數(shù)學(xué)思想方法華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院

胡典順

E-mail：hdshsd@湘南學(xué)院，，08，12第1頁(yè)思索一個(gè)小數(shù)數(shù)學(xué)試題中問(wèn)題：請(qǐng)用一句話說(shuō)明“π”含義。第2頁(yè)π含義是圓周率。（╳）標(biāo)準(zhǔn)答案是：π是一個(gè)在數(shù)學(xué)及物理學(xué)領(lǐng)域普遍存在數(shù)學(xué)常數(shù)。第3頁(yè)一項(xiàng)調(diào)查魔鬼，難打敗憎恨者；數(shù)學(xué)是殺死腦細(xì)胞工具；數(shù)學(xué)是學(xué)不會(huì)科目，極難，極難，難上加難；腦細(xì)胞滅絕師太；滿清十大酷刑；看似簡(jiǎn)單，學(xué)起來(lái)難；聽(tīng)課輕易，做題難；平時(shí)測(cè)驗(yàn)有高分，大型考試高分難；抽象難以變?cè)敿?xì)；數(shù)學(xué)是一門(mén)偉大而神奇學(xué)科，對(duì)于一些人而言，它是天堂，對(duì)于我而言，它是地獄！數(shù)學(xué)就像老奶奶拐杖，沒(méi)有它，老奶奶依然能夠行走，不過(guò)不安全，不方便，擁有它，則愈加便利；“買(mǎi)菜時(shí)最廣泛語(yǔ)言”；數(shù)學(xué)是150分，沒(méi)定義，為了高考，為了父母期望，為了上個(gè)好大學(xué)，要不然，打死我，我也不學(xué)。第4頁(yè)小時(shí)候，數(shù)學(xué)是生活中必須品，我離不開(kāi)它，它也離不開(kāi)我。以后啊，數(shù)學(xué)變成生活中小包袱，我背著它，它壓制我。現(xiàn)在，數(shù)學(xué)成了生活中繩索，它捆綁我，我一心只想逃離，因?yàn)橐呖肌??？赡?，它還是暴風(fēng)雨，將我對(duì)學(xué)習(xí)熱情，扼殺在搖籃里。第5頁(yè)數(shù)學(xué)，你是個(gè)壞蛋，你害我腦細(xì)胞不知死了多少。我美好青春年華就毀在你手上，你很能耐呀！你總是打破他人夢(mèng)，你為何要做個(gè)人見(jiàn)人恨，人做人更恨家伙呢？假如沒(méi)有你，我將笑得多燦爛呀！假如你離開(kāi)我，我絕不責(zé)備你無(wú)情，只要你了解我心，我就知足了。第6頁(yè)數(shù)學(xué)課應(yīng)該怎樣上不照本宣科，不拼命做題，有詩(shī)意，有笑聲，不會(huì)讓我們常以為：你必須這么做，而是明白：為何要這么做。告訴我們?cè)鯓幽苡姓_思緒，而不是你要這么想。把數(shù)學(xué)放在歷史發(fā)展角度進(jìn)行發(fā)人深省啟迪?；?dòng)，有激情，以學(xué)生為主體。將數(shù)學(xué)與生活結(jié)合起來(lái)，講相關(guān)數(shù)學(xué)趣事。第7頁(yè)從游戲到數(shù)學(xué)游戲1：拿15點(diǎn)游戲桌子上有9張撲克牌，從1點(diǎn)到9點(diǎn)，甲、乙兩人輪番來(lái)取，哪個(gè)人先取得3張牌，使3張牌點(diǎn)數(shù)加起來(lái)是15，他便勝了。第8頁(yè)游戲2：有69塊糖，甲乙兩人輪番拿，每人每次可取不多于10任意數(shù)（但不能不拿），誰(shuí)取完糖使對(duì)方無(wú)糖可取為勝。假如讓甲先取，問(wèn)誰(shuí)能獲勝，怎樣才能獲勝？第9頁(yè)形形色色加法1.在實(shí)數(shù)系里，有理數(shù)系里，整數(shù)系里，1+1=2。2.電燈拉線開(kāi)關(guān)，拉一下，燈亮了，又拉一下，燈又滅了，拉兩下等于不拉，這叫1+1=0。3.操場(chǎng)上口令：立正，向右轉(zhuǎn)，向后轉(zhuǎn)，向左轉(zhuǎn)。向右轉(zhuǎn)+向左轉(zhuǎn)=立正，向左轉(zhuǎn)+向后轉(zhuǎn)=向右轉(zhuǎn)。第10頁(yè)+012300123112302230133012記立正=0，向右轉(zhuǎn)=1，向后轉(zhuǎn)=2，向左轉(zhuǎn)=3。叫“模4同余類加法”第11頁(yè)把“+”當(dāng)成乘法來(lái)做，所得積再除以7，余數(shù)就叫做和。+123456112345622461353362514441526355316426654321第12頁(yè)共同特征1.每一個(gè)系統(tǒng)與一個(gè)基本集合相關(guān)。(1)實(shí)數(shù)集，有理數(shù)集，整數(shù)集；(2)兩個(gè)動(dòng)作“拉”與“不拉”；(3)4個(gè)口令；（4）{1，2，3，4，5，6}。2.給定集合中兩個(gè)元素，能夠唯一地確定集合中某元素，這叫在集合上要求了一個(gè)運(yùn)算，用“+”或其它符號(hào)表示。3.結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)，交換律a+b=b+a。4.零元素“0”，x+0=0+x=x。(1)中0，(2)中不拉動(dòng)，(3)中立正；（4）1。5.負(fù)元素，x+X=X+x=0。加以抽象可得到交換群定義。