直線的方程

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：傾斜角與斜率的計(jì)算......................................................2

題型二：三點(diǎn)共線問題...........................................................3

題型三：過定點(diǎn)的直線與線段相交問題.............................................4

題型四：直線的方程.............................................................7

題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題...........................................8

題型六：兩直線的夾角問題......................................................11

題型七：直線過定點(diǎn)問題.........................................................12

題型八：中點(diǎn)公式..............................................................13

題型九：軌跡方程..............................................................15

02重難創(chuàng)新練..................................................................16

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................25

題型一：傾斜角與斜率的計(jì)算

1.（2024?高三?山東濟(jì)寧?期末）直線百x-y+3=0的傾斜角是.

【答案】1/60°

【解析】由直線岳-y+3=0可得，直線的斜率左=6，

即tana=。，?e[0,7r）,即

所以直線怎-y+3=0的傾斜角為安

故答案為：—

2.（2024?高三?浙江杭州?期末）直線y=目的傾斜角是.

【答案】0

【解析】y=6的斜率為0,設(shè)傾斜角為夕e[0,71）,則tana=0,解得a=0,

故傾斜角為0

故答案為：0

3.經(jīng)過4（-1,3）,8（6,-6）兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

【答案】D

【解析】經(jīng)過4-1,3）,8（6,-百）兩點(diǎn)的直線的斜率為三’

=—V3，

-1-V3

因?yàn)橹本€的傾斜角大于等于0°小于180。，

故經(jīng)過/（-1,3）,8（省,-百）兩點(diǎn)的直線的傾斜角是120。,

故選:D

4.（2024?全國?高二專題練習(xí)）如圖，若直線4,4,4的斜率分別為左水2，右，則（）

A.kx<k3<k2B.k3<kx<k2

C.k1<k2<k3D.k3<k2<k{

【答案】A

【解析】解析設(shè)直線4,44的傾斜角分別為名，%，%，

貝！J由圖矢口0°<%<。2V90°<%<180°,

所以tanax<0,tana2>tana3>0,

即左<0,后2>%>0.

故選：A

題型二：三點(diǎn)共線問題

5.若三點(diǎn)/(2,3),5(3,-2),嗎,加]共線，則加=.

21

【答案】v

2

,m+22zc、

【解析】由題意，直線45的斜率為占=3苦+2=-5,直線的斜率為：左2=1-----=--(m+2)

—3

2

221

因4瓦。三點(diǎn)共線，故左=左2,即-8加+2)=-5,解得：m=—.

21

故答案為：萬.

6.若點(diǎn)4(-1,2)*(-3]),0(3,10)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)6等于

【答案】-2

【解析】由題意可得演即彳2-彳b=2一-10^，解得力=-2,

-1+3-1—3

故答案為：-2

7.已知/(私-2),5(2,5),C(3,7)三點(diǎn)在同一條直線上，則機(jī)=

【答案】忖3

【解析】因?yàn)?(加,-2),5(2,5),C(3,7)三點(diǎn)在同一條直線上,

5-7

所以《婚=3？，即——r

m-22^3

解得根=一；3.

3

故答案為：-5.

題型三：過定點(diǎn)的直線與線段相交問題

8.已知點(diǎn)4(2,3),5(-5,2),若過點(diǎn)C(-1,5)的直線/與線段相交，則直線/的斜率的取值范圍是

【答案】)?！?，_|_卜1，+°°]

【解析】如圖直線/與線段相交，

5-32_5-2_3

因?yàn)?c=*^=-§，^c

--1+5-4

結(jié)合圖形可知/的斜率取值范圍是卜叫-gqj+e

故答案為:3」［4)

9.已知實(shí)數(shù)X/滿足x-3y+5=0(lVxM4),則上土1的取值范圍為________.

x-2

【答案】(-8,-3卜[2,+8)

也可以看成x-3y+5=0(lVxW4)上的點(diǎn)和c(2，T構(gòu)成的直線的斜率,

x-2

在x—3y+5=0(l<x<4)中令1=1得y=2,令％=4貝ljy=3,

設(shè)4(1,2),5(4,3),

2+173+1

k

貝！1Ac=匚5=-3,kBC=匚]=2,

所以注的范圍為(-叫-3]32,內(nèi)).

x-2

故答案為：(-oo,_3]32,+oo).

