第六節(jié)雙曲線【知識(shí)梳理】1.雙曲線的定義(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距離_____________為非零常數(shù)2a(2a<2c)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的_____,兩焦點(diǎn)間的距離叫做_____.之差的絕對值焦點(diǎn)焦距(2)集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.①當(dāng)_________時(shí),M點(diǎn)的軌跡是雙曲線;②當(dāng)_________時(shí),M點(diǎn)的軌跡是兩條射線;③當(dāng)_________時(shí),M點(diǎn)不存在.2a<|F1F2|2a=|F1F2|2a>|F1F2|2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程________(a>0,b>0)_________(a>0,b>0)性質(zhì)范圍________________________對稱性對稱軸:_______對稱中心:_____對稱軸:_______對稱中心:_____頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo):A1_______,A2______頂點(diǎn)坐標(biāo):A1_______,A2______漸近線y=_______

y=______

x≥a或x≤-ay≤-a或y≥a坐標(biāo)軸原點(diǎn)坐標(biāo)軸原點(diǎn)(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)性質(zhì)離心率e=__,e∈________

實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸,它的長|A1A2|=___;線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,它的長|B1B2|=___;a叫做雙曲線的實(shí)半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長a,b,c間的關(guān)系c2=_____(c>a>0,c>b>0)(1,+∞)2a2ba2+b2【特別提醒】1.漸近線與離心率=1(a>0,b>0)的一條漸近線的斜率為=2.若P為雙曲線上一點(diǎn),F為其對應(yīng)焦點(diǎn),則|PF|≥c-a.3.區(qū)分雙曲線中a,b,c的關(guān)系與橢圓中a,b,c的關(guān)系,在橢圓中a2=b2+c2,而在雙曲線中c2=a2+b2.【小題快練】鏈接教材練一練1.(選修1-1P54習(xí)題2.2A組T1改編)雙曲線上的點(diǎn)P到點(diǎn)(5,0)的距離是6,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

.【解析】根據(jù)雙曲線方程可知c==5.所以焦點(diǎn)為F2(5,0),F1(-5,0).設(shè)P(x,y),由兩點(diǎn)間距離公式:|PF2|==6,①所以點(diǎn)P在雙曲線右支上,|PF1|=,因?yàn)閨PF1|-|PF2|=2a=8,所以=2a+6=14,所以(x+5)2+y2=196,②①②聯(lián)立得x=8.代入原式可得y=±3.所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(8,±3).答案:(8,±3)2.(選修1-1P53練習(xí)T3改編)以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程為

.【解析】設(shè)要求的雙曲線方程為(a>0,b>0),由橢圓,得焦點(diǎn)為(±1,0),頂點(diǎn)為(±2,0).所以雙曲線的頂點(diǎn)為(±1,0),焦點(diǎn)為(±2,0).所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.答案:x2-=1感悟考題試一試3.(2015·安徽高考)下列雙曲線中,漸近線方程為y=±2x的是()【解析】選A.由雙曲線的漸近線方程的公式可知選項(xiàng)A的漸近線方程為y=±2x.4.(2015·湖南高考)若雙曲線=1(a>0,b>0)的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3,-4),則此雙曲線的離心率為()【解析】選D.因?yàn)殡p曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3,-4),所以3b=4a,所以9(c2-a2)=16a2,所以e=5.(2015·全國卷Ⅱ)已知雙曲線過點(diǎn)(4,),且漸近線方程為y=,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程為y=可設(shè)雙曲線的方程為-y2=m,把(4,)代入-y2=m,得m=1.答案:-y2=1考向一雙曲線的定義及其應(yīng)用【典例1】(1)(2016·淄博模擬)設(shè)雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為e,過F2的直線與雙曲線的右支交于A,B兩點(diǎn),若△F1AB是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則e2=()(2)(2015·全國卷Ⅰ)已知F是雙曲線C:x2-=1的右焦點(diǎn),P是C左支上一點(diǎn),當(dāng)△APF周長最小時(shí),該三角形的面積為

