熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題10圓錐曲線綜合問(wèn)題（定義+焦點(diǎn)三角形+離心率+漸近線

+中點(diǎn)弦）

*>----------題型歸納?定方向-----------*

目錄

題型01根據(jù)定義求圓錐曲線方程.................................................................I

題型02橢圓（雙曲線）上的點(diǎn)到焦點(diǎn)與定點(diǎn)距離和差最值.........................................4

題型03橢圓（雙曲線）焦點(diǎn)三角形問(wèn)題...........................................................7

題型04橢圓（雙曲線）離心率問(wèn)題.............................................................11

題型05雙曲線漸近線問(wèn)題......................................................................16

題型06根據(jù)曲線表示橢圓（雙曲線）求參數(shù).....................................................19

題型07拋物線定義的應(yīng)用......................................................................21

題型08拋物線焦點(diǎn)弦問(wèn)題......................................................................24

題型09圓錐曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題....................................................................27

o----------題型探析?明規(guī)律-----------?>

題型01根據(jù)定義求圓錐曲線方程

【解題規(guī)律?提分快招】

1、橢圓定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)尸到兩個(gè)定點(diǎn)%尸2的距離之和等于常數(shù)（|產(chǎn)片|+|P6|=2?！祪组偅?/p>

這個(gè)動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)（片，與）叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離（|公鳥|）叫作橢圓的焦

距.

橢圓定義定義的集合語(yǔ)言表述

集合尸={尸|尸片+\PF2=2a>閨8|}.

2、雙曲線的定義：一般地，我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)片，心的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于

I片耳|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

雙曲線定義集合語(yǔ)言表達(dá)式

雙曲線就是下列點(diǎn)的集合：P={M\\\MF}\-\MF2\\=2a,0<2a<\FR|}.

3拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)尸和一條定直線/（其中定點(diǎn)尸不在定直線/上）的距離相等的點(diǎn)的軌

跡叫做拋物線，定點(diǎn)尸叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

拋物線的數(shù)學(xué)表達(dá)式：{MJ"F|=d}（d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線I的距離）

【典例1-1］（24-25高二上?北京豐臺(tái)?期末）已知圓C:（x+iy+/=16及點(diǎn)在圓C上任取一點(diǎn)P,

連接CP，將點(diǎn)P折疊到點(diǎn)4記CP與折痕/的交點(diǎn)為M（如圖）.當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】利用橢圓定義求方程、軌跡問(wèn)題一一橢圓

【分析】直接由題意可得：|CM|+HM|=r=4>XC=2,符合橢圓定義，且得到長(zhǎng)半軸和半焦距，再由

62="2-02=3求得6,可求點(diǎn)M的軌跡方程可求.

【詳解】連接M4,

圓C:（x+1）2+/=16的圓心坐標(biāo)為C（T,O）,半徑為4.

因?yàn)閷Ⅻc(diǎn)尸折疊到點(diǎn)/,記c尸與折痕/的交點(diǎn)為〃，所以|PM|=XM，

所以|CM+MM=|CM+|WP|=r=4>|/C|=2,

所以點(diǎn)M的軌跡是以4c為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=4,2c=2,所以a=2,c=l,

22

所以62=/-02=3,所以點(diǎn)M的軌跡方程為二+二=1.

43

故選：A.

【典例1-2］（24-25高三上?北京順義?期末）已知點(diǎn)〃卜石,0）,N心,0）,若直線/=船上存在點(diǎn)尸滿足

|尸閭-|產(chǎn)時(shí)=2,則實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

C.（―8,—2）口（2,+8）D.（—2,2）

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】利用雙曲線定義求方程、已知方程求雙曲線的漸近線、根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)或

范圍

【分析】先求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程（雙曲線的右支），再根據(jù)漸近線方程可求參數(shù)的范圍.

【詳解】因?yàn)?PM-|尸叫=2<2若=阿訓(xùn)，故P在雙曲線的右支上，

而半焦距c=V^,實(shí)半軸長(zhǎng)為1,

2

故雙曲線右支的方程為：x*2-3^-=l（x>l）,故漸近線方程為>=±2》，

而直線歹=船與雙曲線右支有公共點(diǎn)，故壯（-2,2）,

故選：D.

