重難點06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【八大題型】

【新高考專用】

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(方程根)問題在高考中

占有很重要的地位，是熱點問題，主要涉及函數(shù)零點的個數(shù)或范圍等問題.高考?？疾槿魏瘮?shù)與復(fù)合函數(shù)

的零點問題，以及函數(shù)零點與其他知識的交匯問題，一般作為解答題的壓軸題出現(xiàn)，難度較大，需要靈活

求解.

?知識梳理

【知識點1導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點問題及其解題策略】

1.函數(shù)零點(個數(shù))問題的的常用方法

(1)構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)g(x),利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點的個數(shù).

(2)函數(shù)零點存在定理：利用零點存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)

有多少個零點.

(3)數(shù)形結(jié)合法：函數(shù)零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)圖象的幾何直觀求

2.導(dǎo)數(shù)中的含參函數(shù)零點(個數(shù))問題

利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點(個數(shù))問題主要有兩種方法：

(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)於)的最值，轉(zhuǎn)化為/)圖象與x軸的交點問題，主要是應(yīng)用分類討論思想解決.

(2)分離參變量，即由負x)=0分離參變量，得a=g(x),研究尸a與尸g(x)圖象的交點問題.

3.與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題的解題策略

與函數(shù)零點(方程的根)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合

特殊點判斷函數(shù)的大致圖象，進而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點情況.

【知識點2隱零點問題及其解題策略】

1.隱零點問題

隱零點問題是指函數(shù)的零點存在但無法直接求解出來的問題，在函數(shù)不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合題目中常會

遇到涉及隱零點的問題，處理隱零點問題的基本策路是判斷單調(diào)性，合理取點判斷符號，再結(jié)合函數(shù)零點

存在定理處理.

2.隱零點問題的解題策略

在求解函數(shù)問題時，很多時候都需要求函數(shù)於)在區(qū)間/上的零點，但所述情形都難以求出其準確值，

導(dǎo)致解題過程無法繼續(xù)進行時，可這樣嘗試求解：先證明函數(shù)人x)在區(qū)間/上存在唯一的零點(例如，函數(shù)人X)

在區(qū)間/上是單調(diào)函數(shù)且在區(qū)間/的兩個端點的函數(shù)值異號時就可證明存在唯一的零點)，這時可設(shè)出其零

點是無o.因為劭不易求出(當然，有時是可以求出但無需求出)，所以把零點劭叫做隱零點；若xo容易求出，

就叫做顯零點，而后解答就可繼續(xù)進行，實際上，此解法類似于解析幾何中“設(shè)而不求”的方法.

?舉一反三

【題型1判斷或討論零點的個數(shù)】

(1,%>0

【例1】(2024?新疆烏魯木齊?三模)已知符號函數(shù)sgn(%)={0,汽=0,則函數(shù)/(%)=sgn(ln%)-%ln%零

I—1,%v0

點個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【變式1-1](2024?北京房山?一模)若函數(shù)/(%)=工工(0+8)，則函數(shù)。(久)=/(%)+%+。零點的

個數(shù)為(

C.1或2D.1或3

【變式1-2](2024?陜西榆林?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(>)=lnx—a:rexT+x+1,aGR.

(1)當a=l時，求/'(%)的極值;

(2)討論函數(shù)/(%)的零點個數(shù).

【變式1-3](2024?安徽蕪湖?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(X)=eXsinx.

(1)討論函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,TT)上的單調(diào)性；

(2)判斷函數(shù)八(x)=43+ln(x+1)-2%+1零點的個數(shù).

【題型2零點問題之唯一零點問題】

【例2】(2024?四川綿陽?模擬預(yù)測)函數(shù)/'(X)=/--一6恰好有一零點近，Q.k>b>0,則久o的取值范圍

是()

A.(-oo,0)B.(0,1)C.(-oo,l)D.(1,+oo)

【變式2-1](2024?四川成都?三模)若函數(shù)/(x)=e，-"2大于o的零點有且只有一個，則實數(shù)k的值為

()

ct—e2

A.4B.21C.2D.\e

【變式2-2](2024?四川德陽?三模)已知函數(shù)f(x)=21nx-x2—1.

(1)試研究函數(shù)/(久)的極值點；

-2

(2)若F(x)=/(x)+4ax恰有一個零點，求證0<a<7

【變式2-3](2024?廣東汕頭?三模)已知函數(shù)fQ)=x(eX—a/).

(1)若曲線y=f(X)在x=-1處的切線與y軸垂直，求y=f(x)的極值.

(2)若f(x)在(0,+8)只有一個零點，求a.

【題型3零點問題之雙零點問題】

【例3】(2024?河北衡水?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=lnx+1-ax有兩個零點％1如，且％1＜功，則下列命題

正確的是()

2

A.a>1B.%1+%2<-

1

C.,%2V1D.12—~-1

【變式3-1](2024?湖南郴州?模擬預(yù)測)已知/(%)=7neE-in%(?n20),若/(%)有兩個零點，則實數(shù)租的

取值范圍為()

A-(。，9B.(0,1)

C&+8)D.g,+8)

【變式3-2](2024?湖南,三模)已知函數(shù)/'(%)=ae2x-(a久+2-a)eX+gx2.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若/。)有兩個零點，求。的取值范圍.

