專題7.1復(fù)數(shù)的概念【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1復(fù)數(shù)的分類及辨析】 2【題型2復(fù)數(shù)的相等】 3【題型3已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)

】 4【題型4復(fù)數(shù)的幾何意義】 7【題型5復(fù)數(shù)的向量表示】 8【題型6共軛復(fù)數(shù)的求解】 10【題型7復(fù)數(shù)的模的計算】 11【題型8復(fù)數(shù)的模的幾何意義】 12【知識點1數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念】1．?dāng)?shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的引入

為了解決這樣的方程在實數(shù)系中無解的問題，我們引入一個新數(shù)i，規(guī)定：

①，即i是方程的根；

②實數(shù)可以和數(shù)i進行加法和乘法運算，且加法和乘法的運算律仍然成立.

在此規(guī)定下，實數(shù)a與i相加，結(jié)果記作a+i；實數(shù)b與i相乘，結(jié)果記作bi；實數(shù)a與bi相加，結(jié)果記作a+bi.注意到所有實數(shù)以及i都可以寫成a+bi(a,b∈R)的形式，從而這些數(shù)都在擴充后的新數(shù)集中.(2)復(fù)數(shù)的概念

我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.這樣，方程在復(fù)數(shù)集C中就有解x=i了.(3)復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時，復(fù)數(shù)z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實部與虛部.(4)復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù)a+bi，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時，它是實數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時，它是實數(shù)0；當(dāng)b≠0時，它叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時，它叫做純虛數(shù).顯然，實數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即.

復(fù)數(shù)z=a+bi可以分類如下：

復(fù)數(shù)，

復(fù)數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系，可用圖表示.2．復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數(shù)a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規(guī)定：a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d，即當(dāng)且僅當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復(fù)數(shù)才相等.【題型1復(fù)數(shù)的分類及辨析】【例1】（24-25高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（

）A．若x2+1=0，則x=C．z=x2+1i可能是實數(shù) 【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可求解.【解答過程】A.x=±iB.實部為零的復(fù)數(shù)可能虛部也為零，從而是實數(shù)，說法不正確；C.當(dāng)x=i時，z=D.復(fù)數(shù)z=2+i故選：C.【變式1-1】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）下列四種說法正確的是（

）A．如果實數(shù)a=b，那么a?b+(a+b)iB．實數(shù)是復(fù)數(shù)．C．如果a=0，那么z=a+biD．任何數(shù)的偶數(shù)次冪都不小于零．【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及分類，逐項判定，即可看求解.【解答過程】對于A中，若a=b=0，那么a?b+(a+b)i對于B中，由復(fù)數(shù)的概念，可得實數(shù)是復(fù)數(shù)，所以B正確；對于C中，若a=0且b=0時，復(fù)數(shù)z=a+bi對于D中，由虛數(shù)單位i2故選：B.【變式1-2】（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）下列命題：①若a∈R，則a+1②若a，b∈R，且a>b，則a+③若x2?4+④實數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集.其中正確的是（

）A．① B．② C．③ D．④【解題思路】對于①，當(dāng)a=?1時，即可判斷；對于②，兩個虛數(shù)不能比較大?。粚τ冖?，當(dāng)x=?2時，即可判斷；對于④，由復(fù)數(shù)集與實數(shù)集的關(guān)系即可判斷.【解答過程】對于①，若a=?1，則a+1i對于②，兩個虛數(shù)不能比較大小，則②錯誤；對于③，若x=?2，則x2?4=0，x2對于④，由復(fù)數(shù)集與實數(shù)集的關(guān)系可知，實數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集，則④正確.故選：D.【變式1-3】（23-24高一下·上海浦東新·期中）下列命題一定成立的是（

）A．若z∈C，則B．若x,y,z∈C,C．若a∈R，則(a+2)D．若p,q∈C,p>0且q>0，則pq>0【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和性質(zhì)逐項進行檢驗即可判斷.【解答過程】對于A，當(dāng)z=i時，z2=?1<0對于B，當(dāng)x?y=i,y?z=1時，(x?y)2+(y?z)對于C，若a+2=0，則(a+2)i并不是純虛數(shù)，故選項C對于D，因為p,q∈C,p>0且q>0，所以p,q為正實數(shù)，則pq>0且p+q>0，故選項故選：D.【題型2復(fù)數(shù)的相等】【例2】（23-24高一下·新疆克孜勒蘇·期中）已知i為虛數(shù)單位，x，y為實數(shù)，若x?2i=3+yi，則x?y=A．1 B．?5 C．5 D．?1【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得x=3,y=?2，即可求解.【解答過程】由x?2i=3+yi可得x=3,y=?2故選：C.【變式2-1】（23-24高一下·湖南·期末）已知x，y∈C，則“x=y=1”是“x+yi=1+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】利用復(fù)數(shù)相等的概念，以及條件的變化x,y∈C【解答過程】當(dāng)x=y=1時，x+yi=1+i顯然成立，所以x=y=1當(dāng)x=i,y=?i則x=y=1是x+yi故選：A.【變式2-2】（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1=2?ai,z2=b?1+2i，（a,b∈A．a(chǎn)=?1,b=1 B．a(chǎn)=2,b=?3C．a(chǎn)=2,b=3 D．a(chǎn)=?2,b=3【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件，列出方程組，即可求解.【解答過程】由復(fù)數(shù)z1=2?ai,z2因為z1=z2，可得2?ai故選：D.【變式2-3】（24-25高一下·全國·單元測試）已知z1=m2?3m+m2i，z2=4+(5m+6)iA．4 B．?1 C．6 D．?1或6【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)相等聯(lián)立方程求得m的值.【解答過程】由z1?z2=0根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得m2?3m=4m故選：B.【題型3\o"已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)"\t"/gzsx/zj168412/_blank"已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)

