第10章?分式

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六個概念

??1、分式：一般地，如果/、8表示兩個整式，并且8中含有字母，那么代數(shù)式微叫做分式，其中/是分

式的分子，2是分式的分母.

?判斷分式的“三看、兩注意”：

三看一一看所給代數(shù)式是不是分數(shù)形式；二看分子、分母是否都是整式；三看分母中是否有字母且不為零.

兩注意一一是應該直接判斷，而不能化簡后再判斷；二是m是常數(shù)（圓周率）.

?分式有意義、無意義、值為0的條件：

「有意義的條件一8,0

A

分式彳-----無意義的條件一3=0

B

—值為0的條件-2=0且B手。

?分式的值：與整式一樣，我們用具體的數(shù)值代替分式中的字母，按照分式中的運算關系計算，所得的結(jié)果

就是分式的值.

分式求值的方法：

（1）分式求值時，一般先代入后計算，代入時有時需添加括號.

（2）要按分式的運算關系進行計算.

??2、最簡分式：如果一個分式的分子與分母只有公因式1,那么這樣的分式叫做最簡分式.

?注意點：

（1）最簡分式是對一個獨立的分式而言的，如14不是最簡分式.

（2）看各分式的分子與分母是否有除1之外的公因式.

??3、分式的約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子和分母分別除以它們的公因式，叫做分式的約分.

約分通常要把分式化成最簡分式或整式.

?分式約分的依據(jù)：分式的基本性質(zhì).

?分式約分的關鍵：確定分子和分母的公因式.

?分式約分的條件：分子、分母都是積的形式.

?分式約分的方法：

（1）分子、分母為單項式的分式：公因式仍是單項式，公因式的系數(shù)是分子、分母中系數(shù)的最大公約數(shù),

公因式的字母部分取分子、分母中的相同字母的最低次累.

（2）分子或分母為多項式的分式：先把分式的分子或分母因式分解，化成積的形式，然后找出公因式.再約分.

?分式約分的注意點：

（1）約分是針對分式的分子和分母整體進行的，而不是針對其中的某些項，因此約分前一定要確認分子和

分母都是乘積的形式.

（2）約分通常要把分式化成最簡分式或整式.

??4、最簡公分母：如果幾個分式的分母都是單項式，那么各分母系數(shù)（都是整數(shù)）的最小公倍數(shù)與所有字

母的最高次幕的積叫做這幾個分式的最簡公分母.

?確定最簡公分母的方法：

（1）若分母是單項式，則應取各項系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母的最高次累的積作為最簡公分母.

（2）若分母是多項式，則應先分解因式，再取各項系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有因式的最高次幕的積作為最簡

公分母.

（3）特殊情況：①若所有的分母都相同，那么這個相同的分母就是最簡公分母；②分母互為相反數(shù)時，每

個分母都可以作為最簡公分母；③若有能約分的分式，則應化簡后再找最簡公分母.

??5、分式的通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式變形成同分母的分式，叫做分式的通分，

變形后的分母叫做這幾個分式的公分母.

?通分的一般步驟：

（1）確定最簡公分母；

（2）用最簡公分母分別除以各分式的分母；

（3）用所得的商去乘原來各分式的分子、分母，得到同分母的分式.

??6、分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

?分式方程的識別方法：

1.根據(jù)分式方程概念中的條件，判斷方程中分母是否含未知數(shù)；

2.不能對方程進行約分、通分等變形，也不能用等式性質(zhì)變形，判斷時注意m是常數(shù)，不是未知數(shù).

?分式方程的增根：將分式方程變形為整式方程，若整式方程的根使得原分式方程的分母為0,則這個根

稱為原分式方程的增根.

增根產(chǎn)生的原因：去分母時，在分式方程的兩邊同乘了使分母為。的代數(shù)式.