【變式3-3](2024?浙江?模擬預(yù)測)已知a為實數(shù)，nGN*,設(shè)函數(shù)f⑺=C-alnx.

⑴討論/(久)的單調(diào)性；

(2)若/(%)有兩個零點，求a的取值范圍.

【題型4根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍】

(13—2%|+l,x〉0,

【例4】(2024?四川?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(X)=，0+2)2x.0,若函數(shù)y=，(%)]2-a/(x)有5個不同的

kexr-,

零點，則a的取值范圍是()

A.(0,1]B.(1,4]C.(1,4)D.(1,+oo)

【變式4-1](2024?四川?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(*)={_制由*’0,,若關(guān)于尤的方程/⑴+a—1=0的不同

實數(shù)根的個數(shù)為4,貝必的取值范圍為()

A-(1-9)B.-1)C,(1,1+j)D.(1-1,1+|)

【變式4-2](2024?四川涼山?三模)已知函數(shù)/'(%)=(2久一1)即一根久2一7n久+7n.

(1)當7H=0時，求/'(久)的極值點；

(2)若機>0且函數(shù)f(x)有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍.

【變式4-3](2024?新疆?三模)已知函數(shù)/(久)=Q—1)1—k2+a.

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

(2)若久久)有三個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.

【題型5函數(shù)零點的證明問題】

【例5】(2024?重慶?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(無)=磯111%+1)++("0).

(1)求證：l+%ln%>0；

(2)若%i，%2是/(%)的兩個相異零點，求證：1%2fli<1-J1?

、..?1

【變式5-1](2024?四川自貢?三模)已知函數(shù)/(%)=1+1+aln%(a〉。)

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)函數(shù)/(%)有唯一零點％1，函數(shù)g(x)=%-sin%■在R上的零點為%2.證明：

【變式5-2](2024?河北邯鄲?三模)已知函數(shù)/(%)=%e—a%2),QER.

⑴求曲線y=/(%)在點(0/(0))處的切線方程.

(2)已知關(guān)于久的方程/(%)=一心恰有4個不同的實數(shù)根第其中％1〉0，%2>。.

(i)求Q的取值范圍；

(ii)求證:%i+%2>4.

【變式5-3](2024?湖北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=e*-lnx-a,g(x)=ex-ln(%+a),其中。為整數(shù)且

aN1.記%o為/(%)的極值點，若/(%)存在兩個不同的零點久1，%2(%1<%2)?

(1)求a的最小值；

(2)求證：g(ln%i)=g(ln%2)=。；

【題型6多零點的和、差、積與大小關(guān)系問題】

【例6】(2024?四川南充?一模)已知函數(shù)〃X)=1+2卜爪(0<m<3)有兩個不同的零點小，x2

，下列關(guān)于第1，%2的說法正確的有()個

①含<e2m②血>總③滯〈第2〈言④久1%2>1

A.1B.2C.3D.4

【變式6-1](2024?四川成都一模)已知函數(shù)/(%)=(ln%)2In%+，2有三個零點％]、冷、盯且第1<%2<

%3,則等1+等+等的取值范圍是(

久1%2x3

A.(一白，。)B.(一1,0)D

C(一看。)-（-加）

【變式6-2](2024?福建南平?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(乃=等，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

⑴討論/(久)的單調(diào)性；

(2)若方程/(%)=1有兩個不同的根%1，%2.

⑴求。的取值范圍；

(ii)證明：%i+%2>2.

【變式6-3](2024?湖南郴州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(%)=2aln%+$2_(a+2)%,其中。為常數(shù).

(1)當。>0時，試討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(%)有兩個不相等的零點％1，%2,

(i)求a的取值范圍；

(ii)證明：%i+%2>4.

【題型7隱零點問題】

【例7】(2024?天津河西?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=ae2x+(a-2)ex-x,g(x)=ex-ln(x+m).

(1)討論/Q)的單調(diào)性;

(2)當m<2時,求證g(x)>0；

(3)若有兩個零點，求a的取值范圍.

【變式7-1](2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測)已知/(x)=(乂-1)21一會：3+ax(%>())(aeR).

⑴討論函數(shù)/(久)的單調(diào)性；

-1

(2)當a=0時，判定函數(shù)g(x)=/(%)+In%-#零點的個數(shù)，并說明理由.

【變式7-2](23-24高三上?遼寧鞍山?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=+1,g(%)=%(1-%).

(1)若直線y=2%與函數(shù)/(%)的圖象相切，求實數(shù)a的值；

(2)當。=-1時，求證：/(x)<^(x)+%2.

【變式7-3](2024?廣東廣州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=久e。久(a>0).

(1)求f(%)在區(qū)間上的最大值與最小值；

(2)當。之1時，求證:/(%)>Inx+%+1.