第13頁(yè)第一節(jié)數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)涵第14頁(yè)所謂數(shù)學(xué)思想是指從詳細(xì)數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被普遍使用，是建立數(shù)學(xué)理論和處理數(shù)學(xué)問(wèn)題指導(dǎo)思想。比如，化歸思想、極限思想、公理化思想等。所謂數(shù)學(xué)方法是指研究數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中所采取伎倆、路徑、方式等。比如變量代換方法、解析法等。第15頁(yè)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是緊密聯(lián)絡(luò)，二者雖層次不一樣但它們之間并沒(méi)有絕正確界限，所以常統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。普通說(shuō)來(lái)，強(qiáng)調(diào)指導(dǎo)思想時(shí)稱數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)調(diào)操作過(guò)程時(shí)稱數(shù)學(xué)方法。第16頁(yè)中小學(xué)數(shù)學(xué)中用到各種解題方法，都是表達(dá)著一定數(shù)學(xué)思想。同時(shí)，有解題方法和思想能夠說(shuō)是等同，只是在不一樣情況下或側(cè)重于不一樣方面，才有“方法”與“思想”提法之別，比如：“公理化方法”與“公理化思想”。當(dāng)然，中小學(xué)數(shù)學(xué)中因?yàn)榻忸}方法層次性，有方法通常不宜簡(jiǎn)單直接冠以“思想”雅號(hào)。比如，“配方法”倘若冠以“配方思想”就與我們所定義思想不那么相當(dāng)。鑒于中小學(xué)數(shù)學(xué)中解題方法與數(shù)學(xué)思想這種特殊關(guān)系，以及從數(shù)學(xué)方法論角度來(lái)考慮既同一又有差異，或沒(méi)有明確界限數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法中，我們?cè)谥行W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中普通仍籠統(tǒng)使用“數(shù)學(xué)思想方法”一詞。第17頁(yè)第二節(jié)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)路徑——滲透第18頁(yè)普通來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)要采取“滲透”方式進(jìn)行。所謂“滲透”，就是有機(jī)地結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容教學(xué)，采取“教者有意、學(xué)者無(wú)心”形式，反重復(fù)復(fù)地向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)思想方法，日積月累，期待學(xué)生認(rèn)識(shí)飛躍。第19頁(yè)第一，從數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容與數(shù)學(xué)思想方法關(guān)系來(lái)看，思想方法隱含在知識(shí)內(nèi)容中，表達(dá)在揭示、應(yīng)用知識(shí)過(guò)程中，它不象知識(shí)那樣能夠詳細(xì)地編排在某一教材，它幾乎滲透在全部教學(xué)內(nèi)容之中。第二，從學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律來(lái)看，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法要經(jīng)歷較長(zhǎng)時(shí)間從含糊到清楚過(guò)程，也就是說(shuō)學(xué)生對(duì)思想方法認(rèn)識(shí)不可能一次完成。第三，從學(xué)生個(gè)體差異來(lái)看，不一樣學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法比了解知識(shí)和形成技能愈加參差不齊，愈加不一樣時(shí)。第20頁(yè)數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)內(nèi)容深入提煉和概括，是以數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容一個(gè)本質(zhì)認(rèn)識(shí)，所以是一個(gè)隱形知識(shí)內(nèi)容，要經(jīng)過(guò)重復(fù)體驗(yàn)才能領(lǐng)悟和利用。數(shù)學(xué)方法是處理、處理問(wèn)題一個(gè)方式、路徑、伎倆，是對(duì)變換數(shù)學(xué)形式認(rèn)識(shí)，一樣要經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)內(nèi)容才能反應(yīng)出來(lái)，而且要在處理問(wèn)題不停實(shí)踐中才能了解和掌握。