?分式方程的解法：

?解分式方程的一般步驟：

(1)化：方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；

(2)解：解這個整式方程；

(3)驗：將所求得的整式方程的解代入原方程檢驗；

(4)結(jié)：寫出原分式方程的解.

?解分式方程的基本思想：去分母，化分式方程為整式方程.

?解分式方程的注意點：

(1)確定最簡公分母的方法與通分時相同，分母能因式分解的先因式分解；

(2)去分母時，注意不含分母的項也要乘最簡公分母；即整式部分不要漏乘；

(3)約去分母后，分子是多項式時，要注意添括號(因分數(shù)線有括號的作用)；

(4)最后一定要檢驗結(jié)果是否正確.

r>

一個性質(zhì)

??分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母都乘(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變.

4=^7，其中B、。表示的是整式，且CW0.

D￡5XCDD-L

注意：若分式的分子或分母是多項式，在運用分式的基本性質(zhì)時，要先把多項式加上括號，再乘或除以整式.

?分式的符號法則：

分式的分子、分母與分式本身這三處的正負號，同時改變兩處，分式的值不變.

?將分式的分子、分母中各項系數(shù)化為整數(shù)的方法：

①當系數(shù)是分數(shù)時，分子、分母同乘分子和分母中所含分數(shù)的分母的最小公倍數(shù)；

②當系數(shù)是小數(shù)時，一般情況下，分子、分母同乘10的正整數(shù)倍.

四種運算

??1、分式的加減：

?同分母分式加減運算：

?同分母分式加減運算的法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.

?同分母分式加減運算的一般步驟：

（1）分母不變，把分子相加減；

（2）化簡分子時，有括號的應先去擴號，有同類項的合并同類項；

（3）結(jié)果應化成最簡分式或整式.

?注意點：

（1）當減去的分式的分子是多項式時，要對減式的分子添加括號，避免出現(xiàn)符號錯誤；

（2）當分母互為相反數(shù)時，可以通過變形將其化為同分母分式相加減進行運算，常見的變形：a-b=-（b-a）

?異分母分式加減運算：

?異分母分式加減運算的法則：

異分母的分式相加減，先通分，再加減.

?異分母分式加減運算的一般步驟：

（1）通分：將異分母分式轉(zhuǎn)化為同分母分式；

（2）加減：運用同分母分式加減運算的法則計算；

（3）合并：分子去括號，合并同類項；

（4）約分：分子、分母約分，將結(jié)果化成最簡分式或整式.

??2、分式的乘除：

?分式的乘法：

?分式乘法的運算法則：

分式乘分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母.

用式子表不為：=

?分式乘法運算的一般步驟：

（1）確定積的符號，寫在積中分式的前面；

（2）運用法則，將分子與分母分別相乘，做積的分子與分母，是多項式的要加括號;

（3）約分，將結(jié)果化成最簡分式或整式.

?分式的乘方：

分式的乘方，把分子、分母分別乘方.

用式子表示為：(爐=1(以0,且〃為正整數(shù)).

?分式的除法：

?分式的除法的運算法則：

分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.

用式子表示為:**沁磊

?分式除法運算的一般步驟：

(1)將分子、分母是多項式的進行分解因式，能約分的要約分；

(2)將除法轉(zhuǎn)化為乘法，當除式是整式時，可以將整式化成分母是1的形式再轉(zhuǎn)化;

(3)利用分式的乘法法則計算，注意運算結(jié)果化為最簡分式或整式.

?分式乘除混合運算的一般方法：

(1)分式乘、除混合運算，要按從左到右的順序進行.

(2)分式乘、除混合運算也可以統(tǒng)一成乘法運算.

??3、分式的混合運算：

?分式的混合運算順序：

先乘除，后加減，如果有括號，先進行括號內(nèi)的運算.

若是同級運算，按從左到右的順序依次進行.運算結(jié)果應化為最簡分式或整式.