【變式1-1]（24-25高二上?北京?階段練習(xí)）平的內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（x/）滿足方程

7（x+l）2+y2+7（^-1）2+/=273,則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程為（）

22222222

A,土+匕=1B,土+匕=1C.土-乙=1D.匕-二=1

32233232

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】利用橢圓定義求方程

【分析】利用橢圓的定義求解即可.

【詳解】由題意，點(diǎn)P（x,y）到兩個(gè)定點(diǎn)（T,。）,（1,0）的距離之和等于2AA>2,

根據(jù)橢圓的定義可知，點(diǎn)P（x,y）的軌跡為焦點(diǎn)為（T0）,（1,0）的橢圓，

旦2a=2V3,2c=2,即a=拒,c=1,貝!]62=/-/=2,

22

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為土+二=1.

32

故選：A.

【變式1-2]（23-24高二上?北京延慶?期末）到定點(diǎn)尸。,0）的距離比到V軸的距離大1的動(dòng)點(diǎn)且動(dòng)點(diǎn)不在x軸

的負(fù)半軸的軌跡方程是（）

A.y2=8xB.y2=4xC.y2=lxD.y2=x

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】利用拋物線定義求動(dòng)點(diǎn)軌跡

【分析】根據(jù)拋物線的定義即可得解.

【詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)尸(1，0)的距離比到了軸的距離大1,

所以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)尸(1,0)的距離等于到x=-l的距離，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以尸(L0)為焦點(diǎn)，x=T為準(zhǔn)線的拋物線，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是/=4x.

故選：B.

【變式1-3](2024?陜西西安?一模)平面上動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)尸(3,0)的距離比〃到了軸的距離大3,則動(dòng)點(diǎn)M

滿足的方程為.

【答案】/=i2x或y=0(x<0)

【知識(shí)點(diǎn)】利用拋物線定義求動(dòng)點(diǎn)軌跡、根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

【分析】考慮xNO和x<0兩種情況，X20時(shí)確定軌跡為拋物線，根據(jù)題意得到，=3,得到答案.

【詳解】動(dòng)點(diǎn)刊到定點(diǎn)廠(3,0)的距離比M到了軸的距離大3,

當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)尸(3,0)的距離等于到尸-3的距離，軌跡為拋物線，

設(shè)拋物線方程為必=28，則5=3，即0=6,所以/=i2x；

當(dāng)x<0時(shí)，y=o滿足條件.

綜上所述：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為：X20時(shí)，r=12x；尤<0時(shí)，y=0,(x<0).

故答案為：F=12x或y=0(x<0)

題型02橢圓(雙曲線)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)與定點(diǎn)距離和差最值

【解題規(guī)律?提分快招】

利用橢圓(雙曲線)定義求距離和差的最值的兩種方法：

(1)抓住I刊■與I|之和(差)為定值，可聯(lián)系到利用基本不等式求I尸大H尸鳥I的最值；

PF2

(2)利用定義(|產(chǎn)片I+質(zhì)|=2&)或||尸片\-\PF2||=24轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)求最值

22

【典例1-1](24-25高一上?廣東?階段練習(xí))尸是雙曲線上一匕=1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓

916

(x+5>+/=4和(X-5)2+/=I上的點(diǎn)，則戶的最大值為()

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】圓上點(diǎn)到定直線(圖形)上的最值(范圍)、利用定義求雙曲線中線段和、差的最值

【分析】根據(jù)題設(shè)及雙曲線定義、圓的性質(zhì)確定點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離差的最大值.

.?.耳(-5,0),0(5,0),

?.,閥|-陷|=2a=6,

:.\PM\<\PF^+\MF^,PRM三點(diǎn)共線且片在尸,“之間時(shí)取等號(hào)，

沖以明-隨則一|兩歸一|尸閶+|穹|,尸，鳥,N共線且N在P,月之間時(shí)取等號(hào)，

所以1PM尸N|W|尸團(tuán)+|町|-|尸巴|+|陷|=6+1+2=9.

故選：D

【典例1-2](22-23高二上?北京海淀?階段練習(xí))已知雙曲線/一/=七點(diǎn)耳、片為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)、p為

雙曲線上一點(diǎn)，若PFJPF。,則|尸曰+|尸閭的值為.

【答案】473

【知識(shí)點(diǎn)】等軸雙曲線、利用定義解決雙曲線中焦點(diǎn)三角形問(wèn)題、利用定義求雙曲線中線段和、差的最值

【分析】首先根據(jù)定義得到歸耳|--聞|=4,再結(jié)合勾股定理求出|咫卜|尸閶，最后平方即可求解.