.【解題導(dǎo)引】(1)利用雙曲線的定義及等腰直角三角形的性質(zhì)可得|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,|BF1|=|AF2|+|BF2|,再利用等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理即可得出.(2)利用雙曲線的定義以及兩點(diǎn)之間線段最短即可求出△APF周長的最小值,進(jìn)而求出三角形的面積.【規(guī)范解答】(1)選C.如圖所示,因?yàn)閨AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,|BF1|=|AF2|+|BF2|,所以|AF2|=2a,|AF1|=4a.所以|BF1|=2a,所以|BF2|=2a-2a.因?yàn)閨F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2,所以(2c)2=(2a)2+(2a-2a)2,所以e2=5-2.(2)由已知a=1,b=2,c=3,所以F(3,0),F′(-3,0),又所以|AF|==15,△APF周長l=|PA|+|PF|+|AF|,又|PF|-|PF′|=2,所以|PF|=|PF′|+2,所以l=|PA|+|PF′|+2+15≥|AF′|+17=32,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F′三點(diǎn)共線時(shí),

△APF周長最小,如圖所示.設(shè)P(x,y),直線AF′的方程為=1,聯(lián)立得消去x得y2+36y-96=0,解得y=-8(舍)或y=2,則P(x,2).因?yàn)镾△APF=S△AF′F-S△PF′F=×6×6-×6×2=12.答案:12【規(guī)律方法】“焦點(diǎn)三角形”中常用到的知識(shí)點(diǎn)及技巧(1)常用知識(shí)點(diǎn):在“焦點(diǎn)三角形”中,正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義經(jīng)常使用.(2)技巧:經(jīng)常結(jié)合||PF1|-|PF2||=2a,運(yùn)用平方的方法,建立它與|PF1||PF2|的聯(lián)系.提醒:利用雙曲線的定義解決問題,要注意三點(diǎn):(1)距離之差的絕對值.(2)2a<|F1F2|.(3)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的位置.【變式訓(xùn)練】已知點(diǎn)F1(-3,0)和F2(3,0),動(dòng)點(diǎn)P到F1,F2的距離之差為4,則點(diǎn)P的軌跡方程為()【解析】選B.由題設(shè)知點(diǎn)P的軌跡方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支,設(shè)其方程為=1(x>0,a>0,b>0),由題設(shè)知c=3,a=2,b2=9-4=5,所以點(diǎn)P的軌跡方程為=1(x>0).【加固訓(xùn)練】1.(2016·陽泉模擬)已知點(diǎn)F1,F2分別為雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線C上,且∠F1PF2=60°,則|PF1|·|PF2|等于()A.2B.4C.6D.8【解析】選B.由題意知a=1,b=1,c=,所以|F1F2|=2,在△PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2=8,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=8,①由雙曲線定義得||PF1|-|PF2||=2a=2,兩邊平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,②①-②得|PF1||PF2|=4.2.如果雙曲線=1上一點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是8,那么點(diǎn)P到它的左焦點(diǎn)的距離是()A.4B.12C.4或12 D.不確定【解析】選C.由雙曲線方程,得a=2,c=4.根據(jù)雙曲線的定義|PF1|-|PF2|=±2a,則|PF1|=|PF2|±2a=8±4,所以|PF1|=4或12,經(jīng)檢驗(yàn)二者都符合題意.3.點(diǎn)P是雙曲線=1(a>0,b>0)右支上一點(diǎn),點(diǎn)F1,F2分別為左、右焦點(diǎn),且焦距為2c,則△PF1F2的內(nèi)切圓圓心M的橫坐標(biāo)是()A.a B.bC.c D.a+b-c【解析】選A.如圖,內(nèi)切圓圓心M到各邊的距離分別為MA,MB,MC,切點(diǎn)分別為A,B,C,由三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)則有:|CF1|=|AF1|,|AF2|=|BF2|,|PC|=|PB|,所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,又|AF1|+|AF2|=2c,所以|AF1|=a+c,則|OA|=|AF1|-|OF1|=a.因?yàn)镸的橫坐標(biāo)和A的橫坐標(biāo)相同,所以△PF1F2的內(nèi)切圓圓心M的橫坐標(biāo)為a.考向二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)【考情快遞】

