專題2-3不等式章末重點(diǎn)題型九大題型匯總

。?？碱}型目錄

題型1不等式的性質(zhì)與應(yīng)用........................................................1

題型2不等式求代數(shù)式的取值范圍..................................................2

題型3不等式解集問題............................................................3

題型4含參一元二次不等式........................................................5

題型5三個(gè)二次之間的關(guān)系........................................................7

題型6不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用..................................................8

題型1一元二次不等式的恒成立與有解問題........................................10

題型8基本不等式...............................................................11

題型9基本不等式的恒成立與有解問題.............................................12

但題型分類

題型1不等式的性質(zhì)與應(yīng)用

【方法總結(jié)】

在高考中，不等式性質(zhì)的判斷題常有出現(xiàn)，一般我們判斷此類問題主要采用兩種方法：

其一：按照性質(zhì)進(jìn)行判斷，此種方法要求我們對(duì)不等式性質(zhì)有一個(gè)全面熟練的掌握。

其二：采用賦值法麻殊值法進(jìn)行判斷，此種方法對(duì)于證明假命題非常適用；

不等式的性質(zhì)

(1)如果a>b,那么b<a,該性質(zhì)稱為對(duì)稱性；

(2)如果a>bfb>c,那么,該性質(zhì)稱為傳遞性；

(3)如果a，貝b+c>b+c,反之也成立，該性質(zhì)稱為可加性；

(4)如果a>b,c>0,貝！Jac>be；如果a>b,c<0,則be；

(5)如果a>b,c>d,貝!+c>b+d；

(6)如果a>b>0,c>d>0,則bd；

1n

(7)如果a>b>0fn>2,貝(Jef>b.

【例題1】（2023秋?廣東清遠(yuǎn)?高一統(tǒng)考期末）"a>c>6>0"是心胃>a'的（）

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【變式1-1】1.（2023秋浙江?高一期末）"曰>"'是3>y2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1-1】2.（多選）（2023秋?重慶九龍坡?高一重慶市楊家坪中學(xué)?？计谀┫铝忻}

為真命題的是（）

A.若a>b,c>d,貝!+c>b+d

B.若a<b<0,c<0t則:<（

C.若a>b,貝！Jac?>be2

D.若a>b,c>d,貝！Jac>bd

【變式（2023春?山東聊城?高二統(tǒng)考期末潴夠說明"若a力"均為正數(shù)，則株<

是真命題的一組數(shù)a,b可以為a=,b=.（寫出一組即可）

題型2不等式求代數(shù)式的取值范圍

【方法總結(jié)】

方法一.由不等式的同向可加性和同向同正可乘性直接求解

方法二.由待定系數(shù)法確定其系數(shù)，進(jìn)行不等式范圍的求解

【例題2]（2023秋?山東濟(jì)寧?高一曲阜一中?？计谀┮阎?。<a—b<2,2<a+6<4,

則3a+b的范圍是（）

A.（4,8）B,（6,10）C.（4,10）D.（6,12）

【變式2-1]1.（2023春河北保定?高一校聯(lián)考期末）已知-3<m+n<3,l<m-n<5,

則幾-3nl的取值范圍是()

A.(—13,1)B.(—16,4)C.(—11,—1)D.(—7,—5)

【變式2-1J2.(2023春?廣東揭陽?高一統(tǒng)考期末)已知a,beR，且-5<a<2,1<b<4,

則3a—b的取值范圍是.

【變式2-1]3.(2023春?天津河西?高二統(tǒng)考期末)已知1<a<3,2<b<4,貝%的取

值范圍是.

【變式2-1]4.(2023秋?北京?高一北京市十一學(xué)校?？计谀?已知對(duì)于實(shí)數(shù)x,y，滿足

|2x+3y|<10,|x-y|<5,則|久+2yl的最大值為.

【變式2-1]5.(2021秋?浙江?高一期末)已知—1<%+y<4,2<x-y<3,則x的范

圍是,3x+2y的范圍是.