】【例3】（23-24高一下·河北唐山·期中）如果復(fù)數(shù)z=m2?m?2?(m+1)i是純虛數(shù)，m∈R，A．m=?1 B．m=2 C．m=?1或m=2 D．m≠?1且m≠2【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，即可求解．【解答過程】解：z=m則m2?m?2=0?(m+1)≠0故選：B．【變式3-1】（23-24高一下·四川涼山·期末）若復(fù)數(shù)a?1+a2?1iA．1 B．?1 C．±1 D．±【解題思路】由復(fù)數(shù)分類可得其虛部為0，可得a=±1.【解答過程】根據(jù)題意可得其虛部為a2?1=0，解得故選：C.【變式3-2】（23-24高一下·上?！て谀癿=1”是“z=m2?3m+2A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要【解題思路】依題意得，m2【解答過程】解：z=m則m2?3m+2=0m?2≠0則“m=1”是“z=m故選：D.【變式3-3】（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)a2?a?2+a?1A．a(chǎn)=?1 B．a(chǎn)≠?1且a≠2 C．a(chǎn)≠?1 D．a(chǎn)≠2【解題思路】根據(jù)實部為零，虛部不為零列式計算.【解答過程】由題意可得：a2?a?2=0，解得a=?1或a=2，又a?1?1≠0故選：A.【知識點2復(fù)數(shù)的幾何意義】1．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(a,b)，而有序?qū)崝?shù)對(a,b)平面直角坐標(biāo)系中的點，所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.

如圖所示，點Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi可用點Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.(2)復(fù)數(shù)的幾何意義——與點對應(yīng)

由上可知，每一個復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng).復(fù)數(shù)集C中的數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點是一一對應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)，這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.(3)復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)

在平面直角坐標(biāo)系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的.這樣就可以用平面向量來表示復(fù)數(shù).如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點Z表示復(fù)數(shù)z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定.

因此，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的向量是一一對應(yīng)的(實數(shù)0與零向量對應(yīng))，即復(fù)數(shù)z=a+bi平面向量，這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.2．復(fù)數(shù)的模向量的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個實數(shù)a，它的模等于|a|(就是a的絕對值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).3．共軛復(fù)數(shù)(1)定義

一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示，即若z=a+bi，則.特別地，實數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身.(2)幾何意義互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱(如圖).特別地，實數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點重合，且在實軸上.(3)性質(zhì)①.

②實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z∈R，利用這個性質(zhì)可證明一個復(fù)數(shù)為實數(shù).4．復(fù)數(shù)的模的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z(a,b)到坐標(biāo)原點的距離，這是復(fù)數(shù)的模的幾何意義.(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，r表示一個大于0的常數(shù)，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以原點為圓心，r為半徑的圓，|z|<r表示圓的內(nèi)部，|z|>r表示圓的外部.【題型4復(fù)數(shù)的幾何意義】【例4】（23-24高一下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）12?1A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【解答過程】12?1故選：D.【變式4-1】（23-24高一下·北京通州·期末）復(fù)平面內(nèi)點A(1,?2)所對應(yīng)復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．1 B．?2 C．i D．?2【解題思路】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的幾何意義即可得到點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)，從而得到結(jié)果.【解答過程】復(fù)平面內(nèi)點A(1,?2)所對應(yīng)復(fù)數(shù)為1?2i，其虛部為?2故選：B.【變式4-2】（23-24高一下·廣東清遠(yuǎn)·期中）已知復(fù)數(shù)z=3?4i，則（

A．z的虛部為?4i B．C．z=3+4i D．【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)虛部、共軛復(fù)數(shù)、模和對應(yīng)點坐標(biāo)所在象限的知識，選出正確選項.【解答過程】復(fù)數(shù)z=3?4i的虛部為?4|zz=3+4z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(3,?4)，位于第四象限，故D不正確.故選：C.【變式4-3】（23-24高一下·安徽亳州·期末）復(fù)數(shù)z=i2?2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】化簡復(fù)數(shù)后，利用復(fù)數(shù)對應(yīng)象限內(nèi)點的特征求解即可.【解答過程】由題意得z=i2?2i=?1?2該點位于第三象限，故C正確.故選：C.【題型5復(fù)數(shù)的向量表示】【例5】（23-24高一下·安徽蕪湖·期末）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)3+4i，?2+i對應(yīng)的向量分別是OM，ON，其中O是原點，則向量MN對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（A．?5?3i B．?1?3i C．5+3i【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合向量的減法運算求解.【解答過程】由題意可得OM=3,4，所以MN=所以向量MN對應(yīng)的復(fù)數(shù)為?5?3i故選：A.【變式5-1】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，O為原點，向量OA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為?1?2i，若點A關(guān)于虛軸的對稱點為B，則向量OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

