1由于kNF=?m,kAB=故SAPBQ=12【變式6-1】（2024·北京·模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:x2+4y2=2上一點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，斜率存在的直線l交橢圓C于A，(1)求OD；(2)若點(diǎn)D在第一象限，探究△ABO的面積是否有最大值？若有，求出最大值；若沒有，請說明理由.【解題思路】（1）先求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，然后代入兩點(diǎn)間距離公式求解，即可得到結(jié)果；（2）設(shè)出直線l的方程，將直線與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理代入計算，然后由直線的斜率公式求出直線l的方程，利用弦長公式以及三角形的面積公式進(jìn)行求解，即可得到結(jié)果.【解答過程】（1）不妨設(shè)D1,yD，將x=1則OD=（2）由（1）可知，若點(diǎn)D在第一象限，則D1,不妨設(shè)直線l的方程為y=kx+m，Ax聯(lián)立直線與橢圓方程y=kx+mx2+4y2由韋達(dá)定理可得x1因為直線DA，DB的斜率之和等于1，所以y1且點(diǎn)A,B均在直線l上，則y1整理可得2k?1x將x1+x整理可得2k+2m?1m+1因為直線l不過點(diǎn)D，所以2k+2m?1≠0，則m=?1，此時直線l的方程為y=kx?1，且過定點(diǎn)0,?1，且滿足Δ=32k2又AB=1+k且點(diǎn)O到直線AB的距離d=11+k不妨設(shè)4k2?1當(dāng)且僅當(dāng)t=2時，即k=±則△ABO的面積的最大值為12【變式6-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,P為雙曲線C上一動點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），M為線段AP的中點(diǎn)，Q為直線x=95上一點(diǎn)，且AP//OQ，過點(diǎn)Q作QN⊥OM于點(diǎn)N，求【解題思路】（1）由點(diǎn)E在C上可得16916a2?c（2）設(shè)出直線AP的方程，與雙曲線C的方程聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合已知確定點(diǎn)N的位置，進(jìn)而求出△ABN面積的最大值.【解答過程】（1）由雙曲線C:x2a2?雙曲線C的漸近線方程為bx±ay=0，則雙曲線C上的點(diǎn)(x′,于是16916a2?c2ab2所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）由（1）知A(?3,0),B(3,0)，顯然直線AP的斜率存在且不為0，設(shè)直線AP的方程為y=k(x+3),k≠0，由x29?y216=1設(shè)P(x1,y1),x于是線段AP的中點(diǎn)M(27k216?9k由OM⊥QN，得直線QN的斜率kQN=?916k，而AP//OQ，直線OQ于是直線QN的方程為y=?9k16(x?95)+9因此點(diǎn)N在以O(shè)F為直徑的圓上，該圓的圓心為(52,0)則點(diǎn)N到直線AB的最大距離為52，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(52而點(diǎn)N在直線OM上，即kOM=169k=1或kOM=所以點(diǎn)N到直線AB的距離的最大值為52，△ABN面積的最大值為1【變式6-3】（2024·江蘇南通·三模）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F交C于A,B兩點(diǎn)，C在A,B兩點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)P,AB的中點(diǎn)為Q，且PQ交C于點(diǎn)E．當(dāng)l(1)求C的方程；(2)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，求QE；(3)設(shè)C在點(diǎn)E處的切線與PA,PB分別交于點(diǎn)M,N，求四邊形ABNM面積的最小值．【解題思路】（1）設(shè)直線l的方程為y=kx+p2,A（2）首先得到Q2k,2k2+1，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到兩條切線方程，再計算出P的坐標(biāo)，求出（3）首先證明出S四邊形ABNM=【解答過程】（1）由題意，直線l的斜率必存在.設(shè)直線l的方程為y=kx+p聯(lián)立y=kx+p2x2當(dāng)k=1時，x1此時|AB|=y所以4p=8，即p=2.所以C的方程為x2（2）由(1)知，x1則xQ=2k，代入直線y=kx+1得yQ=2k因為x2=4y，所以則直線PA方程為y?y1=同理，直線PB方程為y=1所以xPyP=x因為xP=2,2k=2，即k=1，此時所以直線PQ的方程為x=2，代入x2=4y，得所以E(2,1)，所以|QE|=2.（3）由（2）知Q2k,2所以直線PQ方程為x=2k，代入x2=4y，得y=k2，所以E2k,因為C在E處的切線斜率y′所以C在E處的切線平行于AB，又因為E為PQ的中點(diǎn)，所以S四邊形由(1)中(?)式得x2?4kx?4=0，所以因為直線AB方程為y=kx+1，所以|AB|=y又P(2k,?1)到直線AB的距離?=2所以S△ABP(當(dāng)且僅當(dāng)k=0時取“=”)所以S四邊形所以四邊形ABNM的面積的最小值為3.一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C:x236+y225=1上一點(diǎn),F1,FA．167 B．537 C．12【解題思路】先求出S△PF1【解答過程】如圖所示：由橢圓的定義知，PF1+PF而c=a2?在△PF1F所以sin∠得S△P根據(jù)三角形的重心性質(zhì)，可知，PG=2GO，故所以S△P故選：B.2．（2024·河北·模擬預(yù)測）點(diǎn)F1?2,0,F22,0為等軸雙曲線C的焦點(diǎn)，過F2作x軸的垂線與CA．22 B．