一個應用

?二

?分式方程的應用：

?列分式方程解決實際問題的一般步驟：

(1)審：審清題意，找出題中的等量關系，分清題中的已知量、未知量.

(2)設：設出恰當?shù)奈粗獢?shù)，注意單位和語言的完整性.

(3)歹小根據(jù)題中的等量關系，正確列出分式方程.

(4)解：解所列出的分式方程.

(5)驗：既要檢驗所得的解是不是所列分式方程的解，又要檢驗所得的解是否符合實際問題的要求.

(6)答：寫出答案.

題型歸納

題型六分式的運算

題型一分式的識別

題型七分式的化簡求值

題型二分式求值

題型八分式方程的概念和解法

題型三分式有意義、無意義、值為0的條件

題型九根據(jù)分式方程解的情況求字母的值或確定字母的取值范圍

題型四根據(jù)分式的值的情況確定字母的取值范圍

題型十分式方程的實際應用

題型五分式的基本性質(zhì)

題型十一利用分式知識解決數(shù)學規(guī)律問題

L二題型一盒

【例題】（2022?湖南懷化）代數(shù)式義，1言中，屬于分式的有（）

5Jix+43xx+2

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【解析】分母中含有字母的是告，p罟，

X十4KXi4

???分式有3個，

故選：B.

【變式1】已知四張卡片上面分別寫有6,x-I,x2-1,兀+1,從中任選兩張卡片，組成一個分式為

.（寫出一個分式即可）

【解析】解：根據(jù)分式的定義，得①白;、②^匕③

???寫出一個分式即可.

6

故答案為：—.

%—1

【變式2】（2022?江蘇無錫?二模）兩位同學分別說出了某個分式的一些特點，甲：分式的值不可能為0；乙:

當尤=-2時，分式的值為1,請你寫出滿足上述全部特點的一個分式：.

【解析】解：?.?分式的值不可能為0，

二分子不等于0,

???當x=-2時，分式的值為1,

二分式為：-|.

故答案為：9（答案不唯一）.

g題型二分式求值

【例題】（2022?浙江湖州）當。=1時，分式?的值是

【解析】解：當。=1時,

故答案為：2.

【變式1】（2021?四川攀枝花）已知：?="=?G、八z均不為零），則諼=—,

【解析】解：?；J=J=|（%,y，z均不為零），

.??設第=6/c,則y=4/c,z=3fc,

.上也=6k+3x4k=

??3y-2z3x4k-2x3k*

故答案為：3.

【變式2】（2021?福建）已知非零實數(shù)x,y滿足y=京，則上產(chǎn)的值等于

【解析】由y=*得：xy+y=x,BPx-y=xy

x—y+3xyxy+3xy4xy

...----x--y----=----x--y---=—xy=4

故答案為：4

3昆一盒躺靠備、無意義和值為。的條件

【例題】（2023?浙江湖州）若分式■的值為0,則x的值是（）

A.1B.0C.-1D.-3

【答案】A

【詳解】解：依題意得：久-1=0且3%+1W0,

解得％=1.

故選：A.

【變式1】（2021?江蘇揚州）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為0的是（）

A.x+1B.%2—1C.D.（%+l）2

【答案】C

【解析】解：A、當x=?l時，x+l=O,故不合題意；

B、當工=±1時，x2-l=0,故不合題意；

C、分子是1,而1/）,則曰0,故符合題意；

D、當％=-1時，（%+1）2=0,故不合題意；

故選C.

【變式2］（2023?黑龍江哈爾濱）在函數(shù)y==中，自變量工的取值范圍是

【解析】???分式中分母不能為0,

:.x—8W0,

???xH8,

故答案為：萬W8.

【變式3】（2023?山東濟寧）若代數(shù)式名有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.

【解析】解：由題意得%>0且%—2W0,

解得%>。且%W2,

故答案為：％N0且久。2.

【變式4】已知分式當x=l時，分式無意義，貝隈=.