A．?2?i B．C．1?2i D．【解題思路】由對稱得點B的坐標(biāo)，即可確定復(fù)數(shù).【解答過程】由題意可知，點A的坐標(biāo)為?1,?2，則點B的坐標(biāo)為1,?2，故向量OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1?2i故選：C.【變式5-2】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）如圖，設(shè)向量OP，PQ，OQ所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1,zA．z1B．zC．z2D．z1【解題思路】由向量加減法的運算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，逐項驗證即可.【解答過程】對于A，由題圖可知，OP?則z1對于B，OP+PQ+對于C，PQ?OP?對于D，OP+PQ?故選：D.【變式5-3】（24-25高一下·河北張家口·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1=1?i,z2=?1+2i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A,B，將向量OA繞著點O（O為復(fù)平面內(nèi)的原點）逆時針旋轉(zhuǎn)

A．?1+2i B．2i C．3i【解題思路】依題意可得A1,?1，B?1,2，向量OC與向量OA=1,?1關(guān)于x軸對稱，即可求出【解答過程】依題意可得A1,?1，B?1,2，由圖知，向量OC與向量OA=1,?1關(guān)于x軸對稱，∴OC所以O(shè)C+OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為故選：C.【題型6共軛復(fù)數(shù)的求解】【例6】（23-24高一下·浙江紹興·期末）復(fù)數(shù)1?2i的共軛復(fù)數(shù)是（

A．1?2i B．1+2i C．?1+2i【解題思路】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可以求得.【解答過程】由共軛復(fù)數(shù)的定義可得，復(fù)數(shù)1?2i的共軛復(fù)數(shù)為1+2故選：B.【變式6-1】（23-24高一下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）復(fù)數(shù)z=1+2i，則z的共軛復(fù)數(shù)z的虛部為（

A．2i B．?2i C．?2 【解題思路】由共軛復(fù)數(shù)定義以及復(fù)數(shù)的虛部概念可直接得解.【解答過程】由題z=1?2i，所以z的共軛復(fù)數(shù)z的虛部為故選：C.【變式6-2】（24-25高一下·四川遂寧·階段練習(xí)）復(fù)數(shù)z=2+3iA．z的實部為2 B．z的虛部為3C．z=2?3i 【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的實部、虛部、共軛復(fù)數(shù)、模等知識確定正確答案【解答過程】因為z=2+3i所以實部為2，虛部為3，z=2?3i，故選：B.【變式6-3】（23-24高一下·陜西渭南·期末）已知復(fù)數(shù)z=?1+i（i為虛數(shù)單位），則其共軛復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】先求出其共軛復(fù)數(shù)，然后可求出結(jié)果.【解答過程】由z=?1+i得z=?1?所以其共軛復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(?1,?1)位于第三象限.故選：C.【題型7復(fù)數(shù)的模的計算】【例7】（23-24高一下·北京豐臺·期末）設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i，則|z|=（

A．1 B．2 C．2 D．4【解題思路】利用復(fù)數(shù)模的定義計算即得.【解答過程】復(fù)數(shù)z=1+i，則|z|=故選：B.【變式7-1】（23-24高一下·廣東茂名·期中）若復(fù)數(shù)z=2?bib∈R的實部與虛部互為相反數(shù)，則A．0 B．2 C．8 D．2【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念即可得到結(jié)論【解答過程】因為復(fù)數(shù)2?bib∈R由題意可得?b+2=0，解得b=2,z故選：D.【變式7-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知z=(2a?1)+(a+1)i(a∈R)，則“|z|=2”是“a=A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由|z|=2建立a的等量關(guān)系，求解a【解答過程】因為z=2a?12+a+12=2，化簡得5a故選：B．【變式7-3】（24-25高一下·新疆和田·階段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z=x+1+x?3i,x∈RA．1 B．2 C．22 【解題思路】先求出|z【解答過程】由題得|z|==2?(x?1)2+4當(dāng)x=1故選：C.【題型8復(fù)數(shù)的模的幾何意義】【例8】（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）已知復(fù)數(shù)z滿足z?1=1，則z+2+4i（i是虛數(shù)單位）的最小值為（A．17?1 B．4 C．17+1【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)模長的幾何意義即可求得結(jié)果.【解答過程】設(shè)z=x+yi，則由z?1所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標(biāo)在1,0為圓心，1為半徑的圓上，如下圖所示：而z+2+4i即求復(fù)平面內(nèi)點x,y到?2,?4距離的最小值，由圓的幾何性質(zhì)可知當(dāng)點x,y位于?2,?4與圓心1,0點連線交點時，取到最小值，即?2?1故選：B.【變式8-1】（24-25高一·全國·隨堂練習(xí)）設(shè)z∈C，則滿足1≤z≤3的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)點構(gòu)成圖形的面積是（A．π B．4π C．8π 【