三角形的垂心與應(yīng)用一．基本原理（1）三角形三條高線的交點.（2）垂心為（3）垂心性質(zhì).點是△ABC所在平面內(nèi)任一點，點是△ABC的垂心.由,同理，.故H是△ABC的垂心.（反之亦然（證略））（4）布里安香定理：若的頂點在反比例函數(shù)的圖像上，則的垂心也在反比例函數(shù)的圖像上.證明：由于點在反比例函數(shù)的圖像上，所以.故，則.由于，則過點與直線垂直的直線的斜率為，所以為：.同理，過點且與直線垂直的直線為.聯(lián)立的方程解得故，即垂心也在反比例函數(shù)圖象上.二．典例分析例1．設(shè)O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡經(jīng)過的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心解析：，則，即，故，即點P的軌跡經(jīng)過的垂心．故選：C.例2．若曲線：上一點，是否存在直線與拋物線相交于兩不同的點，使的垂心為．則直線的方程為__________．解析：把代入中，得，即，假設(shè)存在直線與拋物線相交于兩不同的點，使的垂心為，設(shè)，顯然直線的斜率為，則直線的斜率為，設(shè)直線的方程是，由，消去化簡得：，即∵的垂心為，∴即，或當(dāng)時，直線的方程是，過點，不合題意，舍去，∴存在這樣的直線，其方程是，故答案為：例3．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．?dāng)?shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透．而向量正是數(shù)與形“溝通的橋梁”．在中，試解決以下問題：(1)是三角形的重心（三條中線的交點），過點作一條直線分別交于點．（?。┯?，請用表示；（ⅱ），求的最小值．(2)已知點是的垂心（三條高的交點），且，求．解析：（1）（?。┯浀闹悬c為，連接，則，由重心性質(zhì)可知，，所以①.（ⅱ）因為，所以，代入①得，因為三點共線，所以，由題意可知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為.（2）因為，所以，由垂心定義可知，，所以②，③，聯(lián)立②③可得，所以.例4．已知雙曲線：的離心率為，直線：與雙曲線C僅有一個公共點.(1)求雙曲線的方程(2)設(shè)雙曲線的左頂點為，直線平行于，且交雙曲線C于M，N兩點，求證：的垂心在雙曲線C上.解析：（1）因為雙曲線的離心率為，所以，即，所以雙曲線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消去得，即，因為與雙曲線C僅有一個公共點，所以，解得,故雙曲線的方程為.（2）設(shè)，，則滿足消去得，所以，，如圖所示，過A引的垂線交C于另一點H，則AH的方程為.代入得，即（舍去）或.所以點H為.所以，所以，故為的垂心，得證.三．習(xí)題演練1．已知雙曲線，過的直線與雙曲線的右支交于兩點.(1)若，求直線的方程，(2)設(shè)過點且垂直于直線的直線與雙曲線交于兩點，其中在雙曲線的右支上.

（i）設(shè)和的面積分別為，求的取值范圍；（ii）若關(guān)于原點對稱的點為，證明：為的垂心，且四點共圓.2．已知焦點在軸上橢圓的長軸的端點分別為，，為橢圓的中心，為右焦點，且，離心率.（1）求橢圓的標準方程；（2）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于，兩點，問：是否存在直線，使點恰好為的垂心？若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.3．已知雙曲線：，為的右頂點，若點到的一條漸近線的距離為．（1）求雙曲線的標準方程；（2）若，是上異于的任意兩點，且的垂心為，試問：點是否在定曲線上？若是，求出該定曲線的方程；若不是，請說明理由．參考答案1.解析：（1）設(shè)，結(jié)合題意知直線斜率不為0，設(shè)直線，因為直線與雙曲線右支相交，故，聯(lián)立雙曲線方程，得，則，故，即，解得，或（舍去），因此，從而直線的方程為.（2）（i）若，則，由（1）可知，，此時；當(dāng)時，設(shè)，直線，由（1）同理可知，故，注意到，令，則，令，，綜上可知，的取值范圍是.（ii）先證明為的垂心，只需證明，注意到，，而，同理，，因此，又，故為的垂心，因此，再證明四點共圓，即只需證明：.因為關(guān)于原點對稱，則，同理可得；則，即，因此，因此四點共圓.2.解析：（1）不妨設(shè)，，又，，，，又，，解得：，，，即橢圓的標準方程為：；（2）由題意知：，則，，，不妨令，，設(shè)直線為，為的垂心，，，即，即，化簡可得：，兩式相加，得：，聯(lián)立：，得：，即，解得：，又，，代入上式可得：，解得：或，當(dāng)時直線過點，不合題意，直線方程為.3.解析：（1）的標準方程為；（2）情形一：，中沒有一點為，且直線的斜率存在，

設(shè)直線：，，，則AM和AN的斜率分別為：，易得邊的高線的斜率為，方程為：，即，邊AN的高線的斜率為：，方程為：，聯(lián)立，，消去，可得，聯(lián)立，，，所以，，又，所以，從而，又H點也在MN邊的高線上，MN邊高線的方程為：，消去可得，化簡得，即點在定曲線上；若MN斜率不存在，則M，N關(guān)于x軸對稱，即，如圖：

設(shè)，則是等腰三角形，所以在x軸上，即，，