【解析】解：把x=l代入得：

1+2_3

1—4+aa—39

此時分式無意義，

?-a-3=0,

解得。=3.

故答案為：3.

根據(jù)分式的值的情況確定字母的取值范圍

Qi題型四

【例題】若分式號的值為正，則久的取值范圍是（）

11

A.%>0B.%>——C.%H——D.汽＞一5且％HO

【答案】D

【解析】解：由題意得，%2>0,且XHO,

?.,分式2%符+1的值為正，

.,.2x+1>0,

???x>一］且久豐0.

故選：D.

2

【變式1】（2022?福建泉州?模擬預測）若分式三的值為負數(shù)，則x的取值范圍是

【解析】解：,?,/>0,

2

分式三的值為負數(shù)，

%+3

即分母％+3<0且％H0,

解得：x<—3.

故答案為：%<-3.

【變式2】（2。23?廣東廣州?二模）已知：分式-"的值為整數(shù)，則整數(shù).有一

4a+124(a+3)

【解析】解:

a2—9(a+3)(a—3)

4

Q-3'

??吩式-TH的值為整數(shù),

.*.a-3=±1或±2或±4,

解得：a=4,a=2,a=5,a=1,a=—1,a=7,

故答案為一1,1,2,4,5,7.

分式的基本性質(zhì)

題型五

【例題】（2023?江西九江?三模）若a76,則下列分式化簡正確的是（）

22

a+2aCL—2aaaa+aba

=B=C.D.

A?b+2b-'b^2bbab+b2~b

【答案】D

【解析】解：「aKb,

???需以故選項A錯誤，不符合題意，

長會,故選項B錯誤，不符合題意，

D—ZD

2a

77*7,故選項C錯誤，不符合題意，

b°

ab+踮b2=Ab^：a+：b々)=%b故選項D正確，符合題意,

故選：D.

2

【變式1】要使分式(的值擴大4倍，％、y的取值可以如何變化()

A.x的值不變，y的值擴大4倍B.y的值不變，久的值擴大4倍

C.久、y的值都擴大2倍D.%、y的值都擴大4倍

【答案】D

【解析】A.x的值不變，y的值擴大4倍,

二原式=四=竺紇

XX

2

???分式匕的值擴大了16倍，不符合題意;

X

B.y的值不變，％的值擴大4倍

原式=》,

4x

二分式匕2的值縮小為原來的1;，不符合題意;

X4

C.X、y的值都擴大2倍

...原式=等=字=紇

2x2xx

2

???分式匕的值擴大了2倍，不符合題意；

X

D.x、y的值都擴大4倍

，原式_(4y)2_16y2_4y2,

4x4xx

???分式片的值擴大了4倍，符合題意；

X

故選：D.

【變式2】下列分式的變形：①々=年；②『=—總；③手=一9；④21一21=言其中不正確

aarcb—aa+baa(n—m)m—n

的是(填序號).

【答案】①③/③①

【解析】解：①當CKO時，3=等成立，故不正確，符合題意；

ararc

=一2二巳=一名，故正確，不符合題意；

b^—aa^—ba+b

—a—b——(a+b)?岑，故不正確，符合題意;

aa

27n2-2mn2m(m-n)會,故正確，不符合題意;

(n-m)2(m—ri)2771—n

故答案為：①③.

2232

【變式3](2023?廣東廣州)已知。＞3,代數(shù)式：A=2a-8fB=3a+6afC=a-4a+4a.

在aB,c中任選兩個代數(shù)式，分別作為分子、分母，組成一個分式，并化簡該分式.