4 C．42【解題思路】先求出雙曲線C的方程，進(jìn)而求出雙曲線C的漸近線方程，即可求出A?B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出【解答過程】設(shè)雙曲線C為：x2因為c=2=a2+所以雙曲線C為：x22?y2所以y=xx=2，解得：A2,2，則所以△AOB為等腰直角三角形，所以△AOB的面積為12故選：B.3．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=6x，過動點(diǎn)P作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C相切于點(diǎn)A,B，則△PABA．6 B．9 C．12 D．18【解題思路】設(shè)直線AP:y?y1=k1x?x1與拋物線聯(lián)立方程，建立等式化簡計算可得k1=3y1，yy1=3x+y12【解答過程】設(shè)Ax因為點(diǎn)P作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C相切于點(diǎn)A,B，所以直線AP,BP斜率均存在，故設(shè)直線AP:y?y則y2所以36?4k16y1?6kx所以直線AP:y?y1=設(shè)直線BP:y?y2=k所以k1k2設(shè)直線AB:x=my+n，y2所以y1y2=?6n=?9，因為拋物線y2=6x的焦點(diǎn)為所以設(shè)直線AB恒過拋物線焦點(diǎn)F3而Px0,y0所以y0y1=3x所以y1y2=6x0所以AB=設(shè)P?32,y0到直線所以S△PAB=12ABd=9m故選：B.4．（2024·江西九江·三模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1且傾斜角為π6的直線交A．x23+C．x29+【解題思路】根據(jù)題意得到Rt△AF1F2，∠AF1F2=π6,

,設(shè)AF【解答過程】如圖,∵O為線段F1F2的中點(diǎn),B為線段AF1的中點(diǎn),∴OB∥A在Rt△AF1F2中,∠AF1∴12c=F1F故選：D.5．（2024·遼寧·一模）已知雙曲線C:y23?x2=1的下焦點(diǎn)和上焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與C交于AA．3 B．?3 C．103 D．【解題思路】根據(jù)三角形面積比轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)到直線AB的距離之比即可得解.【解答過程】由C:y23聯(lián)立y23?則Δ=4m2由△F2AB面積是△F1AB面積的4倍可知，F(xiàn)2到直線AB化簡可得15m2+68m+60=0解得m=?103或故選：D.6．（2024·廣東廣州·一模）雙曲線C:x2?y2=4的左，右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過F2作垂直于xA．62?8 B．62?4 C．【解題思路】由題意畫出圖，由已知求出c的值，找出A,B的坐標(biāo)，由△AF1F2,△B【解答過程】由題意如圖所示：由雙曲線C:x2?所以c2所以F2(2所以過F2作垂直于x軸的直線為x=2代入C中，解出A2由題知△AF且AF1=B的連線垂直于x軸于點(diǎn)P，設(shè)為r，在△AF1由雙曲線的定義可知：A由AF2=2所以12解得：r=2因為F1F2為△所以O(shè)3一定在F1F2上，即x軸上，令圓在△AF12又A所以12所以R=2所以PFO3所以S=r×O故選：A.7．（2024·云南·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的兩條互相垂直的直線l1,l2分別與拋物線C交于點(diǎn)A,B和D,EA．64 B．32 C．16 D．8【解題思路】設(shè)直線l1的方程為y=kx?1，聯(lián)立y=kx?1y2=4x，利用弦長公式求得【解答過程】依題意，F(xiàn)(1,0)，直線l1的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為y=k由y=kx?1y2=4x，得k2x1+x2=2+4k四邊形ADBE的面積S=1當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時，四邊形ADBE的面積取得最小值32.故選：B.8．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)(A在x軸上方)，過點(diǎn)A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′、B′線段A′B′中點(diǎn)為E，四邊形AA′A．3?22 B．3?2 C．3+2【解題思路】首先得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)F′?1,0，即可得到直線【解答過程】拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線為x=?1，設(shè)準(zhǔn)線與x依題意直線AB的方程為y=x?1，由y=x?1y2=4x，解得x=3+2所以A3+22,2+2則A′?1,2+22，B所以S==8+82S==?8+82所以S1故選：D.二、多選題9．（2024·云南·二模）已知點(diǎn)P為雙曲線E:x24?y23=1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作E的兩條漸近線的垂線，垂足分別為M、A．∠MPN=2π3C．PM?PN=【解題思路】根據(jù)漸近線斜率可判斷π3<∠MON<π2，然后可得π2<∠MPN<2π3，可判斷A；利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合P【解答過程】設(shè)Pm,n，則m雙曲線的漸近線方程為y=±32x對于A，記漸近線y=32x因為33<tanα<1，所以又∠PMO=∠PNO=π2，所以∠MPN=π對于B，由點(diǎn)到直線的距離公式得PMPN又m24?n2對于C，由上知，π2<∠MPN<2對于D，由上知，tan∠MPN=得sin∠MPN=?43求解得sin2∠MPN=4849，因為所以S=1故選：BD.