題型3不等式解集問題

【方法總結(jié)】

1.一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步驟：

(1)去分母；

(2)去括號(hào)；

(3)移項(xiàng);

(4)化成ax>b(或〃等)的形式(其中a/0)；

(5)兩邊同時(shí)除以未知數(shù)的系數(shù)，得到不等式的解集.

2.解一元一次不等式組的一般步驟

(1)求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；

(2)在數(shù)軸上表示各個(gè)不等式的解集；

（3）確定各個(gè)不等式解集的公共部分，就得到這個(gè)不等式組的解集.

3.解一元二次不等式的常見方法

⑺圖象法:

①化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式：ax?++c>0佃>0或辦2++c<0佃>0；

②求方程ax2+bx+c-。佃>0）的根，并畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)了=ax2+bx+c圖象的簡圖；

③由圖象得出不等式的解集.

⑵代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解.

2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合，分類討論.

3.常見誤區(qū)：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于0時(shí)，需兩邊同乘-，化為正的.

【例題31（2021秋?江西南昌?高二南昌市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀?|尤-1|<2"是"x<3"

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【變式3-1]1.（2022秋?云南曲靖?高一?？计谀?久+§>2"是"x>0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【變式3-1]2.（2023春?西藏日喀則?高二統(tǒng)考期末）設(shè)P：/一12<0,q：￡n1,

則P是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式3-1]3.（多選）（2023春?河南開封?高二校聯(lián)考期末）有下列式子：①x<4;②0<

%<4；③一2<x<4；④一2<%<3.其中，可以是一一2x-8<。的一個(gè)充分條件的序號(hào)

為（）

A.①B.②C.③D.④

【變式3-1】4.(2021秋?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末)不等式(3x—1)0+3)(%+1)<。的

解集是.

【變式3-1]5.(2022秋?新疆烏魯木齊?高一?？计谀?解不等式：

(如-"2

(2)(2—%)(%+3)<2—%.

題型4含參一元二次不等式

【方法總結(jié)】

含參一元二次不等式的解法有以下幾種:

1、當(dāng)A=b2-4acz0時(shí)，二次三項(xiàng)式,ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c=0，總可

分解為a(x-xi)(x-x2)的形式。這樣，解一元二次不等式就可歸結(jié)為解兩個(gè)一元一次不等式

組。一元二次不等式的解集，就是這兩個(gè)一元一次不等式組的解集的交集。

2、用配方法解一元二次不等式。

3、通過一元二次型圖象進(jìn)行求解，二次函數(shù)圖象與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，然后根據(jù)題目所

需求的"<0"或">0”而推出答案。

4、數(shù)軸穿根:用根軸法解高次不等式時(shí)，就是先把不等式一端化為零，再對(duì)另一端分解因

式，并求出它的零點(diǎn)，把這些零點(diǎn)標(biāo)在數(shù)軸上，再用一條光滑的曲線，從x軸的右端上方

起，依次穿過這些零點(diǎn)。

5、這大于零的不等式的解對(duì)應(yīng)這曲線在x軸上方部分的實(shí)數(shù)x得起值集合，小于零的這相

反。這種方法叫做序軸標(biāo)根法。

對(duì)含參數(shù)的一元二次不等式的討論，一般可分為以下三種情形：(1)當(dāng)含參數(shù)的一

元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，但不知道與之對(duì)應(yīng)的一元二次方程是否有解時(shí)

需要對(duì)判別式進(jìn)行討論。(2)當(dāng)含參數(shù)的一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，

且與之對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩解，但不知道兩個(gè)解的大小，因此需要對(duì)解的大小

進(jìn)行比較。（3）當(dāng)含參數(shù)的一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)時(shí)，首先要對(duì)二

次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論，其次，有時(shí)要對(duì)判別式進(jìn)行討論，有時(shí)還要對(duì)方程的解的大小