10.已知點(diǎn)/(2,1),3(-2,2),若直線/過點(diǎn)-皆且與線段NB沒有交點(diǎn)，則直線/的斜率左的取值范

圍為?

【答案】

【解析】設(shè)過點(diǎn)P且垂直于無軸的直線交線段于點(diǎn)C,如下圖所示：

當(dāng)直線I由位置PA繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動到位置PC時(shí)，I的斜率從⑥/逐漸變大,

止匕時(shí)，k>kPA=-J=-;

2+-/

5

當(dāng)直線/由位置尸C繞點(diǎn)?轉(zhuǎn)動到位置尸8時(shí)，/的斜率為負(fù)值，且逐漸增大至原B，

2+-

11

此時(shí)，k<k=——

PB~6

-2+-

5

11H3)

綜上所述，直線/與線段45有交點(diǎn)時(shí)，其斜率左的取值范圍是一叫--U-,+00,

6__7)

所以直線/與線段沒有交點(diǎn)時(shí)，其斜率左的取值范圍是

故答案為:黃?

11.若直線/：("1卜+'+”0與連接/(1,2),5(-3,1)的線段相交，則。的取值范圍是.

【答案】18,-；]U[2,+8)

fx+1=0{x——1

【解析】直線/的方程可整理為。(x+i)-x+y=o,令~八，解得~?,所以直線/恒過點(diǎn)

[~x+y=0[y=-1

由圖可知，直線/在直線和G4之間旋轉(zhuǎn)時(shí)恒與線段48相交，

7_—1—1_1,-1-2371

3I

所以1-aN—或一1,解得—或。22.

22

故答案為：U[2,+co).

12.已知兩點(diǎn)/(-3,4),8(3,2)和直線/:如-廣機(jī)=0,則直線/恒過定點(diǎn)；若直線/與線段N8有

公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

【答案】(1,0)(一8,-1]。[1,+8)

【解析】空一：加=0ny=m(x-l),該直線的斜率為心，

所以直線/：必7—機(jī)=0恒過。(1,0)；

空二：如下圖所示：

所以當(dāng)直線/與線段有公共點(diǎn)時(shí)，則有機(jī)±1,或加4-1,

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(-8,-1]U[1,+8),

故答案為：(1,0);(一8,-1]。工+8)

題型四：直線的方程

13.在平面直角坐標(biāo)系中，已知”(2,0),3(-3,4)兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的平分線所在直線的方程

為.

【答案】了=2尤

171

則tan6=2或——,又0＜26＜兀，故0＜。＜一,

22

故左=tan8=2,

故ZAOB的平分線所在直線的方程為歹=2x,

故答案為：＞=2x

14.過點(diǎn)尸(1,1)引直線，使4(2,3),5(4,-5)到它的距離相等，則該直線的方程是()

A.4x+y-5=0B.x+4y-5=0

C.x+y-2=0或4x+y-5=0D.x+y-2=0或x+4歹一5=0

【答案】C

【解析】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為X=l,/(2,3),3(4,-5)到它的距離分別為1,3,不合題意；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為V-l=?x-l),即丘-y-左+1=0,由4(2,3),8(4,-5)到它的距離相等

得|2左;3：4+1|二|左+1|,解得左=T或_4,即直線方程為了+歹_2=0或4x+y-5=0.

J/+1々+1

故選：C.

15.已知過定點(diǎn)直線履-歹+4-左=0在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為()

A.x-2y-7=0B.x-2歹+7=0C.2x+y-6=0D.x+2y-6=0

【答案】c

【解析】直線h-y+4-后=0可變?yōu)镸x-1)-y+4=0,所以過定點(diǎn)尸(1,4),又因?yàn)橹本€去7+44=0在兩

坐標(biāo)軸上的截距都是正值，可知上＜0,

令x=0,y=4-左，所以直線與y軸的交點(diǎn)為/(0,4-左)，

令y=O,x=l-,,所以直線與X軸的交點(diǎn)為

所以4一左+1_：=5+(—左)+(_：］25+2,(_左)1_：］=5+4=9,

4

當(dāng)且僅當(dāng)-左二-7即左=-2時(shí)取等，所以此時(shí)直線為：2x+y-6=0.

k

故選：C.

