PAGE1-回顧7立體幾何[必記學問]空間幾何體的表面積和體積幾何體側面積表面積體積圓柱S側＝2πrlS表＝2πr(r＋l)V＝S底h＝πr2h圓錐S側＝πrlS表＝πr(r＋l)V＝eq\f(1,3)S底h＝eq\f(1,3)πr2h圓臺S側＝π(r＋r′)lS表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(r2＋r′2＋rr′)h直棱柱S側＝Ch(C為底面周長)S表＝S側＋S上＋S下(棱錐的S上＝0)V＝S底h正棱錐S側＝eq\f(1,2)Ch′(C為底面周長，h′為斜高)V＝eq\f(1,3)S底h正棱臺S側＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′(C，C′分別為上、下底面周長，h′為斜高)V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3空間線面位置關系的證明方法(1)線線平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a?β,α∩β＝b))?a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a∥c))?c∥b.(2)線面平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(b?α,a?α,a∥b))?a∥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a?β))?a∥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,a⊥β,a?α))?a∥α.(3)面面平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α,a∩b＝O,a∥β，b∥β))?α∥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥β))?α∥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,γ∥β))?α∥γ.(4)線線垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b?α))?a⊥b.(5)線面垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α,a∩b＝O,l⊥a，l⊥b))?l⊥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a?α，a⊥l))?a⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a⊥α))?a⊥β，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α.(6)面面垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?β,a⊥α))?α⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,a⊥α))?α⊥β.[必會結論]把握兩個規(guī)則(1)三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖一樣；側(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度和正(主)視圖一樣，寬度與俯視圖一樣．畫三視圖的基本要求：正(主)俯一樣長，俯側(左)一樣寬，正(主)側(左)一樣高．(2)畫直觀圖的規(guī)則：畫直觀圖時，與坐標軸平行的線段仍平行，與x軸、z軸平行的線段長度不變，與y軸平行的線段長度為原來的一半．球的組合體(1)球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長．(2)球與正方體的組合體：正方體的內切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長．(3)球與正四面體的組合體：棱長為a的正四面體的內切球的半徑為eq\f(\r(6),12)a(正四面體高eq\f(\r(6),3)a的eq\f(1,4))，外接球的半徑為eq\f(\r(6),4)a(正四面體高eq\f(\r(6),3)a的eq\f(3,4))．空間中平行(垂直)的轉化關系[必練習題]1．(2024·成都市其次次診斷性檢測)已知a，b是兩條異面直線，直線c與a，b都垂直，則下列說法正確的是()A．若c?平面α，則a⊥αB．若c⊥平面α，則a∥α，b∥αC．存在平面α，使得c⊥α，a?α，b∥αD．存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥α解析：選C.對于A，直線a可以在平面α內，也可以與平面α相交；對于B，直線a可以在平面α內，或者b在平面α內；對于D，假如a⊥α，b⊥α，則有a∥b，與條件中兩直線異面沖突．2．(2024·江西南昌二模)設點P是正方體ABCD-A1B1C1D1的體對角線BD1的中點，平面α過點P，且與直線BD1垂直，平面α∩平面ABCD＝m，則m與A1C所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2\r(2),3)解析：選B.設正方體的棱長為1.由題意知m∥AC，所以直線m與A1C所成角(或其補角)等于∠ACA1，在Rt△ACA1中，cos∠ACA1＝eq\f(AC,A1C)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).故選B.3．(2024·福建五校其次次聯考)已知某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的表面積是()A.eq\f(39π,4)＋3eq\r(3) B.eq\f(45π,4)＋3eq\r(3)C.eq\f(23π,2) D.eq\f(49π,4)解析：選A.由三視圖知，該幾何體為圓錐挖掉eq\f(1,4)圓臺后剩余部分，其表面積S表＝eq\f(3,4)π×22＋eq\f(1,4)π×12＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)×2π×2))×4＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×2π×1))×2＋eq\f(（1＋2）×\r(3),2)×2＝eq\f(39π,4)＋3eq\r(3).故選A.4．(2024·河南安陽調研四)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E∈平面AA1B1B，點F是線段AA1的中點，若D1E⊥CF，則當△EBC的面積取得最小值時，eq\f(S△EBC,S四邊形ABCD)＝()A.eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(5),10)解析：選D.如圖所示，連接B1D1，取AB的中點G，連接D1G，B1G.由題意得CF⊥平面B1D1G，所以當點E在直線B1G上時，D1E⊥CF，設BC＝a，則S△EBC＝eq\f(1,2)EB·BC＝eq\f(1,2)EB·a，當△EBC的面積取最小值時，線段EB的長度為點B到直線B1G的距離，所以線段EB長度的最小值為eq\f(a,\r(5))，所以eq\f(S△EBC,S四邊形ABCD)＝eq\f(\f(1,2)×\f(a,\r(5))×a,a2)＝eq\f(\r(5),10).故選D.5．(一題多解)(2024·南昌市第一次模擬測試)底面邊長為6，側面為等腰直角三角形的正三棱錐的高為________．解析：法一：由題意得，三棱錐的側棱長為3eq\r(2)，設正三棱錐的高為h，則eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3eq\r(2)×3eq\r(2)×3eq\r(2)＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×36h，解得h＝eq\r(6).法二：由題意得，三棱錐的側棱長為3eq\r(2)，底面正三角形的外接圓的半徑為2eq\r(3)，所以正三棱錐的高為eq\r(18－12)＝eq\r(6).答案：eq\r(6)6．設a，b是兩條不重合的直線，α，β是兩個不重合的平面，給出以下四個命題：①若a∥b，a⊥α，則b⊥α；②若a⊥b，a⊥α，則b∥α；③若a⊥α，a⊥β，則α∥β；④若a⊥β，α⊥β，則a∥α.其中全部正確命題的序號是________．解析：①若a∥b，a⊥α，則b⊥α，故正確；②若a⊥b，a⊥α，則b∥α或b?α，故不正確；③若a⊥α，a⊥β，則α∥β，正確；④若a⊥β，α⊥β，則a∥α或a?α，故不正確．答案：①③7．(2024·高考江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB＝BC.求證：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.證明：(1)因為D，E分別為BC，AC的中點，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因為ED?平面DEC1，A1B1?平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.(2)因為AB＝BC，E為AC的中點，所以BE⊥AC.因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以C1C⊥平面ABC.又因為BE?平面ABC，所以C1C⊥BE.因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以BE⊥平面A1ACC1.因為C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.8．(2024·貴州省適應性考試)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側面PAD為等邊三角形，AB＝eq\r(3)，AD＝2eq\r(3)，PB＝eq\r(15).(1)求證：平面PAD⊥平面ABCD；(2)M是棱PD上一點，三棱錐M-ABC的體積為1，記三棱錐P-MAC的體積為V1，三棱錐M-ACD的體積為V2，求eq\f(V1,V2).解：(1)證明：由已知，得PA＝AD＝2eq\r(3).于是PA2＋AB2＝15＝PB2，故AB⊥PA.因