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2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷02(全國卷理科)

理科數(shù)學(xué)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知集合4=『工？0卜S={x|log2(^-1)<3},貝ij做A)cB=()

A.[3,9]B.(1,9]C.(1,3]D.(1,3)

2.已知復(fù)數(shù)z=*，貝氏的虛部為()

A.-1B.—iC.1D.i

3.設(shè)/,加是兩條不同的直線，夕是兩個不同的平面，若/ua,,a//p,則是“加_L￡”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)〃丈)的解析式可能為()

/\1V2

A./(x)=cos2x?)B./(x)=--ln——

XX+1

+e-xr2.+1

C./(x)=----------D./(x)=sin2x-ln——

XX2

5.已知平面向量a,b,c滿足。+6+。=。,q=|“=1,|4=百，則4與b的夾角為()

6.已知/（x）+l在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).若正實數(shù)a,6滿足/（a—4）+/（6）=—2,則:+：的最小值

為（）

A.—+B.—F近C.3+2A/2D.—FV2

4242

7.2024年3月16日下午3點，在貴州省黔東南苗族侗族自治州榕江縣“村超”足球場，伴隨平地村足球隊

在對陣口寨村足球隊中踢出的第一腳球，2024年第二屆貴州“村超”總決賽階段的比賽正式拉開帷幕.某校足

球社的五位同學(xué)準(zhǔn)備前往村超球隊所在村寨調(diào)研，將在第一天前往平地村、口寨村、忠誠村，已知每個村

至少有一位同學(xué)前往，五位同學(xué)都會進行選擇并且每位同學(xué)只能選擇其中一個村，若學(xué)生甲和學(xué)生乙必須

選同一個村，則不同的選法種數(shù)是（）

A.18B.36C.54D.72

血

8.已知sina+cos/?=飛-,cosa-sin4二：--,則cos(2a_20=()

A.LB.-工C.叵n5a

32323232

9.m^Da=sin0.5,Z?=305,c=logo30.5,則c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

22

10.已知橢圓E：鼻+}=l(a>6>0）的左焦點為尸，如圖，過點/作傾斜角為60。的直線與橢圓E交于A,

3兩點，M為線段A3的中點，若5|引昌=|。目（。為坐標(biāo)原點），則橢圓E的離心率為（）

R瓜

D.--------

3

11.在棱長為1的正方體ABCD-4耳CQ中，分別為4c的中點，點P在正方體的表面上運動,

且滿足“PJ-av,則下列說法正確的是（）

D\

A.點P可以是棱8月的中點

C.點尸的軌跡是正方形D.點尸軌跡的長度為2+石

12.若函數(shù)/（尤）=。11吠+1^2-2尤有兩個不同的極值點外,三，且二一/（不）+馬＜/（當(dāng)）一王恒成立，則實數(shù)f的

取值范圍為（）

A.（-co,-5）B.（-co,-5]C.（-00,2-21n2）D.（YO,2—21n2]

第二部分（非選擇題共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.若數(shù)列｛%｝滿足4=1,」用-%-1=2",則為=.

14.已知函數(shù)〃D=23（3-幻，其中。為常數(shù)，且。?0,6）,將函數(shù)的圖象向左平移巳個單位所

得的圖象對應(yīng)的函數(shù)g（x）在x=。取得極大值，則。的值為.

15.已知函數(shù)/（"=-幺+2產(chǎn)x-2/+t的最大值為加，若函數(shù)gG）=M+』-〃?有三個零點，則實數(shù)小的取

值范圍是.

16.己知四棱錐P-ABCD的高為2,底面ABCD為菱形，AB=AC=6E,尸分別為PAPC的中點，則四

面體EFBD的體積為；三棱錐P-ABC的外接球的表面積的最小值為.

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.已知ABC的內(nèi)角ABC的對邊分別為a,40,星=詈4.

c4b-a

(1)求sinC的值;

⑵若ASC的面積為叵，且4+5=2西C,求，ABC的周長.

23

18.某校高三年級進行班級數(shù)學(xué)文化知識競賽，每班選三人組成代表隊，其中1班和2班進入最終的決賽.決

賽第一輪要求兩個班級的代表隊隊員每人回答一道必答題，答對則為本班得1分，答錯或不答都得。分.已

知1班的三名隊員答對的概率分別為:、：、k2班的三名隊員答對的概率都是：，每名隊員回答正確與

4323

否相互之間沒有影響.用J、〃分別表示1班和2班的總得分.

⑴求隨機變量4、7的數(shù)學(xué)期望后信),研〃)；

(2)若J+〃=2,求2班比1班得分高的概率.

19.如圖，在圓柱。。中，一平面沿豎直方向截圓柱得到截面矩形A8與A,其中AA，8片為圓柱。。的母

線，點C在底面圓周上，且BC過底面圓心。，點。，E分別滿足AD=2D4，AE=2EC,過。石的平面與8片

交于點尸，且BiF=2FB(4>0).

(1)當(dāng)2=2時，證明:平面D￡F//平面ABC；

(2)若例=2AB=2AC,AF與平面A.B.C所成角的正弦值為叵,求；I的值.

