2025高考一輪復(fù)習(xí)（人教A版）第四十九講二項(xiàng)分布與超幾何分布閱卷人一、選擇題得分1．設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布Bn,45，若PA．0.16 B．0.32 C．0.64 D．0.842．2024年“與輝同行”直播間開播，董宇輝領(lǐng)銜7位主播從“心”出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機(jī)抽取兩人，則男生人數(shù)的期望為（）A．35 B．34 C．543．已知離散型隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X~B(n，p)，且E(X)=4，D(X)=q，則1pA．2 B．52 C．944．在數(shù)學(xué)試卷的單項(xiàng)選擇題中，共有8道題，每道題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)正確，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分，如果從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選一個(gè)，選對(duì)的概率是0.25.某同學(xué)8道單選題都不會(huì)做，只能在每道單選題的選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)作為答案，設(shè)他的總得分為X，則X的方差D(X)=（）A．1.5 B．7.5 C．20.5 D．37.55．泊松分布是一種描述隨機(jī)現(xiàn)象的概率分布，在經(jīng)濟(jì)生活、事故預(yù)測(cè)、生物學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，泊松分布的概率分布列為Px=k=λkk!e?λk=0,1,2,?，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，λ是泊松分布的均值．當(dāng)n很大且p很小時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布，其中λ=np．一般地，當(dāng)A．1?1e B．1?2e C．6．下列說法中正確的是（）①設(shè)隨機(jī)變量X～B(8,12②甲?乙?丙?丁四人到4個(gè)景點(diǎn)游玩，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A=“4個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”，事件B=“甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則P(A∣B)=2③已知變量X,Y,A．①② B．②③ C．①③ D．①②③7．已知隨機(jī)變量X1，X2分別滿足二項(xiàng)分布X1~B(n1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．設(shè)隨機(jī)變量X~B(A．E(x)=3，D(x)=2 B．E(x)=4，D(x)=2C．E(x)=2，D(x)=1 D．E(x)=3，D(x)=1閱卷人二、多項(xiàng)選擇題得分9．某學(xué)校有甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)，人數(shù)分別為14、21、14，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行某項(xiàng)興趣調(diào)查．已知抽出的7人中有5人對(duì)此感興趣，有2人不感興趣，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的深入訪談，用X表示抽取的3人中感興趣的學(xué)生人數(shù)，則（）A．從甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)抽取的人數(shù)分別為2人、3人、2人B．隨機(jī)變量X～BC．隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為15D．若事件A=“抽取的3人都感興趣”，則P10．已知隨機(jī)變量X滿足：X～B4,pA．p=23 B．EX=4311．下列選項(xiàng)中正確的是（）A．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B10,1B．口袋中有大小相同的7個(gè)紅球、2個(gè)藍(lán)球和1個(gè)黑球．從中任取兩個(gè)球，記其中紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的數(shù)學(xué)期望EC．對(duì)標(biāo)有不同編號(hào)的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，從中任取2件，已知其中一件為正品，則另一件也為正品的概率是5D．某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8，則在9次射擊中，最有可能擊中的次數(shù)是7次12．下列說法正確的是（）A．兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是1B．已知隨機(jī)變量X~B(n,p)，若E(X)=30,D(X)=10，則p=C．已知An2D．從一批含有10件正品、4件次品的產(chǎn)品中任取3件，則取得2件次品的概率為45閱卷人三、填空題得分13．某學(xué)校有A，B兩家餐廳，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，某班學(xué)生第1天午餐時(shí)選擇A餐廳和選擇B餐的概率均為12.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為35；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為45，則某同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為；假設(shè)班內(nèi)各位同學(xué)的選擇相互獨(dú)立，隨機(jī)變量X為該班3名同學(xué)中第2天選擇B餐廳的人數(shù)，則隨機(jī)變量X的均值14．設(shè)隨機(jī)變量X~B(2,p)，且P(X=0)=116，則p=；若Y=2X?1，則Y的方差為15．設(shè)隨機(jī)變量X~B(12,p)閱卷人四、解答題得分16．某校舉辦了“我愛古詩詞”對(duì)抗賽，在每輪對(duì)抗賽中，高二年級(jí)勝高三年級(jí)的率為25，高一年級(jí)勝高三年級(jí)的概率為1（1）若高二年級(jí)與高三年級(jí)進(jìn)行4輪對(duì)抗賽，求高三年級(jí)在對(duì)抗賽中至少有3輪勝出的概率；（2）若高一年級(jí)與高三年級(jí)進(jìn)行對(duì)抗，高一年級(jí)勝2輪就停止，否則開始新一輪對(duì)抗，但對(duì)抗不超過5輪，求對(duì)抗賽輪數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.夏季瀕臨，在某校舉辦的籃球挑戰(zhàn)杯上，籃球隊(duì)員們向臺(tái)下的觀眾展現(xiàn)出了一場(chǎng)酣暢淋漓的比賽．假定在本次挑戰(zhàn)杯上同學(xué)甲每次投籃命中的概率為2317．若該同學(xué)投籃4次，求恰好投中2次的概率；18．若該同學(xué)在每一節(jié)比賽中連續(xù)投中2次，即停止投籃，否則他將繼續(xù)投籃，投籃4次后不管有沒有連續(xù)投中，都將停止投籃，求他在每一節(jié)比賽中投籃次數(shù)X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．19．某校為激發(fā)學(xué)生對(duì)天文、航天、數(shù)字科技三類知識(shí)的興趣，舉行了一次知識(shí)競(jìng)賽（三類題目知識(shí)題量占比分別為14，12，14）.甲回答這三類問題中每道題的正確率分別為23，（1）若甲在該題庫中任選一題作答，求他回答正確的概率.（2）知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則：隨機(jī)從題庫中抽取2n道題目，答對(duì)題目數(shù)不少于n道，即可以獲得獎(jiǎng)勵(lì).若以獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率為依據(jù)，甲在n=5和n=6之中選其一，則應(yīng)選擇哪個(gè)？20．某單位為豐富員工的業(yè)余生活，利用周末開展趣味野外拉練，此次拉練共分A，B，C三大類，其中A類有3個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)需花費(fèi)2小時(shí)，B類有3個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)需花費(fèi)3小時(shí)，C類有2個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)需花費(fèi)1小時(shí)．要求每位員工從中隨機(jī)選擇3個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目的選擇機(jī)會(huì)均等．（1）求小張?jiān)谌愔懈鬟x1個(gè)項(xiàng)目的概率；（2）設(shè)小張所選3個(gè)項(xiàng)目花費(fèi)的總時(shí)間為X小時(shí)，求X的分布列．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：P(X≥1)=1-P(X=0)=1-Cn0所以X~B(4,45)故答案為：C.