【詳解】雙曲線龍2-「=4化為標(biāo)準(zhǔn)方程為二一廿=1,

■44

由定義知?dú)w片|-忸耳||=2。=4①，

又因?yàn)槭琠LPg,由勾股定理可知，忸耳『+忸用「=(2c曠=32②，

①式平方得|尸用,+|時(shí)「-2|P7訃歸閭=16③，

聯(lián)立②③得|巴訃|P閭=8,則(忸聞+盧巴『=附『+忸研+2忸4H尸閭=32+16=48,

則|尸￡|+|尸闖=4百.

故答案為：4月

【變式1-1](24-25高二上?湖北?階段練習(xí))已知尸是橢圓C：5+>2=1的左焦點(diǎn)，尸為橢圓C上任意一點(diǎn),

點(diǎn)0(4,4),則|尸0|+|尸產(chǎn)|的最大值為()

A.5+20B.5-272C.3+2亞D.3-2后

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓定義及辨析、橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值

【分析】借助橢圓定義可得|尸0|+|尸盟=盧。|+2”「/區(qū)2°+|”],再借助兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可得.

【詳解】如圖，取橢圓U：+V=l右焦點(diǎn)F,則廠'（1,。），

則由橢圓定義可知?dú)w尸|+戶川=2a=2后，

則|尸。|+\PF\=\PQ\+2a-\PF'\<2a+\QF'\=2五+^（4-1）2+42=5+2血,

當(dāng)且僅當(dāng)P、尸'、。三點(diǎn)共線，且尸'在尸。之間時(shí)取等，

故歸。|+|尸尸|的最大值為5+2VL

【變式1-2]（24-25高二上?江蘇南通?階段練習(xí)）已知點(diǎn)M在橢圓1+：=1上，點(diǎn)-則

|兒回+|九碼的最大值為（）

1121

A.—B.4C.-D.5

44

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值

【分析】作出橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，轉(zhuǎn)化線段，最后利用三角不等式解決即可.

【詳解】

作橢圓的左焦點(diǎn)片（一1，0）,貝”加目+|〃5|=|加留+4-|班|44+|/可，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)〃為線段/4的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取得，由兩點(diǎn)間距離公式得H耳|=b3=|

71

故|皿+|皿=|必+4-3區(qū)4+|工周=彳，

故選：c

22

【變式1-3]（24-25高二上?北京?期中）已知橢圓C:芯+七=1的左、右焦點(diǎn)分別為片、F2,M為橢圓C

上任意一點(diǎn)，N為圓E:（x-5『+（y-4『=1上任意一點(diǎn)，則|九亞|-|龍*I的最小值為.

【答案】-2

【知識(shí)點(diǎn)】定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值（范圍）、橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值

【分析】利用橢圓的定義，將|應(yīng)明|轉(zhuǎn)化為6TM4|,結(jié)合圖形，得最小值.

【詳解】在橢圓C中，a=3,b=亞,則C=V7^=2，即點(diǎn)耳（一2,0）、外（2,0）,

如圖，M為橢圓C上任意一點(diǎn),則|阿|+|"|=2。=6,

又因?yàn)镹為圓氏（》-5）2+（尸4）2=1上任意一點(diǎn)，

|A/AAp|A^|=|7Wp（6-|M^|）=|7W|+|M^|-6>|Affi,|-l+|M^|-6

>|￡,^|-7-^（5-2）2+（4-0）2-7-5-7=-2.

當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E、用共線且M、N在.E、鳥之間時(shí)等號(hào)成立.

所以片的最小值為-2.

題型03橢圓（雙曲線）焦點(diǎn)三角形問(wèn)題

【解題規(guī)律?提分快招】

常用技巧

（1）橢圓（雙曲線）定義

（2）余弦定理（勾股定理）

（3）三角形面積、周長(zhǎng)公式

（4）基本不等式（對(duì)勾函數(shù)）

【典例1-1】（2023,北京?模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)離心率為長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，其兩個(gè)焦點(diǎn)為片，￡,在

橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)尸，使得N甲岑=60。，設(shè)△片尸耳的內(nèi)切圓半徑為r,則:一的值為（）

A.—B.叵C.—D.立

6323

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問(wèn)題、橢圓中焦點(diǎn)三角形的其他問(wèn)題

【分析】在△力笆中，利用余弦定理求得|巴訃|尸閶=4,再由

邑呻=如耳卜|以訃sin60。=g（附|+忸尸J+|百鳥|）求解.

