第6節(jié)事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式考試要求1.了解兩個事件相互獨(dú)立的含義.2.理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性和條件概率的關(guān)系，會利用全概率公式計算概率．【知識梳理】1．相互獨(dú)立事件(1)概念：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝____________，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立．(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與________，eq\o(A,\s\up6(－))與________，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也都相互獨(dú)立．2．條件概率(1)概念：設(shè)A，B為兩個隨機(jī)事件，且P(A)＞0，稱____________________為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．(2)兩個公式①利用古典概型：P(B|A)＝____________；②概率的乘法公式：P(AB)＝____________．3．全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝____________________，此公式為全概率公式．[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1．計算條件概率除了應(yīng)用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點(diǎn)數(shù)．2．全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復(fù)雜事件A的概率的求解問題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題．【診斷自測】1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)若事件A，B互斥，則P(B|A)＝1.()(2)全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率，是求最后結(jié)果的概率．()(3)P(A)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))．()(4)P(A)＝P(BA)＋P(Beq\o(A,\s\up6(－)))．()2．?dāng)S兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)A＝“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，B＝“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則A與B的關(guān)系為()A．互斥 B．互為對立C．相互獨(dú)立 D．相等3．(選修三P50例5改編)已知P(A)＝eq\f(5,8)，P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(3,8)，P(B|A)＝eq\f(3,5)，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，則P(B)＝________．4．(選修三P48T3改編)已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同，現(xiàn)需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，則他在第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為________．考點(diǎn)一相互獨(dú)立事件的概率例1(1)(2021·新高考Ⅰ卷)有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則()A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立(2)(2024·寧波調(diào)研)投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲．晉代在廣泛開展投壺活動中，對投壺的壺也有所改進(jìn)，即在壺口兩旁增添兩耳，因此在投壺的花式上就多了許多名目，如“貫耳(投入壺耳)”．每一局投壺，每一位參賽者各有四支箭，投入壺口一次得1分，投入壺耳一次得2分．現(xiàn)有甲、乙兩人進(jìn)行投壺比賽(兩人投中壺口、壺耳是相互獨(dú)立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壺口的概率為eq\f(1,3)，投中壺耳的概率為eq\f(1,5).四支箭投完，以得分多者贏．則乙贏得這局比賽的概率為______．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積．(2)當(dāng)正面計算較復(fù)雜或難以入手時，可從其對立事件入手計算．訓(xùn)練1(1)(2024·錦州調(diào)研)分別拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件M＝“至少有2枚正面朝上”，則與事件M相互獨(dú)立的事件是()A．3枚硬幣都正面朝上 B．有正面朝上的，也有反面朝上的C．恰好有1枚反面朝上 D．至多有2枚正面朝上(2)(2024·成都診斷)甲和乙兩位同學(xué)準(zhǔn)備在體育課上進(jìn)行一場乒乓球比賽，假設(shè)甲對乙每局獲勝的概率都為eq\f(1,3)，比賽采取三局兩勝制(當(dāng)一方獲得兩局勝利時，該方獲勝，比賽結(jié)束)，則甲獲勝的概率為________．考點(diǎn)二條件概率例2(1)(2024·重慶大聯(lián)考)從包含男生甲、乙，女生丙的5名男生和2名女生中任選3人參加學(xué)校組織的“喜迎二十大，奮進(jìn)新征程”演講比賽，則在男生甲被選中的條件下，男生乙和女生丙至少一人被選中的概率是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(4,7)C.eq\f(3,5) D．eq\f(2,3)(2)(2024·日照模擬)如圖，用K，A1，A2三種不同的元件連接成一個系統(tǒng)，當(dāng)K正常工作且A1，A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次是eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，則在系統(tǒng)正常工作的前提下，只有K和A1正常工作的概率是________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升求條件概率的常用方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）).(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).訓(xùn)練2(1)(2023·全國甲卷)某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑雪，70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪．在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為()A．0.8 B．0.6C．0.5 D．0.4(2)(多選)甲罐中有3個紅球、2個黑球，乙罐中有2個紅球、2個黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，以A表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示事件“從乙罐取出的球是紅球”，則()A．P(A)＝eq\f(3,5) B．P(B|A)＝eq\f(2,5)C．P(B)＝eq\f(13,25) D．P(A|B)＝eq\f(9,13)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考點(diǎn)三全概率公式的應(yīng)用例3(1)(2024·東北師大附中等五校聯(lián)考)長白飛瀑，高句麗遺跡，鶴舞向海，一眼望三國，偽滿皇宮，松江霧凇，凈月風(fēng)光，查干冬漁，是著名的吉林八景．小李打算到吉林旅游，冬季來的概率是eq\f(2,3)，夏季來的概率是eq\f(1,3).若冬季來，則看不到長白飛瀑，鶴舞向海和凈月風(fēng)光；若夏季來，則看不到松江霧凇和查干冬漁．無論什么時候來，由于時間原因，只能在可去景點(diǎn)當(dāng)中選擇兩處參觀，則小李去了“一眼望三國”景點(diǎn)的概率為()A.eq\f(11,15) B．eq\f(16,45)C.eq\f(17,45) D．eq\f(1,3)(2)(2023·天津卷)甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5∶4∶6.這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%，25%，50%.現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為________；將三個盒子中的球混合后任取一個球，是白球的概率為________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升利用全概率公式的思路(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個復(fù)合事件分解為若干個互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式計算．訓(xùn)練3(1)(2024·武漢質(zhì)檢)一份新高考數(shù)學(xué)試卷中有8道單選題，小胡對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路．有思路的題做對的概率是0.9，沒有思路的題只能猜一個答案，猜對答案的概率為0.25，則小胡從這8道題目中隨機(jī)抽取1道做對的概率為()A.eq\f(79,160) B．eq\f(3,5)C.eq\f(21,32) D．eq\f(5,8)(2)(2024·安慶模擬)設(shè)某批產(chǎn)品中，甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%，35%，20%，甲、乙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率分別為2%和3%.現(xiàn)從中任取一件，若取到的是次品的概率為2.95%，則推測丙車間的次品率為________．___________________________