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公公式求解出n，進(jìn)而求方差.2．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)隨機(jī)抽取兩人中男生人數(shù)為X，且X=0,1,2，PX=0=C32則EX故答案為：C.【分析】設(shè)隨機(jī)抽取兩人中男生人數(shù)為X，且X=0,1,2，再求得概率，代入期望公式求解即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：∵離散型隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X~B(n，p)，且E(X)=4，D(X)=q，

∴E(X)=np=4，D(X)=np(1-p)=q，

∴q+4p=4，即q4+p=1，

∴1p+14．【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)答對(duì)題目個(gè)數(shù)為Y，因?yàn)槟惩瑢W(xué)要么答對(duì)題目，要么答錯(cuò)，

總共8道題，選對(duì)的概率是0.25，故Y～B8,0.25則D(Y)=8×0.25×0.75=1.5，又X=5Y,∴D(X)=D(5Y)=25D(Y)=37.5.故選：D

【分析】根據(jù)題意判斷出某同學(xué)答對(duì)題目個(gè)數(shù)服從n=8，q=0.25的二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的的方差公式結(jié)合方差的性質(zhì)即可求解.5．【答案】B【解析】【解答】因?yàn)殡S機(jī)變量X~B1000,0.001，PX≥2，所以n=1000≥20，p=0.001≤0.05，所以λ=1000×0.001=1，所以P(X=k)=1所以PX=0=1則PX≥2故答案為：B【分析】利用隨機(jī)變量X~B1000,0.001，PX≥2，當(dāng)n≥20而p≤0.05時(shí)，泊松分布可作為二項(xiàng)分布的近似可得λ，代入公式用6．【答案】D【解析】【解答】解：①隨機(jī)變量X～B(8,12)，則E(X)=8×12=4，故①正確；

②事件A=“4個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”，事件B=“甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，PAB=A4444=332，PB=C47．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)閄1~B(所以D(X所以n1>n若D(X1)>D(所以“n1>n故答案為：C.【分析】本題考查二項(xiàng)分布的方差，利用二項(xiàng)分布的方差公式D(x)=np(1-p)可求出D(X8．【答案】C【解析】【解答】解：由題意可知，二項(xiàng)式(x+p因?yàn)?x+p可得npn?1=A、若選項(xiàng)A成立，則E(x)=np=3D(x)=np(1?p代入上式驗(yàn)證不成立，故A錯(cuò)誤；B、若選項(xiàng)B成立，則E(x)=np=4D(x)=np(1?p代入上式驗(yàn)證不成立，故B錯(cuò)誤；C、若選項(xiàng)C成立，則E(x)=np=2D(x)=np(1?p代入上式驗(yàn)證成立，C正確；D、若選項(xiàng)D成立，則E(x)=np=3D(x)=np(1?p故答案為：C.

【分析】利用二項(xiàng)式的展開式和題設(shè)條件，得到npn?1=9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：設(shè)甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)分別需抽取x,y,z人，