【詳解】解：因?yàn)闄E圓的離心率為長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,

所以a=2,c=1,

在△尸4耳中,由余弦定理得：出研=|尸片「+|尸研-2忸片|.戶/訃360。，

=（附|+|尸7<-3陷中閭，

解得|尸耳卜|尸閱=4,

所以邑呻=（|尸胤尸鳥卜sin6（T=$（|w]+]P司+山鳥|）,

1,V31/“小

—x4x=—rx（4+2）,

222v7

角軍得r=，

3

故選：D

【典例1-2]（24-25高二上?北京?階段練習(xí)）已知點(diǎn)?是曲線辦2+勿2=1（其中〃，b為常數(shù)）上一點(diǎn)，設(shè)

M,N是直線〉='上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，且|"N|=，.給出下列三個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)〃6〉0時(shí)，方程"2+勿2=]表示橢圓：

②當(dāng)。=（，6且"4時(shí)，使得是等腰直角三角形的點(diǎn)尸有6個(gè)：

③當(dāng)。=（，且0<1<4時(shí)，使得是等腰直角三角形的點(diǎn)尸有8個(gè).

則所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②③

【知識(shí)點(diǎn)】由方程研究曲線的性質(zhì)、根據(jù)橢圓的有界性求范圍或最值、橢圓中焦點(diǎn)三角形的其他問(wèn)題

【分析】當(dāng)a=6>0時(shí)可表示圓判斷①；設(shè)點(diǎn)P（2&cos&2夜sin@,再應(yīng)用點(diǎn)尸到直線/的距離結(jié)合對(duì)稱

性判斷②③.

【詳解】方程"2+如2=1中當(dāng)“=/,>0時(shí)可表示圓，故①錯(cuò)誤；

22

在②③中：橢圓方程為二+匕=1,橢圓與直線/均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

248

設(shè)點(diǎn)尸（2瘋os。,2后sin。），則點(diǎn)尸到直線/的距離為

|2V6cos0-2V2sin^|4V2sinf6^---j

d=-忑—==4smrd中可

對(duì)②：f=4時(shí)，

（1）若P為直角頂點(diǎn)，如圖，貝"AW|=f=4,d=2<4,滿足△肱VP為等腰直角三角形的點(diǎn)尸有四個(gè),

（2）若尸不是直角頂點(diǎn)，如圖，貝ij|ACV|=，=4,d=4,滿足APAW是等腰直角三角形的非直角頂點(diǎn)尸有

兩個(gè)，

故才=4時(shí)，使得△ACVP是等腰直角三角形的點(diǎn)尸有6個(gè)，②正確;

對(duì)③：0</<4時(shí)，

（1）若尸為直角頂點(diǎn)，貝=d=；<4,滿足△MAP為等腰直角三角形的點(diǎn)尸有四個(gè).

（2）若P不是直角頂點(diǎn)，如圖，則|九亞"乙d=t<4,滿足△MVP是等腰直角三角形的非直角頂點(diǎn)尸有

四個(gè).

故0</<4時(shí)，使得△MAP是等腰直角三角形的點(diǎn)P有8個(gè)，③正確.

故答案為：②③.

2

【變式1-1］（23-24高二上?北京朝陽(yáng)?期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)瓦丹是雙曲線C:一一匕=1的

2

兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)"在c上，且麗?麗=0,則△GEM的面積為（）

A.V3B.2C.V5D.4

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】利用定義解決雙曲線中焦點(diǎn)三角形問(wèn)題

【分析】利用雙曲線的幾何性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M在C上，片，耳是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),

由雙曲線的對(duì)稱性不妨設(shè)“片>MF2,

貝|]|町|一]四|=。=①，22

22F[F2=2C=2yla+b=273,

因?yàn)槲?近=0,所以町_LM&,

由勾股定理得|叫「+W里「=|耳名「=12②，

①②聯(lián)立可得|町|=6+1,\MF2\=45-l,

所以其"^=曰叫||崢|=2,

故選：B

【變式1-2]（2023?北京西城?二模）已知兩點(diǎn)耳（T0）,用（1,0）.點(diǎn)尸（cos[sin。）滿足|期則

的面積是___；e的一個(gè)取值為___.

