四、動(dòng)態(tài)直線，區(qū)域三角【例1】若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形,則的取值范圍是.【答案】【解析】表示恒過(guò)點(diǎn)斜率為的直線，且表示直線下方區(qū)域，知【例2】若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)四邊形，則實(shí)數(shù)取值范圍是.【答案】【解析】表示直線下方區(qū)域，易知五、動(dòng)點(diǎn)投影，最值范圍【例1】已知點(diǎn)滿足，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值為.【答案】【解析】令，易知故所求最大值為.【評(píng)注】本題涉及向量投影問(wèn)題：在上的投影為.在上的投影為【例2】已知在平面直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)滿足不等式則的最大值為.【答案】4【解析】由題意知又故,故本例轉(zhuǎn)化為在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值問(wèn)題，可作出可行域，如圖所示，顯然在點(diǎn)處為最優(yōu)解，則有即，.六、距離最值，構(gòu)建模型【例1】設(shè)點(diǎn)滿足則點(diǎn)到直線及直線的距離之和的最大值是.【答案】【解析】設(shè)距離之和為，則目標(biāo)函數(shù)為如圖，可知【例2】已知方程的三個(gè)實(shí)根可分別作為一橢圓,一雙曲線、一拋物線的離心率,則的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】D【解析】令由得即所以，故選D【例3】如果點(diǎn)在平面區(qū)內(nèi)，點(diǎn)在曲線上，記的最小值為，若則的取值范圍是.【答案】【解析】由得交,點(diǎn),由題意得，解得.【例4】已知定義在上的函數(shù)是增函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，若滿足不等式，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是.【答案】【解析】易知為奇函數(shù),且單調(diào)遞增,則等價(jià)于【例5】已知直線與線段相交求的最小值.【解析】由于直線與線段相交,故或而是原點(diǎn)到以上不等式組表示的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的距離，故,所以的最小值為.【評(píng)注】本題用到了以下定理：若已知點(diǎn)，和不過(guò)點(diǎn)的直線：,且直線和交于點(diǎn)則.【例6】已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】【解析】不等式即為,當(dāng)時(shí)式即為即，又時(shí)取等號(hào)),時(shí)取等號(hào)所以;當(dāng)時(shí)式為即,又當(dāng)時(shí)取等號(hào)),當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以,綜上,得故選.【評(píng)注】考點(diǎn)為不等式恒成立問(wèn)題，首先將轉(zhuǎn)化為，由于涉及分段函數(shù)的問(wèn)題，要遵循分段處理原則,分別對(duì)的兩種不同情況進(jìn)行討論,針對(duì)每種情況,根據(jù)的取值范圍,利用極端原理,求出對(duì)應(yīng)的的取值范圍.第十二章抽象函數(shù),特值顯形所謂抽象函數(shù)是指問(wèn)題中只給出函數(shù)的特征，而沒(méi)有具體的函數(shù)，需要同學(xué)們通過(guò)所給的函數(shù)特征，洞察函數(shù)的重要性質(zhì)，方法往往是先通過(guò)特定取值，猜想函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,再用定義法給予證明，最后利用函數(shù)性質(zhì)解決—些具體問(wèn)題。一、有關(guān)單調(diào)性的問(wèn)題【例1】已知定義在上的函數(shù)滿足條件:=1\*GB3①對(duì)定義域上任意，都有；=2\*GB3②當(dāng)時(shí).（1）求證：;（2）求證：在上單調(diào)遞增.【解析】（1）令得令則即.（2）設(shè)則故考慮,所以即在上單調(diào)遞增.【例2】設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí),都有.（1）若，試比較與的大?。唬?）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)樗杂深}意得所以又是定義在上的奇函數(shù)，所以即,（2）由(1)知在上是單調(diào)遞增函數(shù)，又得,故所以.令所以,而即.【評(píng)注】這類不等式一般有兩種形式：（1）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用單調(diào)性的有關(guān)性質(zhì)解抽象不等式.請(qǐng)記住一個(gè)充要條件:已知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增（遞減)，任取定義域內(nèi)兩個(gè)自變量則或的充要條件是或.目的是轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小關(guān)系.【例3】已知函數(shù)對(duì)任意的都有并且當(dāng)時(shí)，.(1)求證：在上是增函數(shù)；(2)若，解不等式.【解析】(1)設(shè)且則,而故是增函數(shù).(2)即則原不等式即,因?yàn)槭窃龊瘮?shù),所以,解得.【變式訓(xùn)練】已知定義在上,且且當(dāng)時(shí)（1）求證：當(dāng)時(shí),；（2）求證：在上單調(diào)遞減.【例4】已知的定義域?yàn)?，?duì)任意實(shí)數(shù)，有且當(dāng)時(shí),.(1)求的函數(shù)值，并證明當(dāng)時(shí)；(2)求證：在上單調(diào)遞減，并列舉出一個(gè)滿足(1)(2)條件的函數(shù)；(3)設(shè)若求的取值范圍.【解析】(1)令則,令則故.（2）設(shè)則,故在上單調(diào)遞減.舉例如（3）故，故，所以，則.所以即.【例5】設(shè)是定義在上的增函數(shù),且對(duì)一切滿足.(1)求的值；(2)若解不等式.【解析】（1）令則即(2)所以.又在上是增函數(shù)，則有，則即即得.故所求不等式解集為.二、有關(guān)奇偶性的問(wèn)題【例1】設(shè)是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意，有，且.(1)求證(2)求證：為偶函數(shù).【解析】（1）令則又所以(2)令即得,因?yàn)樗?即,因此為偶函數(shù).【例2】已知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，且.求證：是奇函數(shù).【解析】令得，同理令得,故得到所以是奇函數(shù).【評(píng)注】這類問(wèn)題應(yīng)抓住與的關(guān)系，通過(guò)已知條件中的等式進(jìn)行變量賦值.【例3】已知在上有定義，，且對(duì)，有.（1）求證在(-1,1)上為奇函數(shù)；（2）對(duì)數(shù)列，有,求；（3）在(2)的條件下，求證.【解析】（1），得，則，令則，故即,所以為奇函數(shù).(2)故即是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列，所以.（3）而所以.【例4】已知定義在上的函數(shù)滿足:對(duì)任意都有，當(dāng)時(shí),有.(1)判定在上的奇偶性,并給出理由；（2）判定在上的單調(diào)性,并給出理由；（3）求證：.【解析】（1）令，得令得即,所以在(-1,1)上是奇函數(shù).(2)設(shè)則,由得.因?yàn)闀r(shí)所以從而在(-1,0)上是單調(diào)減函數(shù).(3)故又且,故,從而.【例5】已知是定義在上的不恒為零的函數(shù),且對(duì)于任意的都滿足關(guān)系式.（1）求的值；（2）判斷的奇偶性,并證明你的結(jié)論；（3）若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（4）若求證.【解析】（1）在中，令得；令得得(2)則,故為奇函數(shù).（3）從規(guī)律中進(jìn)行探究,進(jìn)而提出猜想.猜測(cè)于是我們很容易想到用數(shù)學(xué)歸納法證明.（i）當(dāng)時(shí)成立；(ii)假設(shè)當(dāng)時(shí)成立,那么當(dāng)時(shí)，仍然成立.綜上可知,對(duì)任意成立，從而

，故所以(4)由數(shù)學(xué)歸納法可證故即