所以在數(shù)學(xué)書(shū)本中即使是直接指出“××思想”、“××方法”也不一定能起到應(yīng)有作用。于是溝通書(shū)本與學(xué)生認(rèn)識(shí)，使學(xué)生領(lǐng)悟、了解、掌握、利用數(shù)學(xué)思想方法就需要經(jīng)過(guò)精心教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂上教學(xué)活動(dòng)過(guò)程，在教師主導(dǎo)、學(xué)生參加下去完成。第21頁(yè)詳細(xì)地說(shuō)，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)過(guò)程應(yīng)包含“屢次孕育、初步形成、應(yīng)用發(fā)展”三個(gè)階段。滲透思想方法，重在細(xì)水長(zhǎng)流。第22頁(yè)第三節(jié)滲透數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)意義第23頁(yè)數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容精華，是銘記在人們頭腦中起永恒作用數(shù)學(xué)精神與態(tài)度、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)與文化。日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏認(rèn)為，“學(xué)生們?cè)诔踔谢蚋咧兴鶎W(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)之后，幾乎沒(méi)有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用。因而這種作為知識(shí)數(shù)學(xué)，通常在出校門(mén)不到一兩年就忘記了。然而不論他們從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻于頭腦中數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長(zhǎng)久地在他們生活和工作中發(fā)揮著作用”——《數(shù)學(xué)精神、思想與方法》第24頁(yè)數(shù)學(xué)思想方法是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題推導(dǎo)思想和基本策略，是數(shù)學(xué)靈魂。所以，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟和掌握以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體數(shù)學(xué)思想方法，是使學(xué)生提升思維水平，真正知道數(shù)學(xué)價(jià)值，建立科學(xué)數(shù)學(xué)觀念，從而發(fā)展數(shù)學(xué)，利用數(shù)學(xué)主要確保。從宏觀意義上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)發(fā)覺(jué)、創(chuàng)造關(guān)鍵和動(dòng)力。從微觀意義上來(lái)說(shuō)，在我們數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，只有從知識(shí)和思想方法兩層面上去教和學(xué)，使他們從整體上，從內(nèi)部規(guī)律上掌握系統(tǒng)化知識(shí)，以至蘊(yùn)含于知識(shí)中以知識(shí)為載體思想方法，才能形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也才能有利于學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，最終到達(dá)提升學(xué)生洞察事物，尋求關(guān)系，處理問(wèn)題思維品質(zhì)和各種能力，培養(yǎng)當(dāng)代社會(huì)需要智能型人才。第25頁(yè)幾個(gè)例子——從燒水到三次方程求解匈牙利著名數(shù)學(xué)家路莎·彼得（RozsaPeter）在她名著《無(wú)窮玩藝》一書(shū)中曾對(duì)“化歸方法”作過(guò)生動(dòng)而有趣描述：“如上所述推理過(guò)程，對(duì)于數(shù)學(xué)家思維過(guò)程來(lái)說(shuō)是很經(jīng)典，他們往往不對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正面攻擊，而是不停地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠處理問(wèn)題。當(dāng)然，從陳舊實(shí)用觀點(diǎn)來(lái)看，以下一個(gè)比擬可能是十分可笑，但這一比擬在數(shù)學(xué)家中卻是廣為流傳：第26頁(yè)

