玩轉指對幕比較大小

目錄

01方法技巧與總結...............................................................2

02題型歸納總結.................................................................3

題型一：直接利用單調(diào)性........................................................................3

題型二：引入媒介值.............................................................................4

題型三：含變量問題.............................................................................6

題型四：構造函數(shù)...............................................................................8

題型五：數(shù)形結合..............................................................................12

題型六：特殊值法、估算法.....................................................................18

題型七：放縮法................................................................................20

題型八：不定方程..............................................................................23

題型九：泰勒展開..............................................................................25

題型十：同構法................................................................................27

題型十一：帕德逼近估算法.....................................................................31

03過關測試....................................................................32

（1）利用函數(shù)與方程的思想，構造函數(shù)，結合導數(shù)研究其單調(diào)性或極值，從而確定,b,c的大小.

（2）指、對、暴大小比較的常用方法：

①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如°』和優(yōu)2,利用指數(shù)函數(shù)＞=/的單調(diào)性；

②指數(shù)相同，底數(shù)不同，如X：和甘利用幕函數(shù)『=/單調(diào)性比較大小;

③底數(shù)相同，真數(shù)不同，如log*和log,%利用指數(shù)函數(shù)log“x單調(diào)性比較大??；

④底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0,1或者其它能判斷大小關系的中間量,借助中間量進行大

小關系的判定.

（3）轉化為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標

（4）特殊值法

（5）估算法

（6）放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

（7）常見函數(shù)的麥克勞林展開式：

2

xVe&府

?e=l+x+—+…+——+--------x

2!n\(w+1)!

N52,.+\

②sinx=x------1-----------------------------------------------------FO(X2K+2)

3!5!(北I1)!

fY4X6X2"

@cosx=l-—+——+。(鏟)

2!4!6!(2〃)！

丫2v3丫〃+1

④ln(l+x)=x-—+-------+(-1)〃二一+o(x〃+i)

23n+\

⑤------=1+X+X2+…+%”+0(x〃)

1-x

@(1+x)n=1+nx+!1)L2+o(x2)

0

題型歸納與總結

題型一：直接利用單調(diào)性

【典例1-1】記aMBMluOjWZ.CniogozOj,貝!!（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

【答案】D

【解析】因為6=0.3一幕函數(shù)y=/在（0,+功上單調(diào)遞增，

又￡>3,所以1/：2>3°2>3°=1,

所以b>a>\,

又對數(shù)函數(shù)夕=唾02》在（0，+s）上單調(diào)遞減，所以c=logo,203<logo,2S2=l,

故6>a>l>c.

故選：D.

【典例1-2］（2024?全國?模擬預測）已知a=3°%&=log25,?=1幅2百,則實數(shù)a,b,c的大小關系

是（）

A.b>a>cB.a>b>cC.b>c>aD.a>c>b

【答案】A

【解析】由y=3*在R上單調(diào)遞增，可得3°4>34=6>}又（3°J了=27<25=32,

則士<4=3“<2.

2

由y=log2x在（0,+s）上單調(diào)遞增,可得方=log25>log,4=2.

由y=logs》在（0,+（?）上單調(diào)遞增，可得c=log32g<log33G=m.

所以b>a>c,

故選：A.

￡3

【變式1-1］設a；］：,6=仁『，c=lnl,6,貝|（）

A.c<a<bB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】D

2T鼻

162000(纖J3]=27J323

49-6125(5)1256125

3

3『，即a>b,

>

32768

=15.625，

3125

所以(e°6)5>i.65,所以e°6〉1.6，則lne06>lnl.6，即lnl.6<0.6,

3

又6==|,所以6>c,

所以a>b>c.

故選：D

【變式1-2](2024?寧夏銀川?三模)已知”=0.2°"b=cos2,c=lgl5,則()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】由題知a=0.2%6=cos2,c=lgl5,因為/'(x)=lgx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,

所以/(15)>[(10),即c=lgl5>lgl0=l,

因為g(x)=0.2,在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以g[J<g(0),BP0<a=0.2°-5<0.2°=b

因為/z(x)=cosx在(0,兀)上單調(diào)遞減，所以〃⑵<,即6=cos2<cos]=0,

綜上：b<0<a<l<c.