命題方向命題視角與雙曲線有關(guān)的范圍問題考查利用雙曲線方程或性質(zhì)解決參數(shù)長度等的范圍與雙曲線的離心率、漸近線相關(guān)的問題考查運(yùn)用條件求離心率或漸近線的問題及范圍【考題例析】命題方向1:與雙曲線有關(guān)的范圍問題【典例2】(2015·全國卷Ⅰ)已知M(x0,y0)是雙曲線C:-y2=1上的一點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn),若<0,則y0的取值范圍是()【解題導(dǎo)引】直接利用向量的數(shù)量積列出并解不等式,即可求出y0的取值范圍.【規(guī)范解答】選A.因?yàn)镕1(-,0),F2(,0),=1,所以<0,即3y02-1<0,解得-<y0<

.【母題變式】1.若本例中的條件“<0”改為“=0”,試求△MF1F2的面積.【解析】由題意知:F1(-,0),F2(,0),=1,所以=3y02-1=0,解得:y0=±,又因?yàn)閨F1F2|=2,所以△MF1F2的面積==1,即△MF1F2的面積為1.2.若本例中的條件“<0”去掉,試求的范圍.【解析】由題意知:F1(-,0),F2(,0),=1,所以又因?yàn)閤02≥2,所以-4≥-1,即≥-1.命題方向2:與雙曲線的離心率、漸近線相關(guān)的問題【典例3】(1)(2015·全國卷Ⅱ)已知A,B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,則E的離心率為()A.B.2C.D.(2)(2015·天津高考)已知雙曲線=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0),且雙曲線的漸近線與圓(x-2)2+y2=3相切,則雙曲線的方程為()【解題導(dǎo)引】(1)依據(jù)已知條件,想辦法得出關(guān)于a,c的等式,解方程即可得出離心率的值.(2)可由已知條件,得出關(guān)于a,b的兩個(gè)方程,解方程組即可得出a,b的值,進(jìn)而得出雙曲線方程.【規(guī)范解答】(1)選D.設(shè)雙曲線方程為=1(a>0,b>0),如圖所示,|AB|=|BM|,∠ABM=120°,過點(diǎn)M作MN⊥x軸,垂足為N,在Rt△BMN中,|BN|=a,|MN|=a,故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(2a,a),代入雙曲線方程得a2=b2=c2-a2,即c2=2a2,所以e=.(2)選D.由雙曲線的漸近線bx-ay=0與圓(x-2)2+y2=3相切可知又因?yàn)閏==2,所以有a=1,b=,故雙曲線的方程為x2-=1.【技法感悟】1.與雙曲線有關(guān)的范圍問題的解題思路(1)若條件中存在不等關(guān)系,則借助此關(guān)系直接變換轉(zhuǎn)化求解.(2)若條件中沒有不等關(guān)系,要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系或借助曲線中不等關(guān)系來解決.2.與雙曲線離心率、漸近線有關(guān)問題的解題策略(1)雙曲線的離心率e=是一個(gè)比值,故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a,b,c的一個(gè)關(guān)系式,利用b2=c2-a2消去b,然后變形成關(guān)于e的關(guān)系式,并且需注意e>1.(2)求雙曲線=1(a>0,b>0)的漸近線的方法是令=0,即得兩漸近線方程=0.(3)與雙曲線=1共漸近線的方程可設(shè)為=λ(λ≠0).(4)若漸近線的方程為y=±x,則可設(shè)雙曲線方程為=λ(λ≠0).【題組通關(guān)】1.(2014·全國卷Ⅰ)已知雙曲線=1(a>0)的離心率為2,則a=()

【解析】選D.由雙曲線的離心率可得=2,解得a=1.2.(2016·萊蕪模擬)設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O,若有且只有一對相交于點(diǎn)O,所成的角為60°的直線A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分別是這對直線與雙曲線C的交點(diǎn),則該雙曲線的離心率的取值范圍是()【解析】選A.因?yàn)橛星抑挥幸粚ο嘟挥邳c(diǎn)O,所成的角為60°的直線A1B1和A2B2,所以直線A1B1和A2B2關(guān)于x軸對稱,并且直線A1B1和A2B2與x軸的夾角為30°,雙曲線的漸近線與x軸的夾角大于30°且小于等于60°,否則不滿足題意.可得>tan30°,即所以e>同樣的,當(dāng)≤tan60°,即≤3時(shí),所以e≤2.所以雙曲線的離心率的范圍是3.(2016·濟(jì)寧模擬)已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的一條漸近線經(jīng)過圓E:x2+y2-8x-6y+16=0的圓心,則雙曲線C的離心率等于