‘現(xiàn)有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴擺在你面前，當(dāng)你要燒水時(shí)，你應(yīng)該怎樣去做呢？’‘往水壺里注滿水，點(diǎn)燃煤氣，然后把水壺放在煤氣灶上’‘你對(duì)問(wèn)題回答是正確?，F(xiàn)把所說(shuō)問(wèn)題稍作修改，即假使水壺里已經(jīng)裝滿了水，而所說(shuō)問(wèn)題中其它情況都不變，試問(wèn)，此時(shí)你應(yīng)該怎樣去做？’此時(shí)被問(wèn)者一定會(huì)大聲而頗有把握地說(shuō)：‘點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放上去。’他確信這么回答是正確，不過(guò)更完善回答應(yīng)該是這么：‘只有物理學(xué)家才會(huì)按照剛才所說(shuō)方法去做，而數(shù)學(xué)家卻會(huì)回答：只須把水壺中水倒掉，問(wèn)題就化歸為前面所說(shuō)問(wèn)題了?！瘡倪@段話能夠看出，化歸方法已經(jīng)成為了數(shù)學(xué)家們最經(jīng)典思維模式了”。第27頁(yè)笛卡爾“萬(wàn)能方法”（普通模式）：第一，把任何問(wèn)題化歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題；第二，把任何數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題；第三，把任何代數(shù)問(wèn)題化歸為方程式求解。因?yàn)榍蠼夥匠虇?wèn)題是已經(jīng)處理或較為輕易處理，所以，在笛卡爾看來(lái)，就可利用上述方法處理任何類型問(wèn)題，故稱其為“萬(wàn)能方法”。不容置疑，他所闡述上述化歸標(biāo)準(zhǔn)實(shí)際上已成為他賴以創(chuàng)建解析幾何思想方法基礎(chǔ)。第28頁(yè)解一元三次方程：x3+px+q=0。第29頁(yè)第30頁(yè)第四節(jié)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)內(nèi)容第31頁(yè)對(duì)應(yīng)思想方法對(duì)應(yīng)是人們對(duì)兩個(gè)集合元素之間聯(lián)絡(luò)一個(gè)思想方法，中小學(xué)數(shù)學(xué)普通是一一對(duì)應(yīng)直觀圖表，并以此孕伏函數(shù)思想。如直線上點(diǎn)（數(shù)軸）與表示詳細(xì)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)。第32頁(yè)符號(hào)化思想方法用符號(hào)化語(yǔ)言（包含字母、數(shù)字、圖形和各種特定符號(hào)）來(lái)描述數(shù)學(xué)內(nèi)容，這就是符號(hào)思想。如數(shù)學(xué)中各種數(shù)量關(guān)系，量改變及量與量之間進(jìn)行推導(dǎo)和演算，都是用小小字母表示數(shù)，以符號(hào)濃縮形式表示大量信息。如定律、公式等。第33頁(yè)類比思想方法類比思想是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象相同性，有可能將已知一類數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去思想。如加法交換律和乘法交換律、長(zhǎng)方形面積公式、平行四邊形面積公式和三角形面積公式。類比思想不但使數(shù)學(xué)知識(shí)輕易了解，而且使公式記憶變得順?biāo)浦圩匀缓秃?jiǎn)練。第34頁(yè)轉(zhuǎn)化思想方法轉(zhuǎn)化思想是由一個(gè)形式變換成另一個(gè)形式思想方法，而其本身大小是不變。如幾何等積變換、解方程同解變換、公式變形等。第35頁(yè)分類思想方法分類思想方法不是數(shù)學(xué)獨(dú)有方法，數(shù)學(xué)分類思想方法表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象分類及其分類標(biāo)準(zhǔn)。如自然數(shù)分類，若按能否被2整除分奇數(shù)和偶數(shù)。不一樣分類標(biāo)準(zhǔn)就會(huì)有不一樣分類結(jié)果，從而產(chǎn)生新概念。對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象正確、合理分類取決于分類標(biāo)準(zhǔn)正確、合理性，數(shù)學(xué)知識(shí)分類有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)梳理和建構(gòu)。第36頁(yè)集合思想方法集合思想就是利用集合概念、邏輯語(yǔ)言、運(yùn)算、圖形等來(lái)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題或非純數(shù)學(xué)問(wèn)題思想方法。小學(xué)采取直觀伎倆，利用圖形和實(shí)物滲透集合思想。在講述條約數(shù)和公倍數(shù)時(shí)采取了交集思想方法。第37頁(yè)數(shù)形結(jié)合思想方法數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究?jī)蓚€(gè)主要對(duì)象，數(shù)離不開(kāi)形，形離不開(kāi)數(shù)，首先抽象數(shù)學(xué)概念，復(fù)雜數(shù)量關(guān)系，借助圖形使之直觀化、形象化、簡(jiǎn)單化。另首先復(fù)雜形體能夠用簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系表示。在解應(yīng)用題中經(jīng)常借助線段圖直觀幫助分析數(shù)量關(guān)系。第38頁(yè)化歸思維方法把有可能處理或未處理問(wèn)題，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)為一類方便處理可較易處理問(wèn)題，以求得處理，這就是“化歸”。而數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)絡(luò)緊密，新知識(shí)往往是舊知識(shí)引申和擴(kuò)展。讓學(xué)生面對(duì)新知會(huì)用化歸思想方法去思索問(wèn)題，對(duì)獨(dú)立取得新知能力提升無(wú)疑是有很大幫助。第39頁(yè)數(shù)學(xué)模型思想方法所謂數(shù)學(xué)模型思想是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界某一特定對(duì)象，從它特定生活原型出發(fā)，充分利用觀察、試驗(yàn)、操作、比較、分析綜合概括等所謂過(guò)程，得到簡(jiǎn)化和假設(shè)，它是把生活中實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題模型一個(gè)思想方法。培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光認(rèn)識(shí)和處理周?chē)挛锘驍?shù)學(xué)問(wèn)題乃數(shù)學(xué)最高境界，也是學(xué)生高數(shù)學(xué)素養(yǎng)所追求目標(biāo)。第40頁(yè)整體思想方法對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題觀察和分析從宏觀和大處著手，整體把握化零為整，往往不失為一個(gè)更便捷更省時(shí)方法。第41頁(yè)假設(shè)思想方法假設(shè)是先對(duì)題目中已知條件或問(wèn)題作出某種假設(shè)，然后按照題中已知條件進(jìn)行推算，依據(jù)數(shù)量出現(xiàn)矛盾，加以適當(dāng)調(diào)整，最終找到正確答案一個(gè)思想方法。假設(shè)思想是一個(gè)有意義想象思維，掌握之后能夠使要處理問(wèn)題更形象、詳細(xì)，從而豐富解題思緒。第42頁(yè)第五節(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法