故選：D

題型二：引入媒介值

【典例2-1】(2024?甘肅蘭州?二模)故a[胃、6=c=log3y,貝Ua,b,c的大小順序是

()

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

_553

【解析】7=U>1=噫9>。=1。83g

所以c<6<〃，

故選：D

【典例2-2】（2024?高三?廣西?開學考試）已知a=sinB，6=2°」，c=log,百，貝!|（）

6

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】A

【解析】a=sin兀?=：1,

62

因為2°<2°」<方，所以1<6<2,

log241<log,V3<log22,所以;<c<l,

所以6>c>a,

故選：A.

【變式2-1］（2024?全國?模擬預測）已知。=啕30?6,b=O.50-6，c=2cos222.5°-b那么。，b,c的

大小關系為（）

A.b<c<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

【答案】B

1111

【解析】因為（0.6）7>0.3,所以06〉035，則〃=logo.3<bgo.3。3萬=—，BP0<tz<—,

22

0.5<Z>=0.5°-6<0.^-5=—,即工<b=正，

222

c=2cos222.5°-1=cos45°=——，故Q<6<C

2

故選：B

【變式2-2］（2024?江西上饒?模擬預測）設（；）。=2,6=108工:，,=（；#，則有（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】B

【解析】由6=2,得a=log『<bg；l=0,Z,=logi|=log23>log22V2=1,

113

c=23<22<-,而c>0,所以…<6.

2

故選：B

題型三：含變量問題

【典例3-1］（2024?陜西西安?統(tǒng)考一模）設。>6>0,。+6=1且x=）=k>g［a,z=lo,+］）a6,則

x,%z的大小關系是（）

A.x<z<yB.z<y<x

C.y<z<xD.X<y<z

【答案】A

【解析】由a>6>0,a+b=1,可得0<6<—<a<l,

2

貝Ij2=1強'卡=log/b=log^b=-\

\ab）abab

因為o<b<l,所以&6=1,則廣log〃=Tog/>Tog"=-l,

b

因為尤=_（工］<-1,所以x<z<y.

故選：A.

【典例3-2】（多選題）若0<a<b<l,貝!］（）

A.ab<baB.ab+］<a+b

C.a''h<b'~aD.

【答案】AC

【解析】A選項中，因為0<a<l,故>=優(yōu)在R上單調(diào)遞減，故/

因為y=x"在（0,+e）上單調(diào)遞增，故a"<b"，綜上，ab<aa<ba，A正確；

B選項中，由于。+6-。6-1=（。一1）（1一6）<0,而已知0<a<b<l,所以B不正確；

C選項中，al-b<b'-a—

\-a\-b

設〃x)==(0<X<1)，則/-(x)=(0<X<1”

設g(x)=lnx+L-l(0<x<l),

y—I

貝g'(x)=<°ng(x)>g(l)=0nf，(x)>0,

X

所以了⑴在(0,1)上遞增，這樣故C正確；

D選項中，取。=：,b=；,則1084(1+6)=1081；=1081^^,1086(1+〃)=1。81%,

933,

又空=巫〉色>[,故logji+bAlogi^vlogMl+aQlogi4,所以D錯誤.

399§339

故選：AC.

