一、曲線坐標系下連續(xù)性方程的推導第1頁，共15頁曲線坐標系下流體力學基本方程組的推導一、曲線坐標系下連續(xù)性方程的推導首先對有限體積內(nèi)的質(zhì)量運動運用拉格朗日觀點并根據(jù)質(zhì)量守恒定律推導與坐標系選取無關(guān)的微分形式的連續(xù)性方程：質(zhì)量守恒定律告訴我們，同一流體的質(zhì)量在運動過程中不生不滅。在流體中取由一定流體質(zhì)點組成的物質(zhì)體，其體積為，質(zhì)量為，則 為了與隨體符號區(qū)別開來，這里用來表示對坐標的微分。根據(jù)質(zhì)量守恒定律，下式在任一時刻都成立 根據(jù)公式：，得 因是任意取的，且假定被積函數(shù)連續(xù)，由此推出被積函數(shù)恒為0，于是有： 式就是與坐標系選取無關(guān)的微分形式的連續(xù)性方程。下面將寫出它在曲線坐標下的形式。因為 所以 將式代入得到曲線坐標下連續(xù)性方程的形式為： 二、曲線坐標系下方程的推導二、曲線坐標系下方程的推導首先根據(jù)動量定理推導與坐標系選取無關(guān)的微分形式的方程：圖1任取一體積為QUOTEτ的流體如圖1所示，設(shè)其邊界面為，根據(jù)動量定理，體積中流體動量的變化率等于作用在該體積上質(zhì)量力和面力之和。以表示作用在單位質(zhì)量上的質(zhì)量力分布函數(shù)，而表示作用于單位面積上的面力分布函數(shù)。圖1則作用在上和上的總質(zhì)量力和面力為及其次，體積內(nèi)的動量是于是，動量定理可寫成下列表達式： 利用公式，得： 再利用的是高斯公式得： 其中是應力張量。將和式代入式，整理得：因任意，且假定被積函數(shù)連續(xù)，由此推出被積函數(shù)恒為0，即 式就是微分形式的動量方程，易見，它與坐標系的選取無關(guān)，下面將寫出它在曲線坐標下的形式。因為故 上式中利用到等式：，，現(xiàn)在進一步處理式右端的第二項 ，根據(jù)定義有故 又 考慮到：將上面的式代入中，整理得， 同理 將，，表達式代入式，得因為所以速度的隨體導數(shù)同理可得所以式可簡化為至此，我們將表示成曲線坐標系下的形式了。在曲線坐標系下表示成:最后，我們將表示成曲線坐標系下的形式。應力張量：，共九個量可以證明應力張量是對稱張量，所以也可以將寫成其在曲線坐標面上表示為由式得： 其中同樣把、、用式代替得 考慮到因此可將式化為：同理：將以上三式代入式，得 至此，已將、、全部表示成曲線坐標系下的形式，將其都代入式，并考慮對應項相等原則，有 式就是曲線坐標系下的方程的具體形式。三、曲線坐標系下能量方程的推導三、曲線坐標系下能量方程的推導首先根據(jù)能量守恒定律推導與坐標系選取無關(guān)的微分形式的能量方程：任取一包含點的體積為的流體，設(shè)其界面為，為的外法線單位矢量，如圖2。則能量守恒定律可以表述為：體積內(nèi)流體的動能和內(nèi)能的改變率等于單位時間內(nèi)質(zhì)量力和面力所作的功加上單位時間內(nèi)給予體積的熱量，容易看到，體積內(nèi)動能和內(nèi)能總和是：其中是單位質(zhì)量的內(nèi)能，而質(zhì)量力和面力所作的功則是及。單位時間內(nèi)由于熱傳導通過表面?zhèn)鹘o內(nèi)的熱量是，其中為熱傳導系數(shù)，故單位時間內(nèi)由于熱傳導通過傳入的熱量為。單位時間內(nèi)由于輻射或其它原因傳入的總熱量為，其中為由于輻射或其它原因在單位時間內(nèi)傳入單位質(zhì)量的熱量分布函數(shù)。能量守恒定律可以寫為： 根據(jù)公式，將上式中的隨體導數(shù)改寫為：此外根據(jù)奧高公式將中的面積分化為體積分：于是式可以寫為：因任意，且假定被積函數(shù)連續(xù)，由此推出被積函數(shù)恒為0，即： 雖然式是微分形式的方程，但是不夠簡潔。下面我們推到更簡潔的能量方程。 因為是對稱張量，所以有： 由張量分解定理得：可以寫成： 其中為對稱張量，為反對稱張量。從而可以改寫為： 又因為，則可以改寫為：，將代入得： 在式左右兩邊點乘速度矢量，得：即： 將上式代入得：雖然式也是微分形式的方程，但是為了更好地寫出曲線坐標下的形式，繼續(xù)利用本構(gòu)方程(在下一小節(jié)進行推導)寫出另一種微分形式的方程。將本構(gòu)方程代入中有：定義為耗損函數(shù)并將其代入上式得：當斯托克頓假設(shè)成立時有，將其代入得：利用連續(xù)性方程得：，于是有： 由熱力學知識有：，為熵。將其代入上式得： 到處我們已經(jīng)推到出了我們所需要的能量方程了，下面將寫出它在曲線坐標下的具體形式：先寫出的具體形式，再寫出的具體形式就可以寫出的具體形式。因為，再根據(jù)有：要寫出的具體形式必須先寫出對稱張量在曲線坐標系下的形式。我們首先推導的表達式，過點做正交曲線坐標系，在坐標軸上取流體質(zhì)點組成的線段元，如右圖。于是：將代入代入上式得：由此推出于是其次我們有下標1和2輪換得：兩式相加得：由此得：采取下標輪換得方法可得及，綜合起來得到在曲線曲線坐標下的形式： 另外分別將和式代入，即可得出在曲線坐標系下的具體形式。將在曲線坐標系下的具體形式和代入即可得出能量方程在曲線坐標系下的形式為：其中由和決定。四、曲線坐標系下本構(gòu)方程的推導四、曲線坐標系下本構(gòu)方程的推導首先采用演繹法推導與坐標與關(guān)的本構(gòu)方程：假定(1)：運動流體的應力張量在運動停止后應趨于靜止流體的應力張量。故可以將應力張量寫成各向同性部分和各向異性部分之和，即： 或者 其中是根據(jù)純力學考慮定義出來的運動流體的壓力函數(shù)，它不等于靜止流體的壓力函數(shù)，但當運動靜止時趨于靜止流體的壓力函數(shù)；是除去后得到的張量，稱為偏應力張量，但運動靜止時它趨于零；從或者可以看出偏應力張量和應力張量一樣是對稱二階張量。假定(2)：偏應力張量的各分量是局部速度梯度張量各分量的線性齊次函數(shù)。故可以寫成：。假定(3)：流體是各向同性的，即流體的所有性質(zhì)如粘性、熱傳導等在每點的各個方向上都是相同的。將代入得： 因為，是張量，則由張量識別定理有是四階張量，又因為是對稱張量，所以對指標是對稱的。又根據(jù)假定(3)有是各向同性的，于是由公式：，其中是四階各向同性張量且關(guān)于指標對稱得： 從看出對指標也是對稱，這樣就可以證明右邊第二項為零。將代入得：將代入得：引入，并將其代入得： 式稱