2024-2025學(xué)年福建省古田縣高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.若z=7-5i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.“242”是，，數(shù)歹JH「一力'｝為遞增數(shù)歹0，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.若函數(shù)〃x）=e'-+sin2x,則滿足T）+〃x）>°的》的取值范圍為（）

A.Y)(-co,-l)U(:，+℃)

B.2

（-00,一二）。（L+oo）

c.D.2

一2"），則B在）方向上的投影向量為

4.已知"3是兩個非零平面向量,

（）

1?

-Q

A.aB.2

5.在1和11之間插入加個數(shù)，使得這〃，+2個數(shù)成等差數(shù)列.若這小個數(shù)中第1個為

----1------

a,第機(jī)個為3,則。6的最小值是（）

59

A.4B.2C.3D.4

6.在三角形內(nèi)到其三個頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.意大利數(shù)學(xué)家托里拆

利發(fā)現(xiàn)：當(dāng)V/8c的三個內(nèi)角均小于120。時，使得408=4"="。/=120。的點(diǎn)

°即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)VNBC有一個內(nèi)角大于或等于120。時，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn),

在VABC中，若BC=4,且sin/:sinB:sinC=2VL2:l,則該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)

的距離之和為（）

A.472B.3亞

C.4+V2D.4+2加

7.正方體48cA的棱長為2,E是棱的中點(diǎn)，尸是棱,其上一點(diǎn)（含端點(diǎn)）

,且=則三棱錐尸-/即的體積為（

111

A.6B.3C.2D.1

|x|-3,x<3

73=

f2+6x-9,x>3,若方程(/(x))--4。)+2=0有6個不同的實(shí)數(shù)

8.已知函數(shù)

根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（)

B.

uq2y[i,+8)

D.

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知函數(shù)/（1）對于一切實(shí)數(shù)1V都有/G+y)="x)/G),當(dāng)x>0時,

/*/-I\_1

0<“無）<1,則下列結(jié)論正確的是（

A.八°)=1B.若"加)=9,則〃?=2

C./（X）是增函數(shù)D./。)>0

f(x)=2sin]2a)x+楙)(①>0)

10.已知函數(shù),則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)。=1時，I。）的最小正周期為2兀

B.函數(shù)/（"）過定點(diǎn)（°，1）

71

C.將函數(shù)/（X）的圖象向左平移§個單位長度后，得到函數(shù)“（X）的圖象,

若函數(shù)

1

“（X）是偶函數(shù)，則。的最小值為2

937

D.函數(shù)g（x）=/G）-8在區(qū)間網(wǎng)句上恰有5個零點(diǎn)，則。的取值范圍為4512

c

11.如圖，棱長為2的正方體“8^一”的。。1中，耳尸分別為棱44，44的中點(diǎn),

G為面對角線20上一個動點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的有（）

A.三棱錐4-EFG的體積為定值3.

B.無論點(diǎn)G在線段4c的什么位置，都有平面平面48。。

C.線段與C上存在G點(diǎn)，使平面EFG//平面

D.G為4c上靠近用的四等分點(diǎn)時，直線EG與8a所成角最小

三、填空題（本大題共3小題）

12.底面直徑為2的圓錐，它的軸截面是等邊三角形，則該圓錐的表面積為

2%,0<%

一13

J/7\2@n—L彳<"〃<1==J/7\C

13.已知數(shù)列出,滿足〔2,5,記數(shù)列的前〃項(xiàng)和為工，

貝gS2025=.

14.如圖，在V/8C中，AB=AC=42,AB1AC,直線/與邊N8,幺。分別交于

N兩點(diǎn),且的面積是V/8C面積的一半.設(shè)AM=x,記y=/（x）,則

“無）的最小值與最大值之和為.

四、解答題（本大題共5小題）

15.若銳角V/8C中，A、B、C所對的邊分別為。、然c,且V/8C的面積為

一叫

⑴求B；

(2)求a的取值范圍.

16.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{""}的前〃項(xiàng)和為$"$2=6且。2.=端.

⑴求“"；

(2)求數(shù)列【S"S"+J的前”項(xiàng)的和丁”.

17.如圖，在三棱柱/BO-/4G中，側(cè)棱2用,底面/8C,底面△/C8是直角三角形,

BE=2AE=—

BC14C,點(diǎn)、E、尸分別在48、4G上，且3,AC=4,CC,=3-

4尸

⑴若《￡//平面3c尸，求陽；

位=3

(2)若77cl，求二面角C-8廠-/的余弦值.