進(jìn)行比較。

【例題4]（2023春?安徽亳州?高一渦陽縣第二中學(xué)校聯(lián)考期末）定義行列式t4=ad-

%,若行列式（,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.B.（―8,一1）u（|,+8）

D.8,—|）u（1,+8）

【變式4-1]1.（2023秋?遼寧朝陽?高一建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）若土>1,則關(guān)于久的

不等式（t-x）（久-3>0的解集是（）

A.:<x<t}B.{x|久（;或x>t}C.<t或x>胃D.-^x|t<x<|j

【變式4-1]2.（多選）（2022秋?江西上饒?高一統(tǒng)考期末）下列關(guān)于不等式/-（a+l）x+

a>0的解集討論正確的是（）

A.當(dāng)a=1時(shí),/一（a+l）x+a>。的解集為0

B.當(dāng)a>1時(shí),x2—（a+l）x+a>。的解集為（a,+oo）

C.當(dāng)a<1時(shí)，/-（a+l）x+a>0的解集為<a或無>lj

D.無論a取何值時(shí)，/-（a+1沈+a〉。的解集均不為空集

【變式4-l】3.（2023春?北京朝陽?高一統(tǒng)考期末）已知a>0，則關(guān)于x的不等式/—4ax-

5a2<。的解集是.

【變式4-1]4.（2023秋?遼寧本溪?高一?？计谀┤絷P(guān)于x的不等式a比+b<。的解集為

（-2,+oo）,則關(guān)于的不等式a/+bx-3a>。的解集為

【變式4-1】5.（2020秋?天津西青?高一統(tǒng)考期末懈關(guān)于x的不等式：ax2-（a+l）x+1<

0.

【變式4-1】6.（2023秋?湖南常德?高一漢壽縣第一中學(xué)?？计谀╆P(guān)于%的不等式：+

（3-CL）X—2cL-6>0

（1）當(dāng)a=1時(shí)，解關(guān)于x的不等式；

（2）當(dāng)a6R時(shí)，解關(guān)于x的不等式.

【變式4-1]7.（2022秋?河北唐山?高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的不等式：a/-（3a+1）比+

3<0.

（1）當(dāng)a=-2時(shí)，解此不等式；

（2）當(dāng)a>。時(shí),解此不等式.

題型5三個(gè)二次之間的關(guān)系

【例題5】（多選）（2023秋?遼寧葫蘆島?高一校考期末）已知函數(shù)y=ax2+bx-3,則下

列結(jié)論正確的是（）

A.關(guān)于x的不等式a/+版-3<0的解集可以是|x>-3}

B.關(guān)于久的不等式a/+bx-3<0的解集可以是{幻x>2或x<1}

C.函數(shù)y=ax2+bx-3的圖象與x軸有一Is"交點(diǎn)時(shí)，必有b?+12a=0

D."關(guān)于x的方程a/+bx-3=。有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件是"a>0"

【變式5-1]1.（多選）（2023春?浙江杭州?高一?？计谀┮阎P(guān)于x的不等式a/+版+

c>。的解集為{洌―3<2},則（）

A.a<0

B.a+b+c>0

C.不等式b久+c>0的解集為{用x>6}

D.不等式c/+bx+a<0的解集為{式|-|<x<|j

【變式5-1J2.（多選I2023春新疆哈密?高二?？计谀┮阎P(guān)于久的不等式/+bx+c>

0的解集為{x|x<—2或比23},則（）

A.b=-1

B.c=—6

c.不等式c/一bx+1<0的解集是（_

D.不等式言2。與/+6比+c2。的解集相同

【變式5-1]3.（2023春?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末）已知不等式|久-引<4的解集為

{x|cz<x<b],則不等式o-2）（x2-ax-b+1）<0的解集為.