1兀

【答案】-/0.5-（答案不唯一）

26

【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)定義的其他應(yīng)用、利用定義解決雙曲線中焦點(diǎn)三角形問(wèn)題

【分析】根據(jù)條件求出點(diǎn)尸的軌跡方程，聯(lián)立方程后求點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可求解面積和角的取值.

【詳解】由點(diǎn)尸（cos仇sin。）可知，cos26>+sin26>=l,所以點(diǎn)尸在圓x?+/=1,

且|國(guó)H9l=收，則點(diǎn)尸在雙曲線的右支上，其中2a=亞，2c=2,b2=c2-a2=^,則雙曲線方程為

2x2—2y2=1,x>0

2

x+/=lx=——x=——

聯(lián)立2/—2/=1,解得：<;或＜2

1

x>0y=—一

”52

則AP耳月的面積S=；x閨￡|XN=；X2X；=；；

當(dāng)x=,y='時(shí)，tan0=，。="7+2E，左eZ,

2236

當(dāng)x=,y=—工時(shí)，tan0=—->9=H2癡，k&Z,

2236

則其中e的一個(gè)取值是臺(tái)JT.

0

故答案為：；；7（答案不唯一）

26

22

【變式1-3]（24-25高二上?北京?期中）已知點(diǎn)片，￡是橢圓C：土+匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)〃在橢圓C

一259

上，則△片的周長(zhǎng)為.

【答案】18

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓定義及辨析、橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題、求橢圓的焦點(diǎn)、焦距

【分析】根據(jù)橢圓的定義求出|九明|+四閭以及閨國(guó)的長(zhǎng)，從而得到△甲明的周長(zhǎng).

【詳解】

22

因?yàn)闄E圓C：工+匕=1,所以。=5,6=3,c=4,

259

由橢圓定義可得|九闋+W明=2a=10,閨段=2c=8,

所以△邛典的周長(zhǎng)為|孫|+|崢|+出閭=18.

故答案為：18.

題型04橢圓（雙曲線）離心率問(wèn)題

【解題規(guī)律?提分快招】

常用技巧

（1）橢圓（雙曲線）定義

（2）余弦定理（勾股定理）

（3）齊次不等式

一【五祠工]]~（一2024疝親函僮二桎丁巨疝/丁無(wú)重而直而無(wú)施喔而公其正￡「萬(wàn)丁6重百斤缸而不獲瓦

且尸，。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，乙隼。=尋，若橢圓的離心率為勺，雙曲線的離心率為02,則工+占的最

小值是（

1+V32^/3

丁

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍

【分析】設(shè)出橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)q,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為出，然后根據(jù)焦點(diǎn)三角形頂角的余弦定理求解出。,02

的關(guān)系式，最后通過(guò)"1"的妙用求解出最小值.

【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為6,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為電，

則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：|尸耳|+忸國(guó)=2%,|尸耳|-|尸乙|=2出，

27r

尸團(tuán)=%+%,|%|=%-。2,設(shè)區(qū)月|=2C,N%0=H，

7T

根據(jù)橢圓與雙曲線的對(duì)稱性知四邊形小。耳為平行四邊形，則/耳尸乙=§,

則在△尸片片中，由余弦定理得，4c2=（4+出）+（%—出）—2（%—%）COS§,

13

化簡(jiǎn)得a：+3靖=4c之，BP—+—=4,

L十一

7+1+7+1

q匕2

>-x

6

x4+2-

63

373+4

當(dāng)且僅當(dāng)，即

故選：A.

13，

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用余弦定理得到石+==4,最后對(duì)原式變形再利用基本不等式即可

求出其最小值.

22

【典例1-2］（24-25高二上?北京?階段練習(xí)）已知橢圓6：亍+a=1（。＞6＞。）與圓。2：/+/=62,若G

n

上存在點(diǎn)尸，過(guò)P可作C2的兩條切線力和尸8,且44尸8=§,則￡的離心率的取值范圍是（）

%

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，求出臨界情況的離心率，再結(jié)合題意即可求出取值范圍.

【詳解】

從橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)向圓引兩條切線尸4,PB,則兩條切線形成的夾角//尸2最小.