【解析】解：①當選擇/、8時：

B_3a2+6。_3a(a+2)_3a

A~2a2-8~2(a+2)(a-2)~2a-4f

A_2a2-8_2(a+2)(a-2)_2a-4

B-3a2+6a—3a(a+2)-3a；

②當選擇/、C時：

C_a3—4a2+4a_a(a_2)2_a^—2a

A2a2-82(a+2)(a-2)2a+4'

A_2a2-8_2(a+2)(a-2)_2a+4

Ca3—4a2+4aa(a—2)2a2,-2a

③當選擇8、C時：

C_a3-4a2+4a_a(a-2)2_a2—4a+4

B3a2+6a3a(a+2)3a+6'

B__3a?+6a_3a(a+2)_3a+6

Ca3-4a2+4aa(a-2)2a2-4a+4*

口i題型六金粉就

【例題】(2023?甘肅蘭州?一模)計算：^-(a2+a)=()

A.aB.a—1C.a+1D.

【答案】A

【解析】解：-^+a)=等=。，

故選：A.

【變式1】(2023?山西大同?模擬預測)若分式容萼+R的值為正整數(shù)，貝反的取值可以是()

2x—84—%

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】解：原式=黑苔+￡，

_(%_2)24

-2(x-4)-2(x-4)>

_(X-2)2-4

-2(尸4)'

_X2—4X

~2(x-4)>

x(x—4)x

=2(x-4)=2?

要使分式有意義，貝漢74,

x-2,

故選：C.

【變式2](2023?江蘇鹽城)課堂上，老師提出了下面的問題：

已知3a>b>0,M=1,N試比較M與N的大小.

小華：整式的大小比較可采用“作差法”.

老師：比較久2+1與2x—1的大小.

小華：??,(x2+1)-(2%-1)=%2+1-2%+1=(%-1)2+1>0,

.?-X2+1>2x-1.

老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？

(1)請用“作差法”完成老師提出的問題.

(2)比較大?。簗|f|.(填“>”"=”或“<”)

a(fa+3)fc(a+1)ab+3abab

【解析】(1)解-M-N==-=--=2^.

4畔優(yōu),1“用牛."/Vbb+3b(b+3)勵+3)b(b+3)

v3a>>0,

3a—b

>0,

b(b+3)

???M>N；

1

（2）解:2322_14951496<0,

68-65—4420—44204420

2322

—<—

6865

故答案為：＜.

【變式3】（2023?內(nèi)蒙古通遼）以下是某同學化簡分式1+（a-絲鋁9的部分運算過程:

bjja—ba—b2ab—b2

解：原r^_式p.=丁丁。一丁.......第一步

a—b1a—ba

aaa2ab-b2第二步

a—ba—b

a22ab—b2第三步

（1）上面的運算過程中第步開始出現(xiàn)了錯誤;

（2）請你寫出完整的解答過程.

【解析】（1）解：9+1一哈尤）

_a_b(a22ab—b2\

a\aa)

_a-b-(a2-2ah+b2'

ri~a-，

故第一步錯誤.

故答案為：一.

⑵解：—a

a-b./22ab—b2\

=丁丁肝a一--J

a―b./―2。-+岳

aa

a—b,(a-b)2

aa

a-ba

1

a-b

分式的化簡求值

題型七

【例題】（2023?江蘇宿遷）先化簡，再求值：（1—高＞哼1,其中爪=加+1.

【解析】解：（1-篇?.

m+1-1（m+l）（m—1）

m+1m

租（?n+l）（?n—1）

~m+lm

=m—1,

當m=五+1時，

原式=五+1-1=V2.

【變式1］（2021?廣西百色）當x=-2時，分式要毛的值是（）

9+6x+x2

A.-15B.-3C.3D.15

【答案】A

3(X2-9)

-(x+3)2

3(x+3)(x-3)

=(久+3)2

_3(x-3)

x+3

把x=-2代入上式中

原式=等等=—15

故選A.

【變式2］（2023?吉林）下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中M是單項式.請寫出單項式并

將該例題的解答過程補充完整.

例先化簡，再求值：忌—去，其中a=l°O.

