2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題11平面向量-專項(xiàng)訓(xùn)練

五年考情?探規(guī)律

考點(diǎn)五年考情(2020-2024)命題趨勢(shì)

2024天津

2023天津平面向量的線性運(yùn)算一般考

查基礎(chǔ)的三角形法則，屬于簡(jiǎn)

卷

考點(diǎn)01平面向量概2022I

單題目。對(duì)于此類題目可以轉(zhuǎn)

念及線性運(yùn)算

2021浙江卷化成坐標(biāo)運(yùn)算

2020北京II卷

2023北京In卷

考點(diǎn)02平面向量的

2021乙卷

坐標(biāo)運(yùn)算

2020江蘇卷平面向量數(shù)量積運(yùn)算是高考

數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)，一般考查向量

2024III甲北京

的平行垂直以及夾角問(wèn)題，容

易與充要條件相結(jié)合，考查比

考點(diǎn)03平面向量的2023甲乙卷

較簡(jiǎn)單，但是屬于易錯(cuò)點(diǎn)。

數(shù)量積及夾角問(wèn)題2022甲乙

2021浙江n卷

2020IIIII卷

分考點(diǎn)?精準(zhǔn)練

考點(diǎn)01平面向量概念及線性運(yùn)算

一、選擇題

1.（2022新高考全國(guó)I卷?）在^ABC中，點(diǎn)。在邊上，BD=IDA-記

CA=m,CD=n,則赤=

（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

2.（2021年高考浙江卷）已知非零向量￡石向則“ac=bc”是“2=石”的

（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

3.（2020年新高考全國(guó)卷□數(shù)學(xué)?）在446c中，D是邊上的中點(diǎn)，則麗

（）

A2CD+CABCD-2C4C2CD-CADCD+2C4

二、填空題

4.（2023年天津卷?）在"RC中，ZA=60°,BC=1,點(diǎn)。為A3的中點(diǎn)，點(diǎn)E為

CD的中點(diǎn)，若設(shè)通==石，則荏可用。出表示為；若

—?1—>

BF=-BC,則通.前的最大值為.

5（2020北京高考）已知正方形的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P滿足通=：（血+蔗），貝IJ

\PD\=；PB.PD=.

6.(2024?天津?高考真題)在邊長(zhǎng)為1的正方形A3CZ)中，點(diǎn)E為線段8的三等分

1uuruiruim

點(diǎn)，CE=jDE,BE=ABA+〃BC,則4+〃=；尸為線段班上的動(dòng)點(diǎn)，G為AF中

點(diǎn)，則而?元的最小值為.

考點(diǎn)02平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.(2023年北京卷?汜知向量灑5滿足&+B=(2,3),萬(wàn)—5=(—2,1),則IMF-|殲=

()

A.-2B.-1C.0D.1

2.(2023年新課標(biāo)全國(guó)口卷,汜知向量a=(1,1),石=(1,-1),若(a+4)-L(a+,

則

()

A.A+//=1B.X+〃=—1

C.=1D,4〃=—1

二、填空題

3.(2023年新課標(biāo)全國(guó)口卷?)已知向量再5滿足卜-可=3,+囚=|2萬(wàn)-可，則

小——

4(2021年高考全國(guó)乙卷?)已知向量Z=(1,3),B=(3,4),若0—幾W工況則4=

5(2020江蘇高考)在AABC中，AB=4,AC=3,NB4C=90。,。在邊3c上，延長(zhǎng)距

a__,

到尸，使得AP=9,若蘇=加麗+(5-附無(wú)(機(jī)為常數(shù))，則CD的長(zhǎng)度是

考點(diǎn)03平面向量的數(shù)量積及夾角問(wèn)題

一、選擇題

1.(2024?全國(guó)?高考I卷)已知向量商=(0,1)石a(2,x),若口④-46),則-=()

A.-2B.-1C.1D.2

2.(2024?全國(guó)?高考II卷)已知向量潤(rùn)滿足同=布+2a=2,且僅-2可，瓦則忖=

()

A.B.—C.也D.1

222

3.(2024.全國(guó).高考甲卷)設(shè)向量商=(x+l,x)石=(須2),則()

A."x=-3"是二上方’的必要條件B."x=-3"是ua//b"的必要條件

C.“x=0”是的充分條件D.“xS是工//7’的充分條件

4.(2024.北京.高考真題)設(shè)a,B是向量，貝1J”,+見(jiàn)1-5)=0”是工=與或

a=b''的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5(2023年全國(guó)甲卷)已知向量/石片滿足同=忖=1,同=應(yīng)，且1+5+d=。，則

cos(a-c,b-c)=()

