2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末考試九年級(jí)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必在答題卡的規(guī)定位置將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、座位號(hào)填寫準(zhǔn)確．2．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘．3．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用0.5mm黑色簽字筆直接答在答題卡相應(yīng)區(qū)域，不能答在試卷上；解答題作圖需用黑色簽字筆，不能用鉛筆．4．考試結(jié)束后，試卷不交，請(qǐng)妥善保存，只交答題卡．選擇題部分共40分一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.下列幾何體中，俯視圖是三角形的是（）A. B.C. D.2.下列函數(shù)中，隨的增大而減小的是（）A. B.C. D.3.不透明的盒子中裝有紅色棋子和藍(lán)色棋子若干個(gè)；其中紅色棋子15個(gè)．每個(gè)棋子除顏色外都相同，任意摸出一個(gè)棋子，摸到藍(lán)色棋子的概率是，則藍(lán)色棋子個(gè)數(shù)是（）A.5 B.10 C.15 D.204.下列說法正確是（）A.相等的圓心角所對(duì)的弧相等B.平分弦的直徑垂直于弦C.圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角D.圓的切線垂直于半徑5.如圖，在中，，則（）A. B. C. D.6.如圖，是的切線，是切點(diǎn)，是弦，過圓心，若，則（）A. B. C. D.7.如果，點(diǎn)，都在反比例函數(shù)的圖象上，那么的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.8.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形，則此圓錐底面圓的半徑為（）A. B. C. D.9.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系中大致是（）A. B.C. D.10已知：二次函數(shù)．下列結(jié)論：①拋物線的開口向上，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大；②當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)；③若關(guān)于的一元二次方程，在的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是；④拋物線與直線可以存在唯一公共點(diǎn)．⑤若是拋物線上的兩點(diǎn)，則．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5非選擇題部分共110分二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．請(qǐng)直接填寫答案．）11.線段的正投影，其形狀可能是______．（寫出一個(gè)即可）12.圓中一條弦所對(duì)的圓心角是，則這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是______．13.拋物線圖象向左平移3個(gè)單位，再向上平移7個(gè)單位，所得圖象的解析式為，則______．14.如圖，正方形的邊在正六邊形的邊上，則______度．15.如圖1，一個(gè)扇形紙片的圓心角為，半徑為10．如圖2，將這張扇形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合，折痕為，圖中陰影為重合部分，則陰影部分的面積為______．（結(jié)果保留）16.如圖，在中，，延長(zhǎng)斜邊到點(diǎn)，使，連接，若，則______．三、解答題（本大題共10小題，共86分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17.計(jì)算：18.已知兩點(diǎn)是一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)的解析式和的值；（2）求的面積．19.萊蕪紅石公園西北角有一紅色八角空心七層寶塔“贏圣塔”．某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對(duì)其高度進(jìn)行了測(cè)量．如圖，他們?cè)谔幯鐾?，測(cè)得仰角為，再往樓的方向前進(jìn)至處，測(cè)得仰角為，問該塔的高度為多少？（學(xué)生的身高忽略不計(jì)，，結(jié)果精確到）20.如圖，是的弦，是的半徑，垂足為是的切線，為切點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交切線于．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留）．21.在一個(gè)不透明的口袋里裝有四個(gè)分別標(biāo)有漢字“大”、“美”、“云”、“南”的小球，這些小球除標(biāo)的漢字不同之外，沒有任何區(qū)別．標(biāo)有漢字“大”、“美”、“云”、“南”的小球分別用學(xué)母“A”，“B”，“C”，“D”表示．（1）若從袋中任取一個(gè)球，則球上的漢字剛好是“美”的概率為___________；（2）若同時(shí)從袋中任取兩個(gè)球，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求取出的兩個(gè)球上的漢字恰能組成“大美”或“云南”的概率22.隨著數(shù)字轉(zhuǎn)型世界大會(huì)召開，引領(lǐng)時(shí)尚，無人機(jī)走進(jìn)人們生活．周末數(shù)學(xué)小達(dá)人小華利用無人機(jī)來測(cè)量汶河上，兩點(diǎn)之間的距離（，位于同一水平地面上），如圖所示，小華站在處遙控空中處的無人機(jī)，此時(shí)他的仰角為，無人機(jī)的飛行高度為，并且無人機(jī)測(cè)得河岸邊處的俯角為，若小華的身高，（點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)）．（1）求小華的仰角的正切值；（2）求、兩點(diǎn)之間的距離．23.隨著科技的日新月異，冬天人們也可以吃到香甜可口的草莓，草莓被譽(yù)為“水果皇后”．近日“牛奶草莓”上市，深受廣大消費(fèi)者的青睞，市場(chǎng)銷售情況喜人．