18.定義：記函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為/'(X),若/'(X)在區(qū)間/上單調(diào)遞增，則稱/(X)為區(qū)

間/上的凹函數(shù)；若/(無)在區(qū)間/上單調(diào)遞減，則稱,(X)為區(qū)間/上的凸函數(shù).已知函

皿/(x)=xe*-a(x>o),g(x)=^^

數(shù)X.

⑴求證："x)為區(qū)間(0,+8)上的凹函數(shù)；

(2)若g(“)為區(qū)間I?］的凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)求證：當(dāng)"ee+i時，|g(x#a>alnx

19.正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合/={%，&，…4}(心2),定義四"邛旬知"產(chǎn)4且⑴}.當(dāng)

〃一1)

集合/母/中恰有2個元素時，稱集合/具有性質(zhì)Q.

⑴判斷集合4={1，2,4},4={1，2,4,8}是否具有性質(zhì)Q；

(2)若集合工具有性質(zhì)。，且/中所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列，中所有元素也能構(gòu)

成等比數(shù)列，求集合/中的元素個數(shù)的最大值：

(3)若集合/具有性質(zhì)。，且中的所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列.問：集合/中的元

素個數(shù)是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.

答案

1.【正確答案】D

【詳解】因?yàn)閦=7-5i,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為(7，一5),位于第四象限.

故選：D

2.【正確答案】A

【詳解】由“數(shù)列為遞增數(shù)列”，

彳p(〃+1)?-2("+1)-(〃2-助)=2?+l—A>0

所以4<2〃+1恒成立，所以A<3,

由XW2得；1<3,由2<3不一定有242,

故“左2，，是，，數(shù)列伊一而｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

故選.A

3.【正確答案】B

【詳解】解：函數(shù)"x)="-e—'+sin2x,定義域?yàn)槲遥?/p>

且滿足"-x)=e+-e*+sin(-2x)=-(ex-e-v+sin2x)=-/(x)

(x)為R上的奇函數(shù)；

又/*(x)=ex+e~x+2cos2x>2+2xcos2x2°恒成立

.J(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)；

又f(2x2-l)+/(x)>0,

得/(2/一i)>一/(x)="r),

...2%2_1>_X,

即2—+%—1>0,

1

X>一

解得x<T或2,

(-oo,-l)u(p+oo

所以x的取值范圍是

故選B.

4.【正確答案】C

a-b=~\a^

【分析】由向量垂直關(guān)系得3,再由投影向量公式求解.

■、*即、,5±(36-231

【詳解】由于'),

則a@-2])=0,即a-3b=2a=2\a\"

__2-c

Q?6=一|Q/

可得3,

a-b-2-

-2.a=-Q

則B在1方向上的投影向量為1回3.

故選：C

5.【正確答案】C

【詳解】由題可知，"+b=l+U=12,

125/QbV125^|125b25a13l~b~~25a

所以有Qb<1212八a6J1212Ua12b6\12a12b

b_25a

當(dāng)且僅當(dāng)茂一訪，即6=1°，。=2時等號成立，

_L至

此時2'滿足m=9,所以"十了的最小值是3.

故選：C.

6.【正確答案】B

【詳解】設(shè)V/8C的內(nèi)角A,BC所對的邊分別為a,bc,

因?yàn)閟in4:sin8:sinC=272：2:1,

所以由正弦定所得a:b:c=2亞:2:1,

又。=4,所以6=2&,c=6,

,b2+c2-a28+2-1631

C0Sy±=-----------____________=___<___

由余弦定理得2bc2X2A/2XV242,

所以/>12(F,所以頂點(diǎn)A為費(fèi)馬點(diǎn)，

故點(diǎn)A到各頂點(diǎn)的距離之和為b+c=3g,

故選.B

7.【正確答案】B

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系:

ZA

尸(2,0,z)

則：而=(O,l,-z),而=(-2,0,T),

所以厚?麗=Z?=1,又尸是棱44上一點(diǎn)，所以Z=l,

即尸是棱”4的中點(diǎn)，

-I^FlxS=lxlxlxlx2=-

所以三棱錐尸-4E0的體積為3l"323,

故選：B

8.【正確答案】A

【詳解】作出了(X)圖像,

令/(x)=f,則方程O(x))_4(x)+2=0有$個不同的實(shí)數(shù)根等價于〃-威+2=0有之

個不同的實(shí)數(shù)解吼且％—2?(-30),

a2-8>0

<9+3〃+2〉0

-3<-<0--<a<-2s/2

則12,解得3,

故選A.