滲透第43頁(yè)符號(hào)思想請(qǐng)你想好一個(gè)數(shù)記在心里?，F(xiàn)在將它加5，然后乘以2，再減去4，再除以2，然后減去你記在心里那個(gè)數(shù)。結(jié)果得到數(shù)是什么？請(qǐng)你算出來(lái)，但不要告訴我，因?yàn)槲乙呀?jīng)知道它是什么了。請(qǐng)你猜我是怎么知道。（美國(guó)問(wèn)題）第44頁(yè)請(qǐng)你進(jìn)行以下操作：寫(xiě)下你出生月份（比如：假如出生在十月，就寫(xiě)下一個(gè)10）。將這個(gè)數(shù)字翻倍，然后加上6，用50乘這個(gè)新數(shù)。然后，加上出生那天日期數(shù)（比如：假如10月20號(hào)出生，則加上20）。最終，減去365?，F(xiàn)在，請(qǐng)你告訴我你計(jì)算最終結(jié)果，我就能夠知道你生日了。（美國(guó)問(wèn)題）

第45頁(yè)奧妙在哪里：從特殊到普通用m代表某人出生月份，用d代表出生天數(shù)，對(duì)于一個(gè)生日是10月20日人，關(guān)于那個(gè)特殊日期以及普通情況而言，問(wèn)題步驟以下：