某水果店以每公斤30元的價(jià)格購進(jìn)一批“牛奶草莓”，若按每公斤46元的價(jià)格銷售，平均每天可售出65公斤，結(jié)合銷售記錄發(fā)現(xiàn)，若售價(jià)每降低2元，平均每天的銷售量增加10公斤，水果店恰遇店慶，為答謝新老顧客，該水果店決定降價(jià)銷售．（1）若一次降價(jià)4元，則每天的銷售利潤(rùn)為多少元；（2）銷售單價(jià)定為每公斤多少元時(shí)，每天銷售“牛奶草莓”獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？24.如圖，是的直徑，是的弦，，垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若，且的半徑，求的長(zhǎng)．25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，將直線向上平移個(gè)單位，與軸交于點(diǎn)，與雙曲線交于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)和直線的表達(dá)式；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在軸上是否存在一點(diǎn)，使是以為腰等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，將點(diǎn)沿軸向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖1，在直線上方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)，使的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)在軸上，若以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)，為邊的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)求出的坐標(biāo)．

2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末考試九年級(jí)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必在答題卡的規(guī)定位置將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、座位號(hào)填寫準(zhǔn)確．2．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘．3．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用0.5mm黑色簽字筆直接答在答題卡相應(yīng)區(qū)域，不能答在試卷上；解答題作圖需用黑色簽字筆，不能用鉛筆．4．考試結(jié)束后，試卷不交，請(qǐng)妥善保存，只交答題卡．選擇題部分共40分一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.下列幾何體中，俯視圖是三角形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖．根據(jù)俯視圖是從物體上面看，所得到的圖形，分別得出四個(gè)幾何體的俯視圖，即可解答．【詳解】解：A、俯視圖是圓，故本選項(xiàng)不合題意；B、俯視圖是三角形，故本選項(xiàng)符合題意；C、俯視圖是有圓心的圓，故本選項(xiàng)不合題意；D、俯視圖是圓，故本選項(xiàng)不合題意．故選：B．2.下列函數(shù)中，隨的增大而減小的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了反比例函數(shù)，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)圖象及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可，熟練掌握反比例函數(shù)，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】、由可知，則在每一象限內(nèi)，隨的增大而減小，此選項(xiàng)符合題意；、由可知，則隨的增大而增大，此選項(xiàng)不符合題意；、由可知拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，此選項(xiàng)不符合題意；、由可知，則隨的增大而增大，此選項(xiàng)不符合題意；故選：．3.不透明的盒子中裝有紅色棋子和藍(lán)色棋子若干個(gè)；其中紅色棋子15個(gè)．每個(gè)棋子除顏色外都相同，任意摸出一個(gè)棋子，摸到藍(lán)色棋子的概率是，則藍(lán)色棋子個(gè)數(shù)是（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了已知概率求數(shù)量問題，設(shè)藍(lán)色棋子有個(gè)，然后根據(jù)概率計(jì)算公式列出方程求解即可．熟知概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)藍(lán)色棋子有個(gè)，由題意得，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是方程的解，∴藍(lán)色棋子有5個(gè)，故選：A．4.下列說法正確的是（）A.相等的圓心角所對(duì)的弧相等B.平分弦的直徑垂直于弦C.圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角D.圓的切線垂直于半徑【答案】C【解析】【分析】本題考查弧，弦，角之間的關(guān)系，垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形，切線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，逐一進(jìn)行判斷，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、平分弦（不是直徑）直徑垂直于弦，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角，選項(xiàng)正確；D、圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．5.如圖，在中，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了正切．熟練掌握是解題關(guān)鍵．