9.【正確答案】AD

【詳解】對于A,令無=1,y=°,則/⑴=/(°)〃1)；

由x>。時，得：0<”1)<1,〃(0)=1,A正確；

1/(2)=/(1)/(1)=1

對于B,令x=.y=l,得-9,B錯誤，

)=x)=/(O)T.

對于D,令歹二一',則

/、f(^)=-T~~\>0

當(dāng)x<0時，-x>0>0</(-x)<l/(—%)

，對于任意xeR,/(x)>°,D正確;

對于C,設(shè)馬>王，

，/(無2)一/(無1)=/[(工2-尤1)+尤1]一/(占)=/(馬-再)/(X])—/(X])=/(X])[/(馬一士)一1].

Qx2-X[>0；.?.0</(x2-x1)<l,即/(尤2—再)一1<0,又/(占)>0,

???/&)-/(再)<0,?."(%)在R上單調(diào)遞減，C錯誤.

故選：AD

10.【正確答案】BC

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B；圖象平移確定解析式，根據(jù)偶函數(shù)求參數(shù)

t-2a)x+—e[―,2am+—]sint=te[—,2am+—]

判斷C；令666,化為2在66有5個根求參數(shù)范

圍判斷D.

/(x)=2sin|2x+—|f——=n

【詳解】A：由題設(shè)I6人則最小正周期為2，錯；

B：顯然'"Ism%」恒成立，故函數(shù)"x)過定點(diǎn)(0J),對;

71

C：函數(shù)/(X)的圖象向左平移H個單位得

f(x)=2sin[2<w(x+—)+—]=2sin(2ox+巴)

')363+6為偶函數(shù),

2。兀兀兀71+3左

---------1-FKTlCO=-----------

所以362，可得2且丘Z,又。>0,

所以。的最小值為5,對;

sin2a>x+—=--rit=2a)x+—e[—,2am+—]

D：由題意I6>2在Wn，?！股嫌?個根，而666.

sint=—Ze[—,2<y?t+—]

所以2在66有5個根，如下圖示,

33

13K,日兀14K

------<20)71+—<-------生

所以363,可得124,錯.

故選：BC

11.【正確答案】ABD

【詳解】對于選項(xiàng)A,因?yàn)镚w平面平面班￡C//平面"4QO,

所以，點(diǎn)G到平面的距離等于MB|,

“"的面積為邑3

所以，故選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B,連接42/馬，易知4月，面又防u面所以45JEJ

又已尸分別為棱42，，4的中點(diǎn)，則跖//。/，而。4，。/,所以跖

又4練4。（=面448,44n4。=4,所以._|_面4片。。，

又EFu面EFG,所以平面EFG_L平面44c。，故選項(xiàng)B正確，

對于選項(xiàng)C,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、所在直線分別為x、>、z軸建立

空間直角坐標(biāo)系，

則4200）、8（220）、c（o,2,o）、皿0,0,0）、4（2,0,2）、

4（2,2,2）G（0,2,2）￡>,（0,0,2）￡（1,0,2）尸（2,0,1）

、、，、，

設(shè)平面8DG的法向量為有=（打?yàn)?1）,麗=（2,2,0）,西=（0,2,2）,

m-DB=2x+2必=0

<l

由"?￡）￡=2必+2Z]=0,取必=-1,可得應(yīng)=（1,-1,1）,

設(shè)CG=XCq=4（2,0,2）=（2%,0,2幾），可得點(diǎn)G（22,2,22）,其中0W定1

則函=（24_1,2,2彳_2）

--/=-gro,ii

所以機(jī)—￡6=2/1-1-2+2；1-2=4/1-5=0,解得4LJ,

故平面EFG與平面80G不平行，所以選項(xiàng)c錯誤，

對于選項(xiàng)D,由選項(xiàng)C知，EG=（21224-2）,BC,=（-2,0,2）^

設(shè)直線EG與8G所成角為夕,

____________2____________

yl（2A-1）2+4+（22-2）2-2A/2

1

當(dāng)4時，cos'取得最大值，此時0最小，所以選項(xiàng)D正確,

故選：ABD.

12.【正確答案】3兀

【詳解】因?yàn)閳A錐的底面直徑為2,它的軸截面是等邊三角形,

則圓錐的母線長/=2,底面半徑廠=1,

所以圓錐表面積為$=口/+兀/=無X1*2+無*12=3兀.

故37r.