說(shuō)明特殊普通寫(xiě)下月份10m數(shù)字乘以2202m加上6262m+6乘以50130050(2m+6)=100m+300加上生日日期1320100m+300+d減去365955100m-65+d私自加上651020100m+d第46頁(yè)A、B、C、D四名選手即將進(jìn)行100米決賽。甲、乙、丙三人猜測(cè)比賽結(jié)果。甲說(shuō)“A第1名，B第3名”。乙說(shuō)“C第1名，D第4名”。丙說(shuō)“D第2名，A第3名”。比賽結(jié)果他們分獲1～4名。而且甲、乙、丙三人都只猜對(duì)了二分之一。你知道比賽結(jié)果嗎?第47頁(yè)我們用字母下標(biāo)1，2，3，4來(lái)表示該選手名次，比如用A1表示A第1名，等等。因?yàn)橐阎?、乙、丙三人所猜都各有一?xiàng)為真，所以有A1+B3=1，C1+D4=1，D2+A3=1。于是有(A1+B3)(C1+D4)(D2+A3)=1。則A1

C1

D2+A1

C1

A3+A1

D4

D2+A1

D4

A3+B3

C1

D2+B3

C1

A3+B3

D4

D2+B3

D4

A3=1。顯然，不能有一人同時(shí)得兩個(gè)名次，也沒(méi)有兩人獲同一名次。所以A1

C1=A1

A3=D4

D2=A3

B3=0。代入上式得B3

C1

D2=1。于是B3=1，C1=1，D2=1。故C第1名，D第2名，B第3名，從而A第4名。第48頁(yè)數(shù)學(xué)直覺(jué)有些人說(shuō)，數(shù)學(xué)直覺(jué)是指對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象或問(wèn)題(性質(zhì)、關(guān)系或結(jié)構(gòu))直接領(lǐng)悟或覺(jué)察。也有些人說(shuō)，數(shù)學(xué)直覺(jué)是指對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象中隱含整體性、次序性、友好性領(lǐng)悟，能夠越過(guò)邏輯推理而做出種種預(yù)見(jiàn)能力。不論怎樣界定，數(shù)學(xué)直覺(jué)大致有以下特征：非邏輯性、直接性、快速性、易逝性、間斷性、含糊性、偶然性、自發(fā)性等。第49頁(yè)甲乙兩人進(jìn)行百米賽跑，當(dāng)甲跑完100米時(shí)，乙離終點(diǎn)還有10米?，F(xiàn)在，讓甲從起跑線后退10米，再來(lái)進(jìn)行一次比賽，問(wèn)甲乙兩人會(huì)同時(shí)抵達(dá)終點(diǎn)嗎？第50頁(yè)若你從甲村步行到乙村，去時(shí)每小時(shí)走8千米，返回時(shí)每小時(shí)走12千米，問(wèn)你往返甲乙兩村平均速度是多少？第51頁(yè)若你是一個(gè)售貨員，半徑是5厘米實(shí)心線球標(biāo)價(jià)10元，而半徑是10厘米實(shí)心線球未標(biāo)價(jià)，恰好有些人要賣(mài)半徑是10厘米實(shí)心線球，你賣(mài)多少元？第52頁(yè)某樓房每樓層之間樓梯臺(tái)階數(shù)一樣多，若你從1樓到4樓用時(shí)30秒，問(wèn)你從1樓到8樓，需用時(shí)多長(zhǎng)？第53頁(yè)第54頁(yè)第55頁(yè)第56頁(yè)數(shù)學(xué)模型分蛋糕問(wèn)題：A、B兩人作游戲，擲一硬幣，若正面出現(xiàn)則A得1分，反面出現(xiàn)則B得1分，先得10分者勝，勝利者可得一正方形蛋糕?，F(xiàn)在A已得8分，B已得7分，而游戲因故中止，問(wèn)蛋糕應(yīng)怎樣合理分配？（美國(guó)問(wèn)題）第57頁(yè)9:78:8第一次擲幣后第58頁(yè)第二次擲幣后10:79:89:88:9第59頁(yè)第三次擲幣后10:710:89:910:89:99:98:10第60頁(yè)第四次擲幣后