則x14=y21=z14所以，從甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)抽取的人數(shù)分別為2人、3人、2人，所以，選項(xiàng)A正確；隨機(jī)變量X的取值可能為1，2，3，PX=1=C51所以，隨機(jī)變量X的分布列為X123P142所以，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由期望公式可得隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為EX因?yàn)镻A故選：ACD.【分析】結(jié)合分層抽樣的方法，從而求出各社團(tuán)所需抽取人數(shù)，進(jìn)而判斷出選項(xiàng)A；由題意得出隨機(jī)變量X是取值，再由組合數(shù)公式和古典概型求概率公式得出隨機(jī)變量X的分布列，從而判斷出選項(xiàng)B和選項(xiàng)D；再由隨機(jī)變量的分布列求數(shù)學(xué)期望公式判斷出選項(xiàng)C，從而找出正確的選項(xiàng).10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)閄～B4,p,EX=3對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知EX對(duì)于C，因?yàn)镋2X+1對(duì)于D，因?yàn)镈2X+1故選：BCD．【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式和方差公式，從而列方程求出p的值，進(jìn)而判斷出選項(xiàng)A；再由選項(xiàng)A結(jié)合期望公式判斷出選項(xiàng)B；由期望的性質(zhì)判斷出選項(xiàng)C；由方差的性質(zhì)判斷出選項(xiàng)D，從而找出正確的選項(xiàng).11．【答案】B,C【解析】【解答】解：A中，X~B10,12，DB中，X服從超幾何分布，N=10,M=7,n=2，EXC中，根據(jù)題意，設(shè)“第一次摸出正品”為事件A，“第二次摸出正品”為事件B，則PAB=A62D中，設(shè)9次射擊擊中k次概率PX=k則C9k?0.8k?0.29?k≥故選：BC．【分析】由二項(xiàng)分布的方差公式、超幾何分布的均值公式分別判斷A、B，由條件概率與對(duì)立事件關(guān)系可判斷C，由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可判斷D．12．【答案】A,C【解析】【解答】對(duì)于A：兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列共有A4兩位女生不相鄰的排法有A22A對(duì)于B：據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差的公式，可得E(X)=np=30,D(X)=np(1?p)=30(1?p)=10，解得p=2對(duì)于C：由An2=Cn對(duì)于D：設(shè)隨機(jī)變量X表示取得次品的個(gè)數(shù)，則X服從超幾何分布，所以P(X=2)=C故答案為：A、C.【分析】對(duì)于A，利用排列知識(shí)以及古典概型概率計(jì)算公式，即可判斷A正確；對(duì)于B，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望、方差公式列方程，即可判斷B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)排列、組合數(shù)的定義展開計(jì)算，即可判斷C正確；對(duì)于D，根據(jù)X服從超幾何分布計(jì)算概率，判斷D錯(cuò)誤.13．【答案】710；【解析】【解答】解：設(shè)事件A1:第一天去A餐廳；事件A2:第二天去A餐廳；事件B1:第一天去B餐廳；由題意，可知PA1=PB1則PA所以第2天去A餐廳的概率為710由題意，可知每個(gè)人去B餐廳的概率為1?710=310故答案為：710；9【分析】根據(jù)題意設(shè)出對(duì)應(yīng)的事件，以及概率，再代入全概率公式求解即可；隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，代入二項(xiàng)分布的期望公式求解即可.14．【答案】34；【解析】【解答】解：隨機(jī)變量X~B(2,p)，則P(X=0)=116=C20p0(1?p)2，解得p=34故答案為：34；3【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求解即可；根據(jù)二項(xiàng)分布的方差性質(zhì)求解即可.15．【答案】8【解析】【解答】解：因?yàn)閄～B(12,p)，所以E(X)=12p≤4，得又因?yàn)镈(X)=12p(1?p)=12(?p2+p)，且函數(shù)f(p)=?p2所以D(X)故答案為：83【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式求得0<p≤116．【答案】（1）解：由題意知，高三年級(jí)勝高二年級(jí)的概率為35，