【變式5-1J4.（2023秋?江蘇鹽城?高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）若關(guān)于x的不等式1<

kx2+x+k<3的解集中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)k的取值集合為

【變式5-1]5.（2023秋?安徽淮北?高一淮北市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎坏仁?—

da+2）x+b<。的解集為{x[l<x<2}.

（1）求實(shí)數(shù)a,b的值；

（2）解關(guān)于久的不等式：0—c）（ax—b）>0（c為常數(shù)，且c*2）.

題型6不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用

【方法總結(jié)】

解不等式應(yīng)用題的步驟

【例題6]（2023秋?吉林?高一統(tǒng)考期末）用"口y分別表示民用住宅的窗戶面積和地板面積

（一般來講，窗戶面積比地板面積?。?顯然，比值;越大，住宅的采光條件越好.當(dāng)窗戶面

積和地板面積同時(shí)增加/時(shí)，住宅的采光條件會(huì)得到改善（單位：m2）.現(xiàn)將這一事實(shí)表示

為不等式，以下正確的是（）

A.（y>x>0J>0）B.（y>%>0,/>0）

C.—<（久>y>0,/>0）D.->（久>y>0,/>0）

【變式6-1]1.（2023秋?廣東?高一統(tǒng)考期末）一般認(rèn)為，民用住宅的窗戶面積必須小于

地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10%，而且這個(gè)比值越大，采光效果越好.設(shè)

某所公寓的窗戶面積與地板面積分別為am?,bm2.

（1）若這所公寓的窗戶面積與地板面積的總和為220m2,求這所公寓的窗戶面積至少為多少

平方米；

（2）若同時(shí)增加窗戶面積和地板面積各nm2,判斷這所公寓的采光效果是否變好了，并說明

理由.

【變式6-1]2.（2023春?貴州畢節(jié)?高一統(tǒng)考期末）某地區(qū)上年度水價(jià)為3.8元/噸，年用

水量為小噸，本年度計(jì)劃將水價(jià)下降到3.55元/噸至3.75元/噸之間，而用戶期望水價(jià)為3.4

元/噸.經(jīng)測算，下調(diào)水價(jià)后新增用水量和實(shí)際水價(jià)與用戶的期望水價(jià)的差成反比（比例系數(shù)

為k）.該地區(qū)的用水成本價(jià)為3.3元/噸.

（1）寫出本年度水價(jià)下調(diào)后水務(wù)部門的收益y（單位：元）關(guān)于實(shí)際水價(jià)久（單位：元/噸）的

函數(shù)解析式；（收益=實(shí)際水量x（實(shí)際水價(jià)-成本價(jià)））

（2）設(shè)k=0.2m,當(dāng)水價(jià)最低定為多少時(shí)，仍可保證水務(wù)部門的收益比上年至少增長20%?

【變式6-1]3.（2020秋?江蘇蘇州?高二?？计谀╇S著中國經(jīng)濟(jì)的騰飛,互聯(lián)網(wǎng)的快速

發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)購物需求量不斷增大.某物流公司為擴(kuò)大經(jīng)營，今年年初用192萬元購進(jìn)一批小

型貨車，公司第一年需要付保險(xiǎn)費(fèi)等各種費(fèi)用共計(jì)12萬元，從第二年起包括保險(xiǎn)費(fèi)、維修

費(fèi)等在內(nèi)的所需費(fèi)用比上一年增加6萬元，且該批小型貨車每年給公司帶來69萬元的收入.

（1）若該批小型貨車購買n年后盈利，求n的范圍；

（2）該批小型貨車購買幾年后的年平均利潤最大，最大值是多少？

【變式6-1]4.（2021春?貴州畢節(jié)?高一統(tǒng)考期末）某租賃公司，購買了一輛小型挖掘機(jī)

進(jìn)行租賃;居市場分析，該小型挖掘機(jī)的租賃利潤y（單位：萬元）與租賃年數(shù)式久eN*）的

關(guān)系為y=-/+14%-36.