若在橢圓G上存在點(diǎn)P,過(guò)P作圓的切線尸切點(diǎn)為A,B,使得NBR4=g,

則只需即/APOV30°,

OAb1

sin//尸O==—＜sin30°=一,

OPa2

所以心2b,則所以/N4（/-c2）,

所以即士，所以eN也，

又因?yàn)閑<l,所以橢圓G的離心率的取值范圍是.

故選：C.

v-22

【變式1-1]（24-25高二上?北京?階段練習(xí)）已知橢圓初:「+qv=1（〃>6>0）,雙曲線

ab

22

N:：-與=1（加>0/>0）.設(shè)橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為片，為，橢圓M的離心率為G，雙曲線N的離心

mn

率為e2,記雙曲線N的一條漸近線與橢圓”一個(gè)交點(diǎn)為尸，若尸耳，學(xué)且閨閭=2|尸周，則員的值為

e2

A.B.C.V3-1D.V3+1

22

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程、求雙曲線的離心率或

離心率的取值范圍

【分析】結(jié)合橢圓定義求得橢圓離心率，由雙曲線的漸近線方程求得雙曲線的離心率，相比即得.

【詳解】橢圓M：W+[=l（a>6>0）中，期,根且閨閭=2|尸周，

ab

則|尸閶=兩尸耳I，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=|尸耳|+|尸典=（1+七）|尸耳

所以橢圓離心率為。=>濾，=扁=6-1,

雙曲線N：W-==1（機(jī)>0,〃>0）的漸近線方程為〉=±'工，故即〃=百加，雙曲線的半焦距為

mnmm

c'=dm2+幾2=2m，

所以雙曲線的離心率為4=邑=2,

m

所以曳=與1

e22

2222

【變式1-2］（24-25高二上?北京豐臺(tái)?期末）設(shè)橢圓=+當(dāng)=1（〃>6>0）與雙曲線2=1的離心率分別

abab

為q,e2,若雙曲線漸近線的斜率均小于寺，則與烏的取值范圍是（）

3131

A.（丁1）B.（1,1）C.（O,1）D.（0,《）

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、已知方程求雙曲線的漸近線、求雙曲線的離心率或離心

率的取值范圍

【分析】由題意及雙曲線的漸近線的斜率可得2<2叵，再由橢圓，雙曲線的離心率的求法，分別判斷出所

a5

給命題的真假.

【詳解】由題意可得雙曲線的漸近線的斜率的絕對(duì)值為則0<2〈拽,

所以G=g

a

所以eYe2=

3

則所以A正確.

故選：A.

22

【變式1-3］（24-25高二上?北京?階段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：］+方=1（。>6>0）的左、右焦

AF.3

點(diǎn)分別為片、￡，直線/過(guò)耳，且和橢圓C交于48兩點(diǎn)，=工與△3片月的面積之比為

DrxJ

3:1,則橢圓C的離心率為.

【答案】孝

【知識(shí)點(diǎn)】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍

【分析】設(shè)H周=3x,忸用=5x,|/用=3九忸用=九根據(jù)橢圓的定義可得x=y,進(jìn)而得出△/片居為

等腰直角三角形，從而求得離心率.

【詳解】:1扁^1二3不妨設(shè)周二3%,I忸I(lǐng)胤=5x,

由點(diǎn)B作8尸_1_尤軸，同時(shí)也過(guò)點(diǎn)A向x軸引垂線，

??kQJkQJ=1-1

,^AFiF2-^BFiF2-）?，，

.1M閭:忸國(guó)=3:1,

設(shè)M閭=3九忸周=y,

由H周+|/周=忸周+忸周=2°,

x=

3x+3y=5x+y,-yf

所以M片|+\=5x+y=5x+x=6xf

所以|/B|=3x,則點(diǎn)A為橢圓的短軸端點(diǎn)，.??△/月月為等腰三角形,

\AB\=3x+x=4x,忸團(tuán)=5x,

.■.\AF^+\AB^=\BF^,.'.AAF^為直角三角形，

.?./百，/工，：.△/片耳為等腰直角三角形，

;.OFx=OA=^AFe

'：OFX=c,AFt=a，即e=￡=.

a2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓的離心率問(wèn)題，關(guān)鍵是利用橢圓的定義判斷出△/片耳為等腰直角三角