解：原式二焉五一品5

【解析】解：由題意，第一步進行的是通分，

MM-aa2

'a+1a(a+l)a(a+l)9

—a,

庫狀二02---

際八-a(a+i)a(a+l)

_a2T

a(a+l)

_(a+l)(a—l)

="a(a+l)-

a—1

a

—1_1

1f

~a

當a=100時，

原式=1一焉=孤一

【變式3](2023?湖南婁底)先化簡，再求值：(喜—等)一六，其中x滿足%2一3乂—4=0.

【解析】解：島-

%2-x—2%—2

=(x+l)(x-l).(X+

=X2-3X-2；

'-'X2—3X—4=0,

?,?%2—3%=4,其中％?！?,

.,?原式=4-2

=2.

【變式4](2023?山東)先化簡，再求值：(鼻+哀)+三齊其中無，y滿足2x+y—3=0.

【解析】解：原式=[4(y+]*—y)(x+y)

L(x—y)(x+y)(x—y)(x+y)J%

_3x2+3xy+x2—xy乂(x—y)(x+y)

(%—y)(x+y)x

_4,+2盯x(x—y)(x+y)

%_y)(%+y)x

=4%+2y；

由2%+y—3=0,得到2%+y=3,

則原式=2(2%+y)=6.

xQv

C.方程而=石的根為x=0D.解分式方程時，一定會出現(xiàn)增根

【答案】B

【解析】解：A.原方程中分母不含未知數(shù)，不是分式方程，

所以N選項不符合題意；

B.解方程，得x=-2,

經(jīng)檢驗x=-2是原方程的增根，

所以原方程無解，

所以2選項符合題意；

C.解方程，得尤=0,

經(jīng)檢驗x=0是原方程的增根，

所以原方程無解，

所以C選項不符合題意；

D.解分式方程時，不一定會出現(xiàn)增根，

只有使分式方程分母的值為0的根是增根，

所以。選項不符合題意.

故選:B.

【變式1]（2023?湖南）將關于x的分式方程方=含去分母可得（）

A.3%—3=2%B.3x-1=2xC.3x—1=xD.3x—3=x

【答案】A

【解析】解：磕=白，

去分母得：3（%一1）=lx,

整理得：3x-3=2x,

故選A.

【變式2］（2023?江蘇省常州市?模擬題）解分式方程［-三=0去分母時，方程兩邊同乘的最簡公分母是

【解析】解：去分母時，方程兩邊同乘的最簡公分母是x（x+l）.

故答案為：%（%+1）.

【變式3］（2024?山東省聊城市?模擬題）對于非零實數(shù)a,b,規(guī)定a十6=（—看若（2x—1）?2-1,貝詠的

值為.

【解析】解：由題意得:

2x—l2

解得：x=|.

O

經(jīng)檢驗，久是原方程的解,

O

_5

：

?X—6

故答案為：

6

【變式4】解分式方程：

（1）（2022?廣西賀州）蕓=工;

X—44—X

51

?湖北)=0.

(2)(2023x2+xx2—x

【解析】（1）解：方程兩邊同時乘以最簡公分母（X-4）,得

3-x=-1

解方程，得

x=4

檢驗：當久=4時，久-4=0,

???%=4是增根，原分式方程無解.

（3）解：兩邊乘以最簡公分母%1）（%+1）,得

5（%—1）—（%+1）=0.

解得：%=■!.

檢驗，當x=|時，

x（x-l）（x+l）*O.

??.X=|是原分式方程的解.

一；一根據(jù)分式方程解的情況求字母的值或確定取值范圍

LU題型九

【例題】（2021?四川巴中）關于X的分式方程普-3=0有解，則實數(shù)加應滿足的條件是（

A.m=-2B.m*-2C.m=2D.m^2

【答案】B

【解析】解：去一3=0

方程兩邊同時乘以2-％得：m+x-6+3%=0,

：Ax=m—6,

???分式方程有解，

：.2—x*0,

???％H2,

W8,

：.mH—2,

故選B.