【變式3-1](多選題)(2024?海南?？?模擬預測)已知x,y,z都為正數(shù)，且2,=3y=6)貝U()

111,1

A.xy>4z2B.-+C.x+y>4zD.x+y<5z

xyz

【答案】ACD

【解析】令2*=3〉=6"=上>1,貝！]x=log2左，y=log3k,z=log6k,

所以‘+'=log/2+1(^3=108^6=J，B錯誤；

xyz

z=2^L<^y=&(注意x/y>0等號不成立)，故4z2<xy,A正確；

x+y2jxy2

z=je)L<(x+y)i=x+Z(注意等號不成立)，貝iJ4z<x+y,C正確，

x+y4(x+y)4

由x+y—5z=log2左+log3左一51og6左,令f(x)=log2X+log3X-5log6X<XG(1,+oo),

貝1]八x)=-(―+————)=--[(ln6)~~51n21n3],

xln2In3In6xIn2In3In6

由(In6)2-51n21n3=(In2+ln3)2-5In2In3=(ln1^)2-In21n3<(InVe)2-In21n3=-In2In3,

因為ln3>lne=l,--In21n3<--ln2=ln^^<0，

442

綜上，f\x)<0,即/(x)在X￡(l,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(x)</(l)=0,故1%％+1。83%〈51叫了恒成立，即x+y〈5z,D正確.

故選：ACD

-!-<ln(l+-)<-,貝!!(

【變式3-2］（多選題）（2024?山西?模擬預測）已知當x〉0時,

1+xXX

上B.In9<l+—H-----F—<InlO

A.9?2829

【答案】ACD

1]1111Q-9

【解析】因為;---<ln(l+—)<—,令、=8,---=—<ln(l+-)=In—,則e9<一,

1+xxx1+89888

令x=9,ln(l+1)=lny<1,則與<e"A正確;

因為ln(l+3=ln3<上，則ln2<l,ln-<-,In—<-,以上各式相加有l(wèi)nl0<l+1+…+1,B

xxx1229929

錯誤;

由ln(l+3=上x+1<L得,xln(x+l)-xlnx-l<0,即xln(x+l)-(x-l)lnx-l<Inx,

xxx

于是ln2-l<lnl,21n3-ln2-l<ln2,31n4-21n3-l<ln3,...?9lnlO-8In9-l<ln9,

以上各式相加有91nl0-9<ln9!,即e瓜7分=.=(3)9<9!,C正確；

ee

1||r°r1c9i

由ln(l+±)<七得，(l+-r<e,因止匕斗+學+...+W=(i+_Ly<e,

XXX9999

【變式3-31(多選題)(2024?湖北?模擬預測)己知正實數(shù)a,6,c滿足c"<6"<1<log,“，則一定有

()

A.a<1B.a<bC.b<cD.c<a

【答案】AB

【解析】由正實數(shù)a,b,c,以及J<1,加<1可得c,6e(O,l),

又log。a>1=log3,所以a<c<l.

所以/<cJ又以<6",所以/<",

即61na<alnb,等價于史色〈電2,

ab

構造函數(shù)/(x)=53，x>0

/，(上手，

當xe(O,l)時，-@)=匕野>0

故〃》)=?在(0,1)上遞增，從而a<6.

又取b=c時，原式為6"</<1<log/同樣成立，

故CD不正確，

故選：AB

題型四：構造函數(shù)

2

【典例4-1】設。=log32,b=log,3,c=~,d=log53,則(

A.a<b<c<dB.a<c<d<b

C.a<d<c<bD.c<a<b<d

【答案】B

【解析】構造函數(shù)/(')=—,/(')的定義域為(0,+功，

/(切=上等，令/'(x)>0可得：xe(O,e),令/'(無)<0可得：xe(e,+e),

所以/(無)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,+e)上單調(diào)遞減.

故〃3)>〃4)=〃2),即**竽

變形可得丁工<；，即log32<7，所以Q<C；

In333

2

X31n3=ln27>ln25=21n5,所以§<k)g53,又因為1(^3〈log,？，

所以綜上，a<c<d<b,

故選：B.