形，考查了計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

題型05雙曲線漸近線問(wèn)題

【解題規(guī)律?提分快招】

2222b

1、若雙曲線方程為—V—會(huì)y=1伍〉0力〉o)n漸近線方程：9V―y2=o=_y=±\x

2222

2、若雙曲線方程為々—二=1(?！?,b>0)n漸近線方程：4—二=0y=±fx

a2b-a2b-b

3、若漸近線方程為〉=±2'，則雙曲線方程可設(shè)為三-工=4(4WO),

mmn

4、若雙曲線與W-4=1有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為W—4=入(入〉0,焦點(diǎn)在X軸上,

?2b2a2b2

X<0,焦點(diǎn)在V軸上）

【典例1-1】（2024?北京?三模）若雙曲線G：--<=1與Cz：（■-鳥=1具有相同的漸近線，則G的離心率

42ab

為（）

A."B.y]2c.V3D.V6

2

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍、已知方程求雙曲線的漸近線

【分析】先求出兩個(gè)雙曲線的離心率，根據(jù)漸近線相等列式，代入離心率求解即可.

【詳解】雙曲線G：4-4=1的漸近線為y=±ex,02：=-==1的漸近線為y=±fx,

422abb

由題可知且=3,

2b

所以c2的離心率e=￡

a

故選：C.

【典例1-2】（2024?北京平谷?模擬預(yù)測(cè)）己知雙曲線C：/+或=1的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,并且經(jīng)過(guò)

m

M-2,迎點(diǎn)，貝1]防|-|崢|=；雙曲線C的漸近線方程為

【答案]—2y=±y/2x

【知識(shí)點(diǎn)】已知方程求雙曲線的漸近線、雙曲線定義的理解

【分析】根據(jù)題意將點(diǎn)亂上2,"）代入雙曲線方程可求得切=-2,再由雙曲線定義可得1TM可|=2°,

從而可求解.

【詳解】由題意將屈卜2,指）代入雙曲線方程得4+，=1,解得機(jī)=-2,

2

所以雙曲線方程為/-2=1,又因?yàn)辄c(diǎn)〃在雙曲線左支上，

2

所以|町|-|叫|=-2.=-2；

所以漸近線方程為歹=±岳.

故答案為：一2；y=±42x.

22

【變式1-1]（2024?北京朝陽(yáng)?一模）已知雙曲線C：=一勺=1（。>0力>0）的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸作垂直

ab

于X軸的直線/,M,N分別是/與雙曲線C及其漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn).若M是線段網(wǎng)的中點(diǎn)，則C

的漸近線方程為（）

A.尸土九B.y=±-x

2

_,V3_.V5

Cr?y=±XLn).y=±x

35

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】已知方程求雙曲線的漸近線

【分析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)尸(c,0),求出點(diǎn)M和N的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列式計(jì)算得6關(guān)系，進(jìn)而可

得漸近線方程.

【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)尸(c,0),過(guò)第一象限的漸近線方程為y=2x,

a

當(dāng)x=c時(shí)，y=—,即又

avaJaJ

因?yàn)镸是線段m的中點(diǎn)，所以￡='生，得c=2b,

a2a

所以/=4b之=a2+b2f即a二6b，

所以c的漸近線方程為y=+-x=土也x.

a3

故選：c.

【變式1-2](2024?北京海淀?三模)已知雙曲線C的焦點(diǎn)為耳(-2,0),8(2,0),實(shí)軸長(zhǎng)為2,則雙曲線C的

離心率為,漸近線方程為.

【答案12y=土Cx

【知識(shí)點(diǎn)】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍、已知方程求雙曲線的漸近線

【分析】先求出雙曲線的基本量，故可求離心率和漸近線方程.

【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為c,由題設(shè)可得c=2且焦點(diǎn)在x軸上，

22

故可設(shè)雙曲線方程為:三貝！]2。=2即a=l,

ab

故/=3即6=故離心率為￡=2,漸近線方程為尸土紇=土后，

aa

故答案為：2；y=±V3x.

【變式1-3](2024?北京西城?一模)雙曲線河:/_且=1的漸近線方程為________；若M與圓

3

0：/+/=/&>0)交于450,。四點(diǎn)，且這四個(gè)點(diǎn)恰為正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則〃=.