由題意知，，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，，∴，故選：D．6.如圖，是的切線，是切點(diǎn)，是弦，過圓心，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理以及直角三角形的性質(zhì)，連接，由切線的性質(zhì)可得，由圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)可得，即可求解．解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．【詳解】解：連接，∵是的切線，∴，∵，∴，∴，故選：B.7.如果，點(diǎn)，都在反比例函數(shù)的圖象上，那么的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查比較反比例函數(shù)的函數(shù)值大小，根據(jù)反比例函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可．掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴反比例函數(shù)的圖象過二，四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，∵，點(diǎn)，都在反比例函數(shù)的圖象上，∴，故選：D．8.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形，則此圓錐底面圓的半徑為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了圓錐的有關(guān)計(jì)算，設(shè)此圓錐底面圓的半徑為r，根據(jù)扇形的周長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)，列方程求解即可．解題的關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式，理解扇形的周長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)．【詳解】解：設(shè)此圓錐底面圓的半徑為，根據(jù)扇形的周長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)可得，，解得，圓錐底面圓的半徑為，故選：C．9.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系中大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查函數(shù)圖象的知識(shí)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)．先根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定系數(shù)，，，然后判斷出一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象所在的象限逐一判斷即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象開口向下，與y軸交于正半軸，∴，，∵對(duì)稱軸，∴，∴直線過二、三、四象限，反比例函數(shù)的圖象位于一、三象限，故選A．10.已知：二次函數(shù)．下列結(jié)論：①拋物線的開口向上，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大；②當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)；③若關(guān)于的一元二次方程，在的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是；④拋物線與直線可以存在唯一公共點(diǎn)．⑤若是拋物線上的兩點(diǎn)，則．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．根據(jù)的符號(hào)，對(duì)稱軸判斷①；根的判別式判斷②；根據(jù)時(shí)，，時(shí)，，列出不等式組，求出的值，判斷③；根的判別式，判斷④，增減性判斷⑤；掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，隨增大而增大；故①正確；當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與與軸沒有交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；若關(guān)于的一元二次方程，在的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則：時(shí)，，時(shí)，，∴，∴；故③正確；聯(lián)立，得：，，∴拋物線與直線有2個(gè)交點(diǎn)，故④錯(cuò)誤；∵拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為直線，∴拋物線上的點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵，∴；故⑤正確；故選B．非選擇題部分共110分二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．請(qǐng)直接填寫答案．）11.線段的正投影，其形狀可能是______．（寫出一個(gè)即可）【答案】線段或點(diǎn)【解析】【分析】本題考查正投影．根據(jù)題意，線段的正投影可能是線段，也可能是一個(gè)點(diǎn)，進(jìn)行作答即可．掌握正投影的定義，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：線段的正投影，其形狀可能是線段，也可能是一個(gè)點(diǎn)，故答案為：線段或點(diǎn)．12.圓中一條弦所對(duì)的圓心角是，則這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是______．【答案】或【解析】【分析】本題考查圓周角定理，分弦所對(duì)的弧為優(yōu)弧和劣弧兩種情況進(jìn)行討論即可．解題時(shí)，要注意分類討論．【詳解】解：當(dāng)弦所對(duì)的弧為劣弧時(shí)，∵該弦所對(duì)的圓心角是，∴這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是；當(dāng)弦所對(duì)的弧為優(yōu)弧時(shí)，則：這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是；故答案為：或．