6（2023年全國(guó)乙卷）已知QO的半徑為1,直線PA與QO相切于點(diǎn)A.直線PB與

交于8.C兩點(diǎn)，。為8c的中點(diǎn)，若|PO|=0,則麗.麗的最大

值為）

A?竽R1+2V2

2

C-1+72D.2+V2

7.（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)?）已知向量￡出滿足|￡|=1,出|=g,|￡—26|=3,則

a-b=

（）

A.-2B.-1C.1D.2

8.（2020年局考課標(biāo)H卷）已知向量a,6）兩足1。1=5,|5|=6,a?b=—6,貝U

cos（a,a+/>>=

（）

31191719

A.--B.--C.—D.—

35353535

二、填空題

9.（2021年高考浙江卷?）已知平面向量ZZEQwC）滿足

|a|=l,|S|=2,a-S=0,（a-^-c=0.記向量［在￡,石方向上的投影分別為x,y,d-a^-c

方向上的投影為Z,則/+y2+z2的最小值為.

10.（2021年新高考全國(guó)口卷?）已知向量°+加+"=蠢同=1,忖=口=2,

a-b+b-c+c-a=

11.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)?）設(shè)向量Z,B的夾角的余弦值為g,且同=1,

忖=3,貝1］（2￡+可石=.

12.（2020年高考課標(biāo)I卷—）已知單位向量;;工的夾角為45。，左；與「垂直，則

13.（2021高考北京?第13題）已知向量25忑在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)

格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則

（彳+5）?1=；a-b=

參考答案與詳細(xì)解析

五年考情1探規(guī)律1

考點(diǎn)五年考情(2020-2024)命題趨勢(shì)

2024天津

2023天津平面向量的線性運(yùn)算一般考

查基礎(chǔ)的三角形法則，屬于簡(jiǎn)

卷

考點(diǎn)01平面向量概2022I

單題目。對(duì)于此類題目可以轉(zhuǎn)

念及線性運(yùn)算

2021浙江卷化成坐標(biāo)運(yùn)算

2020北京n卷

2023北京In卷

考點(diǎn)02平面向量的

2021乙卷

坐標(biāo)運(yùn)算

2020江蘇卷平面向量數(shù)量積運(yùn)算是高考

數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)，一般考查向量

2024III甲北京

的平行垂直以及夾角問(wèn)題，容

易與充要條件相結(jié)合，考查比

考點(diǎn)03平面向量的2023甲乙卷

較簡(jiǎn)單，但是屬于易錯(cuò)點(diǎn)。

數(shù)量積及夾角問(wèn)題2022甲乙

2021浙江II卷

2020IIIII卷

分考點(diǎn)二精準(zhǔn)練金

考點(diǎn)01平面向量概念及線性運(yùn)算

一、選擇題

1.（2022新高考全國(guó)I卷?）在AABC中，點(diǎn)。在邊上，BD=2DA.記

CA=m,CD=n,貝1而=

()

A.3fh—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【解析】因點(diǎn)。在邊48上，BD=2DA,所以應(yīng)5=2方才，即

E-E=2?-麗),

所以赤=3①一2包=35—2肩=一2濟(jì)+3萬(wàn)故選：B.

2.（2021年高考浙江卷）已知非零向量反乙則是“2=石”的

（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】：若女）=小入則一力）「=0,推不出日=石；若2=匹，則72=如"必成

立,故"72=九3'是“2=石”的必要不充分條件，故選B.

3.（2020年新高考全國(guó)卷□數(shù)學(xué)一）在446c中，。是邊上的中點(diǎn)，則麗

（）

A2CD+CABCD-2CAC2CD-CADCD+2CA

【答案】C

［解析］CB=CA+AB=CA+2AD=CA+2（CD-CA^=2CD-CA3.

二、填空題

4.（2023年天津卷?）在AABC中，NA=60°,BC=1,點(diǎn)。為A3的中點(diǎn)，點(diǎn)E為

CD的中點(diǎn)，若設(shè)通=。,*=5,則通可用瓦石表示為；若

—>1—,.

BF=-BC,則AE-AF的最大值為.