5063

13.【正確答案】5

a2=2x--l=l.=2x1=2

【詳解】由題意得，55,55,

=c244,3

aA2x_=_/=2x—1=一

、55,555

所以｛七｝為周期數(shù)列7=4,

35063

5,2025=4+506（4+a2++。4）=g+1012=———

所以

5063

故5

91

-4-

14.【正確答案】2/2/4.5

【詳解】因?yàn)椤魅缧〉拿娣e是V/8C面積的一半,

-AB-AC=2x-xAM-AN-xs/2xy[2^2x-xx-ANAN=-

即22，即22,可得x,

2nJ7=1---T

又因?yàn)?+4/=加9，即x2,

x<V2

^-<72變

且〔x，可得2,

所以“x）-x+?，且y（x）的定義域?yàn)?2'」，

令',5」，則以“一在U上單調(diào)遞減，在『a上單調(diào)遞增,

且g|｝）=g（2）＜g（l）=2.

可知g（’）在仁’4上的最小值為2,最大值為5,

\—，^\*

即/（x）在L2」上的最小值為2,最大值為2,

所以,（、）的最小值與最大值之和為^+2=2.

9

故答案為.5

15.【正確答案】（1）6

2'3

⑵11

【分析】（1）由余弦定理結(jié)合三角形面積公式可得答案;

（2）由題可得32,后由正弦定理可得a2tan/2,后由正切函數(shù)單調(diào)性可

得答案.

,,,S=—acsinB

【詳解】（1）由余弦定理，a、d=2acc°sB,又三角形面積為2

-fa2+c2-b2-2accos2?=—acsin5tanB=8e(0,彳

7B=-

則12?1223,又由題I2則6;

._,57r_,5兀.

A+C=—=>C=------A

(2)由(1),66又V43C為銳角三角形,

0<A<-

2=>一71<%,<一71

八5兀，兀32

0<-----A<—

則62

csinC1V3

----------1-----

由正弦定理：asinNsin/2tan^42

tan/>百=0<---<

因ktanx在132J上單調(diào)遞增，貝汁132J時,tanZ3

則22tanN23,即°I，)

16.【正確答案】⑴%=2”

2"-1

(2)(=2向一1

【詳解】（1）設(shè)公比為"，由。2"=如可得出"=04=40%=’[

又$2=6=%+?=q+q",解得q=2或q=—3,

由于｛°“｝為正項(xiàng)數(shù)列，所以4=2,故%=2"；

_yn+lq_=2

(2)由"，，=2'可得11+1-'"一1-2

見用=2向=2==1O_______L_)

,,+1n,,+1+I

SnSn+l4(2"-1)(2-1)(2-l)(2-l)'2"-12"-1J

---q+ip-一-M+…+￥」______二〕

故"2(2i-l22-1)2U2-123-l)2(2"-12,,+1-l)

；[3_工）+m一出+…+島_當(dāng)）

11112"—1

=-1-

221-!2n+1-l22"+i-i2"+1-l

.4^=2

17.【正確答案】（1）FQ

3而

（2）85

CG^-BC

【詳解】（1）在線段8c上取一點(diǎn)G,使3，連接EG、尸G,

BEBG2

AE=-ABCG=-BC

在V/3C中,因?yàn)?3，所以前一葭3,

EG=-AC

所以EG〃/C且3

因?yàn)?4〃cq且W4]=CG,則四邊形44?。為平行四邊形，則/c〃4G,且/c=4G,

所以EG//&F,所以，4、E、G、尸四點(diǎn)共面，

若4E〃平面BCF,&Eu平面&EG尸，平面/[EGFCl平面8cF=FG,

所以，MEW,

因?yàn)?尸〃EG,所以，四邊形4EGb為平行四邊形,

22A\Fn

A.F=EG=-AC=-A.C.77T7=2

所以，331,故4尸

空=2

故當(dāng)A.EII平面BCF時，CF

(2)因?yàn)槊鳌?■底面NBC,AC1BC,

以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CB、聲、84的方向分別為工、歹、z軸的正方向建立如下圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

BE=2AE=—AE=-

因?yàn)?,則3,AB=AE+BE=5,

因?yàn)镹CJ_8C,/C=4,貝uBC=《AB。-AC?=J52-4,=3,

空

又因?yàn)镃G=3,FCI,則“（0,4,0）、8（3,0,0）C（0,0,0）尸（0,1,3）

設(shè)平面8CF的法向量為而=（乙3/1）,赤=（3,0,0）,#=（0,1,3）,

mCB=32=0

<

則向CF=y+3Z]=0,取K=3,則玩二（0,3,-1）,

設(shè)平面尸的法向量為71=（%2必/2）,45=（3,-4,0）,"尸=（0,-3,3）,

n-AB=3X2-4%=0

則[元2尸=-3%+322=0,取%=3,則方=（4,3,3）,

__m-n635/85

cosm,n=,,,,=——-j==-------

所以，HIM<10xV3485,

由圖可知，二面角C-3尸一/的平面角為銳角，

3屈

所以，二面角C-Bf'-N的余弦值為一而一.