13.拋物線圖象向左平移3個(gè)單位，再向上平移7個(gè)單位，所得圖象的解析式為，則______．【答案】【解析】【分析】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，首先把化成頂點(diǎn)式，然后再根據(jù)平移方法可得，即可求解．關(guān)鍵是掌握“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律．【詳解】解：，將該函數(shù)圖象向左平移3個(gè)單位，再向上平移7個(gè)單位，得：，∴，故答案為：．14.如圖，正方形的邊在正六邊形的邊上，則______度．【答案】【解析】【分析】本題考查多邊形內(nèi)角和，以及正方形性質(zhì)，根據(jù)邊形內(nèi)角和為，求出正六邊形的內(nèi)角和，算出，再結(jié)合正方形性質(zhì)根據(jù)，即可解題．【詳解】解：正六邊形的內(nèi)角和為，，四邊形正方形，，，故答案為：．15.如圖1，一個(gè)扇形紙片的圓心角為，半徑為10．如圖2，將這張扇形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合，折痕為，圖中陰影為重合部分，則陰影部分的面積為______．（結(jié)果保留）【答案】【解析】【分析】本題考查的是扇形面積計(jì)算、勾股定理，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)扇形面積公式、三角形面積公式計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，在中，，∴，∴，；∴；∴陰影部分的面積；故答案為：．16.如圖，在中，，延長(zhǎng)斜邊到點(diǎn)，使，連接，若，則______．【答案】##0.15【解析】【分析】本題考查了正切，相似三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握正切，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，作交于，則，證明，則，即，由，可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，作交于，∵，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，故答案為：．三、解答題（本大題共10小題，共86分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17.計(jì)算：【答案】【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及零指數(shù)及負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算，特殊角三角函數(shù)值，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．先分別計(jì)算零指數(shù)及負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算，特殊角三角函數(shù)值，絕對(duì)值化簡(jiǎn)及二次根式的化簡(jiǎn)，最后相加減即可．【詳解】原式．18.已知兩點(diǎn)是一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)的解析式和的值；（2）求的面積．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合．（1）把點(diǎn)代入求得的值，再求得，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）利用三角形的面積公式即可求解．【小問1詳解】解：由題意可得：點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為，將代入，得：，即，∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過，∴，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】解：設(shè)一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，∴，∴．19.萊蕪紅石公園西北角有一紅色八角空心七層寶塔“贏圣塔”．某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對(duì)其高度進(jìn)行了測(cè)量．如圖，他們?cè)谔幯鐾?，測(cè)得仰角為，再往樓的方向前進(jìn)至處，測(cè)得仰角為，問該塔的高度為多少？（學(xué)生的身高忽略不計(jì)，，結(jié)果精確到）【答案】【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題．設(shè)“贏圣塔”的高度，根據(jù)題意可知，則，在中，由，得，求解即可，利用特殊角的三角函數(shù)值求解是解答本題關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)“贏圣塔”的高度，由題意可知，∵，則，∴，∵，∴，在中，∵，∴，即，∴，答：塔的高度約為．20.如圖，是的弦，是的半徑，垂足為是的切線，為切點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交切線于．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留）．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查切線的性質(zhì)，垂徑定理，求弧長(zhǎng)．掌握切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，弧長(zhǎng)公式，是解題的關(guān)鍵．（1）垂直，得到，切線，得到，進(jìn)而得到即可得出結(jié)論；（2）垂徑定理，得到，易得是等腰直角三角形，勾股定理求出的長(zhǎng)，再用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【小問1詳解】解：∵，∵是的切線，∴，∴；【小問2詳解】∵，又∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴的長(zhǎng)．21.在一個(gè)不透明的口袋里裝有四個(gè)分別標(biāo)有漢字“大”、“美”、“云”、“南”的小球，這些小球除標(biāo)的漢字不同之外，沒有任何區(qū)別．