111a

【答案】①.②.9

4224

AE+ED=AD

【解析】空1：因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，則面+配=0,可得

AE+EC=AC'

兩式相加，可得到2*=加+蔗，即2%后=；￡+瓦則=+；

.1-.AF+FC=AC

:因?yàn)?^\2FB+FC=0.可得，

AF+FB=AB'

得到/+定+2（忝+而）=/+2檢，^3AF=2a+b，即

.2-1-

AF=-a+-b.于是

33

AE-AF=f—4z+—tz+—Z?j=~\Q.（2a+5a.6+2Z?~）.以已AB—x,AC—y,

則

亞?1^=上（2￡2+5￡4+2片）=七（2%2+5孫（；0560。+2/）=*（2f+芋+2'2

在△ABC中，根據(jù)余弦定理：

BC2=x?+/一2xycos600=x2+y2-xy-1,

于是荏.通=A（2q+學(xué)

由f+,2一孫=1和基本不等式，x2+y2-xy=1>2xy-xy-xy,

故孫＜1,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l取得等號(hào)，則x=y=l時(shí)，荏.森有最大值三

：上+匕；竺

故答案

4224

5(2020北京高考)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸滿足Q=：(血+德，則

則點(diǎn)尸(2,1),.?.而=(-2,1),PB=(O,-l),

因此，|麗卜府而=6PBPD=0x(-2)+lx(-l)=-l.故答案為：下；

-1.

6.(2024?天津?高考真題)在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為線段8的三等分

1uurULTUlm

點(diǎn)，CE=-DE,BE=ABA+^BC,則/+〃=；E為線段8E上的動(dòng)點(diǎn)，G為■中

點(diǎn)，則衣.力日的最小值為.

【分析】解法一：以｛麗，比｝為基底向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求而，即可得九+〃，

UL1ULIU1ULILLUUU

設(shè)BF=kBE,求AF,￡)G,結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求而.云的最小值；解法二：建系標(biāo)

,.1ULAlULU

點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求而，即可得2+〃，設(shè)尸(a,-3a),ae--,0,求AF,DG,

結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求川.旃的最小值.

iuur2wuuruunuuriuiruum

[詳解]解法一：因?yàn)镃E=]DE,BPCE=-BA,貝1JBE=BC+CE=]3A+8C,

i4

可得4=,，4=1,所以4+〃=鼻；

°J

由題意可知：|阮1=1網(wǎng)=1,明?肥=0,

因?yàn)镻為線段班上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)赤=人而=gkBA+kBC,ke［0,l］,

貝Ij47=荏+而=荏+左麗=(g左一，麗+左前，

又因?yàn)镚為AF中點(diǎn)，貝1］詼=方+*=一而+；/=；［1左一1］麗+［；左一1］前,

可得通.詼=\-k-l\BA+kBC--\-k-\\BA+\-k-1]BC

又因?yàn)閱?wèn)0,1］可知：當(dāng)左=1時(shí)，通.礪取到最小值々；

1O

解法二：以3為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則4(-1,0),8(0,0),C(O,1),D(T,1),E(T，1],

可得麗=(-1,0),前=(0,1),屁=[3，1]

因?yàn)槠?4麗+〃比=(一凡〃)，則＜一'=一§,所以幾+〃=：；

、〃=1'

因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BE：y=-3x,xe-1,0上，設(shè)尸(a,-3a),ae-1,0

且G為AF中點(diǎn)，則

可得M=(a+1廠3a),DS=[一廠|"1),

則獷礪=e?+(一sd-Tp.+i：/,

且aj—o],所以當(dāng)。=一：時(shí)，獷礪取到最小值為-"

故答案為：?;4?

考點(diǎn)02平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.(2023年北京卷?)已知向量,3滿足@+5=(2,3),萬(wàn)—5=(—2,1),則5F—出|2=

()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】向量方,5滿足B=(2,3),萬(wàn)一5=(-2,1),

所以12TBi2=0+歷.(￡_歷=2義(_2)+3*1=-1.故選：B

2.(2023年新課標(biāo)全國(guó)口卷?)已知向量a=(l,l),石=(1,一1),若(a+")J_(a+,

則

()

A.2+//=1B.4+〃=—1

C.X4=1D.=—1

【答案】D

【解析】因?yàn)閆=(I』),B=(L-L),所以Z+/iB=(i+%i—彳),

a+jub=(1+/j,l-/jy

由(a+Ab)_L(a+聞可得，(a+4).(a+=0,

即(l+4)(l+〃)+(l_4)(l_〃)=0,整理得：M=—l.故選：D.