【答案】y=±GxV3

【知識(shí)點(diǎn)】由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑、已知方程求雙曲線的漸近線

【分析】結(jié)合雙曲線漸近線的定義與正方形的性質(zhì)計(jì)算即可得.

【詳解】由-[=1,故其漸近線方程為y=±,x=±Gx;

2q

令私可，由題意可得網(wǎng)=|"|,即有機(jī)2一土=1,解得病=

32

故/=加2+”2=2m2=3,即r=6.

故答案為：y=±V3x；V3.

題型06根據(jù)曲線表示橢圓（雙曲線）求參數(shù)

【解題規(guī)律?提分快招】

22

【典例1-1]（23-24高二上?北京延慶?期末）"1＜加＜2"是"方程^―+工=1表示橢圓”的（）

2-mm-1

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)的范圍、判斷命題的必要不充分條件

22

【分析】根據(jù)"1＜加＜2"與"方程+工=1表示橢圓"的互相推出關(guān)系判斷出屬于何種條件.

2—mm—\

3丫22

【詳解】當(dāng)1〈加＜2時(shí)，取機(jī)=],此時(shí)+工=1=尤2+/=2,故方程表示圓；

22—mm—\

2—m＞0

22

當(dāng)方程-^+工=1表示橢圓時(shí)，貝IJ機(jī)-1＞0,

2-mm-\-1

2—加。機(jī)一1

解得（加1＜加＜|?或T＜加＜2卜

此時(shí)］冽1＜冽＜5或/＜加＜2|是｛加［1＜加＜2｝的真子集，

所以"1＜加＜：或9＜加＜2｝可推出｛間1＜根＜2｝；

22

綜上可知，"1＜加＜2"是"方程^+上=1表示橢圓"的必要而不充分條件，

2-mm-\

故選：B.

22

【典例1-2］（24-25高二上?北京朝陽(yáng)?期末）已知曲線C:上~+=J=l（加eZ且〃-±2）.若。為雙曲線，

m+22-m

則加的一個(gè)取值為；若C為橢圓，則加的所有可能取值為.

【答案】3（答案不唯一）±1

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)的范圍、根據(jù)方程表示雙曲線求參數(shù)的范圍

【分析】由雙曲線和橢圓的方程性質(zhì)結(jié)合題意列不等式組可得；

【詳解】若。為雙曲線，則內(nèi)"+?（2一心）＜0,解得加＞2或〃＜?-2,

\m?！?

又加$Z,所以加的一個(gè)取值可能為3；

m+2＞0

若。為橢圓，貝人2—加〉0,解得一2＜加＜2且加W0,

加+2w2—加

又比eZ,所以加的所有可能取值為±1；

故答案為：3（答案不唯一）；士1.

【變式1-1］（23-24高二上?北京朝陽(yáng)?期末）若方程上一-己=1表示橢圓，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

4-mm

A.（0,4）B.（-co,0）C.（4,+co）D.（-oo,0）U（0,4）

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)的范圍

【分析】由方程表示橢圓得系數(shù)滿足的不等式組，解不等式組可得.

22

【詳解】因?yàn)榉匠獭?-匕=1表示橢圓，

4-mm

4-m＞0

則一加＞0,解得加＜0,則實(shí)數(shù)"7的取值范圍是（-8,0）.

4一加w—m

故選：B.

22

【變式1-2］（23-24高二上?北京豐臺(tái)?期末）已知橢圓^+一」=1的焦點(diǎn)在x軸上，則%的取值范圍是

m-37-m

A.3<m<7B.3<m<5C.5<m<7D.m>3

【答案】c

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)的范圍

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，列出不等式組，即可求解.

m-3＞0

22

【詳解】由橢圓=1的焦點(diǎn)在X軸上，則滿足7-加＞0,解得5〈機(jī)＜7.

m-37-m。_

m-3＞7-m

故選：C.

22

【變式1-3]（24-25高二上?山東棗莊）已知雙曲線少:」----匚=1,則下列選項(xiàng)中正確的是（）

2+mm+1

A.me（-2,-1）

B.若沙的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,土也），則加=1

C.少的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1,0）

D.若加=0,則少的漸近線方程為x±J5y=0

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】已知方程求雙曲線的漸近線、求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、判斷方程是否表示

雙曲線

【分析】根據(jù)（2+加）。+〃7）＞0即可判斷A；根據(jù)雙曲線的頂即可判斷出B錯(cuò)誤；分加＞-1