11,Z>=2Infsin1^+cos1^\c=|ln|,則a,6,c的大小關系是

【典例4-2](2024?湖北武漢?二模)設”

51010

)

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【解析】由已知可得6=21n(sin'+cos二1Y1

=ln|sin—+cos—I=ln(l+sin—),

1010I1010

設/(%)=%—sinx,xe(0,l),則=1-cosx>0,

所以/(x)=^-sinx在(0,1)上單調(diào)遞增,

>/(0)=0,即g>sing,所以b=ln[l+sin；1]<ln[l+11],

所以/

I55

1y

設g(無)=x-ln(x+l),%e(0,l),則g'(x)=l-----=---->0,

x+lX+1

所以g(x)=X-ln(x+1)在(0,1)上單調(diào)遞增,

所以gg)>g(0)=0,即311111+口>，1+5出口，

綜上,

設〃(x)=x-￡ln(x+l),XG(0,1),則斤(x)=l--J=生。

55x+5x+l

g,l]時，h\x)>0,

當時，h'(x)<0,當XG

所以h(x)=x-|ln(x+1)在上單調(diào)遞減，在(，1J上單調(diào)遞增，

所以打gJ<〃(0)=0,即:<■|ln"+"]=：ln：,所以.<c,

所以6<Q<C

故選：B.

4

【變式4-1】設。=mp6=lnl.04,c=e°°4—l,則下列關系正確的是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】設/(x)=e=(x+l),g(x)=lnx-(xT),則/⑴=e-l,g'(x)=子，

易知尤>0=>/'(X)>0,1>x>0=>g'(x)>0,且x<0n/'(%)(0,?1=>8'(尤)<0,

所以/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+功上單調(diào)遞增；g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

即1(x)2/(O)=OneX-12X,在工=0時取得等號，

且g(x)Wg(l)=0nlnxWx—1,在x=l時取得等號，則ln^W工-1">0)nIn尤21—1，在x=l時取得等

XXX

號，

144

所以e004-l>0.04=1.04-1>lnl.04>l-----=—>——，^c>b>a.

1.04104105

故選：D

【變式4-2](2024?全國?模擬預測)已知°=5。5。,6=49",c=5149.則()

A.b<c<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<b<c

【答案】B

【解析】因為a=5()5。，b=495l所以Inq=501n50,lnb=5Hn49,

令〃x)磊")1+——Inx

則

令g(x)=l+：—hix(x〉e2),則8'卜)=一^^<0恒成立,

所以g(x)在舊+8)上單調(diào)遞減，則g(無)<g(e2)=l+4-2<0,

Q

所以八x)<0在?，+?)上恒成立,則以x)上單調(diào)遞減,又^<49<50,

所以/(50)</(49),即甯<甯，即501n50<5Hn49,

所以Inq<In6,則Q<6；

因為c=5/9,所以lnc=491n51,而ln〃=501n50,

]r\x/八1----Inx

令h(x)^—(x>e),則“⑴=J),,

令0(x)=l----lnx(x>e2),則d(x)=—二<0恒成立，

所以9(x)在(e2,+oo)上單調(diào)遞減，則研尤)<9卜2)=1-：-2<0,

所以〃(x)<0在付+可上恒成立，則貼)上單調(diào)遞減，Xe2<50<51>

所以〃(51)<〃(50),即〈鬻，即491n51<50ki50,

所以Inc<In〃，貝ljc<a；

綜上，c<a<b.

故選：B.

【變式4-3］已知。=log2986—log2985,6=1-cos^—,c=^—,則()

986985

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>b>a

【答案】c

【解析】設g(x)=log2(x+l)-x,xe(0,l),則g'(x)=&/而5-1，

當時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當丁€【右7』時'g'(x)<°，g(x)單調(diào)遞增；

又g(o)=g(l)=°，所以g(x)=log2(x+l)_%>0,%w(0,l)，

1

所以〃=log986-log985=--------二c；

22985

0</?=1-cos---<1,0<—<c=—<1

986986985

設/(x)=l-cosx-x,0<x<l,

r(x)=sinx-l<0,所以函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,

所以/(x)=l-cosx-x</(0)=0,

所以l-cosx<x,又0<^—<1,

所以1-cos-'-v-'-V-1-

貝1Jb<c,

986986985

綜上，a>c>b.

故選：C.