16.(2024?四川綿陽?二模)過點(diǎn)尸(1,2),且與原點(diǎn)距離最大的直線的方程為()

A.2x-y=0B.x+2y-5=0C.x-2y+3=0D.2x+y-4=0

【答案】B

【解析】原點(diǎn)設(shè)為。，直線OP的斜率為2衿-0=2,

當(dāng)過點(diǎn)尸(1,2)的直線垂直于點(diǎn)尸(1,2)與原點(diǎn)。的連線時(shí)，該直線與原點(diǎn)距離最大，

此時(shí)直線方程廠2=-g(x-l),即x+2廣5=0,

故選：B.

題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題

17.已知直線/過點(diǎn)M(-3,4),且分別與x軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸交于4,2兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，貝lJV/05

面積最小值為.

【答案】24

由題意可知，直線/的斜率存在且不為0,設(shè)直線/的斜率為左,

則直線/的方程為k4"(x+3),

因?yàn)橹本€分別與x軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸交于HB兩點(diǎn),所以左＞0,

令x=0,則y=3左+4,即8(0,3左+4),

令丁=0,貝iJx=-3-%即?一3一用，

所以=3。山?|。同=：［+(%+4)=；1%+%2.

乙乙\l\J/\/VJ

其中94+3“、9人竺=24,當(dāng)且僅當(dāng)穌=3時(shí)，即左=±時(shí)，等號成立，

k\kk3

所以SJOB2；(24+24)=24,即VAOB面積最小值為24

故答案為：24

18.若一條直線經(jīng)過點(diǎn)4(-2,2),并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1,則此直線的方程為.

【答案】％+2歹-2=0或2x+y+2=0

【解析】由題意可知該直線不經(jīng)過原點(diǎn)，且存在斜率且不為零，

所以設(shè)直線方程為三+才=1,因?yàn)樵撝本€過點(diǎn)/(-2,2),

ab

-22

所以有--p—=1=>2。-26二,

ab

因?yàn)樵撝本€與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1,

所以有:司=1=>“6=2,或〃6=—2,

當(dāng)。6=2時(shí)，2Q-26=2=>a=6+l=>b(6+l)=2nb=l,或6=—2,

當(dāng)6=1時(shí)，”=2,止匕時(shí)方程為：1+"=1=>%+2y—2=0,

當(dāng)6=—2時(shí)，a=—11止匕時(shí)方程為：1-=1=>2x+jv+2=0,

—1—2

當(dāng)=-2時(shí)，2。-26=-2=>。=6-1=>6(6-1)=-2nbe0,

故答案為：x+2y-2=0或2x+y+2=0

19.已知直線/過點(diǎn)M(2,l),且分別與x軸的正半軸、/軸的正半軸交于4,3兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，當(dāng)A4OB

面積最小時(shí)，直線/的方程為.

【答案】x+2y—4=0

【解析】法一，利用截距式設(shè)出直線方程，再利用基本不等式求面積最小時(shí)的直線方程；法二顯然后存在,

設(shè)/:了-1=左@-2)(其中左<0)求出48坐標(biāo)，然后求解三角形的面積，再利用基本不等式求解面積的最小

值時(shí)的直線方程.法一設(shè)直線/：-+^=1,且a>0,b>0,因?yàn)橹本€/過點(diǎn)M(2,l),所以2+^=1,貝！I

abab

21l~2~

1——H—>2/—，故〃尼8,

abAVab

故S/08的最小值為：xa6=gx8=4,

當(dāng)且僅當(dāng)2=時(shí)取等號，止匕時(shí)a=4,b=2,

ab1

故直線/：：+=即x+2y—4=0.

法二設(shè)直線/的方程為y—1=左(%—2)/<0)，A”—，5(0,1—2左),

SAAOB=^(1—2女)(2—=：4+(—4左)+(—：]>1(4+4)=4,

當(dāng)且僅當(dāng)一4左=一，，即左=一；時(shí)，等號成立，

k2

故直線/的方程為y—1=一。（x—2）,即x+2y—4=0.