10．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知A?2,0，B2,0，C1,0，動點(diǎn)M滿足MA與MB的斜率之積為?34，動點(diǎn)M的軌跡記為Γ，過點(diǎn)C的直線交Γ于P，Q兩點(diǎn)，且P，QA．M的軌跡方程為xB．MC的最小值為1C．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OPQ面積的最大值為3D．若線段PQ的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D，則R點(diǎn)的橫坐標(biāo)是D點(diǎn)的橫坐標(biāo)的4倍【解題思路】根據(jù)求軌跡方程的方法即可求得選項A，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可判斷選項B，聯(lián)立直線PQ與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求出△OPQ的面積，利用導(dǎo)數(shù)可判斷選項C，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線PQ與直線RD的關(guān)系，即可求出R點(diǎn)和D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而判斷選項D.【解答過程】對于選項A，設(shè)Mx,y，因為A?2,0，B2,0，所以k對于選項B，因為x24+y23=1所以C1,0為橢圓的右焦點(diǎn)，則MC對于選項C，設(shè)PQ的方程x=my+1，代入橢圓方程，得3m設(shè)Px1,y1所以S△OPQ=12OCy1令m2+1=t≥1，則S令gt=3t+1tt≥1，則S△OPQ=6gt，所以S△OPQmax=64對于選項D，因為Rx1+x2所以R43m設(shè)DxD,0，則k所以xRxD=43m故選：BCD.11．（2024·廣東·二模）拋物線τ：x2=2pyp>0焦點(diǎn)為F，且過點(diǎn)A4,4，斜率互為相反數(shù)的直線AC，AD分別交τ于另一點(diǎn)C和A．直線CD過定點(diǎn)B．τ在C，D兩點(diǎn)處的切線斜率和為?4C．τ上存在無窮多個點(diǎn)到點(diǎn)F和直線y=5的距離和為6D．當(dāng)C，D都在A點(diǎn)左側(cè)時，△ACD面積的最大值為256【解題思路】對于A，代入已知點(diǎn)求得拋物線τ：x2=4y，不妨設(shè)AC:y=kx?4+4,k>0，AD:y=?kx?4+4，Ax1,y1,Cx2,y【解答過程】對于A，因為拋物線τ：x2=2pyp>0過點(diǎn)A4,4，所以所以拋物線τ：x2=4y，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸即y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，則因為AD,AC斜率互為相反數(shù)，不妨設(shè)AC:y=kx?4則AD:y=?kx?4聯(lián)立AC:y=kx?4+4與拋物線W：x2Δ=16設(shè)Ax則x1所以x2=4k?4,y直線CD的方程為：y?y整理得y==?4k?4+4k?4即直線CD的方程為：y=?2x+4k隨著k的變化，這條可能直線會平行移動，不妨取k=1,0，此時CD的方程依次是y=?2x,y=?2x?4，顯然這兩條直線是平行的，它們不會有交點(diǎn)，這就說明直線CD過定點(diǎn)是錯誤的，故A錯誤；對于B，對y=x24求導(dǎo)，可得y′=x2，從而τ對于C，設(shè)τ上存在點(diǎn)Px0,y0由拋物線定義可知，PF+d=y0+1+y0注意到當(dāng)?1<y0<5這意味著τ上存在無窮多個點(diǎn)到點(diǎn)F和直線y=5的距離和為6，故C正確；對于D，設(shè)CD與AB交與點(diǎn)G，聯(lián)立直線CD的方程：y=?2x+4k2?4與直線AB解得x=2k2?4,y=4，即點(diǎn)G設(shè)△ACD面積為S，則S=1注意到C，D都在A點(diǎn)左側(cè)時，意味著2k2?4<0，且k>0，從而k從而S=164k?設(shè)fk=64k?16k所以當(dāng)0<k<233時，f′k故fk在0,23所以△ACD面積的最大值為f2故選：BCD.三、填空題12．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若△AOB的面積為2，則p=【解題思路】設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2【解答過程】由已知，直線AB的方程為y=x?p2，設(shè)Ax聯(lián)立y2=2pxy=x?且y1+y于是y1S△AOB=1故答案為：2.13．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知橢圓M:x22+y2=1，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓M相交于A、B、C、D四個點(diǎn)，若該兩條