題型五：數(shù)形結合

【典例5-1】(2024?高三?海南?期末)若。=lnl.1,6=4,。=炳，貝!]()

e

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.c<a<b

【答案】c

【解析】設〃x)=lnx-(x-l),/'(x)=1-l,當xe(l,2)時，

r(x)<0,/(x)單減，故/==即

設g(x)=e、'-(x+1),g〈x)=e*—l,當xe(-l,0)時，gf(x)<0,

所以g(-O.9)>g(O),即e?9-(-0.9+l)>e。-(0+l)=0,即

c=0.P>0,1'=0,1'故"最小，

433=焉=壺,(e0t,)10<39=19683,(710),°=105=100000,

因為19683<100000,所以,°9廣<39<(而廣，所以e"vJiU,g>卡，

所以b>c>〃

故選：C

13

【典例5-2】(2024?陜西商洛?模擬預測)設。=sin0.2/=0.16,c=—In不，則()

22

A.a>c>bB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【解析】設/(%)=sinx一(x-％￡[o,0.2](x)=cosx-1+2x,

設g(x)=f'(x),g'(x)=-sinx+2>0,所以g(x)2g(0)=0,

所以函數(shù)/(x)在[0,0.2]上單調(diào)遞增，

所以/(0.2)=$M0.2-(0.2-02)=5吊0.2-0.16>4。=(,即a>b.

根據(jù)已矢口傳c=—In—=—In—=—In，

2220.821-0.2

可設〃(力=)[1!1(1+1)-111(1一%)]-5111￥,XG[0,0.2],

則"(x)=2L+1-cosx=—二-cosx>0,

v7

21l+x1-x\—X

所以函數(shù)“X)在［o,0.2］上單調(diào)遞增,

所以力(O2)>力(0)=0,gpotz.

綜上，c>a>b.

故選：D.

【變式5-1]已知°=0.8°5+0.8°7+0.8°9,/,=O.6°-8+O.7O-8+O.8O-8,「一一+「段+丁，，則(

C-V\CTD

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【答案】A

【解析】設f(x)=08,畫出/(x)的圖象，

故/(x)為下凸函數(shù),

當x尸％時/(演)丁優(yōu))>4宥1

05070907

所以0.8心+0.8"9>2X0.8°7,a=O.8-+O,8-+O.8->3xO.8-.

設g(x)=x°%x>0),畫出g(x)圖象,

，斗g(x)=x°8(x>0)

故g(x)為上凸函數(shù)，當X尸z時g(,2"J<g[122]，

所以b=O.608+O.70-8+0.潸<3xO.708，

同一坐標系內(nèi)畫出/(無)=0?和r(x)=07的圖象，

r（x）=0.7xZ

段）=08S87

O.

7S1

O.

O\0?77

又y=07在R上單調(diào)遞減，故0.8°7>0.7"7>0.7°巴所以。>尻

^A（x）=lnx-1+—（0<x<l）,則〃（x）=L--y<0,力（無）在（0,1）上單調(diào)遞減,

所以0<x<l時/z（x）>/z（l）=0,

所以0.6°s>e-同理可得0.7北>屋石，O.80-8>,

相加得0.6&8+O,70-8+O,808>e、+e行+e"，b>c>

所以a>6>c.

故選：A

【變式5-2](2024?四川廣安?二模)已知。，b,。均為正數(shù)，?=1+1-2\〃=4+6(2-3"),

4-2

----r-=log4(c+3),則。，b,。的大小關系為()