【變式1］（2023?山東日照）若關于X的方程喜-2=碧解為正數(shù)，則小的取值范圍是（）

24242

A.m>--B.C.?n>一§且mW。D.血〈§且血。弓

【答案】D

【解析】解：若-2=招

2x—2X2（%—1）=3m

2x—4%+4=3m

—2x=3m—4

4—3m

x=-

2

???方程喜-2=碧的解為正數(shù)，且分母不等于0

呼>0,“號力1

42

.-.m<且n

故選：D.

【變式2](2023?四川巴中)關于x的分式方程筌+白=3有增根，則巾=_________.

X—Lz—X

■ATiXr-■x+m1c

【解析】=3，

解：方程兩邊同時乘以(x—2)，得x+m+(—l)=3(x—2)，

：.m=2x—5,

???原方程有增根，

2=0,

?,?%=2,

：.m=2x—5=—1,

故答案為：-1.

【變式3](2023?重慶?中考真題)若關于x的一元一次不等式組L亨三)，至少有2個整數(shù)解，且關于y

(2x—a>2

的分式方程*+會;=2有非負整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和是________.

y—zz—y

【解析】解:

解不等式①得：%<5,

解不等式②得：%>l+f，

??.不等式的解集為l+^WxW5,

???不等式組至少有2個整數(shù)解，

a

.-.l+j<4,

解得：a<6；

a—14

?.?關于y的分式方程時+石=2有非負整數(shù)解，

.,.a—1—4=2(y—2)

解得：片等，

即《20且等72,

解得：。之1且。工5

”的取值范圍是1WaW6,且a羊5

可以?。?,3,

???1+3=4,

故答案為：4.

3瓦廠分式方程的實際應用

【例題】（2022?湖北襄陽）仇章算術少是我國古代重要的數(shù)學專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文

是：把一份文件用慢馬送至聆00里外的城市，需要的時間比規(guī)定時間多一天：如果用快馬送，所需的時間比

規(guī)定時間少3天.已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規(guī)定時間.設規(guī)定時間為x天，則可列方程為（）

,900仁900c900900c

A-排x2=mB-京=二'2

c900c900

C.哼=*x2D.^X2=—

x—1x+3

【答案】A

【解析】解：???規(guī)定時間為x天,

二慢馬所需的時間為（久+1）天，快馬所需的時間為（X-3）天,

又,?,快馬的速度是慢馬的2倍,

—工口900”900

?'?可列出方程/1*2==

故選：A.

【變式1］（2023?湖南張家界）《四元玉鑒》是我國古代的一部數(shù)學著作，其中記載了一個“買椽多少”問題:

“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽.每株腳錢三文足，無錢準與一株椽.”大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這

批椽的總售價為6210文錢.如果每株椽的運費是3文錢，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一

株椽的價錢.試問：用6210文能買多少株椽？設用6210文能買x株椽，則符合題意的方程是（）

,C6210

A.3(X-1)=—B.3(x-l)=6210

-c62106210

DCQ

c.3(X-1)=—--=3x

【答案】c

【解析】解：設用6210文能買X株椽,

由題意得：3（%—1）=—

故選：C.

【變式2］（2023?山東省德州市）某次列車平均提速u千米/小時，用相同的時間，列車提速前行駛s千米，相

同的時間，提速后比提速前多行駛50千米，根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（）

A.若設提速后這次列車的平均速度為x千米/小時,則可列方程為3=等

B.若設提速后這次列車的平均速度為K千米/小時,則可列方程為七=字

則可列方程為七=苧

C.若設提速前這次列車的平均速度為y千米/小時,

s

D.若設提速前這次列車的平均速度為y千米/小時,則可列方程為歹=再

【答案】B

【解析】解：①?.?該次列車平均提速"千米/小時,且提速后這次列車的平均速度為X千米/小時,

???提速前這次列車的平均速度為0千米/小時.