.【解析】由圓心E(4,3)在直線bx-ay=0上得4b-3a=0,故9a2=16b2=16(c2-a2),即25a2=16c2?e=答案:4.(2016·煙臺(tái)模擬)已知雙曲線x2-=1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),則的最小值為

.【解析】由題可知A1(-1,0),F2(2,0).設(shè)P(x,y)(x≥1),則=(-1-x,-y),=(2-x,-y),=(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x-5.因?yàn)閤≥1,函數(shù)f(x)=4x2-x-5的圖象的對稱軸為x=,所以當(dāng)x=1時(shí),取得最小值-2.答案:-2考向三雙曲線的綜合問題【典例4】(1)已知橢圓=1(a>0)與雙曲線=1有相同的焦點(diǎn),則a的值為()(2)(2015·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P為雙曲線x2-y2=1右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立,則實(shí)數(shù)c的最大值為

.【解題導(dǎo)引】(1)依據(jù)橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)相同,即可確定a的值;(2)利用點(diǎn)到直線的距離公式直接求解即可.【規(guī)范解答】(1)選C.因?yàn)闄E圓=1(a>0)與雙曲線=1有相同的焦點(diǎn)(±,0),則有a2-9=7,所以a=4.(2)設(shè)P(x,y)(x≥1),因?yàn)橹本€x-y+1=0平行于漸近線x-y=0,所以c的最大值為直線x-y+1=0與漸近線x-y=0之間的距離,由兩平行線間的距離公式知,該距離為

答案:【母題變式】1.若將本例(1)中的條件“有相同的焦點(diǎn)”,改為“有相同的焦距”,試求a的值.【解析】因?yàn)殡p曲線=1中a2=4,b2=3,所以c2=7,因此,雙曲線的焦距為2.對于橢圓=1,當(dāng)a2>9時(shí),c2=a2-9=7,a2=16,又因?yàn)閍>0,所以a=4;當(dāng)a2<9時(shí),c2=9-a2=7,a2=2,又因?yàn)閍>0,所以a=.綜上可知:a=4或.2.若將本例(1)中的條件“有相同的焦點(diǎn)”,改為“有相同的頂點(diǎn)”,試求a的值.【解析】因?yàn)殡p曲線=1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),(-2,0),所以橢圓=1(a>0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)有(2,0),(-2,0),所以a2=4,又因?yàn)閍>0,所以a=2.【規(guī)律方法】解決與雙曲線有關(guān)綜合問題的方法(1)解決雙曲線與橢圓、圓、拋物線的綜合問題時(shí),要充分利用橢圓、圓、拋物線的幾何性質(zhì)得出變量間的關(guān)系,再結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)求解.(2)解決直線與雙曲線的綜合問題,通常是聯(lián)立直線方程與雙曲線方程,消元求解一元二次方程即可,但一定要注意數(shù)形結(jié)合,結(jié)合圖形注意取舍.【變式訓(xùn)練】(2016·秦皇島模擬)已知雙曲線=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=x,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=24x的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為()【解析】選C.拋物線y2=24x的準(zhǔn)線方程為x=-6,與x的交點(diǎn)即為雙曲線的左焦點(diǎn)F1(-6,0),故c=6.由雙曲線的一條漸近線方程為y=x可知由所以雙曲線的方程為=1.【加固訓(xùn)練】1.(2016·菏澤模擬)已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(3,4),則此雙曲線的方程為()【解析】選C.由題意知,圓的半徑為5,又點(diǎn)(3,4)在經(jīng)過第一、三象限的漸近線y=x上,因此有解得所以此雙曲線的方程為=1.2.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與圓x2+y2-10x=0的圓心重合,且雙曲線的離心率等于,則該雙曲