A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】B

【解析】。=1+±-2'可變形為：a--=l-r,〃=4+“2-3')可變形為：b-^-=2-3b,

aab

2

A_r4

-----=log4(c+3)可變形為：c—=-log4(c+3),

c------------------------c

JC

f(x)=x~—,g(x)=l-2,〃(x)=2-3*,^(x)=-log4(x+3),且無>0,

可知a,6,c分別為函數(shù)/(x)與g(x),h(x),4(無)的交點橫坐標，

當x>0時,/(力單調(diào)遞增且〃1)=-3,/⑵=0,

g(x),h(x),q(尤)這三個函數(shù)全部單調(diào)遞減，Mg(l)=/z(l)=^(l)=-l>-3,g(2)=-3<0,

A(2)=-7<0,q(2)=-log45<-1<0,

由零點存在性定理可知:。也。41,2),所以只需判斷g(x),h(xV夕卜)這三個函數(shù)的單調(diào)性,在

xe(l,2)范圍內(nèi)下降速度快的，交點橫坐標小，下降速度慢的交點橫坐標大,

由圖象可知，夕（x）=-log4（x+3）下降速度最慢，所以。最大，

gr（x）=-2xln2,h\x）=~yIn3,x〉0時，所以交點a>6,

【變式5-3］（2024?黑龍江哈爾濱?三模）已知2"=l°g<，=k）g的,則下面正確的是（）

1

A.a>bB.a<—

4

C.b>^~D.|^-6|<—

2z

【答案】D

［解析］令”x）=2-log產(chǎn)2工+至~由2-logy,故/⑷=0,

22

由V=2*與y=log2x在（0,+8）上單調(diào)遞增,故〃x）在（0,+功上單調(diào)遞增,

又/［J=2"+log2；=24-2<0,/Q"|=22+log21=V2-l>0,故故B錯誤；

令g(x)=1J

一log[X=I+log2x,

2

由函數(shù)y=的圖象及V=-log2X的圖象可得g（x）在（o,+動上只有一個零點,

由0=1嗝6，故g(b)=0,

又g

-1=0-故befl吁故C錯誤;

O'2}

有.<6,故A錯誤；|°_目<四一,=理二'<1=1.,故D正確.

1124442

故選：D.

【變式5-4】雅各布?伯努利(JakobBernoulli,1654/705年)是伯努利家族代表人物之一，瑞士數(shù)學家，

他酷愛數(shù)學，常常忘情地沉溺于數(shù)學之中.伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一種常見的

不等式.伯努利不等式的一種形式為：Vx>-1,〃EN*，則(l+x)〃21+內(nèi).伯努利不等式是數(shù)學中的一

種重要不等式，它的應用非常廣泛，尤其在概率論、統(tǒng)計學等領域中有著重要的作用.已知

11

a=log2024-log2023,b=\-cosc=——，則()

2220242023

A.b>a>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

【答案】B

2024c—120241

【解析】a=log22024-log22023=log2C-2023-2023-'

2023

令/(x)=log2X,g(x)=xT，兩函數(shù)圖象如圖所示,

因為/(X)、g(x)均單調(diào)遞增，且/(l)=g(l),〃2)=g⑵,

結合圖象可知當xe(l,2)時,/(x)>g(x),BPlog2x>x-l,

20241

故噫黑>---------1故；

2023

TT

如圖，單位圓4中，BD1AC于D,設NA4C=6,0<6><-,

2

則前的長度/=e，|/O|=cos。，|CQ|=l—cos。,

則由圖易得，I>|SC|>|C￡)|,BP0>l-cos0,

所以---->----->1-cos-----故?！?；

202320242024

綜上，a>c>b.

故選：B.

【變式5?5】(2024?高三?江蘇蘇州?期中)設。=(cos(,6=sin1,0=e；貝b,。的大小關系為

().

A.b<a<cB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

【答案】D

【解析】設=作出單位圓，與x軸交于A點，則/(1,0),

過點A作/C垂直于x軸，交射線08于點C,連接48,過點B作8DJ_x軸于點。，

由三角函數(shù)定義可知/C=tana,BD=sinafAB=a

設扇形CUB的面積為S],則,即萬tana>—?>—sina,故tana>a>sina,

因為^所以tan：>：>sin!,

又cos—>0,由tan—>一得sin->一cos—,即6>a,

555555

令/(x)=e*-x-l,x<0,

貝ijr(x)=e，-l,當x<0時，/'(x)=e，一l<0,

故/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

所以/U>/(0)=0,所以「>之,

故c〉b，

綜上，a<b<c.