根據(jù)題意得：白="吧；

②???該次列車平均提速3千米/小時，且提速前這次列車的平均速度為y千米/小時，

.-?提速后這次列車的平均速度為（y+m千米/小時.

根據(jù)題意得：］=篝.

故選：B.

【變式3］（2023?江蘇南通）為推進全民健身設施建設，某體育中心準備改擴建一塊運動場地.現(xiàn)有甲、

乙兩個工程隊參與施工，具體信息如下：

信息一

工程隊每天施工面積（單位：n?）每天施工費用（單位：元）

甲x+3003600

乙X2200

信息二

甲工程隊施工1800m2所需天數(shù)與乙工程隊施工1200m2所需天數(shù)相等.

（1）求X的值；

(2)該工程計劃先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續(xù)施工，兩隊共施工22天，且完成的施

工面積不少于ISOOOn?.該段時間內(nèi)體育中心至少需要支付多少施工費用？

【解析】(1)解：由題意列方程，得黑=岑2.

方程兩邊乘x(%+300).得1800%=1200x(%+300).

解得久=600.

檢驗：當x=600時，x(x+300)*0.

所以，原分式方程的解為x=600.

答：x的值為600.

(2)解：設甲工程隊先單獨施工a天，體育中心共支付施工費用w元.

則w=3600a+2200(22-a)=1400a+48400.

"(600+300)?+600(22-a)>15000,

?1?a>6.

-■?1400>0,

???w隨a的增大而增大.

.?.當a=6時，w取得最小值，最小值為56800.

答：該段時間內(nèi)體育中心至少需要支付施工費用56800元.

【變式4](2023?內(nèi)蒙古)端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗.市場上豆沙粽禮盒的進價比肉粽禮盒的

進價每盒便宜10元，某商家用2500元購進的肉粽和用2000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同.

(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的進價；

(2)商家計劃只購買豆沙粽禮盒銷售，經(jīng)調(diào)查了解到有，，B兩個廠家可供選擇，兩個廠家針對價格相同的豆

沙粽禮盒給出了不同的優(yōu)惠方案：

/廠家：一律打8折出售.

B廠家：若一次性購買禮盒數(shù)量超過25盒，超過的部分打7折.該商家計劃購買豆沙粽禮盒萬盒，設去/廠

家購買應付月元，去B廠家購買應付及元，其函數(shù)圖象如圖所示：

①分別求出%，%與》之間的函數(shù)關系；

②若該商家只在一個廠家購買，怎樣買劃算？

【解析】(1)解：設每盒豆沙粽的進價為Q元，則每盒肉粽的進價為(a+10)元

20002500

aa+10

方程兩邊乘a(a+10)，得

2000(a+10)=2500a

解得a=40

檢驗：當a=40時，a(a+10)H0

???a=40是原方程的解

a+10=50

答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的進價分別為50元和40元.

(2)解：=40x80%x=32%(x20且x為整數(shù))

當0WXW25且x為整數(shù)時，

y2=40x

當久>25且%為整數(shù)時

x

,y2=1000+(40x—1000)70%=28x+300

_(40久(OW*W25且x為整數(shù))

42—132%+300(x>25且x為整數(shù))

②當%>25且x為整數(shù)，

y1=y2時32%=28%+300

x=75

由圖象可知：購買粽子禮盒少于75盒，去4廠家購買劃算；購買粽子禮盒等于75盒，去4廠家或B廠家購

買一樣劃算；購買粽子禮盒多于75盒，去B廠家購買劃算.

---利用分式知識解決數(shù)學規(guī)律問題

A題型十一

【例題】(2023?山東濟寧)已知一列均不為1的數(shù)的，a2，a3,即滿足如下關系：。2=鬻，。3=

者。4=考|，即+1=轡:若%=2,則￡12023的值是()

A.-B.1C.-3D.2

【答案】A

【解析】解：由題意得,