【題型8與函數(shù)零點相關(guān)的綜合問題】

【例8】(2024?湖北?二模)已知函數(shù)/(乃=￡+黑(e為自然對數(shù)的底數(shù)).則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(約的定義域為R

2

B.若函數(shù)/(嗎在P(0,f(0))處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為走p則a=l

C.當a=l時，/(%)=巾可能有三個零點

D.當a=l時，函數(shù)的極小值大于極大值

【變式8-1](2024?四川成都?二模)函數(shù)/(X)=e*+asinx,久6(-豆,+8),下列說法不正確的是()

A.當a=-l時，/(x)〉0恒成立

B.當a=l時，久久)存在唯一極小值點配

C.對任意a>0](久)在x6(-1T,+8)上均存在零點

D.存在a<0/(x)在xG(-it,+8)上有且只有一個零點

【變式8-2](2024?四川宜賓?一■模)己知函數(shù)a(久)=21n久一a(x2-i),u(久)=2/lnx.

(1)當a=l時，判斷u(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(無)=a(x)+"(*)恰有兩個極值點.

Ci)求實數(shù)a的取值范圍；

(ii)證明：/?)的所有零點之和大于3.

【變式8-3](2024?山東濟南?二模)已知函數(shù)/■(x)=(x-a)2Q—6)(a,6eR,a<b).

(1)當a=l,b=2時，求曲線y=f(x)在點(2)(2))處的切線方程；

(2)設(shè)X]久2是/'(久)的兩個極值點，刀3是/(久)的一個零點，且町中久1，久3力刀2.是否存在實數(shù)比4，使得X1，久2/3,久4

按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求應(yīng)；若不存在，說明理由.

?課后提升練(19題

一、單選題

1.(2024?海南省直轄縣級單位?模擬預(yù)測)己知函數(shù)f(x)=，曙EU，且g(W=f(x)-機工有兩個不同的

零點，則小的取值范圍為()

A.(一8，)B.g,e)C.(e,+8)D.g+8)

2.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=/一萬+1,則()

A./(%)有三個極值點B./(%)有三個零點

C?點(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切線

3.(2024?河南?模擬預(yù)測)已知a>0,若函數(shù)/㈤=「襦2t仁灣al腎H°沒有零點，則實數(shù)。的取

值范圍是()

A.(e,+oo)B.(l,e)C.(0,1)D.(1,+oo)

4.(2024?遼寧?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=言，若函數(shù)gQ)=[/(x)]2+好(無)-02-ae恰有5個不同的零點，

則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-8,—2e)B.(-8,—e)C.(-8,-3)D.(-oo,一工)

5.(2024?山西太原?二模)己知函數(shù)/(久)={_s上丫&Mi，若方程/(久)-同久+2|=0恰有三個不同實

數(shù)根，則實數(shù)左的取值范圍是()

A.(0,8-2V13)U(1,+c?)B.(|,警)

C.(|,8—2同U(l,等]D.(|,1)U[^1,8+2713)

6.(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測)已知函數(shù)中)=o，若關(guān)于％的方程嚴(久)一(2+0(久)+2t=0

有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)t的取值范圍為()

A.B.C.D.(-e,2)

7.(2024?全國?模擬預(yù)測)己知關(guān)于x的方程e2x-a久+9e2/=o有4個不同的實數(shù)根，分另記為孫,久2，冷，

孫，則唱一e)W—e)(￡—e)g—e)的取值范圍為()

A.(0,16e4)B.(0,12e4)C.(0,4e4)D.(0,8e4)

8.（2024-江西南昌?三模）已知函數(shù)/。）=xe'—、（x+l）2.則下列說法中錯誤的是（）

A.當a=：時，/（久）在R上單調(diào)遞增

B.當a<0時，f（x）的最小值是一個與a無關(guān)的常數(shù)

C./（x）可能有三個不同的零點

D.當a>0時，/（X）有且僅有一個零點

二、多選題

9.（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)八嗎=〒-山nx（x>0）,則下列結(jié)論正確的是

（）

A.當a=e時，/（%）無極值點B.當a>e時，/（x）有兩個零點

C.當l<a<e時，/（久）有1個零點D.當aWl時，/（久）無零點

10.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（X）=knx—|+2|-皿0<小<3）有兩個不同的零點尤1,%2

（X1<久2），則（）

%Q

22m2-3

A.（Xi%2）min=1B.—<ec.xr>—D.e3<x2<—

11.（2024?廣西來賓?模擬預(yù)測）下列關(guān)于函數(shù)f（久）=x-xln久的說法，正確的有（）

A.x=1是/'（久）的極大值點

B.函數(shù)寅%）有兩個零點

C.若方程/（x）=m有兩根打,久2，則X1+久2>e

D.若方程/'（x）=?n有兩根則—+%2<e

三、填空題

12.（2024?福建泉州?一模）已知函數(shù)/'（久）=（x-l）ex+佗工一可有且只有兩個零點，則a的范圍是.

X

13.（2024?吉林長