二、填空題

3.(2023年新課標(biāo)全國(guó)口卷?)已知向量灑行滿足忖―43卜+可2萬(wàn)-51

則M.

【答案】石

【解析】法一：因?yàn)?+同=忸—同,即,+可=(2萬(wàn)-5『，

貝吟+2：5+力2=￡2—整理得/一2。。=0,

又因?yàn)镮”5/百，即"盯=3,

^a-2^.b+b=b=3-所以B卜石.

±±Tirrrrrrrr

法二：設(shè)c=三—人，貝"q=<3,a+b—c+2b,2a—b=2c-\-b,

「1\2/rr\2j*1「r12rrr

(c+2b)=(2c+b),貝1J。2+4c.b+仍2=4c+4cm+〃

整理得：；2=鼠即M=H=6故答案為：陋.

4(2021年高考全國(guó)乙卷?)已知向量￡=(1,3)1=(3,4),若0—貝1J/l=

【答案】|3

【解析】因?yàn)椤辍?=（1,3）—4（3,4）=0—32,3—44）,所以由（Z-叫，）可

得，

3（1-32）+4（3-42）=0,解得;1=（.故答案為：!.

5（2020江蘇高考）在人鉆C中，AB=4,AC=3,NB4c=90。,。在邊3C上，延長(zhǎng)AD

到尸，使得AP=9,若兩;加麗+g-加正（加為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是

【答案】y

【解析】?.么。產(chǎn)三點(diǎn)共線，，可設(shè)西=/1前（彳＞0）,

:.PA=mPB+

若?。且嚕I，則民所三點(diǎn)共線，心+卜21],即24

22

\-AP=9,.\Ar>=3,???AB=4,AC=3,Z^4C=90，:.BC=5,

設(shè)CD=%,ZCDA=0f貝Ij50=5—%,ZBDA=7r-0.

根據(jù)余弦定理可得cos0=3+8-3=:

3+BD?-4左（5-X）2-7

cos（萬(wàn)一e）=

2AD-BD6（5-x）

?.-COS6?+COS（TT-6?）=0,.-.q+UJ：。,解得工=會(huì)，...”的長(zhǎng)度為昔.

66（5-x）55

a

當(dāng)相=0時(shí)，PA=^PC,C,。重合，此時(shí)CO的長(zhǎng)度為0,

當(dāng)加=￡時(shí)，PA=jPB,瓦。重合，此時(shí)上4=12,不合題意，舍去.故答案為

0或g-

考點(diǎn)03平面向量的數(shù)量積及夾角問(wèn)題

三、選擇題

1.(2024?全國(guó)?高考I卷)已知向量2=(0,1)而=(2,x),若必(5-46),則-=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求x的值.

【詳解】因?yàn)楸?-甸，所以鞏石—甸=0,

所以片_4、石=0即4+Y—4x=0,故x=2,

故選：D.

2.(2024.全國(guó).高考II卷)已知向量混滿足同=1,『+2q=2,且e-2可，瓦則忖=

()

A.|B.立C.BD.1

222

【答案】B

【分析】由e得片=2—九結(jié)合忖=1/+2q=2,得

1+4a+4片=1+6片=4，由此即可得解.

【詳解】因?yàn)閑-2耳。，所以僅-2°”=0,即片=2%后

又因?yàn)閱?wèn)=11+2+2,

所以1+47B+4片=1+6片=4，

從而任=#.

故選：B.

3.(2024?全國(guó)?高考甲卷)設(shè)向量益=(x+l,x),方=(%,2),則()

A.“x=-3”是ia±b"的必要條件B.“x=-3”是///的必要條件

C.“x=O”是“￡，石”的充分條件D.“x=-l+g”是“Z//B”的充分條件

【答案】C

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.

【詳解】對(duì)A,當(dāng)打B時(shí)，則早=0,

所以x-(x+l)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)C,當(dāng)x=0時(shí)，4=(1,。),1=(0,2),故￡4=0,

所以尻即充分性成立，故C正確；

對(duì)B,當(dāng)3/區(qū)時(shí)，則2(尤+1)=/，解得x=l土石，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)D,當(dāng)x=-l+石時(shí)，不滿足2(x+l)=l,所以2//B不成立，即充分性不立，故D

錯(cuò)誤.

故選：C.