故答案為：x+2y-4=0.

20.已知直線/的方程為：（2+加卜+（1-2加）了+（4-3機(jī)）=0.

（1）求證：不論心為何值，直線必過定點(diǎn)M；

（2）過點(diǎn)W引直線心使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求《的方程.

【解析】（1）證明：?.,直線/的方程為：（2+〃?！?（1-2機(jī)）了+（4-3〃。=0

.?.提參整理可得：(jc-2y-3)m+2x+y+4=0.

fx-2y-3=0

可得

[2x+>+4=0

..?不論加為何值，直線必過定點(diǎn)加（-1,-2）.

（2）設(shè)直線4的方程為了=左卜+1）-2（左＜0）.

令了=0,貝i]x=勺2,

-k

令％=0,.貝！J>=左一2,

二.直線4與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積

k-2|=g(-k)

s=g+1+4+4=4.

2-k卜

4

當(dāng)且僅當(dāng)-左=即左=-2時(shí)，三角形面積最小.

此時(shí)k的方程為2x+y+4=0.

21.（2024?全國?高三專題練習(xí)）直線/過點(diǎn)"（1,2）,且分別與xj軸正半軸交于A、8兩點(diǎn)，。為原點(diǎn).

（1）當(dāng)小面積最小時(shí)，求直線/的方程；

（2）求|。4|+2|。刈的最小值及此時(shí)直線I的方程.

【解析】（1）設(shè)直線/：±+*=1，且。＞0力＞0

ab

?..直線過點(diǎn)(1,2)

」+\=i則1」+、戶，

abab\ab

12

/.仍28當(dāng)且僅當(dāng)一=：即。=2,b=4時(shí)取等號

ab

所以S@o的最小值為:。6=4,

直線/:三+2=1即2x+y-4=0.

24

17

(2)由⑴_+7=1,

ab

：.\OA\+2\OB\=a+2b=(a+2b)^-+胃=5+泡^>9,

當(dāng)且僅當(dāng)竺=字即“=6=3時(shí)取等號，

ab

：.止匕時(shí)直線/：%+y—3=o,

故|。4|+2|。邳的最小值為9,此時(shí)直線I的方程x+y-3=0.

題型六：兩直線的夾角問題

22.若直線/過點(diǎn)(4,5)且與直線3x-4尸7=0,12x-5y+6=0的夾角相等，則直線/的方程是

【答案】9x-7y-l=(Wx+9y-73=0

3I?

【解析】直線3x-4y-7=0的斜率左=i，直線12x-5y+6=0的斜率總=?,

依題意直線/的斜率存在，設(shè)斜率為人，

k上

579

所以一^，整理得63左2—32左—63=0，可得左=一§或左=,,

1+-^l+—k

45

7a

又直線/過點(diǎn)(4,5),貝匕-5=-§(》一4)或y-5=,(x-4),

整理得7x+9y-73=0或9x-7y-1=0.

故答案為：9x—7k1=0或7x+9k73=0

23.直線/過點(diǎn)(1,0),且與直線-6x+y-e=0的夾角為5,則直線/的方程為______

6

【答案】1=1或%+6^-1=0

【解析】由題設(shè)，直線4斜率為-6,則其傾斜角為奇，

所以直線/的傾斜角為多或力且過。,0),

62

故直線/的方程為工=1或y=-g(x-l),即x=1或x+VJy-1=0.

故答案為：x=1或尤+=0

24.直線y=+l與直線y=(3-2后)x+2所成夾角大小為.

【答案】45。

【解析】設(shè)直線y=Ev+l的傾斜角為直線y=(3-2后)尤+2的傾斜角為￡,兩條直線夾角為。,

則tana=V^，tan/3=3-242,

夜-(3-2碼

則tan夕=，an（a-訓(xùn)==1,046490°，

1+V2（3-2A/2）

所以<9=45°.

故答案為：45°.

題型七：直線過定點(diǎn)問題

25.若無論實(shí)數(shù)加取何值，直線/：x+(加+l)y+l=0都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】(-1,0)

【解析】令。=0,解得[=0，故/：x+(〃?+l)y+l=0經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為(TO).