設(shè)高三年級(jí)在4輪對(duì)抗賽中有x輪勝出，“至少有3輪勝出”的概率為P，

則P=P（2）解：由題意可知，隨機(jī)變量X=2，3，4，5，則PX=2=1PX=4PX=5故X的分布列為X2345P14416EX【解析】【分析】（1）先求得高三年級(jí)勝高二年級(jí)的概率，再根據(jù)二項(xiàng)分布求概率公式和互斥事件加法求概率公式，從而得出高三年級(jí)在對(duì)抗賽中至少有3輪勝出的概率.（2）根據(jù)題意，先確定出隨機(jī)變量X的所有可能取值，再結(jié)合獨(dú)立事件求概率公式，分別求出相應(yīng)概率，從而列出隨機(jī)變量的分布列，再利用隨機(jī)變量X的分布列求數(shù)學(xué)期望公式，從而求得隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.（1）由題意，知高三年級(jí)勝高二年級(jí)的概率為35設(shè)高三年級(jí)在4輪對(duì)抗賽中有x輪勝出，“至少有3輪勝出”的概率為P，則P=Px=3（2）由題意可知X=2，3，4，5，則PX=2=1PX=4PX=5故X的分布列為X2345P14416EX【答案】17．解：令該同學(xué)投中i次的概率為PY=i，則

P18．解：易知X的可能取值為2，3，4，PX=2PX=3PX=4則X的概率分布列為：X234P4411EX【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用二項(xiàng)分布求解即可；（2）根據(jù)題意，易知X的可能取值為2，3，4，再分別求其概率、列出分布列，最后再求期望即可．17．解：令該同學(xué)投中i次的概率為PY=i，則

P18．解：易知X的可能取值為2，3，4，PX=2PX=3PX=4則X的概率分布列為：X234P4411EX19．【答案】（1）解：設(shè)甲所選的題目為天文、航天、數(shù)字科技相關(guān)知識(shí)的題目分別為事件A1，A2，則PB即該同學(xué)在該題庫中任選一題作答，他回答正確的概率為12（2）解：當(dāng)n=5時(shí)，X為甲答對(duì)題目的數(shù)量，則X～B(10,p)，故當(dāng)n=5時(shí)，甲獲獎(jiǎng)勵(lì)的概率P1當(dāng)n=6時(shí)，甲獲獎(jiǎng)勵(lì)的情況可以分為如下情況：①前10題答對(duì)題目的數(shù)量大于等于6，②前10題答對(duì)題目的