（1）該挖掘機(jī)租賃到哪幾年時(shí)，租賃的利潤超過9萬元？

（2）該挖掘機(jī)租賃到哪一年時(shí)，租賃的年平均利潤最大？

【變式6-1]5.（2021春?安徽?高二校聯(lián)考期末）小張?jiān)趧?chuàng)業(yè)之初，于2020年1月5號(hào)交

了30%的首付（30萬元），貸款買了一臺(tái)價(jià)格為100萬元的大型設(shè)備，約定：還款期為10

年，月息為千分之六,從2020年的2月5號(hào)開始以等額本金的形式還貸，即每月還本金看

萬元及本次還款前一個(gè)月未還的本金產(chǎn)生的利息.假設(shè)受市場影響，小張?jiān)?021年的5月5

號(hào)開始不能如期還款，故小張當(dāng)天在網(wǎng)上變賣這臺(tái)設(shè)備，結(jié)果只賣出50萬元，用來一次性

還銀行貸款以后，則當(dāng)天小張還差銀行（）

A.10.3675萬元B.11.2500萬元C.11.6175萬元D.18.7755萬元

【變式6-1]6.（2021春福建南平?高一統(tǒng)考期末）某公司每個(gè)月的利潤y（單位：萬元）

關(guān)于月份n的關(guān)系式為y=n2-9n+114,則該公司12個(gè)月中，利潤大于100萬元的月份

共有（）

A.4jB.5jC.6jD.7j

題型7—元二次不等式的恒成立與有解問題

【例題7]（2022秋?云南曲靖?高一?？计谀┮阎猘<0,則不等式/—2ax-3a2<。的

解集為.

【變式7-1]1.（2023秋?安徽淮北?高一淮北市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？计谀┤糌坝菺R,ax2-

3ax+9<0"是假命題，貝必的取值范圍為()

A.[0,4]B.[0,4)

C.(0,4)D.[4,+8)

【變式7-1J2.(2022秋河南開封?高一?？计谀?若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0

對(duì)一切xGR恒成立，則a的取值范圍是.

【變式7-1]3.(2023春?貴州遵義?高一統(tǒng)考期末)關(guān)于%的不等式/-2x+|m|<0(meR)

有實(shí)數(shù)解的一個(gè)充分條件是—.(寫出一個(gè)滿足條件的ni的取值范圍即可)

【變式7-1]4.(2023春?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末)若不等式組[2:7I-A°的解

集不是空集,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[―5,+8)B.[―4,+8)C.(—8,—4]D.(―8,—5]

題型8基本不等式

【方法總結(jié)】

使用條使用形式“=”成立的條件

均值不等

件

式

a,bER+a+b>2yfab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立

常見形式

a,bERa2+b2>2ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立

a2+b2>2\a\\b\

ba

a,b同號(hào)-+y>2當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立

ab

22

a,bERa+boa+b

2當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立

ab<(2)<2

a,bE.R(a+I>-

-------<22當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立

a,bE.R

+nb2>ab(n>0)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立

【例題812023秋?遼寧葫蘆島?高一?？计谀┕蒩>0,6>0目2a+b=2,則工+?)

ab

A.有最小值為近B.有最小值為2夜+3

c.有最小值為四+|D.無最小值

【變式8-1]1.（2023秋?河南新鄉(xiāng)?高一校聯(lián)考期末）若正實(shí)數(shù)滿足比+16y=孫，則

（）

A.%+y<25B.%+y>32

C.%+y<32D.%+y>25

【變式8-1J2（2023秋?江蘇淮安?高一統(tǒng)考期末）已知a,b為正實(shí)數(shù)，滿足（a+3b）（2a+

b）=6,則8a+96的最小值為

【變式8-1]3.（2023秋?河南新鄉(xiāng)?高一校聯(lián)考期末）已知a>0,b>0.

Q）若a-b=4,證明：a+品>7.

⑵若a?+9b2+3ab=27,求a+36的最大值.

【變式8-1】4.（多選