10:7

10:810:99:1010:810:99:1010:98:109:10第61頁(yè)（匈牙利）證實(shí)在6個(gè)人集會(huì)上，總有3人或者相互認(rèn)識(shí)，或者互不認(rèn)識(shí)。第62頁(yè)可用圖論知識(shí)建立模型。將6個(gè)人用6個(gè)點(diǎn)V1、V2、V3、V4、V5、V6表示，且無(wú)三點(diǎn)共線，假如兩人相互認(rèn)識(shí)，就在對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)間用實(shí)線連接，不然就連虛線。于是實(shí)際問(wèn)題相當(dāng)于證實(shí)：在6點(diǎn)圖中，必定會(huì)有實(shí)線三角形或虛線三角形存在。由V1向V2、V3、V4、V5、V6連5條線，依據(jù)抽屜標(biāo)準(zhǔn)，這5條線中最少有三條同為實(shí)線或同為虛線。不妨設(shè)V1V2、V1V3、V1V4同為實(shí)線(或虛線)。假如△V2V3V4三條邊中，只要有一條為實(shí)線，不妨設(shè)為V3V4，則△V1V3V4為實(shí)線三角形；假如△V2V3V4三條邊都不是實(shí)線，那么△V2V3V4就是三邊同為虛線三角形。返回到原實(shí)際問(wèn)題，可知其結(jié)論：總有3人相互認(rèn)識(shí)或者互不認(rèn)識(shí)是成立。第63頁(yè)整體思想第64頁(yè)轉(zhuǎn)化思想有張紙片，把它撕成5小片，把5小片再撕成5小片，也可不撕，如此繼續(xù)，問(wèn)能否撕成片?（英國(guó)問(wèn)題）第65頁(yè)類比思想這里有一堆桃子，這是5個(gè)猴子公共財(cái)產(chǎn)，它們要平分。第一個(gè)猴子來(lái)了，它左等右等，別猴子都不來(lái)，它便動(dòng)手把桃子均分成5堆，還剩下一個(gè)。它認(rèn)為自己辛勞了，當(dāng)之無(wú)愧地把這個(gè)無(wú)法分配桃子吃掉了，又拿走了5堆中1堆。第二個(gè)猴子來(lái)了，它不知道剛才發(fā)生情況，又把桃子均分成5堆，還是多了1個(gè)，它吃了這1個(gè)，又拿1堆走了。以后，每個(gè)猴子來(lái)了，都是如此辦理。請(qǐng)問(wèn)：原來(lái)最少有多少桃子？最終最少剩下多少桃子？幫助第66頁(yè)分類討論給出3、6、12、15、21、27、42、51、66、81、99諸數(shù)(數(shù)字能夠重復(fù)使用)，問(wèn)能否從其中取出幾個(gè)來(lái)，使它們和等于100?為何?（美國(guó)問(wèn)題）第67頁(yè)任給五個(gè)整數(shù)中，必有三個(gè)數(shù)之和被3整除。第68頁(yè)概率統(tǒng)計(jì)思想有三扇外觀完全相同門(mén)，其中一扇門(mén)背后有一輛轎車(chē)，另兩扇門(mén)后面則各有一只山羊．若你猜中有轎車(chē)那一扇門(mén)，你就獲勝了．現(xiàn)在，你猜1號(hào)門(mén)，然后主持人將2、3號(hào)門(mén)中無(wú)轎車(chē)打開(kāi)，比如3號(hào)門(mén)無(wú)轎車(chē)，現(xiàn)在請(qǐng)問(wèn)你是否要換選2號(hào)門(mén)?（美國(guó)問(wèn)題）幫助第69頁(yè)河?xùn)|獅吼：某企業(yè)辦公大樓在市中心，而企業(yè)總裁家在郊區(qū)一個(gè)小鎮(zhèn)附近。他每次下班以后都是乘同一次市郊火車(chē)回那小鎮(zhèn)。小鎮(zhèn)車(chē)站離家還有一段距離，他私人司機(jī)總是在同一時(shí)刻從家里開(kāi)出轎車(chē)，去小鎮(zhèn)接總裁回家。因?yàn)榛疖?chē)與轎車(chē)都十分按時(shí)，所以火車(chē)與轎車(chē)每次都是在同一時(shí)刻到站。某一次，司機(jī)比以往遲了半個(gè)小時(shí)出發(fā)。總裁到站后，找不到他車(chē)子，又怕回去晚了遭老婆罵，便急急忙沿著公路步行往家里走，途中碰到他轎車(chē)正風(fēng)馳電掣而來(lái)，馬上招手示意停車(chē)，跳上車(chē)子后也顧不上罵司機(jī)，命其馬上掉頭往回開(kāi)?；氐郊抑校怀鏊?，他老婆大發(fā)雷霆：“又到哪兒鬼混去啦！你比以往足足晚回了22分鐘……”總裁步行了多長(zhǎng)時(shí)間？（美國(guó)問(wèn)題）數(shù)學(xué)假設(shè)第70頁(yè)總裁在火車(chē)站死等，遲30分鐘；只晚了22分鐘，他走了轎車(chē)4分鐘旅程；若他等在火車(chē)站，則知再過(guò)4分鐘，轎車(chē)也到了。也就是說(shuō)，他假如等在火車(chē)站，那么他也等了30-4=26分鐘。所以，他走了26分鐘。第71頁(yè)微軟企業(yè)招考員工一道面試題