10

20.已知動圓E經(jīng)過定點0(1,0),且與直線x=-l相切，設(shè)動圓圓心E的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

(2)設(shè)過點尸(1,2)的直線乙，4分別與曲線C交于A,B兩點,直線14的斜率存在，且傾斜角互補，求證:

直線A3的傾斜角為定值.

21.已知函數(shù)/(x)=xe*-2ov(a>0).

⑴若函數(shù)/(x)在x=l處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為］,求。的值;

(2)若函數(shù)/(X)的最小值為-e,求a的值.

(-)選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點。為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的

x=m+J3cosa

極坐標(biāo)方程為0=2sin。；在平面直角坐標(biāo)系宜萬中，曲線C?的參數(shù)方程為廠（a為參數(shù)）,

y=J3sina

點A的極坐標(biāo)為且點A在曲線C2上.

(1)求曲線G的普通方程以及曲線C2的極坐標(biāo)方程;

⑵已知直線-后y=0與曲線GC分別交于P，。兩點，其中P,。異于原點。，求的面積.

選修4-5：不等式選講

23.已知函數(shù)〃。=國+值一2|+|尤一4.

⑴當(dāng)a=2時，求不等式/(a414的解集；

(2)若小"次+—+16恒成立,求“的取值范圍.

理科數(shù)學(xué)?全解全析

第一部分（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

123456789101112

CABDBABACBDB

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

⑶2"+〃—214.2

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

cosCcosAcosCcosA

17.【詳解】⑴解:因為,由正弦定理得..................................1分

4b-asinC4sinB-sinA

可得4sinBcosC—sinAcosC=cosAsinC,

即4sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,.......................................................................3分

因為Bw(0,兀)，可得sin/>0,所以4cosc=1,BPcosC=-,

4

所以sinC=A/1-COS2C=...............................................................................................................................6分

4

(2)解：由(1)知sinC=巫，

4

因為若.ABC的面積為正，可得J_HsinC=姮，即巫=叵，解得必=4,..................8分

222242

又因為〃c，

3

由余弦定理得/=a2+b2—2az2cosC=(a+b，—2ab—=(Q+Z?)2——ab—(冬ec)?—10,

整理得。2=6,解得c=6，..............................................................................................................................10分

所以〃+/?=^^*#=4，

3

所以ABC的周長為〃+b+c=4+痛.......................................................12分

18.【詳解】（1）依題意可得4的可能取值為0、1、2、3,

31

所以P（J=O）=11-|1-1

4241

尸?=1)11221-111

x-x1-|x—

3<43+-124

1232111

+1x1x—x—=——

2r3r43224

所以隨機變量4的分布列為

40123

1￡11￡

P

244244

3分

1111173

所以位=0xhlx：+2xh3x：==.................................................................................................4分

v724424412

又2班的總得分〃滿足〃??3,2，則磯/7)=3xg=2...............................................................................6分

(2)設(shè)“J+〃=2”為事件A,“2班比1班得分高”為事件8,...................................................................7分

則尸（A）=[xC

59

..............................................................................................................................................................9分

24x27

所以網(wǎng)3體）=常124x2712

——x-----------...................................................................................................11分

545959

所以2班比1班得分高的概率為百.........................................................12分

UUUUUUULULU1UUUJUUL1ULU

19.【詳解】（1）當(dāng)4=2時，得B尸=2FB,又4￡）=2ZM,B[E=2EC,

所以￡>F〃AB,EF//BC,.................................................................................................................................2分

DBS平面ABC,ABu平面ABC,「〃平面ABC,

同理得EF〃平面ABC,.....................................................................................................................................4分

因為EF,DE是平面DEF內(nèi)兩條相交直線，

所以平面DEF//平面ABC..................................................................................................................................5分

(2)因為B瓦為圓柱。。i的母線，所以A4|垂直平面ABC,又點C在底面圓周上，且BC過底面圓心

O,

所以AB1AC,所以A民AC胡兩兩互相垂直.以點A為坐標(biāo)原點，人民AC,A4,分別為反丁/軸，建立如圖

空間直角坐標(biāo)系，........................................................................6分

設(shè)AC=1,則4(0,0,0),3(1,0,0),C(0,l,0),4(。，。，2),耳。,0,2),

所以AB=(1,0,0),=(0,0,2),44=(1，。，。)，4C=(O,1,_2),7分

因為男尸=2EB(2>0),所以3戶=工BB]=0,0,-^-

,則

/t+1X+1

AF=AB+BF=(1,0,0)+10,0,-^-

8分

設(shè)平面44c的一個法向量為n=(x,y,z),

…=。，即x=0人

則1Z=。'令z=l,解得x=°'i

〃TC=o

所以〃=(O,2,l),...................................................................................................................................................10分

?1AF-n.+]

cosn

所以"與平面A^c所成角的正弦值為|\=戛==i/、2—，

網(wǎng).同瓦彳苻

2_

1+1M

?,I/9=15"，角軍得2=1或-3,..............................................................................................11分