18.【正確答案】（1）證明見解析

(3)證明見解析

【詳解】(1)由題意得，/'(x)=G+l)e、，記/(久)的導(dǎo)函數(shù)為尸(久)(下同)，

則,(x)=(x+2)e*>0,所以/(X)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(龍)為區(qū)間(。，+8)上的凹函數(shù).

g(x)=ex--(x>0)g'(x)=e'+-^,g"(x)=ex

(2)由題意得，P。貝|―x2x3,

x_2cl0

令g”(x)4。，則d一，故/eV2a.

人m(x)=x3e%則mr(x)=3x2ex+x3ex=x2(x+3)ex>0

故加(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，故?(x)max=m(2)=8e\

則8e*2a,故。?4e?,故實(shí)數(shù)。的取值范圍為14金，+").

xa.

e——>aInx-a

(3)由題意得，x

當(dāng)。=。時，e*>0,符合題意，

e”——->0e”—巴>aInx-a

當(dāng)a<0時，因?yàn)闊o>0,貝Ix,則即證x........

e"—FInx-1

即證

=—+lnx-ln'(x)=X

設(shè)X，則—Xz,

所以"(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，+8)上單調(diào)遞增,故"(x)2〃(l)=0

QX>0^j—FInx-1j<2e"—>alnx-Q

故當(dāng)。<0時，lxJ,即X成立.

當(dāng)0<a<eeM時，由(1)知"x)=xe，-a在@+8)上單調(diào)遞增，

又/(O)=-a<O,/(a)=a(e"T)>。，所以現(xiàn)e(0,a),使得/&)=x0e'。-a=0

所以a=%e\因?yàn)?<°<ee\所以°<x°e'。<所以0<x°<e,

丫二/八V\xe'—a<0,e"—<0—e"一Q1IIX+Q>0

i)當(dāng)時，x,即證X

F(x^=--ex-a\nx+aFr(x)=---ex--<0

設(shè)X，則XX

所以F(x)在(0戶。)上單調(diào)遞減,

F(x)>F(x0)=-aIn/+a=Q(1-In%)〉0

xa、八xai八

YU「Y_(_8、e—>0e----tzInx+(2>0

ii)當(dāng)xeP。十時，xe-6Z>0,即x,即證x

2

「/、、。,「,/、x。x

G(x)=e----alnx+aG(x)=e+———a=-x--e--+--a--a--x

設(shè)、/X，則XXX

人p(x^=x1Qx+a—ax,xE[%(),+°)

則p'(x)=6+2xbx-tz,/?rr(x)=(x2+4x+2p>0

故"(x)在民,+司上單調(diào)遞增，則夕'(》)27/&)=宙+2%)6'。-""0+0>0

故。(x)在民，+8)上單調(diào)遞增,則p(x)?p(xo)=p(xo)=x；e&+a-axo=a>o

，/\/?(%)

則G")一X?則G(0在際+8)上單調(diào)遞增，

故當(dāng)XE[%O，+8)時G(x)>G(x0)=-alnx0+a=a(l-lnx0)>0

綜上，當(dāng)尸時,g(x)|+a>a\nx

19.【正確答案】(1)4具有性質(zhì)。；4不具有性質(zhì)Q

(2)3

(3)存在，4

【分析】(1)將集合4,4進(jìn)行計算，得出集合中的元素個數(shù)即可知4具有性質(zhì)。；

4不具有性質(zhì)

(2)利用等比數(shù)列性質(zhì)和集合性質(zhì)。的定義，即可得集合A中的元素個數(shù)最大值為

3；

(3)根據(jù)集合具有的性質(zhì)。的定義，對集合中的元素個數(shù)進(jìn)行分類討論，再由集合元

素的互異性得出矛盾即可求出A中的元素個數(shù)最大值是4.

【詳解】(1)4具有性質(zhì)。；4不具有性質(zhì)。.

3(3-1)_

若4={1,2,4},則4區(qū)4={2,4,8},恰有27個元素,所以4具有性質(zhì)O；