故答案為：(-1,0)

26.過定點(diǎn)A的直線〃底一>+1=0與過定點(diǎn)B的直線尤+叩-3=0交于尸，貝I]|尸+|尸靖=

【答案】10

【解析】由題意可得：y-l=mx,則/(0,1),

由叩=-(x-3),則3(3,0),

當(dāng)/=0時(shí)，兩直線垂直，

當(dāng)〃zwO時(shí)，兩直線斜率之積等于-1,

，直線機(jī)x-y+l=0和直線x+〃沙一3=0垂直，

貝!!|尸4|2+|尸8『=|45|2=10,

故答案為：10

27.已知直線/:（3%+l）x+（2+2m）y-8=0（加為任意實(shí)數(shù)）過定點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為；若直線

I與直線乙：x=-1,（V=T分別交于M點(diǎn)，N點(diǎn)，則|尸間?|尸的最小值為.

【答案】（-4,6）42

【解析】直線/：加（3x+2力+（x+2y-8）=0,

[3x+2y=0/、

聯(lián)立C。八，解得x=—4，歹=6,故尸—4,6；

+—8=0

易知直線/的斜率存在且不為0,

設(shè)直線/：＞-6=攵（1+4）,

令l=-1,得y=3左+6；

7

令y=T，得x=_y—4,

k

則”1,34+6）,7V|,

故四卜四|=19+%2.k2+屋42,

k2

當(dāng)且僅當(dāng)左2=^,即后=±1時(shí)等號成立.

故答案為：（-4,6）,42

28.已知直線6+（。-1）y一2=0經(jīng)過定點(diǎn)p,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

【答案】（2,-2）

_,/、/、[x+y=0[x

【解析】直線6+（.-1）y-2=0即a（x+y）-y-2=0,由｛_丫：2=0得jy

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,-2）.

故答案為：（2,-2）

題型八：中點(diǎn)公式

5_3

29.已知48兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線4：x-4y=0和：4x+ay=0上，且43的中點(diǎn)為C

2，-2

則a=，直線AB的一般式方程為

【答案】15x-317=0

【解析】由題意得4-4。=0,得。=1.

設(shè)加,;加m=4,

n=l,

即44,1）,5（1,-4）,則直線43的方程為>-l=jj（x-4）,即5x-3y77=0.

故答案為：1;5x-3y-17=0.

30.直線/分別交x軸和>軸于48兩點(diǎn)，若“（2,1）是線段的中點(diǎn)，則直線/的方程為.

【答案】x+2y-4=0

【解析】因/、8兩點(diǎn)在x軸和>軸上，設(shè)/（x,0）,B（0,y）,

因加（2,1）是線段的中點(diǎn)，則/（4,0）,8（0,2）,

故直線的截距式方程為：日+2=lnx+2y-4=0.

42

故答案為：x+2y-4=0.

31.己知直線/：生-了+1+2左=0（左eR）過定點(diǎn)T,若直線/被直線x-y+6=0和x軸截得的線段恰好被

定點(diǎn)7平分，求人的值.

【解析】kx-y+\+2k=0ny—l=A:（x+2）

則直線過定點(diǎn)T（-2,l）

設(shè)直線/與直線x-y+6=0交于A點(diǎn)，與x軸交于B點(diǎn)，依題意7為9中點(diǎn)

在fcc_y+l+2k=0中令y=0,則x=

k\k

i-2k

所以孫=2X?-XB=—；—,y=2y-y=2

kATB

即將其代入直線x_y+6=0中可得^^-2+6=0

解之得占；

題型九：軌跡方程

32.方程(尤2-4)優(yōu)+4)=0表示的圖形是()

A.兩條直線B.四條直線C.兩個(gè)點(diǎn)D.四個(gè)點(diǎn)

【答案】A

【解析】因?yàn)闊o2+41，貝!](/一4)(/+4)=0,解得X2-4=0,解得X=±2,

其表示的兩條圖形為兩條直線.

故選：A.