一個(gè)屋子里面有五十個(gè)人，每個(gè)人領(lǐng)著一條狗，而這些狗中有一部分病狗。假定有以下條件：1、狗病不會(huì)傳染，也不會(huì)不治而愈；2、狗主人不能直接看出自己狗是否有病,只能靠看他人狗和推理，來(lái)發(fā)覺(jué)自己狗是否有??；3、一旦主人發(fā)覺(jué)自己狗是一只病狗，就會(huì)在當(dāng)日開(kāi)槍打死這條狗；4、狗只能由他主人開(kāi)槍打死。假如他們?cè)谝黄?，第一天沒(méi)有槍聲、第二天沒(méi)有槍聲……第十天發(fā)出了一片槍聲，問(wèn)有幾條狗被打死？第72頁(yè)提醒：從“第一天沒(méi)有槍聲”能夠推出“病狗”不只一條。不然，假設(shè)病狗只有一條，那么病狗主人將看到其余49條狗都不是病狗，而題目中說(shuō)明“這些狗中有一部分病狗”，所以只可能自己狗是病狗。題目中又說(shuō)，“一旦主人發(fā)覺(jué)自己狗是一只病狗，就會(huì)在當(dāng)日開(kāi)槍打死這條狗”，但第一天沒(méi)有槍聲，矛盾，所以病狗不止一條。同理，假設(shè)只有2條病狗，不妨設(shè)主人為A，B，此時(shí)A看到48條好狗，另外B病狗；在B看來(lái)也一樣，即48條好狗，A病狗。A會(huì)想到，為何B不知道自己狗是病狗呢？只能說(shuō)明自己狗也是病狗。假如假設(shè)成立，就會(huì)在第二天聽(tīng)到兩聲槍聲。矛盾，所以不止2條病狗。如此一直推理下去，有10條病狗。第73頁(yè)有一只蝸牛住在一棵梧桐樹(shù)下面，一天清晨，太陽(yáng)剛才升起，蝸牛便開(kāi)始從