故選：D

【變式5-6］（2024?江西南昌?三模）若［；=log2。，CL2-C,則正數(shù)名Ac大小關系是

（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】B

【解析】由=log2a,則0為y=g］與y=logzx交點的橫坐標，

由gJ=〃，貝U6為y=QJ與y=X?交點的橫坐標，

由1=2-即c°=（g］'貝I。為y=與了二爐交點的橫坐標，

2

作出y=,J=log2X,y=X,>=%的圖象如下所示，

題型六：特殊值法,估算法

【典例6-1】若都不為零的實數(shù)a,b滿足。>6,則（）

A.—<B.—I—>2C.ea~b>1D.Ina>In6

abab

【答案】C

【解析】取a=l,b=T,滿足a",4錯誤;

ab

ha

當a=l,b=-l,滿足a>6,fi-+y=-2<2,8錯誤；

ab

因為a>6,所以。一6>0,所以e"-">l，C正確；

當a<0或6<0時，lna,lnb無意義，故。錯誤.

故選：C

【典例6-2]已知〃=2",b=\nx,c=x3若％w（0,l）,貝！J。、b、。的大小關系是（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】B

【解析】取X=g,則a=2；>r6=lng<0,c=<1,所以a>c>b.

故選：B.

【變式6-1】已知”=百，b=2；，c=log?e,則a,b,。的大小關系為（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】B

【解析】由/=9,b&=2,可知。>b>l,

33

又由e?<8,從而?<2.^/2二”'可得。=1。82e</<a,

因為/一（§4=2-野<0,所以

56255

因為e5-26>2.75-64>0,從而e5>26,即e>25，

6￡

由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，c=log2e>log225,

綜上所述，a>c>b.

故選：B.

【變式6-2]（2024?陜西安康?模擬預測）若。，瓦c滿足2">2",log3c<0,則（）

1cc

A./,x>0B.a>b

yb-a）c

C.ac>bcD.a+c>be

【答案】c

【解析】由2">2',log3c<0,得a>b,0<c<l,所以6-°<0,所以他，、<0,所以A錯誤;

令a=-l,b=-2,c=z,此時a。與6。無意義，所以B錯誤；

因為〃所以由不等式的性質可得ac>6c,所以C正確；

13

令a=—2,b=—3,c=—,則Q+C=—=bc,所以D錯誤.

22

故選：C.

題型七：放縮法

【典例7-1】(2024?全國?模擬預測)已知6=l+sin-,c=lT，則a,b,。的大小關系為

a-Q10

()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】c

【解析】令/■(x)=e-x-l(x20),則/■'@)=/一120恒成立，

所以/(x)在(0,+")單調(diào)遞增，

所以當x>0時，/(x)>/(0)=0,即e*>x+l(x>0)；

令g(x)=x-sinx(無上0),則g'(無)=l-cosx?0恒成立，

所以g(x)在(0,+功單調(diào)遞增，

所以當x>0時，g(x)>g(O)=O,即sinx<x(x>0)；

由誘導公式得6=1+sin電=l+sin?,

ITjr—

所以b=l+sin—<1+—<e10,因此；

1010

因為。_,正<已而一e°4，c=l.l6=(l.l15)，

故只需比較e與1.之的大小，

151512

由二項式定理得，l.l=(1+0.1)>l+C]5x(0.1)+Cf5x(0.1)>3>e,

所以c>a.

綜上，c>a>b.

故選：C

3

【典例7-2】(2024?全國?模擬預測)已知a」log,12,Z，=sin—,c=貝I](

3-10⑺

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【解析】因為。=(log512=Jlog5：144>3og5：125=2，b=sin=<sin5=1,

3oo21062

所以.

兀1.兀1.兀1

因為b=sin3->sin—cos——=—sm—>一sin—=一1

101010252644

所以.

綜上可知，c<b<a.

故選：B.

【變式7-1](2024?全國?模擬預測)已知a=lg2,6=lg5,則下列不等式中不成文的是(

A.0<ab<1B.20"*>—C.y[a+y[b>V2D.-l—>4

2ab