33.已知5(2,4),V/5C的面積為10,則動點(diǎn)。的軌跡方程是()

A.4'一3)一16=0或4工一3>+16=0B.4、一3歹一16=0或4%—3>+24=0

C.4X-3>+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0

【答案】B

【解析】因?yàn)?(-1,0)、8(2,4),所以|/同=42+1)2+(4_0)2=5,因?yàn)閂/2C的面積為10,

所以動點(diǎn)C到42的距離為4,設(shè)C(xj),則N2的方程為二

x-22+1

|4x-3y+4|

即4x_3y+4=0,由題意可得]:受=4即|4.r-3^+4|=20,

"+2(-3)

所以動點(diǎn)C的軌跡方程為：4》-3了-16=0或4%-3了+24=0.

故選:B

34.到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是()

A.x-y=0B.尤+y=0C.|%|-^=0D.|x|-1J|=0

【答案】D

【解析】設(shè)點(diǎn)尸(xj),則到兩坐標(biāo)軸距離相等，即忖=3,即國-例=0.

故選：D

35.到兩條平行直線2x+y+l=0和2x+y+5=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是.

【答案】2x+y+3=Q

【解析】設(shè)尸值,%)是所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則由題意得口;二為『

二?|2%+%+1|=|2%o+%+5],

2/+為+1=—2x0—jv0—5,即2XQ+%+3=0.

；尸(%，%)是任意的，故所求點(diǎn)的軌跡方程為2x+y+3=0.

故答案為2x+y+3=0

36.已知三條直線4：2x-y+a=0（a>0）、l2:-4x+2y+1=0和g:x+y—1=0且《與的距離是金石.

⑴求。的值；

（2）已知P點(diǎn)到直線A的距離與P點(diǎn)到直線Z3的距離之比是行:若，試求出點(diǎn)P的軌跡方程.

【解析】（1）將直線/2：-4x+2y+l=0的方程化為2x-y-g=0,

"J"廠

..?兩條平行線4與12間的距離_I23=7V5,

一百+（-1）2—10

解得。=3或〃=-4,又〃>0,所以。=3.

（2）因?yàn)橹本€4：2x—y+3=0,直線，3：x+>—1=0，

設(shè)點(diǎn)尸（x,y）,依題意有23+3]=去回口,

A/57572

BP|2x-j；+3|=\x+y-\,所以1_2y+4=0或3x+2=0,

即尸的軌跡方程%—2歹+4=0或3x+2=0.

㈤2

1.（2024?上海嘉定?一模）直線傾斜角的取值范圍為（）

A.0,今[B.0,]C.[0,兀）

D.[0,7t]

【答案】C

【解析】當(dāng)直線與橫軸平行時(shí)，直線的傾斜角是0,

因此直線傾斜角的取值范圍為[0,兀），

故選：C

2.已知點(diǎn)/（2,1）,5（3,2）,則直線的傾斜角為（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

【答案】B

【解析】解析：A=tana=4'=l,又因?yàn)?。4&<180。

3-2

所以°=45°,

故選：B.

3.（2024?河南信陽?三模）動點(diǎn)尸在函數(shù)了=ln（4-x）-lnx的圖像上，以P為切點(diǎn)的切線的傾斜角取值

范圍是（）

【答案】C

fx＞0/、

【解析】令4一尤＞0，解得0＜》＜4,故了=ln（4-x）-lnx的定義域?yàn)椋?,4）,

v-------------....-------------S-----------------■——1

4—xx（4-x）x（4—x+x）,當(dāng)且僅當(dāng)4—x=x,即x=2時(shí)，等號成立,

（

故j/w-l,故以P為切點(diǎn)的切線的傾斜角取值范圍是［17T學(xué)371.

故選：C

4.（2024?重慶?三模）當(dāng)點(diǎn)尸（TO）到直線/：（32+1）尤+（2+l）y-（4X+2）=0的距離最大時(shí)，實(shí)數(shù)幾的

值為（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【解析】直線/：（32+l）x+（2+l）y-（42+2）=0,

整理得X(3x+y-4)+(x+y-2)=0,

3x+y-4=0,X=1

由x+y-2=。,可得

y=1

故直線恒過點(diǎn)/（1,1）,

點(diǎn)尸（TO）到/。,1）的距離4mx=1)2+(07)2=6,

_LL;_1_0_1

故2幣二萬

直線/：(32+1)龍+(X+l)y_(44+2)=0的斜率左

A+1

故-答?；J,解得…

故選：B.