X石

A>0,X=1....................................................................................................................................................12分

zA

20.【詳解】(1)因為動圓E經(jīng)過定點。(1,0),且與直線尤=-1相切,

即動圓圓心E到點0)的距離與到直線x=-1的距離相等,1分

又點。(1,0)不在直線X=-1上，

由拋物線的定義可知動圓圓心E是以。(1,0)為焦點，直線x=T為準(zhǔn)線的拋物線，...............3分

所以動圓圓心E的軌跡為y2=4x...............................................................4分

(2)依題意設(shè)直線4方程為y=依尤—1)+2(Z70),

直線4，4的斜率存在，且傾斜角互補,

的方程為,=_依彳_1)+2.

fy=k(x—V)+2

聯(lián)立方程組{2/，消元得左_(2/_4左+4)%+(左—2)2=0,

[y=4x

A=(2左2—4上+4)2—4%2(上一2)2=16(左一I)?>0,...............................................6分

因為此方程的一個根為1,設(shè)8(孫為)，

則飛=出3=三上，同理可得3=產(chǎn)+}+4，........................................8分

2人2+8—8k—8

?‘石十%=一，石一馬二?

2k2+8Q

/.yl—y2=[左(%-1)+2]-[—k(x2-1)+2]=左(玉+/)_2左二——---2k=—.

^AB=―—區(qū)=-1,...........................................................................10分

%~X2

4

設(shè)直線A3的傾斜角為凡貝!jtane=T,又840,兀)，所以。=?7r,...........................11分

■■■直線AB的斜率為定值-1,傾斜角為定值3乎71..............................................12分

4

21.【詳解】(1)因為/(x)=xe，-2依(。＞0),所以r(x)=(x+l)e*-2a,

貝|/'(l)=2e—2a,又〃l)=e-2a,

所以函數(shù)/(x)在x=l處的切線方程為V—e+2a=(2e—2a)(x-l)................................2分

由題意，顯然"e,令x=0得y=-e,令、=0得》=—?—,

2e-2a

iee

所以函數(shù)/(x)在X=1處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為s=片h-x/el=7，

22e—2〃2

所以|2e—2o|=e,解得或........................................................4分

(2)由(1)知/'(x)=(x+l)e*-2a,令g(x)=/'(x)=(x+l)e，-2a(a>0),

所以g?)=(x+2)e，，當(dāng)x<-2時,g'(x)<O,g(x)在2)上單調(diào)遞減,

當(dāng)天>-2時，g'(x)>0,g(x)在(一2,+⑹上單調(diào)遞增.........................................6分

因為。>0,所以當(dāng)xW-2時，g(x)=(x+l)e*-2a<0,

又g(2a)=(2。+1)，"-2a>2a+l-2a-1>0,

所以g(x)在(-2,+向上必存在唯一零點七,使得g(%)=0....................................8分

當(dāng)x<xO時，g(x)<0,即y'(x)<0J(x)在(ro,龍0)上單調(diào)遞減，

當(dāng)4時,g(x)>0,即尸⑺>O,f(x)在小,4w)上單調(diào)遞增.

所以/'(x)在x=七處取得最小值，

即/(x)1nin=/(不)=入戶—2辦0，且(國)=0,即2a=(%+l)e&,

所以)(尤)min=%e--2ax0=%e8-(x0+l)e%=-x；e拓=-e...................................10分

--x2ex(x>-2),所以//(x)=-x(x+2)e￡,

當(dāng)xe(-2,0)時，”(x)>O，Mx)單調(diào)遞增，Mx)>M_2)=q>U-=-e,

當(dāng)xe[0,+oo)時,h'(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，/z(x)</?(O)=O,

又/z(l)=-e,所以函數(shù)/?)在(-2,+向上存在唯一的x=l,使得-de，=_e成立，

所以％=1,所以2。=(七+l)e"=2e,即a=e...............................................12分

(二)選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22.【詳解】(1)因為曲線G的極坐標(biāo)方程為夕=2sin6,所以"=2psin。,

x=QCOSS

由y=/7sin0,得曲線G的直角坐標(biāo)方程為/+y2-2y=0；

4=Y+y2

JQ—m+J3cosa

由曲線G的參數(shù)方程為廠(。為參數(shù))，又cos2c+sin2a=l,

y=A/3sina

得+,2=3,.......................................................................2分

因為，P.e,所以（夕858-m）2+（夕5]!1夕）2=3,即夕2一2加夕cose+蘇=3,

即曲線G的極坐標(biāo)方程為「之一Impcos6+/=3.

又點A[痛,在曲線G上，所以6-2鬲+/=3,解得切=6，

所以曲線。2的極坐標(biāo)方程為夕=2指cos。；.................................................4分

X=A/6COS—=A/3

4，即點A的直角坐標(biāo)為（若,退）,

（2）因為點5分

y=指sin;=括

由（1）得曲線C?的直角坐標(biāo)方程為（X-有『+產(chǎn)=3,

3出

x-j3y=0x=---…/3g3)

X=0T2

聯(lián)立(r-\2，解得"0或，所以Q~2~9^