第2節(jié)不等式證實(shí)1/29最新考綱經(jīng)過一些簡(jiǎn)單問題了解證實(shí)不等式基本方法：比較法、綜正當(dāng)、分析法.2/29知

識(shí)

梳

理2aba＝ba＝ba＝b＝c3/29a>b推理論證4/29②分析法：從要證結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立___________，所需條件為已知條件或一個(gè)顯著成立事實(shí)(定義、公理或已證實(shí)定理、性質(zhì)等)，從而得出要證命題成立，這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果索因”證實(shí)方法.充分條件5/291.思索辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)比較法最終要判斷式子符號(hào)得出結(jié)論.(

) (2)綜正當(dāng)是從原因推導(dǎo)到結(jié)果思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最終到達(dá)待證結(jié)論.(

) (3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立必要條件，最終到達(dá)題設(shè)已知條件或已被證實(shí)事實(shí).(

) (4)使用反證法時(shí)，“反設(shè)”不能作為推理?xiàng)l件應(yīng)用.(

)

答案

(1)×

(2)√

(3)×

(4)×診

斷

自

測(cè)6/29答案

A7/293.(教材習(xí)題改編)已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，則M，N大小關(guān)系為________.

解析

2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b).

因?yàn)閍≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，

從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.

答案

M≥N8/29答案

49/295.已知x>0，y>0，證實(shí)：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.

證實(shí)因?yàn)閤>0，y>0，10/29考點(diǎn)一比較法證實(shí)不等式【例1－1】

(·江蘇卷)已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16.試證實(shí)：ac＋bd≤8.

證實(shí)∵(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－(a2c2＋b2d2＋2acbd)

＝b2c2＋a2d2－2acbd＝(bc－ad)2≥0，

∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，

又a2＋b2＝4，c2＋d2＝16.

所以(ac＋bd)2≤64，從而ac＋bd≤8.11/2912/2913/2914/2915/29考點(diǎn)二綜正當(dāng)證實(shí)不等式【例2－1】

(·全國Ⅱ卷)已知實(shí)數(shù)a>0，b>0，且a3＋b3＝2.

證實(shí)：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2.16/29證實(shí)

(1)∵a>0，b>0，且a3＋b3＝2.則(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a4－2a2b2＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因?yàn)?a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)17/2918/2919/29(2)證實(shí)由(1)知，當(dāng)a，b∈M時(shí)，－1<a<1，－1<b<1，從而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0，所以(a＋b)2<(1＋ab)2，所以|a＋b|<|1＋ab|.20/29規(guī)律方法

1.綜正當(dāng)證實(shí)不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式左右兩端之間差異與聯(lián)絡(luò).合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證實(shí)關(guān)鍵.2.在用綜正當(dāng)證實(shí)不等式時(shí)，不等式性質(zhì)和均值不等式是最慣用.在利用這些性質(zhì)時(shí)，要注意性質(zhì)成立前提條件.21/2922/29(1)解當(dāng)x<－1時(shí)，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x>3；當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4，此時(shí)，3≤f(x)≤6；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x>6.綜上可知，f(x)最小值m＝3.23/2924/2925/29規(guī)律方法1.當(dāng)要證不等式較難發(fā)覺條件和結(jié)論之間關(guān)系時(shí)，可用分析法來尋找證實(shí)路徑，使用分析法證實(shí)關(guān)鍵是推理每一步必須可逆.2.分析法證實(shí)思緒是“執(zhí)果索因”，其框圖表示為：26/2927/29(1)解依題意，原不等式等價(jià)于|x－1|＋|x＋3|≥8.當(dāng)x<－3時(shí)，則－2x－2≥8，解得x≤－