5.（2024?重慶?模擬預(yù)測）已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)4（1,。）,

3

B（2,b）,且cos2a=g,則,一耳=（）

A.-B.—C.—D.1

252

【答案】A

【解析】???角戊的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)5（2,6）,

323

且cos2a=—,，cos2a=2cosa-l=—

55

421

解得cos2a=M：.\cosa\=-j=,工|sina|二忑,

b-asina

\tana\==\a-b-

2-1cosa~2

故選：A.

6.（2024?新疆烏魯木齊?三模）直線4，4的斜率分別為1，2,小4夾角為。，則sin20=（）

、34-33

A.—B.—C.—D.—

45510

【答案】C

【解析】設(shè)直線4，，2的傾斜角分別為名，，則tana=l,tan尸=2g二萬一a；

tan，-tana2-1_1

因此tan6=tan（,一a）二

1+tan0tanal+2xl-3

2sin，cos，2tan。3

所以sin26=2sin0cos0=

sin20+cos20tan20+\5,

故選：C

7.（2024?河南信陽?模擬預(yù)測）動點(diǎn)P在函數(shù)y=-6（尤+1）的圖象上，以尸為切點(diǎn)的切線的傾斜角取值

范圍是（）

【答案】C

【解析】設(shè)以尸點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的傾斜角為。，

31

因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=-a一戶（％20”

所以/'CO=_~x5_~x5=_y3yjx+2和=—1,

當(dāng)且僅當(dāng)34=七，即x=g時(shí)取等號，

又因?yàn)椤?0,兀），

所以tan0<-密，

所以6嗚爭.

故選：C.

8.（2024?貴州遵義?一模）已知直線〃x-y+2=0與函數(shù)〃x）=：cos[5x]+-2的圖象在x=l處的切線

沒有交點(diǎn)，貝|"=（）

A.6B.7C.8D.12

Q71

所以函數(shù)/(x)=—cos尤+聲的圖象在x=l處的切線方程為:

71

y-l=8（x-l）,貝l]y=8x_7,

因?yàn)橹本€內(nèi)-了+2=0與直線了=8》-7沒有交點(diǎn),

所以直線〃工一丁+2=0與直線了=8》-7平行，

則〃=8.

故選：C.

9.（多選題）（2024?黑龍江哈爾濱?二模）點(diǎn)M（士,%）在函數(shù)y=e，的圖象上，當(dāng)再則、可

玉一1

能等于（）

A.-1B.-2C.-3D.0

【答案】BC

【解析】由U表示”（國,必）與點(diǎn)所成直線的斜率無，

玉一1

又可（再,"）是y=e"在xe[0,l）部分圖象上的動點(diǎn)，圖象如下:

如上圖，5（1,e）,貝!）丘（一e,-2],只有B、C滿足.

故選：BC

10.（多選題）（2024?全國?模擬預(yù)測）若/（x）=|1時(shí)的圖象在x=』,x=%（再＜%）處的切線分別為4,4,

且/J，2，則（）

A.國工2=1

B.玉+々的最小值為2

c.4,在y軸上的截距之差為2

D.4,在＞軸上的截距之積可能為-1

【答案】AC

【解析】對于A,B：由題意可得0＜網(wǎng)＜1,%＞1,當(dāng)0＜尤＜1時(shí)，,當(dāng)x＞l時(shí)，f'[x）=—,

XX

所以4,的斜率分別為匕=-:小=J，

，7711Y

因?yàn)樗宰笏?---二一1,得須入2=1，

石工2

因?yàn)?＜演＜々，所以再+%〉2"1%2=2，

故A正確，B錯(cuò)誤.