標(biāo)有漢字“大”、“美”、“云”、“南”的小球分別用學(xué)母“A”，“B”，“C”，“D”表示．（1）若從袋中任取一個(gè)球，則球上的漢字剛好是“美”的概率為___________；（2）若同時(shí)從袋中任取兩個(gè)球，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求取出的兩個(gè)球上的漢字恰能組成“大美”或“云南”的概率【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）因?yàn)榇锕灿兴膫€(gè)球，所以任取一球，其上面漢字為“美”概率；（2）列表求恰能組成“大美”或“云南”的次數(shù)和所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，求概率即可．【小問1詳解】解：∵袋里裝有四個(gè)分別標(biāo)有漢字“大”“美”“云”、“南”的小球，∴任取一個(gè)球，則球上的漢字剛好是“美”的概率【小問2詳解】解：列表格，如圖大美云南大（大，美）（大，云）（大，南）美（美，大）（美，云）（美，南）云（云，大）（云，美）（云，南）南（南，大）（南，美）（南，云）由表格可知恰能組成“大美”或“云南”的次數(shù)為4，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為12，∴事件A的概率．【點(diǎn)睛】本題考查概率，解題的關(guān)鍵是掌握概率公式和列表法求概率．22.隨著數(shù)字轉(zhuǎn)型世界大會(huì)的召開，引領(lǐng)時(shí)尚，無人機(jī)走進(jìn)人們生活．周末數(shù)學(xué)小達(dá)人小華利用無人機(jī)來測(cè)量汶河上，兩點(diǎn)之間的距離（，位于同一水平地面上），如圖所示，小華站在處遙控空中處的無人機(jī)，此時(shí)他的仰角為，無人機(jī)的飛行高度為，并且無人機(jī)測(cè)得河岸邊處的俯角為，若小華的身高，（點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)）．（1）求小華的仰角的正切值；（2）求、兩點(diǎn)之間的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理，解直角三角形，以及矩形的性質(zhì)，（1）作于，于，得到四邊形是矩形，推出，在中，利用勾股定理，得到，最后根據(jù)，即可解題．（2）利用矩形的性質(zhì)得到，再利用，求得，最后根據(jù)，即可解題．【小問1詳解】解：作于，于，無人機(jī)的飛行高度為，，由題意可得，四邊形是矩形，，，，，在中，，，；【小問2詳解】解：四邊形是矩形，，無人機(jī)測(cè)得河岸邊處的俯角為，，，即，解得，，，兩點(diǎn)之間距離．23.隨著科技的日新月異，冬天人們也可以吃到香甜可口的草莓，草莓被譽(yù)為“水果皇后”．近日“牛奶草莓”上市，深受廣大消費(fèi)者的青睞，市場(chǎng)銷售情況喜人．某水果店以每公斤30元的價(jià)格購進(jìn)一批“牛奶草莓”，若按每公斤46元的價(jià)格銷售，平均每天可售出65公斤，結(jié)合銷售記錄發(fā)現(xiàn)，若售價(jià)每降低2元，平均每天的銷售量增加10公斤，水果店恰遇店慶，為答謝新老顧客，該水果店決定降價(jià)銷售．（1）若一次降價(jià)4元，則每天的銷售利潤(rùn)為多少元；（2）銷售單價(jià)定為每公斤多少元時(shí)，每天銷售“牛奶草莓”獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】（1）1020元（2）銷售單價(jià)定為每公斤44.5元時(shí)，每天銷售獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1051.25元【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用：（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以求出一次降價(jià)4元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)；（2）根據(jù)題意，可以寫出w與銷售單價(jià)之間的函數(shù)解析式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到w的最大值．【小問1詳解】解：根據(jù)題意，降價(jià)4元?jiǎng)t銷售量為：，銷售利潤(rùn)為：，答：若降價(jià)4元，則每天的銷售利潤(rùn)是1020元；【小問2詳解】解：設(shè)每公斤銷售單價(jià)降了元，根據(jù)題意得：，∵當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為1051.25，此時(shí)，答：銷售單價(jià)定為每公斤44.5元時(shí)，每天銷售“牛奶草莓”獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1051.25元．24.如圖，是的直徑，是的弦，，垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若，且的半徑，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查圓周角定理，切線的判定，解直角三角形．掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角，銳角三角函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．（1）連接，圓周角定理，得到，，結(jié)合等邊對(duì)等角，推出，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)，得到，求出的長(zhǎng)，再根據(jù)，進(jìn)行求解即可．【小問1詳解】證明：連接，∵，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，即，∴是的切線；【小問2詳解】∵，且的半徑，∴，∴，∵，∴，∴．25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，將直線向上平移個(gè)單位，與軸交于點(diǎn)，與雙曲線交于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)和直線的表達(dá)式；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在軸上是否存在一點(diǎn)，使是以為腰的等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若