4.(2024?北京?高考真題)設(shè)a,B是向量，則“卜+方乂萬(wàn)一4=0”是“2=4或

a=V的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知(。+可?(萬(wàn)-可=0等價(jià)于同=忖，結(jié)合充分、必要條

件分析判斷.

【詳解】因?yàn)?5)=萬(wàn)2一戶=0,可得藍(lán)=片，即間=瓦

可知R+5).R-5)=0等價(jià)于同第,

若或1—九可得同=瓦即,+孫卜-5)=0,可知必要性成立；

若伍+4(益一5)=0,即同=陣無(wú)法得出￡=方或1筋，

例如,=(1,0)萬(wàn)=(0,1),滿足同=忖，但Z/分且￡力與，可知充分性不成立；

綜上所述，“k+q?(萬(wàn)-5)=0”是“ZwB且的必要不充分條件.

故選：B.

5(2023年全國(guó)甲卷)已知向量色瓦C滿足同=,=1,同=后，S.a+b+c=0,貝I

cos(a-c,b-c,)=()

4224

A.——B.——C.—D.—

5555

【答案】D

,c

【解析】因?yàn)?+B+1=0,所以2+b=-W,A

即〃2+戶+2萬(wàn)名二*即1+1+25/=2,所以萬(wàn)Z=0->_3/之

/ol\

如圖，設(shè)市=常礪=反反二

ADB

由題知,。4=OB=1,OC-=V2,AOAB是等腰直角三角形，

Z5邊上的高。。=Y2,AJ”交，

22

所以3CO+如員圣半tMCD嗡小必3喘

cos(a-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

24

=2x一1二—.故選:D.

5

6（2023年全國(guó)乙卷）已知。。的半徑為1,直線尸工與OO相切于點(diǎn)/.直線必與

交于8.C兩點(diǎn)，。為3c的中點(diǎn)，若「。|=6，則西.麗的最大

值為)

A?等R1+2V2

2

C-1+72D.2+72

【答案】A

【解析】如圖所示，|Q4|=1,|OP|=血，則由題意可知:NAPO=45。,

由勾股定理可得Q4=[OP?-O1=1

TT

當(dāng)點(diǎn)A,。位于直線PO異側(cè)時(shí)，設(shè)ZOPC=?,0<?<-,

4

cosa+—

則：PA.PD-\PA\\PD\I4

\

屈.1+cos2a1.c

=A/2COSa—cosa----sma=cos2a-sinacosa-------------sin2a

2222

/

=lxV2cosacosa-\--j__V|sinf2a

I422

0-a-T則一52。-5卜?當(dāng)加-土-；時(shí)，川而有最大值「

jr

當(dāng)點(diǎn)AD位于直線P°同側(cè)時(shí)，設(shè)

貝:-1^1,1PDIcosa--=lx后cos。cosa--

21+cos2a1.

=v2cosa—cosaH-----sina=cosa+sinacosa=-------------F-sinla

22

=sin2<z+

rf(7)°-"-r貝號(hào)

.?.當(dāng)2a+[=彳時(shí)，麗.而有最大值匕也.綜上可得，麗.赤的最大值為

422

些變.故選：A.

2

7.（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)?）已知向量Z石滿足|￡|=1,|向=百,|￡一2萬(wàn)|=3,則

a-b=

()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】c【解析】???-2H=|萬(wàn)F—4萬(wàn)名+叩、又???|利=1,出|=6,|萬(wàn)—2萬(wàn)|=3,

：.9=i-4a-b+4x3=13-4a-b.'-a-b=l故選：C.

8.（2020年高考課標(biāo)口卷）已知向量a,6滿足|a|=5,|川=6,a-b=-6,則

COS(G,Q+8)

1919

A..衛(wèi)B.D.—

353535

【答案】D

【解析】T4=5,忸1=6,Zi=_6，.,.a-(a+b)=^+a-b=52-6=19

|*=和+或vtz+2ci?b+b—>/25—2x6+36=7,

___a\a+b\1919

因此，cos<a,a+b>=k匚~~zr=——=—.故選：D.

剛a+囚5x735

四、填空題

9.(2021年高考浙江卷?)已知平面向量2,反2(2x0)滿足

W=1，W=2,a/=0,(a-B)-c=0.記向量)在3萬(wàn)方向上的投影分別為x,y,d-a^c

方向上的投影為z,則x2+y2+z2的最小值為.

【答案】|

【解析】：由題意，設(shè)。=(1,0)/=(0,2),3=(%,〃)