對于C,D：4的方程為V+,即〉=x+1-InA；,

再再

令x=0,得＞=1-1叫，所以4在V軸上的截距為1-1叫，

/2的方程為V=-1+山2,可得，2在y軸上的截距為-l+lnx2,

所以4,4在〉軸上的截距之差為IT叫-（T+l噸）=2-山（%/）=2,

/i，在〉軸上的截距之積為（1-）（-1+皿-（1-In%]）Q+Inx]片（nX[）—1＞—1,故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.（多選題）（2024?河南?模擬預(yù)測）已知直線/過點(diǎn)河（-2,3）,且與x軸、）軸分別交于4,B點(diǎn)、,

則（）

A.若直線/的斜率為1,則直線/的方程為了=x+5

B.若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線/的方程為x+y=l

C.若M為N8的中點(diǎn)，貝心的方程為3x-2y+12=0

D.直線/的方程可能為＞=3

【答案】AC

【解析】對于A,直線/的斜率為1,則直線/的方程為廠3=x+2,即y=x+5,故A正確;

3

對于B,當(dāng)直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時(shí)，/的方程為y=故B錯(cuò)誤；

對于C,因?yàn)橹悬c(diǎn)聞-2,3）,且/,8在x軸、y軸上，所以-4,0）,5（0,6）,故.的方程為三+*=1,

-46

即3x-2y+12=0,故C正確；

對于D,直線P=3與x軸無交點(diǎn)，與題意不符，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.（2024?貴州畢節(jié)?三模）已知直線4：x+）-5=0,直線4：儀-〉-3/+2=0,與相交于點(diǎn)力,則

點(diǎn)A的軌跡方程為.

【答案】（x-4）2+（y-l）2=2

【解析】因?yàn)椤?+勿-5=0,所以直線《過點(diǎn)C（5,0）,

直線4：/（x-3）-y+2=0過點(diǎn)*3,2）,

因?yàn)?1+f?（-1）=0,所以設(shè)/（》/）,

所以％—15=0，所以ZC=（5-x,-y）,/8=（3-x,2-y）,

所以（5-x）（3-x）-y（2-y）=0,化簡可得：（x-4）2+（y-l）2=2.

故答案為：（x-4）2+（y-l）2=2.

13.（2024?上海長寧?二模）直線2x-y-3=0與直線x—3y-5=0的夾角大小為.

【答案】￡/45°

4

【解析】設(shè)直線2x—歹一3二0與直線%—3y—5=0的傾斜角分另IJ為名",

則tana=2,tan/?=g,且a,，￡[0,兀），

所以a〉〃，

2--

tana-tan°

因?yàn)閠an(a-/?)

1+tanatan/3

3

所以夕-。=:，即兩條直線的夾角為

44

故答案為：—■.

4

14.（2024?黑龍江齊齊哈爾?二模）已知直線/：辰->+1+2左=0,若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，

則實(shí)數(shù)左的值為;若直線/不經(jīng)過第三象限，則左的取值范圍是.

【答案】-1或」；-^<Ar<0.

【解析】因?yàn)橹本€/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以無R0,

在履一>+1+2左=0中，

令％=0,得y=l+2左，令>=0,得了二一2—工，

k

依題意可得1+2左=-2-不，即2左2+3左+1=0,

k

解得左=一［或左=一1；

2

/、［％+2=0

直線/的方程可化為人（尤+2）-了+1=0,所以J_y+1=o，

Px——2,、

所以y=l,所以直線/過定點(diǎn)M

所以自M=-g，由直線，：丘一了+1+2左=°可得：y^kx+2k+\,

若/不經(jīng)過第三象限，則-4V0,

2

故答案為：-1或一二；k<0.

22

15.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距

離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線，已知VNBC的頂點(diǎn)“（2,0）,8（0,4）,

若其歐拉線方程為x-y+2=0,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo).

【答案】（-4,0）

【解析】設(shè)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求重心，代入歐拉線得方程，求出AB的垂直平分線，聯(lián)立歐拉線

方程得三角形外心，外心到三角形兩頂點(diǎn)距離相等可得另一方程，兩方程聯(lián)立求得C點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)

由重心坐標(biāo)公式得，2MBe的重心為［亨,歲］

代入歐拉線方程得：號-亨+2=0,整理得：m-n+4=0①

N8的中點(diǎn)為(1,2),心=咨=一2,

U—2

45的中垂線方程為=即x—2>+3=0.

x-2y+3=0x=-l

聯(lián)立二2二0'解得

7=1

.?.AABC的外心為(Tl).

則；.(加+1)2+々7-1)2=32+12,

整理得：加之+〃2+2加_2〃=8②

聯(lián)立①②得：加=一4,〃=0或m=0,〃=4.

當(dāng)加=0,〃=4